Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 9
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,5} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,1} \right)\) là\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{1}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}\).
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}\).
Đáp án đúng là C
\(x\; = \; - 1\).
\(y = \frac{1}{2}\).
\(y\; = \; - 1\).
\(x = \frac{1}{2}\).
Ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y\; = \;\frac{1}{2}\).
\[S = \left\{ 3 \right\}\].
\[S = \left\{ { - 3} \right\}\].
\[S = \left\{ { \pm 3} \right\}\].
\[S = \left\{ { - 4\,;\,\,3} \right\}\].
Ta có: \[{\log _3}\left( {18 - {x^2}} \right) = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}18 - {x^2} > 0\\18 - {x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3\sqrt 2 < x < 3\sqrt 2 \\x = \pm 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm 3\].
\(x - 2y + 3z + 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z + 16 = 0\).
\[x - 2y + 3z - 6 = 0\].
\(x - 2y + 3z - 16 = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(\left( Q \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\) nên nhận \(\vec n = \left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến; mặt khác (P) qua \(M\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)\) nên có phương trình:
\(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3z - 6 = 0\).
\( - 3\).
\( - 1\).
\(1\).
\(3\).
Ta có: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 2 + 1 = - 1\).
\(2\overrightarrow {AA'} \).
\(\vec 0\).
\(2\overrightarrow {C'A'} \).
\(2\overrightarrow {AC} \).
\({u_1} = 2\).
\({u_1} = 3\).
\({u_1} = - 3\).
\({u_1} = - 2\).
\(AB \bot \left( {SBC} \right)\).
\(AC \bot \left( {SBC} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\).
\({e^2} - e - \frac{5}{2}\).
\(\pi \left( {{e^2} - e - \frac{5}{2}} \right)\).
\({e^2} - e - \frac{3}{2}\).
\( = \pi \left[ {\left( {{e^2} - \frac{1}{2} \cdot {2^2}} \right) - \left( {{e^1} - \frac{1}{2} \cdot {1^2}} \right)} \right] = \pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\)
\[\frac{5}{{18}}\].
\[\frac{1}{5}\].
\[\frac{1}{{12}}\].
\[\frac{1}{8}\].
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_9^2 = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Tổng hai số ghi trên hai thẻ rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng \(15\)”.
Ta có các cặp số có tổng là số lẻ và lớn hơn hoặc bằng \(15\) là \(\left( {6;9} \right);\left( {7;8} \right);\left( {9;8} \right)\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 3\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{3}{{36}} = \frac{1}{{12}}\).
\(a + b = - 1.\)
\(a + b = 1.\)
\(a + b = 3.\)
\(a + b = 5\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
Đạo hàm : \(y' = \frac{{3{x^2} - 12x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 5 \)
Đồ thị có hai điểm cực trị và đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm cực trị đó có phương trình là : \[y = \frac{{{{\left( {3{x^2} - x + 5} \right)}^\prime }}}{{\left( {x - 2} \right)}} = 6x - 1\] nên \(a + b = 6 + \left( { - 1} \right) = 5.\)
Chiều cao | \(\left[ {150\,;\;155} \right)\) | \(\left[ {155\,;\;160} \right)\) | \(\left[ {160\,;\;165} \right)\) | \(\left[ {165\,;\;170} \right)\) | \(\left[ {170\,;\;175} \right)\) |
Tần số | \(3\) | \(7\) | \(10\) | \(7\) | \(3\) |
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
\(\frac{{\sqrt {285} }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt {287} }}{3}\).
\(4\sqrt 2 \).
\(\sqrt {71} \).
Giá trị trung bình mẫu số liệu ghép nhóm là \(\bar x = \frac{{152,5.3 + 157,5.7 + ... + 172,5.3}}{{30}} = 162,5\).
Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{{3.{{\left( {152,5 - \bar x} \right)}^2} + ... + 3.{{\left( {172,5 - \bar x} \right)}^2}}}{{30}}} = \frac{{\sqrt {285} }}{3} \approx 5,63\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}}\] có đồ thị \(\left( C \right)\)Đạo hàm của hàm số là \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3;1} \right)\)
Tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(y = x - 2\)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị tạo với 2 trục \(Ox,\,\,Oy\)một tam giác có diện tích bằng \(0,5\)(đvdt)
a) Đúng: Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( {x \ne - 1} \right)\)
b) Sai: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Điều kiện \(x \ne - 1\) thì \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 < 0\\x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < x < 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\)
c) Đúng: \[y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = x - 2 + \frac{4}{{x + 1}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0\]
Suy ra đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận xiên là \(y = x - 2\)
d) Sai: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \[y = \frac{{{{\left( {{x^2} - x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}} = \frac{{2x - 1}}{1} = 2x - 1\]
Giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với trục\(Ox\) là : \[2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \[\left( d \right)\]và trục\(Ox,\,\,Oy\) là: \(S = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|{\rm{d}}x} = \frac{1}{4}\)
\(a + b + c + d = - 2\)
Đồ thị \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2\) tại ba điểm phân biệt
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và được thẳng \(x = \sqrt 3 \) bằng \(2,25\)(đvdt) d)
Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và trục hoành (phần \(x \ge 0\)) quanh trục \(Ox\) thì \(V = \frac{{72\sqrt 3 \pi }}{{35}}\)(đvtt)
Xét mệnh đề a)
Đồ thị nhận \(O\left( {0;0} \right)\) làm tâm đối xứng nên hàm số phải là hàm số lẻ. Do đó, các hệ số của bậc chẵn phải bằng 0: \(b = d = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^3} + cx\)
Điểm \(M\left( {1; - 2} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) = - 2 \Leftrightarrow a + c = - 2\left( 1 \right)\)
Điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\)là điểm cực trị nên \(f'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3a + c = 0\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + c = - 2}\\{3a + c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{c = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x\)
Vậy \(a + b + c + d = 1 + 0 + \left( { - 3} \right) + 0 = - 2\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3x = 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)
Vậy đồ thị \(\left( C \right)\)cắt đường thẳng \(y = 2\)tại hai điểm phân biệt (trong đó có 1 điểm tiếp xúc) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\)và trục hoành: \({x^3} - 3x = 0 \Rightarrow x = 0\,;\,x = \pm \sqrt 3 \)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và đường thẳng \(x = \sqrt 3 \):
\(S = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left| {{x^3} - 3x} \right|\,{\rm{d}}x = \frac{9}{4}} = 2,25\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Phần hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\)và trục hoành \(\left( {x \ge 0} \right)\) là đoạn từ \(x = 0\)đến \(x = \sqrt 3 \).
\(V = \pi \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{\left( {{x^3} - 3x} \right)}^2}\,{\rm{d}}x} = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^7}}}{7} - \frac{{6{x^5}}}{5} + 3{x^3}} \right)} \right|_0^{\sqrt 3 } = \frac{{72\sqrt 3 \pi }}{{35}}\) nên mệnh đề d) đúng
Mặt phẳng \(\left( {EFGH} \right)\) có phương trình \(3x + 4z - 12 = 0\)
Cửa lều có diện tích bằng \(7,5\)m2
Khi treo nguồn sáng ở độ cao \(2\)m thì diện tích vùng bóng \(EFG'H'\) bằng \(24\)m2
Người ta trải một tấm thảm hình chữ nhật có kích thước \(4\)x\(8\)(m) ngay trước cửa lều để ngồi ăn uống sao cho cạnh ngắn của tấm thảm trùng khít với cạnh đáy cửa lều \(EF\). Để toàn bộ tấm thảm nằm trọn trong vùng bóng thì chỉ treo nguồn sáng ở độ cao tối đa là \(1,8\) mét
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ: \(S\left( {0;0;3} \right)\); \(E\left( {4; - 2;0} \right)\); \(F\left( {4;2;0} \right)\) ; \(G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right)\) ; \(H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right)\)
Xét mệnh đề a)
Ta có: \(\overrightarrow {EF} = \left( {0;4;0} \right)\) và \(\overrightarrow {EH} = \left( { - 2; - 3;\frac{3}{2}} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( {EFGH} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EH} } \right] = \left( {6;0;8} \right) = 2.\left( {3;0;4} \right)\)
Phương trình mặt phẳng là \(\left( {EFGH} \right):\,3x + 4z - 12 = 0\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Xét \[\Delta SEF\] có \(H,G\)lần lượt là trung điểm của \(SE\) và \(SF \Rightarrow HG = \frac{1}{2}EF = 2\)
Gọi \(K,L\) là hình chiếu của \(G\)và \(H\)trên \(EF \Rightarrow GK,HL\)là chiều cao của hình thang cân \(EFGH\)
Suy ra \(GF = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {29} }}{2}\). Gọi \(KF = EL = x \Leftrightarrow 2x + LK = 4 \Leftrightarrow 2x + 2 = 4 \Rightarrow x = 1\).
Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta GKF \Rightarrow GK = \sqrt {G{F^2} - K{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {29} }}{2}} \right)}^2} - {1^2}} = \frac{5}{2}\)
Vậy \({S_{EFGH}} = \frac{{EF + HG}}{2}.GK = \frac{{4 + 2}}{2}.\frac{5}{2} = \frac{{15}}{2} = 7,5\)(m2) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(I\left( {0;0;2} \right)\) và \(H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = - t}\\{z = 2 - 0,5t}\end{array}} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Theo đề bài \[H' \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow z = 0 \Leftrightarrow 2 - 0,5t = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow H' = \left( {8; - 4;0} \right)\]
Tương tự \(I\left( {0;0;2} \right)\) và \(G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IG} = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right)\) nên PTĐT \(IG:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2h}\\{y = h}\\{z = 2 - 0,5h}\end{array}} \right.\,\,\left( {h \in \mathbb{R}} \right)\)
Theo đề bài \(G' \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow z = 0 \Leftrightarrow 2 - 0,5t = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow G' = \left( {8;4;0} \right)\)
Suy ra \(G'H' = \sqrt {{8^2}} = 8\)và \(FG' = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \). Gọi\(M,N\) lần lượt là hình chiếu của\(F,E\) trên \(G'H'\) thì \(FM,EN\)là chiều cao của hình than cân\(EFG'H'\)
Gọi \(MG' = NH' = y \Leftrightarrow 2y + 4 = 8 \Rightarrow y = 2\)
Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta FMG' \Rightarrow FM = \sqrt {F{{G'}^2} - M{{G'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}} = 4\)
Vậy \({S_{EFG'H'}} = \frac{{4 + 8}}{2}.4 = 24\)(m2) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Tấm thảm là hình chữ nhật có \(4 \times 8\)(m) và đặt tấm thảm sao cho trùng khít với \(EF\), tức là vùng phủ đi từ \(x = 4\) đến \(x = 12\). Jgi đí \(I\left( {0;0;a} \right)\)và \(G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IG} = \left( {2;1;\frac{3}{2} - a} \right)\)
Phương trình đường thẳng \[IG:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2u}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{y = u}\\{z = a + \left( {1,5 - a} \right)u}\end{array}}\end{array}\,\,\left( {u \in \mathbb{R}} \right)} \right.\]
Theo đề bài \(G' \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow z = 0 \Leftrightarrow a + \left( {1,5 - a} \right)u = 0 \Rightarrow u = \frac{a}{{a - 1,5}}\)
Mặt khác: \(x = 2u = \frac{{2a}}{{a - 1,5}} \ge 12 \Leftrightarrow 2a \ge 12a - 18 \Rightarrow a \le 1,8\)(m)
Vậy nguồn sáng tối đa cao \(1,8\)(m) nên mệnh đề d) đúng
Có hai phác đồ điều trị A và B cho một loại bệnh. Phác đồ A có xác suất chữa khỏi bệnh là \(60\% \) và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(5\% \). Phác đồ B có xác suất chữa khỏi bệnh là \(70\% \)và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(10\% \). Một bệnh nhân được điều trị ngẫu nhiên bằng một trong hai phác đồ với xác suất chọn mỗi phác đồ là \(50\% \).
Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ A và được chữa khỏi bệnh là \(0,6\)
Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là \(0,075\)
Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân đã được điều trị bằng phác đồ B lớn hơn \(0,65\)
Biết rằng trong mỗi phác đồ điều trị thì biến cố “Bệnh nhân được chữa khỏi bệnh” và biến cố “Bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng” là độc lập với nhau. Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là \(0,6\)
Gọi \(A\) là biến cố "bệnh nhân chọn phác đồ \(A\)".
Gọi \(B\) là biến cố "bệnh nhân khỏi bệnh".
Gọi \(C\) là biến cố "bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng".
