Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 17
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {4^x}\] là
\[\frac{{{4^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\].
\[\frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C\].
\[\frac{{{4^x}}}{x} + C\].
\[x{.4^{x - 1}} + C\].
Đáp án đúng là B
\[33\].
\[\frac{{33}}{5}\].
\[\frac{{33\pi }}{5}\].
\[33\pi \].
Đáp án đúng là C
Thống kê điểm kiểm tra giữa kỳ môn Toán của 30 học sinh lớp 11C5 được ghi lại ở bảng sau:
Điểm | \(\left[ {2;\,4} \right)\) | \(\left[ {4;\,6} \right)\) | \(\left[ {6;\,8} \right)\) | \(\left[ {8;\,10} \right)\) |
Số học sinh | \(4\) | \(8\) | \(11\) | \(7\) |
Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
\[\left[ {2;4} \right)\].
\[\left[ {4;6} \right)\].
\[\left[ {6;8} \right)\].
\[\left[ {8;10} \right)\].
Gọi: \[{x_1},...,{x_4} \in \left[ {2;4} \right);\,\,\,{x_5},...,{x_{12}} \in \left[ {4;6} \right);\,\,\,{x_{13}},...,{x_{23}} \in \left[ {6;8} \right);\,\,\,{x_{24}},...,{x_{30}} \in \left[ {8;10} \right)\].
Ta có: \[n = 4 + 8 + 11 + 7 = 30\].
Nhóm thứ 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[\frac{n}{2} = \frac{{30}}{2} = 15\]. Do đó trung vị của mẫu số liệu trên là:
\[{M_e} = r + \left( {\frac{{\frac{n}{2} - c{f_{k - 1}}}}{{{n_k}}}} \right).d = 6 + \left( {\frac{{15 - 12}}{{11}}} \right).2 = \frac{{72}}{{11}} = 6,\left( {54} \right)\,\, \in \left[ {6;8} \right)\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\].
\(x - 2y + z = 0\).
\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).
\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Gọi đường thẳng cần tìm là D.
Vì \[\Delta \,{\rm{//}}\,BC\] nên một vectơ chỉ phương của D là \[\vec u = \overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1;1} \right)\]
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua \(A\) có vectơ chỉ phương \[\vec u = \left( { - 2;1;1} \right)\] là
\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\)
![Câu 5: Tìm hệ số \[b,\,c\] để hàm số \[y = \frac{2}{{cx + b}}\] có đồ thị như hình vẽ sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture1-1779196789.png)
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2\\c = - 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = - 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2\\c = 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 1\end{array} \right.\].
Từ hàm số \[y = \frac{2}{{cx + b}}\] suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là \[x = - \frac{b}{c}\] và \[y\left( 0 \right) = \frac{2}{b}\]
Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là \[x = 2\] và \[y\left( 0 \right) = - 1\]
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{c} = 2\\\frac{2}{b} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 1\end{array} \right.\]
\[\left( { - \infty ;0} \right)\].
\[\left( { - \infty ;1} \right)\].
\[\left( {2; + \infty } \right)\].
\[\left( {1;7} \right)\].
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( { - 1;1;3} \right)\).
\(CD \bot \left( {SBC} \right)\).
\(SA \bot \left( {ABC} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot CD\) mà \(AD \bot CD\) nên \(CD \bot \left( {SAD} \right)\). Suy ra \(CD \bot SD\). Do đó, \(CD\) không vuông góc với \(SC\) suy ra khẳng định \(CD \bot \left( {SBC} \right)\) là sai.
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) hay \(SA \bot \left( {ABC} \right)\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BC\). Mà \(AB \bot BC\) nên\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BD\). Mà \(AC \bot BD\) nên\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
5.
4.
2.
1.
\(\frac{8}{3}\).
\(24\).
\(5\).
\(11\).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x - x + \pi .\)
\(f\left( \pi \right) = - 2\)
Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2\sin x - 1\).
Số nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) trên \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là 2
Giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{2}\)
Ta có \(f\left( \pi \right) = 2\cos \left( \pi \right) - \pi + \pi = - 2\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Đạo hàm \(f'\left( x \right) = - 2\sin x - 1\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Ta có \(f'\left( x \right) = - 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) nên mệnh đề c) sai
Xét \(\frac{{ - \pi }}{2} < \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{6} < k < \frac{1}{3} \Leftrightarrow k = 0.\)
Xét \(\frac{{ - \pi }}{2} < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 5}}{6} < k < \frac{{ - 1}}{3}.\) Không tồn tại \(k\).
Vậy phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có \(1\) nghiệm.
Xét mệnh đề d)
Ta có \(f'\left( x \right) = - 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Xét trên khoảng \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) ta có nghiệm \(x = - \frac{\pi }{6}\).
Xét \(f\left( {\frac{{ - \pi }}{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{2}\), \[f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 + \frac{{7\pi }}{6}\],\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = \sqrt 3 + \frac{{7\pi }}{6}\) nên mệnh đề d) sai
\({\rm{ln}}\left| {v\left( t \right)} \right|\) đạo hàm theo biến thời gian \(t\) cho ta biểu thức là: \(\frac{{v'\left( t \right)}}{{v\left( t \right)}}\)
Biểu thức vận tốc của vật là: \(v\left( t \right) = {e^{ - 0,5t}}\)(m/s).
Quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu tiên trong vùng lực cản là \(37,9{\rm{m}}\).
Với giả thiết vận tốc nhỏ hơn \(0,1\)(m/s) thì vật dừng lại. Tổng quãng đường vật đi được trong vùng lực càn tính theo mét (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) là \(60\)m.
Ta có: \[{\left[ {{\rm{ln}}\left( {v\left( t \right)} \right)} \right]^\prime } = \frac{{v'\left( t \right)}}{{v\left( t \right)}}\] nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Ta có: \(a\left( t \right) = - 0,5v\left( t \right) = v'\left( t \right) \Leftrightarrow \frac{{v'\left( t \right)}}{{v\left( t \right)}} = - 0,5 \Leftrightarrow {\left[ {\ln \left( {v\left( t \right)} \right)} \right]^\prime } = - 0,5\)\( \Leftrightarrow \ln \left( {v\left( t \right)} \right) = \int { - 0,5\,{\rm{d}}t = - 0,5t + C} \)
Ở thời điểm bắt đầu khảo sát thì vận tốc của vật là \(v\left( 0 \right) = 108\)(km/h)\( = 30\)(m/s)
Suy ra \(\ln \left( {v\left( 0 \right)} \right) = - 0,5.0 + C = C = \ln 30 \Rightarrow \ln \left( {v\left( t \right)} \right) = - 0,5t + \ln 30 \Leftrightarrow v\left( t \right) = {e^{ - 0,5t + \ln 30}}\)
Hay biểu thức vận tốc của vật là \(v\left( t \right) = 30.{e^{ - 0,5t}}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Quãng đường vẫn đi được trong khoảng hai giây đầu tiên trong vùng lực cản là:
\(\Delta s\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. = \int\limits_0^2 {\left| {v\left( t \right)} \right|{\rm{d}}t = } \int\limits_0^2 {\left| {30.{e^{ - 0,5t}}} \right|{\rm{d}}t = 37,9} \)m nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Xét \(v\left( t \right) = 30.{e^{ - 0,5t}} = 0,1 \Leftrightarrow {e^{ - 0,5t}} = \frac{{0,1}}{{30}} \Rightarrow t = 11,407\)(s)
Tổng quãng đường vật đi được là: \(\Delta s\left| \begin{array}{l}11,407\\0\end{array} \right. = \int\limits_0^{11,407} {\left| {v\left( t \right)} \right|{\rm{d}}t = } \int\limits_0^{11,407} {\left| {30.{e^{ - 0,5t}}} \right|{\rm{d}}t = 60} \)m nên mệnh đề d) đúng
