Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 23
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tập nghiệm của bất phương trình \[\ln \frac{1}{{2x - 1}} \ge 0\] là
\[\left( {\frac{1}{2}\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {\frac{1}{2}\,;\,1} \right)\].
\[\left( {\frac{1}{2}\,;\,1} \right]\].
\[\left( { - \infty \,;\,1} \right)\].
Đáp án đúng là C
Điều kiện xác định: \[\frac{1}{{2x - 1}} > 0 \Leftrightarrow 2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\].
Ta có: \[\ln \frac{1}{{2x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2x - 1}} \ge 1 \Leftrightarrow 2x - 1 \le 1 \Leftrightarrow x \le 1\].
Kết hợp với điều kiện ta có: \[\frac{1}{2} < x \le 1\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[\left( {\frac{1}{2}\,;\,1} \right]\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2026}}{{f\left( x \right)}}\) là:
\[0.\]
\[2.\]
\[3.\]
\[1.\]
Đáp án đúng là B
Từ bảng biến thiên ta thấy \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) phân biệt.
Do vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} y = \pm \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} y = \pm \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_3}} y = \pm \infty \) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{{2026}}{{f\left( x \right)}}\) có 3 đường tiệm cận đứng.
\(\overrightarrow n = \left( {3;\,5;\,2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {6;\,15;\,10} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,3;\,5} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {15;\,10;\,6} \right)\).
Đáp án đúng là D
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,\,B,\,C\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1 \Leftrightarrow 15x + 10y + 6z - 30 = 0\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow n = \left( {15;\,10;\,6} \right)\).
\[\int {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x = {e^x} + \frac{1}{{2{x^4}}} + C\]
\[\int {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x = {e^x} - \frac{1}{{2{x^4}}} + C\]
\[\int {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x = {e^x} - \frac{2}{{{x^4}}} + C\]
\[\int {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x = {e^x} + \frac{2}{{{x^4}}} + C\]
Đáp án đúng là A
Ta có:\[\int {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x = \int {{e^x}\left( {1 - \frac{{2{e^{ - x}}}}{{{x^5}}}} \right){\rm{d}}x = \int {\left( {{e^x} - \frac{2}{{{x^5}}}} \right)} } {\rm{ d}}x = {e^x} + \frac{1}{{2{x^4}}} + C\].
\(\frac{{15\pi }}{2}\).
\(\frac{{15}}{2}\).
\(8\pi \).
\(8\).
Đáp án đúng là C
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số \(y = \sqrt {x - 1} \) và trục hoành là \(\sqrt {x - 1} = 0 \Rightarrow x = 1\).
Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \[D\] quanh trục \[Ox\] là
\[V = \pi \int\limits_1^5 {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_1^5 {\left( {x - 1} \right)} {\rm{ d}}x = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^5 = 8\pi \].
\(3\).
\(1\).
\(2\).
\(0\).
Đáp án đúng là B
Ta có: \({2^{\sqrt x }} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow \sqrt x = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 5x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 1\).
\(x = \pm \frac{1}{3}.\)
\(x = \pm \sqrt 3 .\)
\(x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
\(x = \pm 3\sqrt 3 \)
Đáp án đúng là C
Ba số \(2x - 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = {x^2}\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2}\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} = 1\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
\(\overrightarrow {A'C} \).
\[\overrightarrow {CA'} \].
\[\overrightarrow {AC'} \].
\[\overrightarrow {C'A} \].
Đáp án đúng là A
![Đáp án đúng là A Do \[A'B'BA\] là hình bình hành nên \[\overrighta (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture69-1779209090.png)
Do \[A'B'BA\] là hình bình hành nên \[\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {A'B} \].
Mặt khác\[A'BCD'\]cũng là hình bình hành nên \[\overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} \].
Vậy \[\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} \].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng
\(1\).
\(3\).
\(0\).
\(2\).
Đáp án đúng là B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\)giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng \(3\).
