Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 22
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Hàm số số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình bên dưới.
Đường tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng có phương trình
\(x = 1\).
\(x = 2\).
\(x = - 2\).
\(x = - 1\).
Đáp án đúng là D
\[\int {f\left( x \right)\,} {\kern 1pt} {\rm{d}}x = {e^x} + \cos x + C\].
\[\int {f\left( x \right)\,} {\kern 1pt} {\rm{d}}x = {e^x} - \cos x + C\].
\[\int {f\left( x \right)\,} {\kern 1pt} {\rm{d}}x = {e^x} - \sin x + C\].
\[\int {f\left( x \right)\,} {\kern 1pt} {\rm{d}}x = {e^x}{\rm{ + sin}}x + C\].
Đáp án đúng là A
Áp dụng công thức tính nguyên hàm ta có: \[\int {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \int {\left( {{e^x} - \sin x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + \cos x + C\].
\( - \frac{5}{2}\).
\(\frac{5}{2}\).
\( - 1\).
\(1\).
Ta có: \({5^{2{x^2} + 5x + 4}} = 25 \Leftrightarrow {5^{2{x^2} + 5x + 4}} = {5^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) nên
Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng \( - \frac{5}{2}\).
\[12\].
\[ - 12\].
\[ - 15\].
\[ - 3\].
Tiền lãi (Đơn vị: nghìn đồng) trong 30 ngày ở một quầy bán báo được cho bởi bảng tần số ghép nhóm sau:
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
\[\left[ {29,5;40,5} \right)\] | \[35\] | \[3\] |
\[\left[ {40,5;51,5} \right)\] | \[46\] | \[5\] |
\[\left[ {51,5;62,5} \right)\] | \[57\] | \[7\] |
\[\left[ {62,5;73,5} \right)\] | \[68\] | \[6\] |
\[\left[ {73,5;84,5} \right)\] | \[79\] | \[5\] |
\[\left[ {84,5;95,5} \right)\] | \[90\] | \[4\] |
|
| \[n = 30\] |
\[279,78\].
\[157,23\].
\[264,12\].
\[195,12\].
Ta có \(\overline x = \frac{{3.35 + 5.46 + 7.57 + 6.68 + 5.79 + 4.90}}{{30}} = 63,23\)
Suy ra phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[{s^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^m {{n_i}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \]
\[{s^2} = \frac{{3{{\left( {35 - 63,23} \right)}^2} + 5{{\left( {46 - 63,23} \right)}^2} + 7{{\left( {57 - 63,23} \right)}^2} + 6{{\left( {68 - 63,23} \right)}^2} + 5{{\left( {79 - 63,23} \right)}^2}}}{{30}}\]
\( + \frac{{4{{\left( {90 - 63,23} \right)}^2}}}{{30}}\) nên suy ra phương sai của mẫu số liệu là \[{s^2} \approx 279,78\].
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right..\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = - 2 + \frac{3}{2}t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right..\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 + 2t}\end{array}} \right..\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right..\]
Đường thẳng \(d\)song song với đường thẳng \(BC\)nên nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right..\]
\(\left[ {0;6} \right)\)
\(\left( {0;\,6} \right)\)
\(\left( {6; + \infty } \right)\)
\(\left( { - \infty ;6} \right)\)
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}2x > 0\\x + 6 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\)
Vì cơ số \[a = 10 > 1\] nên bất phương trình \(\log \left( {2x} \right) < \log \left( {x + 6} \right)\)\[ \Leftrightarrow 2x < x + 6\]\[ \Leftrightarrow x < 6\].
Kết hợp điều kiện, suy ra \[0 < x < 6\] nên tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left( {0;6} \right)\].
\[90\]
\[72\pi \]
\[78\pi \]
\[72\]
Diện tích hình vuông là \(S = {\left( {2\sqrt {9 - {x^2}} } \right)^2} = 4\left( {9 - {x^2}} \right) = 36 - 4{x^2}\)
Vậy thể tích vật thể là \(V = \int\limits_0^3 {S\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^3 {\left( {36 - 4{x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x = 72\).
\(x - 2y + z + 6 = 0\).
\(x + 2y - 3z + 6 = 0\).
\(x + 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + z - 6 = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( P \right)\)nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến và \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {1;2; - 3} \right)\).
\[45^\circ \].
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
\[75^\circ \].
Mặt khác \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\] và \[AD \bot CD\]
Khi đó: \[\left( {\widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {AD,SD}} \right) = \widehat {SDA}\] và \[\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = 1 \Rightarrow \widehat {SDA} = 45^\circ .\]
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} \).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm:
\(x = 0\).
\(x = \sqrt 2 \).
\(x = 1\).
\(x = - 3\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 4}}{{x - 1}}\)Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của ĐTHS là \(2\)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {2;\,1} \right)\)
Hàm số đã cho có hai điểm cực trị
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,0} \right]} f\left( x \right) = 0\)
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Tiệm cận đứng: \[x = 1\] và tiệm cận ngang: \(y = 2\)
Đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = - \frac{6}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)
Xét mệnh đề a)
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(2\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {1;2} \right)\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Dựa vào đạo hàm\(f'\left( x \right) = - \frac{6}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), ta thấy \(f'\left( x \right)\) luôn âm và không bao giờ bằng \(0\) trên tập xác định.
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 2;0} \right]\) nên giá trị lớn nhất sẽ đạt tại \(x = - 2\)
Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = \frac{{2.\left( { - 2} \right) + 4}}{{ - 2 - 1}} = 0\)nên mệnh đề d) đúng
\[{S_1} = 4,5\]
\({S_2} = \int\limits_0^4 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|{\rm{d}}x} \)
\(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{27}}{{37}}\)
Giả sử đường thẳng \(y = ax\)\(\left( {0 < a < 4} \right)\) chia phần hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành thành hai phần có diện tích bằng nhau thì khi đó \(a \in \left( {0;\,1} \right)\)
Xét mệnh đề a)
\({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} {\rm{d}}x = \frac{9}{2} = 4,5\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
\[{S_2} = \int\limits_0^3 {x{\rm{d}}x} + \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x\]nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Ta có: \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} {\rm{d}}x = \frac{9}{2} = 4,5\) và \[{S_2} = \int\limits_0^3 {x{\rm{d}}x} + \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{37}}{6}\]
Khi đó \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{\frac{{37}}{6}}} = \frac{{27}}{{37}}\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là: \({S_{tong}} = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{32}}{3}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thằng \(y = ax\) là:
\( - {x^2} + 4x = ax \Leftrightarrow {x^2} + \left( {a - 4} \right)x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {x - \left( {4 - a} \right)} \right] = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 4 - a}\end{array}} \right.\)
Suy ra: \[{S_1} = \int\limits_0^{4 - a} {\left[ {\left( { - {x^2} + 4x} \right) - ax} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{4 - a} {\left[ { - {x^2} + \left( {4 - a} \right)x} \right]{\rm{d}}x} \]
\[ = \left| {\left[ { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{\left( {4 - a} \right){x^2}}}{2}} \right]} \right|_0^{4 - a} = - \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{3} + \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{2} = \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{6}\]
Để đường thẳng chia hình phẳng ban đầu thành hai phần có diện tích bằng nhau thì phần nằm trên \({S_1}\)phải bằng một nửa tổng diện tích \(\left( S \right)\):
\({S_1} = \frac{1}{2}S \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {4 - a} \right)}^3}}}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{32}}{3} \Rightarrow a \approx 0,8251... \in \left( {0;1} \right)\) nên mệnh đề d) đúng
Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.
Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả.
Tỉ lệ dương tính thật bằng \(95{\rm{\% }}\)
Tỉ lệ xét nghiệm RT-PCR có kết quả dương tính là \(9,1{\rm{\% }}\)
Tỉ lệ người nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR dương tính lớn hơn \(50\% \)
Tỉ lệ người không nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR âm tính nhỏ hơn \(90,9{\rm{\% }}\).
Gọi \(A\) là biến cố người xét nghiệm mắc bệnh.
Ta đó \(P\left( A \right) = 0,05;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,05 = 0,95\).
Gọi \(B\) là biến cố người xét nghiệm RT-PCR cho kết quả dương tính
Tỉ lệ dương tính giả là \(P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,05\) và tỉ lệ âm tính giả là \(P\left( {\overline B \mid A} \right) = 0,13\)
Xét mệnh đề a)
Tỉ lệ dương tính thật là: \(P\left( {B\mid A} \right) = 1 - P\left( {\overline B \mid A} \right) = 1 - 0,13 = 0,87 = 87\% \) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Tỉ lệ xét nghiệm RT-PCR có kết quả dương tính là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,05.0,87 + 0,95.0,05 = 0,091 = 9,1{\rm{\% }}\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Tỉ lệ người nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR dương tính là:
\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,05.0,87}}{{0,091}} \approx 47,8{\rm{\% }}\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Tỉ lệ người không nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR âm tính là: \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline {AB} } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B \mid \overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,95.0,95}}{{1 - 0,091}} \approx 99,28{\rm{\% }}\)
\(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,091;\,\,P\left( {\overline B \mid \overline A } \right) = 1 - P\left( {B\mid \overline A } \right) = 1 - 0,05 = 0,95\) nên mệnh đề d) sai
\(T\left( {3;\,2;\,4} \right)\)
\(d\left( {A;\,BDP} \right) = \frac{{12}}{7}\)(dm)
Thể tích toàn bộ của chiếc hộp kho báu (bao gồm cả phần thân và nắp hộp) là \(96 + 12\pi \) (dm3)
Một chú kiến bò trên mặt ngoài của nắp hộp (nửa mặt trụ) đi từ điểm \(M\) đến điểm \(P\). Quãng đường bò ngắn nhất của chú kiến là \(13,9\)dm (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Chiều dài \(AB = 6\)(nằm trên trục\(Ox\)) và chiều rộng \(AD = 4\)(nằm trên trục\(Oy\))
Chiều cao \(AM = 2\)(nằm trên trục\(Oz\))
Tọa độ các đỉnh khác \(C\left( {6;4;0} \right)\), \(N\left( {6;0;2} \right)\), \(P\left( {6;4;2} \right)\),\(Q\left( {0;4;2} \right)\)
Đường kính đáy là \(MQ = 4\) hoặc \(NP = 4\) suy ra bán kính\(R = 2\)
Chiều dài nắp hộp (trục song song \(Ox\)) là \(L = MN = 6\)
Tâm của hai nửa đường tròn đáy lần lượt là trung điểm của \(MQ\)và \[NP\]: \(K\left( {0;2;2} \right)\)và \(H\left( {6;2;2} \right)\)
Xét mệnh đề a)
Điểm \(T\) là điểm cao nhất của nắp hộp, nên nó nằm trên đường thẳng cao nhất của nửa hình trụ. Đường này đi qua điểm cao nhất của hai đáy.
Tại đáy\(MQ\), điểm cao nhất có tọa độ \(y = {y_K} = 2\) và\(z = {z_K} + R = 2 + 2 = 4\).
Điểm \(T\)nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng\(AB\). Vì\(A\left( {0;0;0} \right)\)và \(B\left( {6;0;0} \right)\)nên mặt phẳng trung trực là\(x = \frac{{0 + 6}}{2} = 3\).
Vậy tọa độ \(T\left( {3;2;4} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Ta có \(B\left( {6;0;0} \right)\),\(D\left( {0;4;0} \right)\),\(P\left( {6;4;2} \right)\) nên vectơ \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 6;4;0} \right)\)và\(\overrightarrow {BP} = \left( {0;4;2} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BDP} \right)\)là: \(\overrightarrow {{n_{\left( {BDP} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BP} } \right] = \left( {8;12; - 24} \right) = 4\left( {2;3; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( {BDP} \right)\): \(2x + 3y - 6z - 12 = 0\)
Khoảng cách từ \(A\left( {0;0;0} \right)\)đến \(\left( {BDP} \right)\):\(d = \frac{{|2.0 + 3.0 - 6.0 - 12|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{12}}{7}\)nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Thể tích phần thân (hình hộp):\({V_1} = 6.4.2 = 48\)dm3.
Thể tích phần nắp (nửa hình trụ):\({V_2} = \frac{1}{2}.\pi {R^2}.L = \frac{1}{2}.\pi {.2^2}.6 = 12\pi \) dm3
Tổng thể tích:\(V = {V_1} + {V_2} = 48 + 12\pi \)dm3 nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Để tìm quãng đường ngắn nhất trên mặt cong của nửa hình trụ, ta trải mặt cong này ra mặt phẳng.
Mặt cong là một hình chữ nhật có một cạnh là chiều dài nắp\(L = 6\),
Cạnh kia là độ dài cung tròn: \(MQ = \pi R = 2\pi \)
Trong mặt phẳng trải rộng này quãng đường ngắn nhất là đường chéo của hình chữ nhật:
\(S = \sqrt {{6^2} + {{\left( {2\pi } \right)}^2}} \approx 8,69\)dm nên mệnh đề d) sai
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = 1\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(SD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CM\) và \(SB\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow MH\parallel SA \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow \) \(OM\parallel SB \Rightarrow SB\parallel \left( {AMC} \right) \Rightarrow d\left( {SB,CM} \right) = d\left( {SB,\left( {MAC} \right)} \right)\)
\( = d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {MAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {MAC} \right)} \right) = 2d\) và \(MH = \frac{{SA}}{2} = \frac{1}{2};\,AH = HO = 1\).
Khi đó ta có: .
Gọi \(A\) là biến cố người nhận máu thuộc nhóm máu A
Gọi \(B\) là biến cố người nhận máu thuộc nhóm máu B
Gọi \(A - B\) là biến cố người nhận máu thuộc nhóm máu AB.
Gọi \(X\) là biến cố truyền máu thành công.
Ta có: \(P\left( X \right) = P\left( O \right).P\left( {X\mid O} \right) + P\left( A \right).P\left( {X\mid A} \right) + P\left( B \right).P\left( {X\mid B} \right) + P\left( {A - B} \right).P\left( {X\mid A - B} \right)\)
Người nhóm máu O chỉ nhận máu của người cho thuộc nhóm máu O nên \(P\left( {X\mid O} \right) = 0,45\).
Người nhóm máu A chi nhận máu của người cho thuộc nhóm máu A hoặc O nên ta có:
\(P\left( {X|A} \right) = 0,2 + 0,45\)
Người nháu máu B chi nhận máu của người cho thuộc nhóm máu B hoặc O nên ta có:
\(P\left( {X\mid B} \right) = 0,3 + 0,45\)
Người nhóm máu AB có thể nhận máu củs người cho thuộc nhóm máu \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{O}},{\rm{AB}}\) nên ta có:
\(P\left( {X\mid A - B} \right) = 1\)
Vậy \(P\left( X \right) = 0,45.0,45 + 0,2.\left( {0,2 + 0,45} \right) + 0,3.\left( {0,3 + 0,45} \right) + 0,05.1 = 0,6075 = 60,75\)
Xác suất người nhận máu thuộc nhóm máu \(B\) khi truyền máu thành công là:
Tốc độ thay đổi chi phí: \(C'\left( x \right) = {x^2} - 8x + 50\)
Vì đây là hàm số của parabol bề lõm hướng lên, nên giá trị nhỏ nhất đạt tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 8}}{{2.1}} = 4\)
Để tốc độ thay đổi chi phí sản xuất mỗi ngày đạt giá trị nhỏ nhất, xưởng mộc cần sản xuất: \(4\)bộ bàn ghế mỗi ngày.
Tại \(t = 3,\,{v_2}\left( 3 \right) = 6 \Leftrightarrow 3k = 6 \Rightarrow k = 2\)
Vậy phương trình vận tốc và gia tốc của \(N\) là: \({v_2}\left( t \right) = 2t \Rightarrow {a_2}\left( t \right) = {v_2}^\prime \left( t \right) = 2\)(m/s2)
Đối với chất điểm \(M\): Đồ thị \({v_1}\left( t \right)\) là một hàm số bậc hai trên bậc nhất có dạng tổng quát là\({v_1}\left( t \right) = \frac{{a{t^2} + bt + c}}{{mt + n}}\)
Vì đồ thị đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) nên \({v_1}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\) nên hàm số \({v_1}\left( t \right) = \frac{{a{t^2} + bt}}{{mt + n}}\)
Tại \(t = 3\) thì \({v_1}\left( 3 \right) = 6 \Rightarrow \frac{{9a + 3b}}{{3m + n}} = 6 \Leftrightarrow 3a + b = 6m + 2n \Rightarrow b = \,6m + 2n - 3a\,\,\,\left( 1 \right)\)
Hàm số đạt cực đại tại \(t = 3\) nên đạo hàm \({v_1}^\prime \left( 3 \right) = 0\):
\({v_1}^\prime \left( t \right) = \frac{{am{t^2} + 2ant + bn}}{{{{\left( {mt + n} \right)}^2}}} \Rightarrow {v_1}^\prime \left( 3 \right) = \frac{{9am + 6an + bn}}{{{{\left( {3m + n} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 9am + 6an + bn = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\)ta được:
\(9am + 6an + \left( {6m + 2n - 3a} \right)n = 0 = 9am + 3an + 6mn + 2{n^2} = \left( {3a + 2n} \right)\left( {3m + n} \right) = 0\)
Vì \(t = 3\) là điểm cực đại nên mẫu số không thể bằng \(0\) tại đó, tức là \(3m + n \ne 0\).
Do đó \(3a + 2n = 0 \Rightarrow a = - \frac{2}{3}n\) suy ra \(b = 6m + 2n - 3\left( { - \frac{2}{3}n} \right) = 6m + 4n\)
Thay \(a\) và \(b\) vào phương trình đạo hàm (gia tốc của\(M\)):\[{a_1}\left( t \right) = \frac{{ - \frac{2}{3}mn{t^2} - \frac{4}{3}{n^2}t + 6mn + 4{n^2}}}{{{{\left( {mt + n} \right)}^2}}}\]
Tại \(t = 1\) giây thì gia tốc hai chất điểm bằng nhau: \({a_1}\left( 1 \right) = {a_2}\left( 1 \right) = 2\) .
Thay \(t = 1\) vào phương trình : \[{a_1}\left( 1 \right) = \frac{{ - \frac{2}{3}mn{{\left( 1 \right)}^2} - \frac{4}{3}{n^2}\left( 1 \right) + 6mn + 4{n^2}}}{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}}\, = 2\,\left( * \right)\]
Từ \[\left( * \right) \Rightarrow \frac{{\frac{{16}}{3}mn + \frac{8}{3}{n^2}}}{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{8}{3}mn + \frac{4}{3}{n^2} = {m^2} + 2mn + {n^2} \Leftrightarrow {n^2} + 2mn - 3{m^2} = 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {n - m} \right)\left( {n + 3m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - m = 0\\n + 3m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 3m\,\,\left( l \right)\\n = m\,\,\left( n \right)\end{array} \right.\)
Với \(n = m \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{2}{3}m}\\{b = 6m + 4m = 10m}\end{array}} \right.\) nên \({v_1}\left( t \right) = \frac{{ - \frac{2}{3}m{t^2} + 10mt}}{{mt + n}} = \frac{{m\left( { - \frac{2}{3}{t^2} + 10t} \right)}}{{m\left( {t + 1} \right)}} = \frac{{ - \frac{2}{3}{t^2} + 10t}}{{t + 1}}\)
Khi hai vật gặp nhau thì \(\int\limits_0^T {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_0^T {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} = 14\)
(giây)
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc \(O \equiv A\left( {0;0;0} \right)\)
Vì tam giác \(ABC\)vuông cân tại \(A\)và\(AB = 60 \Rightarrow AC = 60\)
Ta có tọa độ các chân cọc:\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {60;0;0} \right)\), \(C\left( {0;60;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh cọc tương ứng với độ cao đề bài cho:\(A'\left( {0;0;50} \right)\); \(B'\left( {60;0;50} \right)\); \(C'\left( {0;60;120} \right)\)
Để quả cầu có kích thước nhỏ nhất và chạm vào cả 3 đỉnh cọc (không bị lọt) thì mặt cầu phải chứa đường tròn đi qua 3 điểm\(A',B',C'\)
Bán kính \(R\)nhỏ nhất của mặt cầu chính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác\(A'B'C'\)
\(A'{B'^2} = {\left( {60 - 0} \right)^2} + {\left( {0 - 0} \right)^2} + {\left( {50 - 50} \right)^2} = 3600\)
\(A'C' = {\left( {0 - 0} \right)^2} + {\left( {60 - 0} \right)^2} + {\left( {120 - 50} \right)^2} = 8500\)
\[B'{C'^2} = {\left( {0 - 60} \right)^2} + {\left( {60 - 0} \right)^2} + {\left( {120 - 50} \right)^2} = 12100\]
Ta dễ dàng nhận thấy:\(A'{B'^2} + A'{C'^2} = 3600 + 8500 = 12100 = B'{C'^2}\)
Theo định lý Pytago đảo thì \(\Delta A'B'C'\)là tam giác vuông tại \(A'\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền:
cm
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, trong đó các chữ số không đồng thời giống nhau (không chứa các số dạng \(\overline {aaaa} \)). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(S\) và thực hiện quy trình sau:
- Sắp xếp các chữ số của số vừa chọn theo thứ tự giảm dần để tạo thành số lớn nhất
- Sắp xếp các chữ số của số vừa chọn theo thứ tự tăng dần để được số nhỏ nhất (chấp nhận chữ số \(0\) đứng đầu)
- Lấy số lớn nhất trừ đi số nhỏ nhất để thu được một hiệu số
Biết xác suất để hiệu số thu được là một số đối xứng có \(4\) chữ số (số đối xứng có dạng \(\overline {abba} \) với \(a \ne 0\)) là \(T\). Tính \(\frac{1}{T}\)Số các số tự nhiên có \(4\) chữ số là từ \(1000\) đến \(9999\) có \(9000\) số.
Các số có \(4\) chữ số giống hệt nhau là \(\left\{ {1111;2222;3333;...9999} \right\}\)có \(9\) số.
Vậy số phần tử của tập \(S\) là:\(n\left( \Omega \right) = 9000 - 9 = 8991\)
Giả sử số được chọn có \(4\) chữ số là\(a;b;c;d\). Gọi các chữ số này sau khi sắp xếp thứ tự từ lớn đến bé là \(x;y;z;t\) (với \(9 \ge x \ge y \ge z \ge t \ge 0\)).
Số lớn nhất tạo được: \(\overline {xyzt} = 1000x + 100y + 10z + t\)
Số nhỏ nhất tạo được: \(\overline {txyx} = 1000t + 100z + 10y + x\)
Hiệu số \(d\)được tính bằng:
\(d = \left( {1000x + 100y + 10z + t} \right) - \left( {1000t + 100z + 10y + x} \right) = 999\left( {x - t} \right) + 90\left( {y - z} \right)\)
Đặt \(A = x - t\) và \(B = y - z\).
Vì các chữ số không giống hệt nhau nên \(x > t\) suy ra\(A \in \left\{ {1;2; \ldots ;9} \right\}\)
Đồng thời, từ điều kiện sắp xếp, ta có \(0 \le B \le A\).
Công thức hiệu số trở thành: \(d = 999A + 90B\)
Khai triển \(d\) theo hàng đơn vị, chục, trăm, nghìn: \(d = 1000A + 100\left( {B - 1} \right) + 10\left( {9 - B} \right) + \left( {10 - A} \right)\)
Để \(d\) là số đối xứng có \[4\]chữ số, chữ số hàng nghìn phải bằng hàng đơn vị và hàng trăm phải bằng hàng chục:
Hàng nghìn \( = \) Đơn vị: \(A = 10 - A \Rightarrow 2A = 10 \Rightarrow A = 5\)
Hàng trăm \( = \) Chục: \(B - 1 = 9 - B \Rightarrow 2B = 10 \Rightarrow B = 5\)
Từ đó, ta cần tìm các bộ số \(\left\{ {x;y;z;t} \right\}\) thỏa điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - t = A = 5}\\{y - z = B = 5}\end{array}} \right.\)
Vì\(x \ge y \ge z \ge t\), ta có chuỗi hiệu:\(\left( {x - t} \right) = \left( {x - y} \right) + \left( {y - z} \right) + \left( {z - t} \right)\)
Thay\[A = 5\], \[B = 5\]vào:\(5 = \left( {x - y} \right) + 5 + \left( {z - t} \right) \Leftrightarrow x = y;\,z = t\)
Bộ số được chọn phải có dạng \(\left\{ {x;x;t;t} \right\}\)thỏa điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - t = 5}\\{y - z = 5}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {5;5;0;0} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}}\) nhưng ta phải trừ các trường hợp số \(0\) đứng đầu
\(\left\{ {0505;0550;0550} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} - 3 = 3\)cách
\(\left\{ {6;6;1;1} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\)cách
\(\left\{ {7;7;2;2} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\)cách
\(\left\{ {8;8;3;3} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\) cách
\(\left\{ {9;9;4;4} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\) cách
Tổng số kết quả thuận lợi: \(n\left( A \right) = 3 + 6 + 6 + 6 + 6 = 27\)cách
Xác suất