Khi đó: \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,6\); \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,7\); \(P\left( {C|A} \right) = 0,05\); \(P\left( {C|\bar A} \right) = 0,1\)
Xác suất bệnh nhân điều trị phác đồ A và khỏi bệnh là:
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,5.0,6 = 0,3\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Xác suất bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:
\(P\left( C \right) = P\left( {A \cap C} \right) + P\left( {\bar A \cap C} \right) = P\left( A \right).P\left( {C|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {C|\bar A} \right) = 0,5.0,05 + 0,5.0,1 = 0,075\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Nếu biết bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất để bệnh nhân chọn phác đồ \(B\) là:
\(P\left( {\bar A|C} \right) = \frac{{P\left( {\bar A \cap C} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,5.0,1}}{{0,075}} = \frac{2}{3} > 0,65\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Theo giả thiết \(B|A\) và \(\bar C|A\) độc lập, \(B|\bar A\) và \(\bar C|\bar A\) độc lập.
Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:
\(P\left( {B \cap \bar C} \right) = P\left( {\left( {B \cap \bar C} \right) \cap A} \right) + P\left( {\left( {B \cap \bar C} \right) \cap \bar A} \right) = P\left( {\left( {B \cap \bar C} \right)|A} \right) \cdot P\left( A \right) + P\left( {\left( {B \cap \bar C} \right)|\bar A} \right) \cdot P\left( {\bar A} \right)\)
\( = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right).P\left( {\bar C|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right).P\left( {\bar C|\bar A} \right)\)\( = 0,5.0,6.\left( {1 - 0,05} \right) + 0,5.0,7.\left( {1 - 0,1} \right)\)\( = 0,6\) nên mệnh đề d) đúng
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là nửa lục giác đều tâm \(H\), cạnh bằng \(a\), \(AD = 2a\). \(\Delta SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Điểm \(I\) thuộc \(SH\) sao cho \[\overrightarrow {IS} = - 3\overrightarrow {IH} \]. Gọi \[M\] là giao điểm của \[DI\] và \[SA\]. Biết \[d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{ma\sqrt n }}{p}\] với \[m,\,n,\,p\] là các số nguyên dương và \[m < n < p < 30\]. Tính giá trị biểu thức \[T = m + \,n + \,p\].
\[\frac{{SM}}{{MA}}.\frac{{AD}}{{DH}}.\frac{{HI}}{{IS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}}.\frac{2}{1}.\frac{1}{3} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{MS}}{{AS}} = \frac{3}{5}\].
Suy ra \[d\left( {M,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{5}d\left( {A,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{5}.2d\left( {H,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{6}{5}d\left( {H,\,\left( {SCD} \right)} \right)\].
![Kẻ \[HK \bot CD\] tại \[K\]. Vì \[ABCD\] là n (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture34-1779156836.png)
Kẻ \[HK \bot CD\] tại \[K\]. Vì \[ABCD\] là nửa lục giác đều tâm \[H\] nên \[\Delta HCD\] đều cạnh bằng \[a\].
Khi đó, \[HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Kẻ \[HO \bot SK\] tại \[O\]. Khi đó, vì \[\left\{ \begin{array}{l}HO \bot SK\\HO \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow HO \bot \left( {SCD} \right)\]\[ \Rightarrow d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HO\].
Xét \[\Delta SHK\] có \[HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\,SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \]\[ \Rightarrow HO = \frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\].
Do đó: \[d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{6}{5}.\frac{{a\sqrt {15} }}{5} = \frac{{6a\sqrt {15} }}{{25}}\] nên \[T = m + \,n + \,p = 6 + 15 + 25 = 46\].
![Kẻ \[HK \bot CD\] tại \[K\]. Vì \[ABCD\] là n (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture35-1779156862.png)
Theo giả thiết: \[\frac{2}{3} = - \frac{2}{3}\ln \left( {1 - \frac{Q}{{{Q_0}}}} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {1 - \frac{Q}{{{Q_0}}}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 1 - \frac{Q}{{{Q_0}}} = {e^{ - 1}} \Leftrightarrow \frac{Q}{{{Q_0}}} = 1 - {e^{ - 1}}\]
\[ \Rightarrow \frac{Q}{{{Q_0}}}.100\% = \left( {1 - {e^{ - 1}}} \right)100\% \approx 63,2\% {\rm{ }}\]
Vậy số \(\% \) dung lượng pin của xe khi đã nạp được thời gian \(40\)phút là \(63,2\% \).