Xác suất dự án không phát sinh thêm chi phí là \[0,962.\]
Biết dự án có phát sinh thêm chi phí, xác suất dự án do công ty A tư vấn là \(0,53\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Nếu dự án không phát sinh thêm chi phí, xác suất dự án do công ty A tư vấn lớn hơn \[0,4.\]
Nếu cơ quan Q triển khai 3 dự án độc lập, xác suất có đúng 1 dự án phát sinh thêm chi phí là \(0,1\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Gọi \(B\) là biến cố “Thuê công ty B tư vấn” nên \(P\left( B \right) = 0,6\)
Gọi \(C\) là biến cố Phát sinh thêm chi phí từ dự án” suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P\left( {C|A} \right) = 0,05}\\{P\left( {C|B} \right) = 0,03}\end{array}} \right.\)
Xét mệnh đề a)
Theo công thức nhân xác suất \(P\left( C \right) = P\left( A \right).P\left( {C|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {C|B} \right) = 0,038\),
Suy ra biến cố đối \(P\left( {\overline C } \right) = 1 - 0,038 = 0,962\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vì \(P\left( {A|C} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {C|A} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,4.0,05}}{{0,038}} = \frac{{10}}{{19}}\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(P\left( {A|\overline C } \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline C |A} \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,4.\left( {1 - 0,05} \right)}}{{0,962}} < 0,4\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Trường hợp 1: Dự án 1 phát sinh còn 2 dự án kia không phát sinh thì \({P_1} = 0,038.{\left( {0,962} \right)^2}\).
Trường hợp 2: Dự án 1 không phát sinh, dự án 2 phát sinh, dự án 3 không phát sinh
\({P_2} = 0,962.0,038.0,962\).
Trường hợp 3: Dự án 1 không phát sinh, dự án 2 không phát sinh, dự án 3 phát sinh
\({P_3} = {\left( {0,962} \right)^2}.0,038\).
Tổng 3 trường hợp ta được xác suất \( \approx 0,1\) nên mệnh đề d) đúng
Khoảng cách giữa hai điểm treo \(A\) và \(B\) là \(\sqrt {29} \)m
Vì đèn ở trạng thái cân bằng nên hình chiếu vuông góc của \(T\) lên mặt phẳng trần nhà phải nằm trên đường thẳng có phương trình: \(3x - 4y - 8 = 0\)
Khi ở vị trí cân bằng, chiếc đèn cách mặt phẳng trần nhà một khoảng là \(8\)m
Giá trị của tổng \(a + b + c = 17,2\)
Vì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 - 4} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {29} \) m nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vì ta gọi hình chiều của \(A,B\) lên trần nhà lần lượt có toạ độ \(A'\left( {4;1;0} \right),B'\left( {7;5;0} \right)\), suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A'B'\) là \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {3;4;0} \right)\) và đi qua điểm \(A'\left( {4;1;0} \right)\) có dạng:
\(\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 1}}{4} \Leftrightarrow 4\left( {x - 4} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 4x - 3y - 13 = 0\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Gọi hình chiếu của \(T\) lên tràn nhà là điểm \(H\left( {x;y;0} \right)\) và khi đó khoảng cahsc từ \(T\) đến trần nhà (mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right) \equiv z = 0\]) là \(\left| z \right|\). Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(T\) đến trần nhà.
Ta dễ có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'A = 4}\\{B'B = 2}\end{array}} \right.\) và đặt \(HA' = x \Rightarrow HB' = AB' - x = 5 - x\).
Hơn nữa trong tam giác vuông dễ thấy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {h - 4} \right)}^2} + {x^2} = {5^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {h - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - x} \right)}^2} = {{\left( {2\sqrt {10} } \right)}^2} = 40\,}\end{array}} \right.\)
Xét từng phương trình ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h^2} - 8h + {x^2} - 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{h^2} - 4h + {x^2} - 10x - 11 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( 2 \right) - \left( 1 \right) = 4h - 10x - 2 = 0 \Rightarrow h = \frac{{5x + 1}}{2}\)
Thế vào \(\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{5x + 1}}{2} - 4} \right)^2} + {x^2} = 25 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow h = 8\) (mét) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Với \(h = 8 \Rightarrow c = - 8\) và ta có \(\frac{{A'H}}{{A'B'}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {A'H} }}{{\overrightarrow {A'B'} }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_{A'}} + \frac{3}{5}\left( {{x_{B'}} - {x_{A'}}} \right) = 4 + \frac{3}{5}.3 = 5,8}\\{y = {y_{A'}} + \frac{3}{5}\left( {{y_{B'}} - {y_{A'}}} \right) = 1 + \frac{3}{5}.4 = 3,4}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(a + b + c = 5,8 + 3,4 - 8 = 1,2\) nên mệnh đề d) sai
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết rằng \(AB = 1\); \(AD = 2\) và \(SA = 3\). Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SC\)và \(DM\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Ta có \(AM \cap \left( {SCE} \right) = \left\{ E \right\},\,\,\frac{{EM}}{{EA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow d\left( {M,\,\left( {SCE} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\,\left( {SCE} \right)} \right)\).
Dựng \(AI \bot EC\,\left( {I \in EC} \right),\,\,AH \bot SI \Rightarrow d\left( {A,\,\left( {SCE} \right)} \right) = AH\).
Dựng \(BK \bot EC\,\left( {K \in EC} \right)\) thì khi đó \(BK\,{\rm{//}}\,AI \Rightarrow \frac{{BK}}{{AI}} = \frac{{EB}}{{EA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AI = 3BK\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác \(BEC\) vuông tại \(B\) ta có:
\(BK = \frac{{BE.BC}}{{EC}} = \frac{{BE.BC}}{{\sqrt {B{E^2} + B{C^2}} }} = \frac{{\frac{1}{2}.2}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( 2 \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {17} }}{{17}}\)\( \Rightarrow AI = \frac{{6\sqrt {17} }}{{17}}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác \(SAI\) vuông tại \(A\) ta có:
\(AH = \frac{{SA.AI}}{{SI}} = \frac{{SA.AI}}{{\sqrt {S{A^2} + A{I^2}} }} = \frac{{3.\frac{{6\sqrt {17} }}{{17}}}}{{\sqrt {{{\left( 3 \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6\sqrt {17} }}{{17}}} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy \(d\left( {A,\,\left( {SCE} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow d\left( {M,\,\left( {SCE} \right)} \right) = \frac{2}{3}.\frac{{2\sqrt {21} }}{7} = \frac{{4\sqrt {21} }}{{21}} \Rightarrow d\left( {SC,\,DM} \right) = \frac{{4\sqrt {21} }}{{21}} \approx 0,87\).
Ta cố định 2 phần tử vậy chỉ còn 3 ô trống để chọn các chữ cái khác từ tập hợp \(S \Rightarrow C_6^3\) (cách).
Khi đó, cặp phần tử \(DO\) là không tách rời nên ta coi chúng như 1 phần tử và 3 vị trí còn lại có \(3!\) cách xếp nên cụ thể ta có \(4!\) cách hoán vị.
Vậy khi đó số mật khẩu thoả mãn là \(C_6^3.4! = 480\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{a_1} = 660}\\{2{b_1} = 380}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} = 330}\\{{b_1} = 190}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {{E_1}} \right):\frac{{{x^2}}}{{{{330}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{190}^2}}} = 1 \Rightarrow y = \sqrt {{{190}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{330}^2}}}} \right)} \).
Xét Elip trong có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{a_2} = 660 - 40}\\{2{b_2} = 380 - 40}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2} = 310}\\{{b_2} = 170}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {{E_1}} \right):\frac{{{x^2}}}{{{{310}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{170}^2}}} = 1 \Rightarrow y = \sqrt {{{170}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{310}^2}}}} \right)} \)
Khi ấy thể tích phần sứ là (một nửa khối tròn xoay, đổi đơn vị ra dm3):
\[{10^{ - 6}}.\frac{1}{2}.\left\{ {\pi {{\int\limits_{ - 330}^{330} {\left[ {\sqrt {{{190}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{330}^2}}}} \right)} } \right]} }^2}{\rm{d}}x - \pi \int\limits_{ - 310}^{310} {{{\left[ {\sqrt {{{170}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{310}^2}}}} \right)} } \right]}^2}{\rm{d}}x} } \right\} \approx 6,2\](dm3)
Quả cầu tiếp xúc với bức tường lần lượt là mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) nên:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = r = {x_I}}\\{d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = r = {y_I}}\end{array}} \right.\)
Mặt khác cao độ điểm \(I = 20 + r \Rightarrow I\left( {r;r;r + 20} \right)\)
Hỡn nữa, \(IB = IA + AB = r + AB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {0 - r} \right)}^2} + {{\left( {0 - r} \right)}^2} + {{\left( {80 - \left( {r + 20} \right)} \right)}^2}} = r + 30\)
\( \Rightarrow r = A\) cm (lưu vào biến A)
Gọi 2 điểm tiếp xúc của quả bóng với mặt tường \(\left( {Oyz} \right),\left( {Oxy} \right)\) lần lượt là
\(M\left( {0;r;{z_I}} \right),N\left( {r;0;{z_I}} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {r - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - r} \right)}^2} + {{\left( {{z_I} - {z_I}} \right)}^2}} = \sqrt {2{r^2}} = r\sqrt 2 \)
Với bán kính \(r = A \Rightarrow MN = A.\sqrt 2 \approx 26,9\)(cm)
Khi đó khoảng cách từ tâm \(O\) đến mỗi cạnh của tam giác đều là \(\frac{8}{2} = 4\)cm.
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \(x\, \in \left( {0;8\sqrt 3 } \right)\) và chiều rộng của hình chữ nhật là \(y\)(cm)
Xét tam giác vuông \(OIK \Rightarrow OI = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {4 + y} \right)^2} = {8^2} \Rightarrow y = - 4 + \sqrt {64 - \frac{{{x^2}}}{4}} \).
Khi đó diện tích mặt cắt của hình chữ nhật là: \(S = x.y = x.\left( { - 4 + \sqrt {64 - \frac{{{x^2}}}{4}} } \right)\).
Khảo sát hàm số, ta dễ dàng suy ra \(x = A\) (lưu vào biến A) \( \Rightarrow y = - 4 + \sqrt {64 - \frac{{{x^2}}}{4}} = B\) (lưu vào biến B).
Gọi \(B\) là biến cố “Thí sinh đó đạt yêu cầu phong cách Nhạc nhẹ” nên \(P\left( B \right) = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8}\)
Gọi \(C\) là biến cố “Thí sinh đó không đạt yêu cầu ở cả hai phong cách” nên \(P\left( C \right) = \frac{5}{{40}} = \frac{1}{8}\)
Gọi \(A \cup B\) là biến cố: “thí sinh đó đạt yêu cầu ít nhất một trong hai phong cách”.
Khi đó: \(P\left( {A \cup B} \right) = 1 - P\left( C \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). Theo công thức cộng xác suất thì:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = \frac{7}{{10}} + \frac{5}{8} - \frac{7}{8} = \frac{9}{{20}}\)
Hơn nữa, trong 40 thí sinh thì có \(40.\frac{9}{{20}} = 18\) người đạt cả hai phong cách và có \(\left( {28 - 18} \right) = 10\) người chỉ đạt phong cách Dân gian.
Vậy xác suất chọn được hai người đạt thêm yêu cầu phong cách Nhạc nhẹ và một người không đạt yêu cầu là: \(P\left( N \right) = \frac{{C_{18}^2.C_{10}^1}}{{C_{28}^3}} \approx 0,47\)