Cân nặng (kg) | \(\left[ {4;6} \right)\) | \(\left[ {6;8} \right)\) | \(\left[ {8;10} \right)\) | \(\left[ {10;12} \right)\) | \(\left[ {12;14} \right)\) |
Số cây giống | 6 | 12 | 19 | 9 | 4 |
\(4,7\).
\(4,6\).
\(4,9\).
\(4,8\).
Đáp án đúng là D
Ta có giá trị đại diện được thể hiện trong bảng sau:
| \(\left[ {4\,;\,6} \right)\) | \[\left[ {6\,;\,8} \right)\] | \(\left[ {8\,;\,10} \right)\) | \(\left[ {10\,;\,12} \right)\) | \(\left[ {12\,;\,14} \right)\) | ||
Giá trị đại diện | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | ||
Số quả mít | 6 | 12 | 19 | 9 | 4 |
Cỡ mẫu: \(n = 50\).
Số trung bình \(\bar x = \frac{{{m_1}.{x_1} + {m_2}.{x_2} + ... + {m_k}.{x_k}}}{n}\)\( = \frac{{6.5 + 12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}}{{50}} = 8,72\).
Phương sai: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}.{x_1}^2 + {m_2}.{x_2}^2 + ... + {m_k}.{x_k}^2} \right) - {\left( {\bar x} \right)^2}\)
\( = \frac{1}{{50}}\left( {{{6.5}^2} + {{12.7}^2} + {{19.9}^2} + {{9.11}^2} + {{4.13}^2}} \right) - {\left( {8,72} \right)^2} = 4,8016\).
\(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
Đáp án đúng là D
Do đường thẳng \(d \bot \left( P \right)\) nên \({\vec u_d} = {\vec n_P} = \left( {1;1; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1\,;\,2\,;\, - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = \left( {1;1; - 1} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
Đáp án đúng là D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;\,4} \right]\) và có đồ thị là các đoạn thẳng như hình vẽ dưới:
\(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 2\) bằng \(\frac{1}{2}\)(đvdt)
Hàm số \(g\left( x \right) = - f\left( x \right) + 2026\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,0} \right)\)
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\,4} \right]\) thỏa mãn \(F\left( { - 1} \right) = 0\) thì giá trị lớn nhất của hàm số \(F\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\,4} \right]\) bằng \(\frac{{11}}{3}\).
Trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\), đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {0;2} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = 2x + 2\).
Trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), đường thẳng nằm ngang đi qua \(B\left( {0;2} \right)\)và \(C\left( {1;2} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = 2\).
Trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\), đường thẳng đi qua \(C\left( {1;2} \right)\) và \(D\left( {2; - 1} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = - 3x + 5\).
Trên đoạn \[\left[ {2;4} \right]\], đường thẳng nằm ngang đi qua \(D\left( {2; - 1} \right)\)và \(E\left( {4; - 1} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = - 1\).
Xét mệnh đề a)
\[\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2x + 2} \right){\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {2{\rm{d}}x = } } 3\]nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Diện tích \(S\)được tính bằng công thức: \(S = \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {\left| {\left( { - 3x + 5} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{5}{6}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Xét đạo hàm của hàm số\(g\left( x \right)\):\(g'\left( x \right) = - f'\left( x \right)\).
Trong khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) thì xác định \(f\left( x \right) = 2x + 2\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 2 \Rightarrow g'\left( x \right) = - 2 < 0\,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\)
Vì đạo hàm âm nên hàm số \(g\left( x \right)\)nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Ta có: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) và để \[F\left( x \right)\] đạt cực trị thì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = 0\).
Dựa vào đồ thị: Trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\): \(f\left( x \right) = - 3x + 5\) cắt trục hoành tại \(x = \frac{5}{3}\)
\(f\left( x \right) > 0\) trên \(\left( { - 1;\frac{5}{3}} \right) \Rightarrow F\left( x \right)\) đồng biến.
\(f\left( x \right) < 0\) trên \(\left( {\frac{5}{3};4} \right) \Rightarrow F\left( x \right)\) nghịch biến.
Khi đó giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) đạt được tại \(x = \frac{5}{3}\).
Vậy \({\rm{max }}F\left( x \right) = F\left( {\frac{5}{3}} \right) = \int\limits_{ - 1}^{\frac{5}{3}} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} + F\left( { - 1} \right) = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x + } \int\limits_1^{\frac{5}{3}} {\left( { - 3x + 5} \right){\rm{d}}x = } 3 + \frac{2}{3} = \frac{{11}}{3}\) nên mệnh đề d) đúng
Khi vận tốc \(v = 10\)(km/h) thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên một kilomet đường sông là \(48\,000\)đồng.
Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên một kilomet đường sông với vận tốc \(x\)(km/h) là\(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^3}\)
Khi vận tốc \(v = 30\)(km/h) thì tổng chi phí nguyên liệu trên một km đường sông là 43000 đồng.
Vận tốc nhỏ nhất của tàu là \(v = 20\)(km/h) thì tổng chi phí nguyên liệu trên một km đường sông là nhỏ nhất
Xét mệnh đề a)
Thời gian tàu chạy quãng đường một kilomet là: \(\frac{1}{{10}}\) (giờ)
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{{10}} \cdot 480000 = 48000\)(đồng) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Gọi \(x\)(km/h) là vận tốc của tàu với \(x > 0\)
Thời gian tàu chạy quãng đường một kilomet là: \(\frac{1}{x}\) (giờ)
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{x} \cdot 480 = \frac{{480}}{x}\) (nghìn đồng)
Hàm chi phí cho phần thứ hai là \(p = k{x^3}\) (nghìn đồng/h)
Mà khi \(x = 10 \Rightarrow p = 30 \Rightarrow k = 0,03\) nên \(p = 0,03{x^3}\) (nghìn đồng/h)
Do đó chi phí phần 2 để chạy một kilomet là: \(\frac{1}{x} \cdot 0,03{x^3} = 0,03{x^2}\)(nghìn đồng)
Vậy tổng chi phí được biểu diễn bởi hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Hàm số biểu diễn tổng chi phí \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\).
Thay \(x = v = 30\)(km/h) vào ta có \(f\left( {30} \right) = \frac{{480}}{{30}} + {0,03.30^2} = 43\)( ngàn đồng) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2} = \frac{{240}}{x} + \frac{{240}}{x} + 0,03{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{1728}} = 36.\)
Dấu ’’=’’ xảy ra khi \(x = 20\) nên mệnh đề d) đúng
Xác suất để máy bay đối phương bị bắn hạ nếu nó xuất hiện ở vị trí \(X\) là \[0,64\]
Xác suất để máy bay đối phương bị bắn hạ nếu nó xuất hiện ở vị trí \(Y\) là \[0,8\]
Xác suất bắn hạ máy bay đối phương là \[0,888\]
Biết rằng máy bay đối phương đã bị bắn hạ. Xác suất để máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí \(X\) là \(0,59\)(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Ta có \(P\left( A \right) = 0,55;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,45\).
Gọi \(B\) là biến cố bắn hạ máy bay đối phương.
Xét mệnh đề a)
Khi \(A\) xảy ra cần bắn hai quả tên lửa trong đó trúng ít nhất một quả tên lửa.
Do đó:\(P\left( {B\mid A} \right) = 0,8.0,8 + 0,8.0,2 + 0,2.0,8 = 0,96\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Khi \(\overline A \) xảy ra cần bắn một quả tên lửa trong đó phải bắn trúng quả tên lửa đó.