Gọi \(r\) là mức hoa hồng \(\left( \% \right)\) công ty đưa ra. Thu nhập của đội ngũ kinh doanh là hiệu số giữa tiền hoa hồng nhận được và chi phí hoạt động:
\(I\left( x \right) = \frac{r}{{100}}.S\left( x \right) - C\left( x \right) = \frac{r}{{100}}.8000\sqrt x - 0,5{x^2} = 80r\sqrt x - 0,5{x^2}\,\left( {x > 0} \right)\)
Giá trị \(x\)làm cho \(I{\left( x \right)_{\max }}\)là : \[I'\left( x \right) = \frac{{40r}}{{\sqrt x }} - x = 0 \Rightarrow x\left( r \right) = \sqrt[3]{{{{\left( {40r} \right)}^2}}}\]
Công ty hưởng phần : \(\left( {1 - r} \right).S\left( x \right)\)
Thay \(x = x\left( r \right)\)vào \( \Rightarrow L\left( r \right) = \left( {1 - r\% } \right).8000\sqrt {\sqrt[3]{{{{\left( {40r} \right)}^2}}}} \)
Dùng
Bản biến thiên:
Để tối đa hóa lợi nhuận thì công ty cần đặt ra mức hoa hồng là \(25\% \)
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(O\) và cắt \(\left( C \right):y = \sqrt {196 - {x^2}} \) tại điểm đặc biệt \(M\)
Khi ấy \({k_d} = \tan 30^\circ \Rightarrow d:y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\)với ta có phương trình hoành độ điểm \(M\) là: \({\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {x^2} = 196\)
Suy ra tọa độ \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right)\) gọi parabol đề cho có phương trình \(\left( P \right):y = - a{x^2} + c,\left( {a < 0 < c} \right)\)
Do \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right) \in \left( P \right)\) nên ta có phương trình: \[7 = - 147a + c \Rightarrow \left( P \right):y = - a{x^2} + 7 + 147a\left( 1 \right)\]
Gọi \(d'\) là pháp tuyến của \(d\) tại \(M\) thì dễ dàng có được \(d':y = - x\sqrt 3 + 28\)
Khi đó với \(d'\) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(M\) ta có phương trình tiếp xúc như sau:
\[\left\{ \begin{array}{l} - a{x^2} + c = - \sqrt 3 x + 28\\ - 2ax = - \sqrt 3 \end{array} \right.\]. Suy ra:
Tiếp đến gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(x = m\) sao cho \(\widehat {\left( {\Delta ;Oy} \right)} = 60^\circ \).
Suy ra \(\Delta :y = - \frac{m}{7}\left( {x - m} \right) - \frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2} \Rightarrow \left( \Delta \right) \cap Oy = E\left( {0;\frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2}} \right)\)
Hệ số góc: \({k_\Delta } = \tan \left( {\overrightarrow {OE} ;\overrightarrow {O{x^ + }} } \right) = \tan 150^\circ \)
Suy ra: \[ - \frac{m}{7} = \tan 150^\circ \Rightarrow m = \frac{7}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow OE = \frac{{56}}{3}\left( {cm} \right) \Rightarrow {S_{lucgiac}} = 6.\frac{{O{E^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }}\](cm2)
Gọi \({S_0}\) là diện tích hình giới hạn bởi cong \(\left( P \right)\) và \(\left( C \right)\), vậy diện tích cần tìm là:
\[S = {S_{lucigac}} - \left( {3{S_0} + {S_{tron}}} \right) = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }} - \left( {3\int\limits_{ - 7\sqrt 3 }^{7\sqrt 3 } {\left( { - \frac{1}{{14}}{x^2} + \frac{{35}}{2}} \right) - \sqrt {196 - {x^2}} {\rm{d}}x} + \pi {{14}^2}} \right) \approx 141\](cm2)
Vì mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right) \equiv \left( {OBCD} \right);\,\left( {Oxz} \right) \equiv \left( {OBB'O'} \right);\left( {Ozy} \right) \equiv \left( {OO'D'D} \right)\]các điểm trên các mặt phẳng trên không thỏa mãn yêu cầu có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương.
Cho nên ta chỉ đếm các điểm có hoành độ dương trên các đoạn thẳng: \({M_1}{M_2};\,{M_3}{M_4};\,{M_5}M\).
Ta có tọa độ các điểm: \(M\left( {3;0;9} \right);\,{M_1}\left( {9,0,3} \right);\,{M_2}\left( {9,3,0} \right);\,{M_3}\left( {3,9,0} \right);\,{M_4}\left( {0,9,3} \right);\,{M_5}\left( {0,3,9} \right)\).
Khi đó phương trình đường thẳng \({M_1}{M_2}\)là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)vì các điểm nằm trên đoạn \({M_1}{M_2}\)nên \(0 < t < 3\) . Suy ra \(t = 1\) hoặc \(t = 2\).
Khi đó phương trình đường thẳng \({M_3}{M_4}\)là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 9\\z = t\end{array} \right.\)vì các điểm nằm trên đoạn \({M_3}{M_4}\)nên \(0 < t < 3\) . Suy ra \(t = 1\) hoặc \(t = 2\).
Khi đó phương trình đường thẳng \({M_5}{M_0}\)là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = t\\z = 9\end{array} \right.\)vì các điểm nằm trên đoạn\({M_5}{M_0}\) nên \(0 < t < 3\) . Suy ra \(t = 1\) hoặc \(t = 2\).
Khi đó có 6 điểm thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
ØĐúng \(01\) ý trong \(04\) ý được \(0,1\) điểm
ØĐúng \(02\) ý trong \(04\) ý được \(0,25\) điểm
ØĐúng \(03\) ý trong \(04\) ý được \(0,5\) điểm
ØĐúng cả \(04\) ý được \(1\) điểm
ØKhông đúng ý nào trong cả \(04\) ý thì không được điểm
Một học sinh khoanh bừa ngẫu nhiên tất cả các ý của \(4\) câu hỏi. Biết rằng kết quả cuối cùng học sinh này đạt được tổng điểm là \(2,5\) điểm. Tính xác suất để trong \(4\) câu hỏi đó có đúng \(2\) câu học sinh trả lời đúng hoàn toàn (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)Mỗi câu hỏi sẽ gồm \(04\) ý trắc nghiệm đúng sai a), b), c), d) và mỗi ý chỉ gồm hai lựa chọn là đúng hoặc sai
Tổng số cách trả lời cho mỗi câu hỏi là: \({2^4} = 16\)(cách)
Số cách để đạt các mức điểm như sau:
Được \(1\) điểm khi đúng cả 4 ý có \(C_4^4 = 1\)(cách)
Được \(0,5\) điểm khi đúng 3 ý có \(C_4^3 = 4\)(cách)
Được \(0,25\) điểm khi đúng 2 ý có \(C_4^2 = 6\)(cách)
Được \(0,1\) điểm khi đúng 1 ý có \(C_4^1 = 4\)(cách)
Được \(0\)điểm khi không làm đúng ý nào có \(C_4^0 = 1\)(cách)
Các trường hợp đạt tổng \(2,5\)điểm
Gọi \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\)là điểm số của 4 câu hỏi thì khi đó \({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 2,5\)
Trường hợp 1: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,5;0} \right\}\)
Số cách chọn vị trí câu hỏi: Ta có 4 câu, chọn 2 câu 1 điểm, 1 câu 0,5 điểm và 1 câu 0 điểm:
Số cách xếp bộ điểm này là: \(\frac{{4!}}{{2!.1!.1!}} = 12\)(cách)
Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách; 1 câu được 0,5 điểm có 4 cách; 1 câu được 0 điểm có 1 cách
Tổng số cách ở tròng trường hợp này là \(12.\left( {{1^2}{{.4}^1}{{.1}^1}} \right) = 48\)(cách)
Trường hợp 2: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,25;0,25} \right\}\)
Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 2 câu 1 điểm và 2 câu 0,25 điểm nên số cách chọn là\(C_4^2 = 6\)
Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách ; 2 câu được 0,25 điểm mỗi câu có 6 cách
Tổng số cách ở trường hợp này là \(6.\left( {{1^2}{{.6}^2}} \right) = 216\)(cách)
Trường hợp 3: Bộ điểm \(\left\{ {1;0,5;0,5;0,5} \right\}\)
Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 1 câu 1 điểm và 3 câu 0,5 điểm có số cách chọn là \(C_4^1 = 4\).
Số cách khoanh đáp án: 1 câu được 1 điểm có 1 cách; 3 câu được 0,5 điểm mỗi câu có 4 cách
Tổng số cách ở trường hợp này là \(4.\left( {{1^1}{{.4}^3}} \right) = 256\) (cách)
Vậy không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 48 + 216 + 256 = 520\)(cách)
Gọi \(A\) là biến cố “Có đúng 2 câu đạt 1 điểm” nên \(n\left( A \right) = 48 + 216 = 264\)
Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{264}}{{520}} \approx 0,51\)
