Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 16
22 câu hỏi
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 1;3} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là C
\(\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{{4x}} + C\).
\(\frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
\(\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{{2x}} + C\).
\(2{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
Đáp án đúng là B
\[S = \int\limits_0^2 {{3^x}{\rm{d}}x} \cdot \]
\[S = \pi \int\limits_0^2 {{3^{2x}}{\rm{d}}x} \cdot \]
\[S = \pi \int\limits_0^2 {{3^x}{\rm{d}}x} \cdot \]
\[S = \int\limits_0^2 {{3^{2x}}{\rm{d}}x} \cdot \]
Đáp án đúng là A
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {3^x},{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\] được tính bằng công thức:
Chỉ số (AQI) | \([130;145)\) | \([145;160)\) | \([160;175)\) | \([175;190)\) | \([190;205)\) |
Số ngày | 8 | 7 | 6 | 7 | 2 |
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
\(175\).
\(176,5\).
\(180,2\)
\(178,2\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 3t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 3t\\z = 5 + 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 - t\\z = - 2 + 5t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + t\\z = - 2 + 5t\end{array} \right.\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
\(3\).
\(1\).
\(0\).
\(2\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty \) nên suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = - 1\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\) nên suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(y = 2\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1\) nên suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(y = 1\).
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
\(\left( {0;\frac{4}{9}} \right)\).
\(\left( { - \infty ;\sqrt[3]{4}} \right)\).
\(\left( {\sqrt[3]{4}; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;\frac{4}{9}} \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}x > 2\) là \(\left( {0;\frac{4}{9}} \right)\).
\[\overrightarrow n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\,\]
\[\overrightarrow n = \left( {1; - 3;1} \right)\,\]
\[\overrightarrow n = \left( {1;3;1} \right)\,\]
\[\overrightarrow n = \left( { - 1; - 3;1} \right)\,\]
Theo định nghĩa \[\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\] có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\]
Do đó \[\left( P \right):x - 3y + z - 5 = 0\] có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {1; - 3;1} \right)\]
\(BD \bot \left( {SAC} \right).\).
\(OI \bot \left( {ABCD} \right).\).
\(BC \bot SB.\).
\(SD \bot DC.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD\); \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}OI\parallel SA\\SA \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OI \bot \left( {ABCD} \right)\)
Do tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên không đảm bảo \(AC \bot BD\)
Do đó không đảm bảo \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
\[2\].
\[1\].
\[3\].
\[0\].
Ta có: \[{2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1\]\[ \Leftrightarrow \]\[2{x^2} - 7x + 5 = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ {1;\frac{5}{2}} \right\}\].
\[{u_1} = 2;\,d = 2\].
\[{u_1} = 5;\,d = 3\].
\[{u_1} = 3;\,d = 5\].
\[{u_1} = 5;\,d = 2\].
Ta có \[{u_1} = 3.1 + 2 = 5\] và \[d = {u_n} - {u_{n - 1}} = 3n + 2 - \left[ {3\left( {n - 1} \right) + 2} \right] = 3\]. Vậy \[{u_1} = 5;\,d = 3\].
![Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Gọi \[O\] là tâm của hình hộp, khẳng định nào dưới đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture28-1779183615.png)
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OA'} = \overrightarrow 0 \]
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC'} = \overrightarrow 0 \]
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \]
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \]
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)\)Điều kiện xác định của hàm số là \(x > 2\)
Đạo hàm của hàm số là \(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)\ln 5}}\)
Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {1;\,2} \right]\)
Hàm số đã cho có hai điểm cực trị
Điều kiện xác định: \[{x^3} - 3{x^2} + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 2\\x > 2\end{array} \right.\]nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Ta có:\(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)\ln 5}}\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Phương trình \(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)\ln 5}}0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Điều kiện xác định \(x \ne 2\) và \(x = 0\) không thuộc đoạn \(\left[ {1;\,2} \right]\) suy ra phương trình vô nghiệm nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 1 điểm cực trị nên mệnh đề d) sai
\[s\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 341}&{0 \le x < 11,5}\\{295}&{11,5 \le x < 22}\\{\frac{3}{4}x + 278,5}&{22 \le x < 32}\\{\frac{3}{2}x + 254,5}&{32 \le x < 50}\\{ - \frac{3}{2}x + 404,5}&{50 \le x \le 80}\end{array}} \right.\] |
|
a) b)
Tại độ cao \(20\)km thì tốc độ truyền âm thanh trong khí quyển là \(295\)m/s
Hàm số \(s\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,80} \right]\)
Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 11,5\)
Tốc độ âm thanh trung bình trong khoảng độ cao từ mặt đất đến \(80\)km là \(308\)m/s
Tại độ cao \(x = 20\)km, giá trị này thuộc khoảng \(11,5 \le x < 22\).
Theo công thức hàm số \(s\left( x \right)\), ta có \(s\left( {20} \right) = 295\)m/s nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Ta kiểm tra tính liên tục tại các điểm chuyển tiếp bằng cách so sánh giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm số:
Tại\(x = 11,5:\mathop {\lim }\limits_{x \to {{11,5}^ - }} s\left( x \right) = - 4\left( {11,5} \right) + 341 = 295;s\left( {11,5} \right) = 295\)(liên tục)
Tại \(x = 22:\mathop {\lim }\limits_{x \to {{22}^ - }} s\left( x \right) = 295;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{22}^ + }} s\left( x \right) = \frac{3}{4}.22 + 278,5 = 295\)(liên tục)
Tại \(x = 32:\mathop {\lim }\limits_{x \to {{32}^ - }} s\left( x \right) = \frac{3}{4}.32 + 278,5 = 302,5;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{32}^ + }} s\left( x \right) = \frac{3}{2}.32 + 254,5 = 302,5\)(liên tục)
Tại \(x = 50:\mathop {\lim }\limits_{x \to {{50}^ - }} s\left( x \right) = \frac{3}{2}.50 + 254,5 = 329,5;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{50}^ + }} s\left( x \right) = - \frac{3}{2}.50 + 404,5 = 329,5\)(liên tục)
Hàm số liên tục trên từng khoảng và tại các điểm nối nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 11,5\) thì đạo hàm trái bằng đạo hàm phải
Đạo hàm bên trái: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{11,5}^ - }} \frac{{s\left( x \right) - s\left( {11,5} \right)}}{{x - 11,5}} = {\left( { - 4x + 341} \right)^\prime } = - 4\)
Đạo hàm bên phải: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{11,5}^ + }} \frac{{s\left( x \right) - s\left( {11,5} \right)}}{{x - 11,5}} = {\left( {295} \right)^\prime } = 0\)
Vì \( - 4 \ne 0\) nên đạo hàm trái khác đạo hàm phải nên hàm số không có đạo hàm tại \(x = 11,5\)
Xét mệnh đề d)
Tốc độ âm thanh trung bình:\[\overline s = \frac{1}{{80 - 0}}\int\limits_0^{80} {s\left( x \right){\rm{d}}x} \]
Ta tính tích phân trên từng khoảng: \({S_1} = \int\limits_0^{11,5} {\left( { - 4x + 341} \right)} {\rm{d}}x = 3657\); \({S_2} = \int\limits_{11,5}^{22} {295{\rm{d}}x} = 3097,5\)
\({S_3} = \int\limits_{22}^{32} {\left( {\frac{3}{4}x + 278,5} \right){\rm{d}}x} = 2987,5\); \({S_4} = \int\limits_{32}^{50} {\left( {\frac{3}{2}x + 254,5} \right)} {\rm{d}}x = 5688\)
\({S_5} = \int\limits_{50}^{80} {\left( { - \frac{3}{2}x + 404,5} \right){\rm{d}}x} = 9210\) nên \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} + {S_5} = 24640\)
Vậy tốc độ âm thanh trung bình là: \(\overline s = \frac{{24640}}{{80}} = 308\)(m/s) nên mệnh đề d) đúng
Xác suất để vận động viên được chọn ra thuộc đội II là \(0,44\)
Xác suất để chọn được một vận động viên thuộc đội I và người này đạt huy chương vàng là \(0,27\)
Xác suất để vận động viên được chọn ra không đạt huy chương vàng là \(0,43\)
Giả sử vận động viên được chọn ra không đạt huy chương vàng. Xác suất để người đó thuộc đội I là \(0,58\)
Gọi \(B\) là biến cố chọn được vận động viên đội II
Gọi \(G\) là biến cố vận động viên đạt huy chương vàng
Xét mệnh đề a)
Xác suất chọn được vận động viên thuộc đội II là \(P\left( B \right) = \frac{{10}}{{18}} \approx 0,56\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Xác suất để chọn được vận động viên thuộc đội Ivà người này đạt huy chương vàng là:
\(P\left( {A \cap G} \right) = P\left( A \right).P\left( {G|A} \right) = \frac{8}{{18}}.0,6 \approx 0,27\) nên mệnh đề b) đúng.
Xét mệnh đề c)
Xác suất vận động viên được chọn không đạt huy chương vàng :
\(P\left( {\bar G} \right) = P\left( A \right).P\left( {\bar G|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {\bar G|B} \right) = \frac{8}{{18}}.\left( {1 - 0,6} \right) + \frac{{10}}{{18}}.\left( {1 - 0,55} \right) \approx 0,43\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Xác suất vận động viên đó thuộc đội I biết rằng họ không đạt huy chương vàng:
\(P\left( {A|\bar G} \right) = \frac{{P\left( {A \cap \bar G} \right)}}{{P\left( {\bar G} \right)}} = \frac{{\frac{8}{{18}} \cdot 0,4}}{{\frac{{7,7}}{{18}}}} \approx 0,42\) nên mệnh đề d) sai
Phương trình mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng của Radar là : \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 300\)
Radar phát hiện được quả tên lửa ngay tại vị trí nó vừa được phóng lên
Giả sử hệ thống “vòm sắt” gặp trục trặc không thể bắn hạ tên lửa, khi đó vị trí cuối cùng của quả tên lửa xuất hiện trên màn hình radar có tọa độ là \(B\left( { - 40;280;100} \right)\)
Trong suốt quá trình bay, khoảng cách gần nhất từ hệ thống “vòm sắt” đến quả tên lửa bằng\(223,6\)(Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Xét mệnh đề a)
Radar có bán kính quét là \(R = 300\)km và tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\).
Phương trình mặt cầu biểu diễn vùng phủ sóng là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {300^2}\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Khoảng cách từ vị trí phóng \(A\left( {520; - 140;100} \right)\) đến radar \(O\) là:
\(OA = \sqrt {{{520}^2} + {{\left( { - 140} \right)}^2} + {{100}^2}} \approx 547,7\)km
Vì \(OA > R\) nên radar không thể phát hiện tên lửa ngay tại vị trí phóng nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Phương trình đường bay tên lửa: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 520 - 40t}\\{y = - 140 + 30t}\\{z = 100}\end{array}} \right.\)
Điểm \(B\) là giao điểm của đường bay và mặt cầu radar:\({\left( {520 - 40t} \right)^2} + {\left( { - 140 + 30t} \right)^2} + {100^2} = {300^2}\)
Giải phương trình ta được \(t = 6\) hoặc \(t = 14\)
Tại \(t = 6 \Rightarrow B\left( {280;40;100} \right)\) và tại \(t = 14 \Rightarrow B\left( { - 40;280;100} \right)\)
Vị trí cuối cùng của têm lửa là \(B\left( { - 40;280;100} \right)\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Khoảng cách gần nhất từ \(O\) đến đường thẳng quỹ đạo là: \[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}}\]
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {520; - 140;100} \right)\), \(\vec u = \left( { - 40;30;0} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\vec u} \right] = \left( { - 3000; - 4000;10000} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\vec u} \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - 3000} \right)}^2} + {{\left( { - 4000} \right)}^2} + {{10000}^2}} = 5000\sqrt 5 \)
Khi đó: \(\overrightarrow u = \sqrt {{{\left( { - 40} \right)}^2} + {{30}^2}} = 50\)suy ra \(d = \frac{{5000\sqrt 5 }}{{50}} = 100\sqrt 5 \approx 223,6\) nên mệnh đề d) đúng
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(AB = 3\), \(AD = 1\). Biết \(SA = 2\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(DC\) sao cho \(DC = 3DM\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SD\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Khi đó \(BN = DM\) và \(BN\,{\rm{//}}\,DM\) nên tứ giác \(BNDM\) là hình bình hành
Từ đó suy ra \(BM\,{\rm{//}}\,DN \Rightarrow BM\,{\rm{//}}\,\left( {SDN} \right)\).
Vậy \({\rm{d}}\left( {BM,SD} \right){\rm{ = d}}\left( {BM,\left( {SDN} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right)\).
Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(DN\) và \(SH\).
Ta có \(DN \bot AH\) và \(DN \bot SA\) nên \(DN \bot \left( {SAH} \right)\) từ đó suy ra \(DN \bot AK\).
Lại có \(AK \bot SH\) và \(AK \bot DN\) nên \(AK \bot \left( {SDN} \right)\) nên \[{\rm{d}}\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right) = AK\].
Do \(AN = \frac{2}{3}AB = 2\) và tam giác \(ADN\) vuông tại \(A\) nên ta có:
\(AH = \frac{{AN.AD}}{{\sqrt {A{N^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2.1}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) nên \(AK = \frac{{AH.AS}}{{\sqrt {A{H^2} + A{S^2}} }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} \cdot 2}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2} + {{\left( 2 \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{6}\).
Đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {SDN} \right)\) tại \(N\) và \(\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{1}{2}\) nên khi đó ta có:
\({\rm{d}}\left( {BM,SD} \right) = {\rm{d}}\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right) = \frac{1}{2}{\rm{d}}\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right) = \frac{1}{2}AK = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SD\) bằng .
\({T_n} = \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).
Áp dụng công thức trên với \(n = 5;\,\,{T_5} = 1000000000\,;\,\,r = 7\% = 0,07\) ta có:
\(1000000000 = \frac{m}{{0,07}}\left[ {{{\left( {1 + 0,07} \right)}^5} - 1} \right]\left( {1 + 0,07} \right)\)\( \Leftrightarrow 70000000 = m\left( {{{1,07}^5} - 1} \right)1,07\)
Gọi \(x\left( t \right)\)à khoảng cách theo phương ngang từ mắt người quan sát đến mặt tường tòa nhà tại thời điểm \(t\) thì khoảng cách còn lại là: \(x\left( t \right) = 48 - \left( {{t^2} + 2t} \right)\)
Suy ra, tốc độ thay đôi khoảng cách: \(x'\left( t \right) = - 2t - 2\)
Tại thời điểm \(t = 4\) thì hoảng cách: \(x\left( 4 \right) = 48 - \left( {{4^2} + 2.4} \right) = 24\)(m)
Tốc độ: \(x'\left( 4 \right) = - 2 \cdot 4 - 2 = - 10\)(m/s)
Gọi \(H\)là hình chiếu vuông góc của mắt người lên tường thì \[EH = x\]
Độ cao từ mắt đến mép dưới biển (đoạn \(HA\)): \(9 - 1 = 8\)(m)
Độ cao từ mắt đến mép trên biển (đoạn \(HB\)):\(19 - 1 = 18\)(m)
Gọi \(\alpha = \widehat {HEA}\)và \(\beta = \widehat {HEB}\). Ta có \(\tan \alpha = \frac{8}{x}\)và \(\tan \beta = \frac{{18}}{x}\)
Góc nhìn biển quảng cáo là \(\theta \left( t \right) = \beta - \alpha \)
Suy ra: \(\tan \theta = \tan \left( {\beta - \alpha } \right) = \frac{{\tan \beta - \tan \alpha }}{{1 + \tan \beta \cdot \tan \alpha }} = \frac{{\frac{{18}}{x} - \frac{8}{x}}}{{1 + \frac{{18}}{x} \cdot \frac{8}{x}}} = \frac{{10x}}{{{x^2} + 144}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xem \[\theta \] và \(x\) đều là các hàm số phụ thuộc vào \(t\). Đạo hàm hai vế ta được :
\({\left( {\tan \theta } \right)^\prime } = {\left( {\frac{{10x}}{{{x^2} + 144}}} \right)^\prime } \Leftrightarrow \theta '\left( t \right).\left( {1 + {{\tan }^2}\theta } \right) = \frac{{{{\left( {10x} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 144} \right) - 10x.{{\left( {{x^2} + 144} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 144} \right)}^2}}}\)
\(\theta '\left( t \right).\left( {1 + {{\tan }^2}\theta } \right) = \frac{{10.x'\left( t \right).\left( {{x^2} + 144} \right) - 10x.2x.x'\left( t \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 144} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \theta '\left( t \right).\left( {1 + {{\tan }^2}\theta } \right) = \frac{{1440 - 10{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 144} \right)}^2}}}.x'\left( t \right)\left( * \right)\)
Tại \(t = 4\), ta đã biết \(x = 24\)và \(x' = 10\). Thay vào \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \tan \theta = \frac{{10 \cdot 24}}{{{{24}^2} + 144}} = \frac{1}{3}\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 2 \right)\)vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow k.\left[ {1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right] = \frac{{1440 - {{10.24}^2}}}{{{{\left( {{{24}^2} + 144} \right)}^2}}}.\left( { - 10} \right) \Rightarrow k = 0,075\)
Vậy giá trị
\(y = f\left( x \right) = \frac{2}{3}{a^2}{x^3} - 4a{x^2} + 6x - \frac{1}{a}\)\(\left( {a > 0} \right)\)
Trong đó một đơn vị trên trục ứng với \(10\)cm ngoài thực tế. Tiêu chí quan trọng của sự thoải mái là chiều dài đùi của người sử dụng phải vừa vặn với khoảng cách theo phương ngang giữa điểm lồi cao nhất và điểm lõm thấp nhất của mặt ghế. Ngoài ra, để mang lại cảm giác ngồi chắc chắn và an toàn cho người dùng thì độ sâu lòng ghế (khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhật của mặt ghế) phải bằng \(40\)cm. Hỏi chiếc ghế được sản suất ra sẽ phù hợp nhất với người có chiều dài đùi là bao nhiêu centimet?
Đặt \(t = ax\), ta có phương trình mới: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = 3}\end{array}} \right.\). Vì \(a > 0\)nên ta có được hoành độ của hai điểm cực trị là:
Điểm cực đại là điểm lồi cao nhất: \({x_1} = \frac{1}{a}\)
Điểm cực tiểu là điểm lõm thấp nhất: \({x_2} = \frac{3}{a}\)
Tại \({x_1} = \frac{1}{a}\): \(f\left( {\frac{1}{a}} \right) = \frac{2}{3}{a^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right) - 4a\left( {\frac{1}{{{a^2}}}} \right) + 6\left( {\frac{1}{a}} \right) - \frac{1}{a} = \frac{2}{{3a}} - \frac{4}{a} + \frac{6}{a} - \frac{1}{a} = \frac{5}{{3a}}\)
Tại \({x_2} = \frac{3}{a}\): \(f\left( {\frac{3}{a}} \right) = \frac{2}{3}{a^2}\left( {\frac{{27}}{{{a^3}}}} \right) - 4a\left( {\frac{9}{{{a^2}}}} \right) + 6\left( {\frac{3}{a}} \right) - \frac{1}{a} = \frac{{18}}{a} - \frac{{36}}{a} + \frac{{18}}{a} - \frac{1}{a} = - \frac{1}{a}\)
Khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai điểm này là:
\(\Delta y = f\left( {\frac{1}{a}} \right) - f\left( {\frac{3}{a}} \right) = \frac{5}{{3a}} - \left( { - \frac{1}{a}} \right) = \frac{8}{{3a}}\)
Theo đề bài, độ sau lòng ghế là \(40\)cm.
Vì \(1\)đơn vị \( = 10\)cm, nên độ sâu tương ứng trên đồ thị là \(4\)đơn vị: \(\frac{8}{{3a}} = 4 \Rightarrow a = \frac{2}{3}\left( 1 \right)\)
Khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm cực trị là: \(\Delta x = {x_2} - {x_1} = \frac{3}{a} - \frac{1}{a} = \frac{2}{a}\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)ta được: \(\Delta x = \frac{2}{{\frac{2}{3}}} = 3\)(đơn vị) nên chiều dài thực tế là: \(3.10 = 30\)cm
Vậy chiếc ghế được sản xuất sẽ phù hợp nhất với người có chiều dài đùi là cm
Gọi\(F\left( {a;b;0} \right)\)là một điểm nằm trên đường viền của bóng trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]
Tia sáng xuất phát từ đỉnh \[S\left( {1;1;5} \right)\]đi qua một điểm\(E\)nằm trên mép tấm bìa và chạm đất tại\(F\). Do đó, ba điểm \(S,\,E,\,F\)thẳng hàng và vectơ chỉ phương của tia sáng là \[\overrightarrow {SF} = \left( {a - 1;b - 1; - 5} \right)\]
Phương trình tham số của đường thẳng \(SF:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \left( {a - 1} \right)t}\\{y = 1 + \left( {b - 1} \right)t}\\{z = 5 - 5t}\end{array}} \right.\)
Vì \(E\)nằm trên tia sáng \(SF\), tọa độ \(E\left( {1 + \left( {a - 1} \right)t;1 + \left( {b - 1} \right)t;5 - 5t} \right)\)
Mặt khác, điểm \(E\)thuộc tấm bìa, nên \(E \subset \left( \alpha \right):x + y + z - 13 = 0\)
Thay tọa độ \(E\)vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)ta được:
\(\left[ {1 + \left( {a - 1} \right)t} \right] + \left[ {1 + \left( {b - 1} \right)t} \right] + \left( {5 - 5t} \right) - 13 = 0 \Leftrightarrow \left( {a + b - 7} \right)t - 6 = 0 \Rightarrow t = \frac{6}{{a + b - 7}}\)
Với \(t = \frac{6}{{a + b - 7}}\)ta có tọa độ \(E\left( {\frac{{7a + b - 13}}{{a + b - 7}};\frac{{a + 7b - 13}}{{a + b - 7}};\frac{{5a + 5b - 65}}{{a + b - 7}}} \right)\)
Vì\(E\)nằm trên mép tấm bìa (là một đường tròn tâm \(I\left( {3;3;7} \right)\), bán kính \(R = 2\)), nên khoảng cách từ \(E\)đến tâm \(I\)luôn bằng \(2\).
Ta có \[I{E^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{7a + b - 13}}{{a + b - 7}} - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + 7b - 13}}{{a + b - 7}} - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{5a + 5b - 65}}{{a + b - 7}} - 7} \right)^2} = 4\]
\( \Leftrightarrow 5{a^2} - 8ab + 5{b^2} + 38a + 38b + 47 = 0\)
Quy về phương trình bậc hai ẩn \(b\), còn \(a\)là tham số:\[5{b^2} + \left( {38 - 8a} \right)b + \left( {5{a^2} + 38a + 47} \right) = 0\]
Khi ấy, để tồn tại điểm trên bóng (tức là phương trình có nghiệm \(b\)) , thì \(\Delta \ge 0\)
Khi \(\Delta \ge 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1} = \frac{{4a - 19 + 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5}}\\{{b_2} = \frac{{4a - 19 - 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5}}\end{array}} \right.\)
Diện tích bóng là phần hình phẳng kẹp giữa mép trên và mép dưới:
\[S = \int\limits_{ - 19 - 5\sqrt {15} }^{ - 19 + 5\sqrt {15} } {\left( {{b_1} - {b_2}} \right)} {\rm{d}}a = \int\limits_{ - 19 - 5\sqrt {15} }^{ - 19 + 5\sqrt {15} } {\left( {\frac{{4a - 19 + 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5} - \frac{{4a - 19 - 3\sqrt { - {a^2} - 38a + 14} }}{5}} \right)} {\rm{d}}a = 225\pi \]
Vậy bóng của \(\left( C \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là một hình phẳng có diện tích bằng
Gọi \(\overline A \)là biến cố “Chọn được lò luyện thép thế hệ mới”\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{2}{5} = 0,4\)
Gọi \(B\) là biến cố “Kết quả kiểm tra 3 mẻ thép liên tiếp có đúng 2 mẻ đạt chuẩn và 1 mẻ không đạt chuẩn”. Xác suất để trong 3 mẻ có đúng 2 mẻ đạt chuẩn:
Nếu chọn lò thế hệ cũ: \(P\left( {B|A} \right) = C_3^2.{\left( {0,5} \right)^2}.{\left( {0,5} \right)^1} = \frac{3}{8}\)
Nếu chọn lò thế hệ mới: \(P\left( {B|\bar A} \right) = C_3^2.{\left( {0,75} \right)^2}.{\left( {0,25} \right)^1} = \frac{{27}}{{64}}\)
Suy ra: \[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,6.\frac{3}{8} + 0,4.\frac{{27}}{{64}} = \frac{{63}}{{160}}\]
Vậy xác suất cần tính là:
