Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 21
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(\int {{x^3}{\rm{d}}x = {x^4}} + C.\)
\(\int {{x^3}{\rm{d}}x = 3{x^2}} + C.\)
\(\int {{x^3}{\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{{\ln 3}}} + C.\)
\(\int {{x^3}{\rm{d}}x = \frac{{{x^4}}}{4}} + C.\)
Đáp án đúng là D
\(V = \frac{{19\pi }}{{15}}\).
\(V = \frac{{13\pi }}{{15}}\).
\(V = \frac{{17\pi }}{{15}}\).
\(V = \frac{{16\pi }}{{15}}\).
Đáp án đúng là D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( P \right)\) và trục \(Ox\) là: \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{16\pi }}{5}\).
Cho bảng số liệu ghép nhóm về chiều cao đo được của 30 học sinh nam lớp 12A2 đầu năm học \(2024 - 2025\) của trường THPT như sau.
Chiều cao(cm) | \(\left[ {150;\;155} \right)\) | \(\left[ {155;\;160} \right)\) | \(\left[ {160;\;165} \right)\) | \(\left[ {165;\;170} \right)\) | \(\left[ {170;\;175} \right)\) |
Tần số | \(3\) | \(7\) | \(10\) | \(7\) | \(3\) |
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.
\(\frac{{\sqrt {285} }}{3}\)
\(\frac{{\sqrt {287} }}{3}\)
\(4\sqrt 2 \)
\(\sqrt {71} \)
Giá trị đại diện của nhóm \(2\) là \({x_1} = 157,5\).
Giá trị đại diện của nhóm \(3\) là \({x_1} = 162,5\).
Giá trị đại diện của nhóm \(4\) là \({x_1} = 167,5\).
Giá trị đại diện của nhóm \(5\) là \({x_1} = 172,5\).
Chiều cao trung bình của bảng số liệu ghép nhóm
\(\overline x = \frac{{3.152,5 + 7.157,5 + 10.162,5 + 7.167,5 + 3.172,5}}{{30}} = 162,5\).
Phương sai của bảng số liệu \({S^2} = \frac{{3.{{\left( {152,5 - 162,5} \right)}^2} + 7.{{\left( {157,5 - 162,5} \right)}^2} + 10.{{\left( {162,5 - 162,5} \right)}^2}}}{{30}}\)
\( + \frac{{7.{{\left( {167,5 - 162,5} \right)}^2} + 3.{{\left( {172,5 - 162,5} \right)}^2}}}{{30}} = \frac{{95}}{3}\)
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{S^2}} = \frac{{\sqrt {285} }}{3}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 - 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;\,3; - 1} \right)\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \overrightarrow n = \left( {1;\,3; - 1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
0.
2.
1.
0.
Ta có: \[y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x - 2} \right).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}}\] \[ = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\]
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2\] nên tiệm cận ngang của đồ thi hàm số là đường thẳng \[y = 2\]. Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty \] và
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty \] nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \[x = - 2\]. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
\(2\).
\(8\).
\(7\).
\[5\].
\[\overrightarrow n = \left( {2;3;2} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {3;2;3} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {2;3; - 2} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {3;2; - 3} \right)\].
Ta có \(\left( P \right):\,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow 3x + 2y - 3z - 6 = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {3;2; - 3} \right)\].
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Đường thẳng \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) suy ra hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\).
Do đó \[\widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC\,} \right)} = \widehat {SCA}\]
Xét tam giác vuông \[SAC\] có \[\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}}\] \[ = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] \[ \Rightarrow \widehat {SCA} = 30^\circ \].
\[\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\].
\[\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty ;2} \right)\].
\[\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\].
Ta có \[{3^{2x}} < 27 \Leftrightarrow {3^{2x}} < {3^3} \Leftrightarrow 2x < 3 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\].
\(6\).
\(\frac{3}{2}\).
\(18\).
\(12\).
Vậy \({u_3} = {u_1}.{q^2} = {2.3^2} = 18\).
![Câu 11: Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ \[\overrightarrow u = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \] bằng vectơ nào dưới đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture47-1779205537.png)
\(\overrightarrow {BD} \).
\(\overrightarrow {BD'} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BA'} \).
Ta có: \[\overrightarrow u = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BB'} + \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BD'} \].
\(\left( {0\,;\,1} \right)\).
\(\left( {1\,;\,2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
Tập xác định: \(D = \left[ {0\,;\,2} \right]\) và có đạo hàm \(y' = \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt { - {x^2} + 2x} }}\).
Khi đó \(y' \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 1 \ge 0\\ - {x^2} + 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\0 < x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \le 1\).
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,1} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - x + 1} \right] = 0\)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trên trục tung
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,2} \right)\)
Trên đồ thị hàm số có đúng \(4\) điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên
Ta có thể thực hiện phép chia đa thức để viết lại hàm số dưới dạng:\(f\left( x \right) = x - 1 + \frac{4}{{x - 2}}\)
Xét mệnh đề a)
Ta có:\(f\left( x \right) - x + 1 = \left( {x - 1 + \frac{4}{{x - 2}}} \right) - x + 1 = \frac{4}{{x - 2}}\) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Tiệm cận đứng: \(x = 2\)và tiệm cận xiên:\(y = x - 1\).
Giao điểm \(I\)của hai tiệm cận là nghiệm của hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2 - 1 = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {2;1} \right)\)
Tâm đối xứng \(I\left( {2;1} \right)\) không nằm trên trục tung nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Tính đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)
Bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu ta thấy \(\left( {0;2} \right)\) đạo hàm mang dấu trừ nên hàm số nghịch biến nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Để\(x,y \in \mathbb{Z}\) thì \(\frac{4}{{x - 2}}\) phải là số nguyên.
Điều này xảy ra khi \(\left( {x - 2} \right)\) là ước của 4. Ước của 4 gồm: \( \pm 1; \pm 2; \pm 4\)
Với \(x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \left( {3;6} \right)\)
Với\(x - 2 = - 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 4 \Rightarrow \left( {1; - 4} \right)\)
Với\(x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow \left( {4;5} \right)\)
Với\(x - 2 = - 2 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = - 3 \Rightarrow \left( {0; - 3} \right)\)
Với\(x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \left( {6;6} \right)\)
Với\(x - 2 = - 4 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow y = - 4 \Rightarrow \left( { - 2; - 4} \right)\)
Như vậy, có tất cả 6 điểm có tọa độ nguyên nên mệnh đề d) sai
Trong khoảng thời gian \(3\) giây, chất điểm đổi chiều chuyển động đúng hai lần
Gia tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng \(5\pi \)(m/s2) tại thời điểm \(t = 1,5\) giây
Quãng đường chất điểm đi được trong giây thứ hai dài hơn quãng đường đi được trong giây đầu tiên
Vận tốc trung bình của chất điểm trong 3 giây chuyển động là \(5\)m/s
Hàm số có dạng: \(v\left( t \right) = m\cos \left( {\pi t} \right) + n\)
Dựa vào đồ thị, ta có các điểm đặc biệt:
Tại \(t = 0\) thì \(v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow m\cos \left( 0 \right) + n = 10 \Rightarrow m + n = 10\)
Tại \(t = 1\) thì \(v\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow m\cos \left( \pi \right) + n = 0 \Rightarrow - m + n = 0\)
Giải hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + n = 10}\\{ - m + n = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 5}\\{n = 5}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình vận tốc là: \(v\left( t \right) = 5\cos \left( {\pi t} \right) + 5\)(m/s)
Xét mệnh đề a)
Chất điểm đổi chiều khi vận tốc \(v\left( t \right)\)đổi dấu (đi xuyên qua trục hoành).
Ta có \(v\left( t \right) = 5\left( {\cos \left( {\pi t} \right) + 1} \right)\) mà \(\cos \left( {\pi t} \right) \ge - 1\) nên \(v\left( t \right) \ge 0\) với mọi \(t\).
Vận tốc bằng \(0\) tại \(t = 1\)và \(t = 3\), nhưng không đổi dấu (luôn dương hoặc bằng \(0\)).
Do đó chất điểm dừng lại rồi tiếp tục đi tiếp chứ không đổi chiều nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:\(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {\left[ {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right]^\prime } = - 5\pi \sin \left( {\pi t} \right)\)
Giá trị lớn nhất của \(a\left( t \right)\)là: \(\left| { - 5\pi } \right| = 5\pi \)(khi\(\sin \left( {\pi t} \right) = - 1\)).
Tại\(t = 1,5\):\(a\left( {1,5} \right) = - 5\pi \sin \left( {1,5\pi } \right) = - 5\pi .\left( { - 1} \right) = 5\pi \) nnên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Quãng đường trong giây đầu tiên \(\left( {t \in \left[ {0;1} \right]} \right)\) là:\({S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)dt} = 5\)(m)
Quãng đường trong giây thứ hai \[\left( {t \in \left[ {1;2} \right]} \right)\] là:\({S_2} = \int\limits_1^2 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)dt} = 5\)(m)
Vì \({S_1} = {S_2}\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Vận tốc trung bình: \[{v_{tb}} = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)} \,{\rm{d}}t = 5\](m/s) nên mệnh đề d) đúng
Nếu An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm không tốt kiểm tra cuối kì là \(0,1\)
Nếu An không chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm tốt kiểm tra cuối kì là \(0,2\)
Xác suất để An đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là \(0,35\)
Xác suất để An đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là \(0,7125\)
Gọi \(A\) là biến cố ‘An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán” và \(B\) là biến cố ‘An đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì”. Ta có: \(P\left( A \right) = 0,75\), \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,75 = 0,25\).
Xét mệnh đề a)
Vì theo giả thiết, nếu bạn An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là \[0,9\]. Vậy, nếu An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm không tốt kiểm tra cuối kì là \(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,9 = 0,1\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vì theo giả thiết, nếu bạn An không chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là \[0,85\]. Vậy, nếu An không chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất An được điểm tốt kiểm tra cuối kì là \(P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,85 = 0,15\)nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Theo công thức tính xác suất toàn phần, xác suất để An đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là: \(P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,75.0,1 + 0,25.0,85 = 0,2875\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Theo công thức tính xác suất toàn phần, xác suất để An đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,75.0,9 + 0,25.0,15 = 0,7125\).
Hoặc \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,2875 = 0,7125\) nên mệnh đề d) đúng
Hai bóng đèn \(A\) và \(B\) được đặt ở cùng một phía so với mặt phẳng vườn
Để thỏa mãn yêu cầu kỹ thuật, tỉ số khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai điểm \(A,\,B\) phải luôn không đổi
Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng nối hai bóng đèn \(A,\,B\) xuống mặt phẳng vườn có độ dài bằng \(123\) mét (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đường ray được thiết kế có dạng là một đường tròn với tổng chiều dài lớn hơn \(1725\) mét
Xét mệnh đề a)
Để kiểm tra vị trí tương đối, ta thay tọa độ \(A\) và \(B\)vào vế trái phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\):
\({L_A} = 2.40 + 2.\left( { - 40} \right) - 12 - 12 = - 24\); \({L_B} = 2.\left( { - 40} \right) + 2.50 - 38 - 12 = - 30\)
Vì\({L_A}.{L_B} = \left( { - 24} \right).\left( { - 30} \right) > 0\), nên \(A\) và \(B\)nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Gọi \(H,K\)lần lượt là hình chiếu của \(A,B\)lên \(\left( P \right)\).
Ta có: \({h_A} = AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 24} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8\)(m); \[{h_B} = BK = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 30} \right|}}{3} = 10\](m).
Góc giữa đường thẳng \(MA\) và \(\left( P \right)\)là\(\widehat {AMH}\), góc giữa \(MB\) và \(\left( P \right)\) là \(\widehat {BMK}\).
Khi đó:\(\widehat {AMH} = \widehat {BMK} \Rightarrow \sin \widehat {AMH} = \sin \widehat {BMK} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{8}{{AM}} = \frac{{10}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = 0,8\)
Vì \(0,8\) là hằng số nên tỉ số khoảng cách không đổi nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Độ dài đoạn thẳng\(AB\):\(AB = \sqrt {{{\left( { - 40 - 40} \right)}^2} + {{\left( {50 + 40} \right)}^2} + {{\left( {38 - 12} \right)}^2}} = \sqrt {15176} \)
Độ dài hình chiếu \(A'B'\)của \(AB\) lên \(\left( P \right)\)được tính theo công thức (khi \(A,B\)cùng phía):
\(A'B' = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {{h_B} - {h_A}} \right)}^2}} = \sqrt {15176 - {{\left( {10 - 8} \right)}^2}} = \sqrt {15172} \approx 123\)(m) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Quỹ tích \(M\)là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\)có phương trình:
\(\left( S \right):{\left( {x - \frac{{1640}}{9}} \right)^2} + {\left( {y + 200} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{308}}{9}} \right)^2} = \frac{{6070400}}{{81}}\)
Bán kính mặt cầu \(R = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}} \)(m).
Khoảng cách từ tâm mặt cầu \(I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)\)đến mặt phẳng \(\left( P \right)\):
\(d\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {\frac{{1640}}{9}} \right) + 2.\left( { - 200} \right) - \left( { - \frac{{308}}{9}} \right) - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{112}}{{27}}\)(m)
Bán kính đường tròn quỹ tích là:
(m).
Chu vi đường ray :\(C = 2\pi r = 2.\pi .A \approx 1720\)(m) nên mệnh đề d) sai
Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều có cạnh bằng 1 và cạnh bên \[AA' = \sqrt 2 \]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[A'B\] và \[B'C\] (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B\) thì khi đó \(A'B\parallel B'D\)
Suy ra \[d\left( {A'B;B'C} \right) = d\left( {A'B;\left( {B'D} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right)\]
Kẻ \(BK \bot CD\left( {K \in CD} \right)\) thì ta có \(BA = BC = BD\) nên \(\Delta ACD\) vuông tại \(C\) mà \(BK\parallel AC\)
Mặt khác: \(B\) là trung điểm của \(AD\) nên \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(BK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\)
Kẻ \(BH \bot B'K\) tại \(H\) thì ta suy ra được \(d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right) = BH\)
Ta có: \(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{K^2}}} + \frac{1}{{B{{B'}^2}}} = \frac{4}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{2.1}^2}}} = \frac{9}{{{{2.1}^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)
Vậy .
Theo giả thiết, ta có nồng độ ban đầu:\({u_0} = 1000\)
Mỗi ngày, hệ thống lọc làm giảm \(20\% \) (còn lại \(80\% \)hay \(0,8\)) và nguồn thải tự nhiên tăng thêm 10 mg/m3 nên suy ra \({u_n} = 0,8{u_{n + 1}} + 10\,\left( {\forall \,n \ge 1} \right)\)
Ta biến đổi hệ thức truy hồi trên như sau: \({u_n} - 50 = 0,8.\left( {{u_{n - 1}} - 50} \right)\)
Đặt\({v_n} = {u_n} - 50\), ta được một cấp số nhân:\({v_n} = 0,8.{v_{n - 1}}\)
Với số hạng đầu\({v_0} = {u_0} - 50 = 950\) nên công thức số hạng tổng quát của \({v_n}\) là\({v_n} = 950.{\left( {0,8} \right)^n}\)
Từ đó suy ra công thức tổng quát của nồng độ \({u_n}\) là: \({u_n} = 950.{\left( {0,8} \right)^n} + 50\)
Để hồ đạt mức an toàn, nồng độ chất độc phải dưới 100 mg/m3:
\({u_n} < 100 \Leftrightarrow 950.{\left( {0,8} \right)^n} + 50 < 100 \Leftrightarrow {\left( {0,8} \right)^n} < \frac{1}{{19}} \Rightarrow n > {\log _{0,8}}\left( {\frac{1}{{19}}} \right)\)
Vì \(n\) là số ngày (số nguyên dương), nên giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm của elip
Elip có trục lớn \(2a = 7,6 \Rightarrow a = 3,8\) và trục bé \(2b = 4 \Rightarrow b = 2\)
Phương trình của đường elip là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{3,8}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow y = 2\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{3,8}^2}}}} \)
Tổng công suất làm lạnh tối thiểu cần thiết là:
(W)
Gọi \(x\)là sản lượng hóa chất sản xuất(\[x > 0\], đơn vị: tấn)
Lợi nhuận thực tế \(P\left( x \right)\)được tính theo công thức:\(P\left( x \right) = [R\left( x \right) - C\left( x \right) - {T_{mt}}\left( x \right)].\left( {1 - 20\% } \right)\)
Ta xét hai trường hợp của sản lượng\(x\):
Trường hợp 1:\(0 < x \le 40\) (không đóng thuế môi trường)
Khi đó\({T_{mt}}\left( x \right) = 0\). Hàm lợi nhuận trước thuế thu nhập là:
\({f_1}\left( x \right) = \left( {200x - {x^2}} \right) - \left( {80x + 1000} \right) = - {x^2} + 120x - 1000\)
Đây là hàm số parabol bề lõm hướng xuống nên đạt giá trị cực đại tại \(x = - \frac{{120}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 60 > 40\left( l \right)\)
Trên khoảng\(\left( {0;40} \right]\), hàm số \({f_1}\left( x \right)\)đồng biến. Do đó, giá trị lớn nhất đạt được tại\(x = 40\):
\({f_1}\left( {40} \right) = - {\left( {40} \right)^2} + 120.40 - 1000 = 2200\)(triệu đồng)
Trường hợp 2: \(x > 40\)(phải đóng thuế môi trường)
Thuế môi trường là \(10\left( {x - 40} \right)\) triệu đồng thì hàm lợi nhuận trước thuế thu nhập là:
\({f_2}\left( x \right) = \left( {200x - {x^2}} \right) - \left( {80x + 1000} \right) - 10\left( {x - 40} \right) = - {x^2} + 110x - 600\)
Đây là hàm số parabol bề lõm hướng xuống nên đạt giá trị cực đại tại \(x = - \frac{{110}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 55 > 40\left( n \right)\)
\({f_2}\left( {55} \right) = - {\left( {55} \right)^2} + 110.55 - 600 = 2425\)(triệu đồng)
Vì\(2425 > 2200\), nên lợi nhuận thực tế sẽ đạt giá trị lớn nhất khi nhà máy sản xuất tấn hóa chất.
Trục\(Oz\): Trùng với trụ của cần cẩu, có phương thẳng đứng có vectơ chỉ phương là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
Điểm \(A\) (đầu tay cần) nằm trên mặt phẳng nằm ngang \(\left( P \right):z = 4\) và luôn cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\) nên \(A\) di chuyển trên đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;4} \right)\) và bán kính \(R = 3\)
Điểm \(M\)(móc cẩu) di chuyển trên đường thẳng \(d\) nằm trên mặt đất (mặt phẳng\(Oxy\))
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 4t}\\{y = - 3t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) nên \[M\left( {10 + 4t; - 3t;0} \right)\]
Vectơ sợi cáp:\(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A}; - 4} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa sợi cáp \(AM\)và phương thẳng đứng (trục\(Oz\)).
Công thức tính góc: \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\vec k} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 4} \right|}}{{AM.1}} = \frac{4}{{AM}}\)
Theo quy định an toàn thì \(\alpha \le 60^\circ \) và do hàm cosin nghịch biến trên \(\left[ {0^\circ ;90^\circ } \right]\) nên:
\(\cos \alpha \ge \cos 60^\circ \Leftrightarrow \frac{4}{{AM}} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow AM \le 8\)
Đơn vị trên trục là chục mét suy ra chiều dài tối đa là:\({M_{\max }} = 8.10 = 80\)(mét)
Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)\(d\)
Khi đó \(A'\) di chuyển trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) có bán kính \(R = 3\)
Xét tam giác \(AA'M\)vuông tại \(A'\)\(\left( {AA' \bot \left( {Oxy} \right)} \right)\) có: \[AM = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} = \sqrt {16 + A'{M^2}} \]
Để \(AM\)nhỏ nhất thì đoạn \(A'M\) (khoảng cách giữa một điểm trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) và một điểm trên đường thẳng ) phải nhỏ nhất.
Khử \(t\) từ hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 4t}\\{y = - 3t}\end{array}} \right.\), ta được phương trình tổng quát của \(d:3x + 4y - 30 = 0\).
Khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng\(d\) là:\[d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 4.0 - 30} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 6\]
Vì\(d\left( {O,d} \right) = 6 > R = 3\) nên đường thẳng \(d\) nằm ngoài đường tròn\(\left( {C'} \right)\)
Khoảng cách ngắn nhất giữa \(A'\) và \(M\)là: \(A'{M_{\min }} = d\left( {O,d} \right) - R = 6 - 3 = 3\)
Thay vào công thức tính\(AM\) thì \(A{M_{\min }} = \sqrt {16 + {3^2}} = \sqrt {25} = 5\)
Chiều dài dây cáp tối thiểu (tính theo đơn vị mét) là \({m_{min}} = 5.10 = 50\)(mét)
Giá trị của \({M_{\max }} + {m_{\min }}\)là: (mét)
Gọi 6 số được chọn là \({x_1};{x_2};{x_3};{x_4};{x_5};{x_6}\). Điều kiện bài toán là : \({x_1}.{x_2}.{x_3} = {x_4}.{x_5}.{x_6} = P\)
Ta thấy, tích của 6 số này là \(\left( {{x_1}.{x_2}.{x_3}} \right).\left( {{x_4}.{x_5}.{x_6}} \right) = {P^2}\) và đây là một số chính phương
Trong tập \(S\)các số \(5\) và \(7\) là các số nguyên tố chỉ xuất hiện một lần
Nếu chọn số \(5\) hoặc \(7\) vào bộ 6 số thì tích \({P^2}\)sẽ chứa thừa số \({5^1}\) hoặc \({7^1}\)(không thể là số chính phương)
Do đó bộ 6 số được chọn không thể chứa số \(5\) và \(7\)
Vậy 6 số này được chọn từ tập \(S' = \left\{ {1;2;3;4;6;8;9} \right\}\)
Ta cần tìm 2 nhóm 3 số từ tập \(S'\)có tích bằng nhau và chú ý đến số 9 (số lớn nhất, bằng \(3.3\))
Giả sử nhóm 1 chứa số 9 và tích của nhóm 1 sẽ chia hết cho 9
Để nhóm 2 cũng chia hết cho 9 thì nhóm 2 bắt buộc phải chứa các số có ước là 3.
Trong tập S^', chỉ có số 3 và 6 là chia hết cho 3 nên nhóm 2 chắc chắn phải chứa cả 3 và 6
Ta gọi các số còn lại của hai nhóm là \(a;b;c \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,1:\left\{ {9;a;b} \right\}}\\{2:\left\{ {3;6;c} \right\}}\end{array}} \right.\)
Vì tích hai nhóm bằng nhau nên: \(9.a.b = 3.6.c \Leftrightarrow a.b = 2.c\)
Các số còn lại chưa được dùng để chọn cho \(a;b;c\)là \(\left\{ {1;2;4;8} \right\}\)
Bây giờ ta thử lần lượt các giá trị của c từ tập này:
Nếu \(c = 2\) thì \(a.b = 2.2 = 4\) và trong các số còn lại chỉ có \(1.4 = 4\) nên \(a = 1,\,b = 4\)
Ta được bộ thứ nhất: \(\left\{ {1;4;9} \right\}\) và \(\left\{ {2;3;6} \right\}\) (Kiểm tra: \(1.4.9 = 36\) và \(2.3.6 = 36\) - Thỏa mãn)
Nếu \(c = 4\) thì \(a.b = 2.4 = 8\) và trong các số còn lại chỉ có \(1.8 = 8\) nên \(a = 1,\,b = 8\)
Ta được bộ thứ hai:\(\left\{ {1;8;9} \right\}\)và \(\left\{ {3;4;6} \right\}\) (Kiểm tra: \(1.8.9 = 72\) và \(3.4.6 = 72\) - Thỏa mãn)
Nếu \(c = 8\) thì \(a.b = 2.8 = 16\) và trong các số còn lại \(\left\{ {1;2;4} \right\}\) không có 2 số nào nhân nhau bằng 16 (loại) (Không xét \(c = 1\) vì \(a.b = 2.1 = 2\), bị trùng số \(1\))
Vậy ta chỉ có đúng 2 bộ số thỏa mãn yêu cầu
Với mỗi bộ số (ví dụ bộ \(\left\{ {1;4;9} \right\}\) và \(\left\{ {2;3;6} \right\}\)). Chọn nhóm nào nằm ở 3 ô đầu, nhóm nào ở 3 ô cuối: 2 cách
Hoán vị 3 số trong 3 ô đầu: \(3! = 6\)cách
Hoán vị 3 số trong 3 ô cuối\(3! = 6\)cách
Số cách xếp cho 1 bộ là: \(2.6.6 = 72\)cách
Vì có 2 bộ số nên tổng số cách xếp thỏa mãn là: \(n\left( A \right) = 72.2 = 144\) cách
Xác suất là