Do đó: \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,8\). nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Xác suất bắn hạ máy bay đối phương là \(P\left( B \right) = 0,55.0,96 + 0,45.0,8 = 0,888\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Biết rằng máy bay đối phương đã bị bắn hạ. Xác suất đế máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí \(X\) là: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,55.0,96}}{{0,888}} = \frac{{22}}{{37}} \approx 0,59\) nên mệnh đề d) đúng
Tổng thời gian bay thực tế của máy bay trong cả hành trình này là \(1\) giờ bay
Khi bắt đầu gặp gió lớn, máy bay đang ở độ cao \(70\)km so với mặt đất.
Gọi \(E\left( {a;b;c} \right)\) là vị trí cuối cùng của máy bay trong hành trình này. Khi đó \(a + b + c = 230\)
Cosin của góc tạo bởi hướng bay dự kiến và hướng bay thực tế khi gặp gió bằng \(\frac{{11}}{{15}}\).
Tọa độ: \(A\left( {10;10;10} \right)\) và \[B\left( {34;42;40} \right)\] nên vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {24;32;30} \right)\).
Độ dài trên trục \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{24}^2} + {{32}^2} + {{30}^2}} = 50\)đơn vị
Khoảng cách thực tế: \({s_1} = 50.0,1 = 5\)km
Thời gian bay đoạn \(AB\): \({t_1} = \frac{5}{{150}} = \frac{1}{{30}}\)(giờ) = 2 phút.
Giai đoạn 2: Từ \(B\) đến \(D\)(trên đường thẳng \(BC\))
Tọa độ\(C\left( {114;42;100} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( {80;0;60} \right)\).
Khoảng cách thực tế: \(BC = \sqrt {{{80}^2} + {{60}^2}} .0,1 = 10\)(km).
Máy bay bay theo hướng này trong 20 phút thì quãng đường \({s_2} = BD = 150.\frac{1}{3} = 50\)(km).
Vì máy bay bay 50 km theo hướng \(\overrightarrow {BC} \)(trong khi đoạn \(BC\)chỉ dài 10 km), nên máy bay đã bay vượt quá điểm \[C\].
Tọa độ điểm \(D\):\(D = B + 5\left( {C - B} \right) = \left( {34 + 5.80;42 + 5.0;40 + 5.60} \right) = \left( {434;42;340} \right)\).
Giai đoạn 3: Từ \(D\)đến \(E\) (khi gặp gió)
Thời gian: 15 phút = \(\frac{1}{4}\)giờ. Vận tốc: 120 km/h thì quãng đường \(DE = 120.\frac{1}{4} = 30\)(km).
Đổi ra đơn vị trục tọa độ: \(\frac{{30}}{{0,1}} = 300\)đơn vị
Gọi vectơ \(\overrightarrow {DE} = \left( {x;y;z} \right)\). Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {300^2}\,\,\left( 1 \right)\)
Độ dốc: “Cứ đi \(2\sqrt 2 \) km ngang thì lên 1km cao” \( \Rightarrow \frac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 8{z^2}\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 2 \right)\)vào\(\left( 1 \right)\): \(8{z^2} + {z^2} = 9000 \Rightarrow 9{z^2} = 90000 \Rightarrow z = 100\)(do máy bay lên)
Suy ra\(\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 200\sqrt 2 \). Với góc lệch so với phương ngang:
Vậy \(\overrightarrow {DE} = \left( {200;200;100} \right)\)
Tọa độ điểm\(E:\,E = D + \overrightarrow {DE} = \left( {434 + 200;42 + 200;340 + 100} \right) = \left( {634;242;440} \right)\):
Xét mệnh đề a)
Tổng thời gian \(t = {t_{AB}} + {t_{BD}} + {t_{DE}} = 2 + 20 + 15 = 37\) phút nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Khi gặp gió lớn (tại điểm\(D\)), độ cao thực tế là\({z_D}.0,1 = 340.0,1 = 34\)km nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
\(E\left( {634;242;440} \right) \Rightarrow a + b + c = 634 + 242 + 440 = 1316\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Hướng dự kiến \({\vec v_1} = \overrightarrow {BC} = \left( {80;0;60} \right) = 20\left( {4;0;3} \right)\); thực tế: \({\vec v_2} = \overrightarrow {DE} = \left( {20;20;10} \right) = 10\left( {2;2;1} \right)\)
Tính cosin góc \(\varphi \) giữa hai vectơ: \(\cos \varphi = \frac{{\left| {4.2 + 0.2 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{15}}\) nên mệnh đề d) đúng
Cho hình tứ diện \(OABC\) có đáy \(OBC\) là tam giác vuông tại \(O\); \(OB = 1\) và \(OC = \sqrt 3 \). Cạnh \(OA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\); \(OA = \sqrt 3 \) và gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(OM\)(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Dựng \(D\) sao cho \(BD\parallel OM\) và \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\).
Khi đó ta có \(OM\parallel \left( {ABD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,OM} \right) = d\left( {OM,\left( {ABD} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {ABD} \right)} \right)\).
Kẻ \(OH \bot BD\). Lại có \(BD \bot OA\) (do \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\\BD \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right.\)) suy ra \(BD \bot \left( {AOH} \right)\).
Suy ra \(\left( {AOH} \right) \bot \left( {ABD} \right)\) theo giao tuyến \(AH\).
Trong \(\left( {AHO} \right)\), kẻ \(OK \bot AH\) suy ra \(OK \bot \left( {ABD} \right) \Leftrightarrow OK = d\left( {O,\left( {ABD} \right)} \right)\).
Trong \(\Delta AHO\): \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{{{3.1}^2}}} + \frac{1}{{{{3.1}^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}}\)
Suy ra \(OK = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\) hay .
Vì cứ tăng thêm 1 triệu đồng thì có 10 căn bỏ trống, nên khi tăng \(x\) triệu đồng:
Giá thuê mỗi căn: \(10 + x\) (triệu đồng/ngày).
Số căn biệt thự có khách thuê: \(200 - 10x\) (căn); Số căn biệt thự bỏ trống: \(10x\) (căn).
Điều kiện: \(200 - 10x \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 20\).
Lợi nhuận hàng ngày \[\left( {f\left( x \right)} \right)\]được tính bằng: Tổng doanh thu - Tổng chi phí vận hành - Tổng chi phí bảo trì.
Doanh thu: \[\left( {10 + x} \right)\left( {200 - 10x} \right)\]
Chi phí vận hành (căn có khách): \(2,5.(200 - 10x)\)
Chi phí bảo trì (căn trống): \(0,5.10x = 5x\)
Ta có hàm số lợi nhuận \(f\left( x \right) = \left( {10 + x} \right)\left( {200 - 10x} \right) - 2,5\left( {200 - 10x} \right) - 5x = - 10{x^2} + 120x + 1500\)
Đây là một hàm bậc hai có đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{120}}{{2.\left( { - 10} \right)}} = 6\)
Với \(x = 6\), khu nghỉ dưỡng tăng giá thuê thêm 6 triệu đồng mỗi căn. Vậy mức giá thuê mỗi căn biệt thự để đạt lợi nhuận cao nhất là: triệu đồng
Lãi suất theo tháng \({r_1} = \frac{{9\% }}{{12}} = 0,75\% = 0,0075\) với thời hạn \(n = 10.12 = 120\) (tháng).
Công thức tính số tiền trả góp hàng tháng cố định: \(m = \frac{{A.{r_1}.{{\left( {1 + {r_1}} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + {r_1}} \right)}^n} - 1}}\)
Thay số vào ta có: \(m = \frac{{2000.0,0075.{{\left( {1,0075} \right)}^{120}}}}{{{{\left( {1,0075} \right)}^{120}} - 1}} \approx 25,33515\)(triệu đồng)
Số tiền nợ còn lại \({S_{36}}\) sau \(k = 36\)tháng được tính theo công thức: \({S_{36}} = A{\left( {1 + {r_1}} \right)^k} - m.\frac{{{{\left( {1 + {r_1}} \right)}^k} - 1}}{{{r_1}}}\)
Thay các giá trị vào: \({S_{36}} = 2000{\left( {1,0075} \right)^{36}} - 25,33515.\frac{{{{1,0075}^{36}} - 1}}{{0,0075}} \approx 1574,68031\)(triệu đồng)
Lãi suất mới \({r_2} = \frac{{10,5\% }}{{12}} = 0,875\% = 0,00875\).
Ông B vẫn giữ nguyên mức trả \(m \approx 25,33515\) triệu đồng/tháng.
Giả sử sau thêm \(N\) tháng nữa thì ông B trả hết nợ. Ta tìm \(N\) từ phương trình:
\({S_{36}}{\left( {1 + {r_2}} \right)^N} - m \cdot \frac{{{{\left( {1 + {r_2}} \right)}^N} - 1}}{{{r_2}}} = 0\)
Suy ra \(1574,68031.{\left( {1,00875} \right)^N} - 25,33515 \cdot \frac{{{{1,00875}^N} - 1}}{{0,00875}} = 0 \Rightarrow N \approx 90,098\)tháng
Như vậy, ông B sẽ trả mức \(m\) trong 90 tháng tiếp theo. Đến tháng thứ 91 (kể từ khi đổi lãi suất), ông sẽ trả nốt số tiền còn lại để tất toán.
Dư nợ sau 90 tháng kể từ khi đổi lãi suất là: \({B_{90}} = {S_{36}}{\left( {1 + {r_2}} \right)^{90}} - m.\frac{{{{\left( {1 + {r_2}} \right)}^{90}} - 1}}{{{r_2}}}\)
\({B_{90}} \approx 1574,68031.{\left( {1,00875} \right)^{90}} - 25,33515 \cdot \frac{{{{1,00875}^{90}} - 1}}{{0,00875}} \approx 2,468\)(triệu đồng)
Số tiền phải trả ở tháng cuối cùng (tháng thứ 91) bao gồm cả gốc và lãi của số dư này:
(triệu đồng)
Lấy nguyên hàm hai vế theo biến \(t\): \(\,\int {\frac{1}{y}} \,dy = \int { - k.{e^{ - 0,5t}}} dt \Leftrightarrow \ln \left| y \right| = - k.\frac{{{e^{ - 0,5t}}}}{{ - 0,5}} + C = 2k.{e^{ - 0,5t}} + C\)
Suy ra: \(y\left( t \right) = {e^{2k.{e^{ - 0,5t}} + C}} = {e^C} \cdot {e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}}\). Khi đó, \(C' = {e^C}\), ta được: \(y\left( t \right) = C'.{e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}}\)
Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\]:
Nồng độ thuốc \(y\left( 0 \right) = 100\)mg/L\( \Rightarrow 100 = C'.{e^{2k.{e^0}}} = C'.{e^{2k}} \Rightarrow C' = \frac{{100}}{{{e^{2k}}}}\)
Thay \(C'\)ngược lại vào hàm số: \(y\left( t \right) = \frac{{100}}{{{e^{2k}}}}.{e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}} = 100.{e^{2k\left( {{e^{ - 0,5t}} - 1} \right)}}\)
Tại thời điểm \(t = 2\)giờ: Nồng độ thuốc \(y\left( 2 \right) = 100.{e^{\frac{2}{e} - 2}}\).
Thay \(t = 2\)vào biểu thức vừa tìm được:
\(100.{e^{2k\left( {{e^{ - 0,5 \cdot 2}} - 1} \right)}} = 100.{e^{\frac{2}{e} - 2}} \Rightarrow 2k\left( {\frac{1}{e} - 1} \right) = \frac{2}{e} - 2 = 2\left( {\frac{1}{e} - 1} \right) \Rightarrow k = 1\)
Với \(k = 1\), hàm nồng độ thuốc là: \(y\left( t \right) = 100.{e^{2\left( {{e^{ - 0,5t}} - 1} \right)}}\)
Sau bốn giờ \[\left( {t = 4} \right)\], nồng độ thuốc trong máu là: mg/L
![Sau bốn giờ \[\left( {t = 4} \right)\], (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture75-1779210135.png)
Vùng năng lượng bảo vệ (khối cầu\(S\)): có tâm \(I\left( {5;2;3} \right)\) và bán kính\(R = \sqrt 4 = 2\).
Mảnh rác vũ trụ \(N\)thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(N\)theo tham số \(t\)là: \[N\left( {9;t;9 - t} \right)\]
Khoảng cách \(MN\)và điều kiện để tia laser không xuyên qua khối cầu.
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( {8;t - 2;6 - t} \right) \Rightarrow M{N^2} = {8^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} = 2{t^2} - 16t + 104\) và \(\overrightarrow {MI} = \left( {4;0;0} \right)\)
Để đảm bảo an toàn, khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(MN\)phải lớn hơn hoặc bằng bán kính \(R\):
\(d\left( {I,MN} \right) \ge R \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{{0^2} + {{\left( {4t - 24} \right)}^2} + {{\left( {4t - 8} \right)}^2}}}{{2{t^2} - 16t + 104}} \ge {2^2} \Leftrightarrow 3{t^2} - 24t + 28 \ge 0\)
Xét hàm số\(f\left( t \right) = M{N^2} = 2{t^2} - 16t + 104\). Đây là một parabol có đỉnh tại\(t = 4\).
Tuy nhiên, tại \(t = 4\)thì \({3.4^2} - 24.4 + 28 = - 20 < 0\)(không thỏa mãn điều kiện an toàn).
Do đó, giá trị \(MN\)nhỏ nhất sẽ đạt được tại biên của vùng an toàn, tức là khi:
\(3{t^2} - 24t + 28 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{12 - 2\sqrt {15} }}{3}\left( n \right)}\\{t = \frac{{12 + 2\sqrt {15} }}{3}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Thay vào biểu thức\(M{N^2}\):
Gọi 2 đường chéo là \(\left( {{x_1};{x_3};{x_5}} \right)\)và \[\left( {{x_2};{x_4};{x_6}} \right)\]. Để tổng các hàng ngang bằng nhau và các đường chéo là cấp số cộng (CSC), ta có: đường chéo 1 là CSC công sai \(d\) hoặc đường chéo 2 là CSC công sai \( - d\).
Vật ta cần chọn 2 tập con rời nhau, mỗi tập là một CSC gồm 3 phần tử có cùng công sai \(k = \left| d \right|\).
Với \(k = 1\) thì các bộ là\[\left( {1;2;3} \right),\left( {2;3;4} \right),...,\left( {7;8;9} \right)\] nên số cặp rời nhau: \(4 + 3 + 2 + 1 = 10\) cặp.
Với \(k = 2\) thì các bộ là\[\left( {1;3;5} \right),\left( {2;4;6} \right),\left( {3;5;7} \right),\left( {4;6;8} \right),\left( {5;7;9} \right)\]
Số cặp rời nhau: \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\) cặp
Với \(k = 3\) thì các bộ là\(\left( {1;4;7} \right),\left( {2;5;8} \right),\left( {3;6;9} \right)\) nên số cặp rời nhau: \(2 + 1 = 3\) cặp
Với \(k \ge 4\) thì không có cặp rời nhau.
Vậy tổng số cặp tập hợp thỏa mãn: \(10 + 6 + 3 = 19\) cặp
Với mỗi cặp tập hợp, có \(2\) cách chọn tập nào cho đường chéo nào và \(2\)cách chọn chiều tăng/giảm của công sai (do\({d_2} = - {d_1}\)).
Số phần tử thuận lợi:\(n\left( A \right) = 19.2.2 = 76\)
Vậy xác suất cần tính là:
