Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 8
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \[y = f\left( x \right)\] bằng
\[1\].
\[ - 3\].
\[4\].
\[2\].
Đáp án đúng là A
Do đó .
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 34.\]
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 16.\]
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 34.\]
Đáp án đúng là A
Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)\] và bán kính \[R = IM = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {34} \] nên có phương trình \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 34\].
\[6\].
\[ - 6\].
\[18\].
\[12\].
\(y = 2x - 5\).
\(y = 2x + 5\).
\(y = 2x - 3\).
\(y = 2x + 3\).
Do đó tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình: \(y = 2x - 5.\)
\[3\].
\[6\sqrt 2 \].
\[3\sqrt 2 \].
\[6\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}CB \bot BA\\CB \bot BB\prime \end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {ABB\prime A\prime } \right) \Rightarrow d\left( {C\,,\,\,\left( {ABB\prime A\prime } \right)} \right) = CB = AB = 6\].
\(2\vec a = \left( {2\,;\,0\,;\, - 4} \right)\).
\(2\vec a = \left( { - 2\,;\,0\,;\, - 4} \right)\).
\(2\vec a = \left( { - 2\,;\,0\,;\,4} \right)\).
\(2\vec a = \left( {2\,;\,0\,;\,4} \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1\,;\, + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty \,;\,2} \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1\,;\,2} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1\,;\,2} \right)\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right..\)
Bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\):
Ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1\,;\,2} \right)\).
\(2x + y - 3z + 1 = 0\).
\(2x + y - 3z - 1 = 0\).
\(x + z + 1 = 0\).
\(x + z - 1 = 0\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_d} = \left( {2\,;\,1\,;\, - 3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên \(\left( P \right)\) nhân \({\vec u_d}\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 0} \right) - 3\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\).
\(0,5\).
\(0,54\).
\(0,46\).
\(0,3\).
Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,7 = 0,3\)
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,7.{\rm{ }}0,6 + 0,3.{\rm{ }}0,4 = 0,54\].
\(S = \left( {3\,;\,\,7} \right]\).
\(S = \left[ {3\,;\,\,7} \right]\).
\(S = \left( { - \infty \,;\,\,7} \right]\).
\(S = \left[ {7\,;\,\, + \infty } \right)\).
Ta có: \(\frac{1}{2} \in \left( {0\,;\,\,1} \right)\) nên bất phương trình tương đương với \(0 < x - 3 \le 4 \Leftrightarrow 3 < x \le 7\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {3\,;7} \right]\).
Một công ty thống kê lương của nhân viên theo tuần (đơn vị: USD) theo bảng sau:
Lương theo tuần (USD) | \(\left[ {10\,;20} \right)\) | \(\left[ {20\,;30} \right)\) | \(\left[ {30\,;40} \right)\) | \(\left[ {40\,;50} \right)\) | \(\left[ {50\,;60} \right]\) |
Số công nhân | \(4\) | \(6\) | \(10\) | \(20\) | \(10\) |
11,7.
12.
11,4.
12,5.
Ta có cỡ mẫu \(n = 50\)
Giá trị trung bình của mẫu số liệu: \(\bar x = \frac{1}{{50}}\left( {4.15 + 6.25 + 10.35 + 20.45 + 10.55} \right) = 40,2\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
\({s^2} = \frac{1}{{50}}\left( {{{4.15}^2} + {{6.25}^2} + {{10.35}^2} + {{20.45}^2} + {{10.55}^2}} \right) - {40,2^2} = 136,96\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {136,96} \approx 11,7\).
\(\frac{7}{3} - {\rm{ln}}2\).
3.
\(\frac{7}{3}\).
5.
Ta có: \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = \left( {{2^2} - \frac{4}{2}} \right) - \left( {{1^2} - \frac{4}{1}} \right) = 5\).
Từ một tấm bạt hình tròn có bán kính \(6\) mét, người ta cắt bỏ \(4\) phần (như hình vẽ) để giữ lại một phần gồm: Một hình vuông cạnh bằng \(x\) (mét) và \(4\) tam giác cân tại các đỉnh nằm trên đường tròn. Sau đó, người ta gấp \(4\) tam giác này lên để chụm đầu lại tạo thành một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều
Điều kiện xác định của \(x\) là \(0 < x < 3\sqrt 2 \)
Diện tích vải xung quanh của lều được tính bằng \({S_{xq}} = 12x - {x^2}\)
Thể tích của không gian bên trong lều tính là \(V\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}\sqrt {36 - 6x} \)
Khi thể tích của lều đạt giá trị lớn nhất thì \(\tan \)của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
Đặt \(DK = TB = a\)và \(MN = NP = PQ = QM = x\) khi đó: \(a + x + a = 12 \Rightarrow 2a = 12 - x\)
Mặt khác: \(2a > x \Leftrightarrow 12 - x > x \Rightarrow 0 < x < 6\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Diện tích hình vuông cạnh \(x\,:\,{S_{HV}} = {x^2}\)
Diện tích tam giác có cạnh đáy là \(x\)và chiều cao là
Diện tích vải xung quanh của liều là:
nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Xét hình 2 ta có, chiều cao của lều: \(SO = \sqrt {S{K^2} - O{K^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \).
Thể tích lều là : \(V\left( x \right) = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {36 - 6x + \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \)
nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Thể tích: \(V\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \Rightarrow V'\left( x \right) = \frac{{x\left( {24 - 5x} \right)}}{{\sqrt {36 - 6x} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\left( {loai} \right)}\\{x = \frac{{24}}{5}\left( {nhan} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Khi đó: nên mệnh đề d) đúng
Biết rằng \(5\% \) cá heo trong một khu bảo tồn mắc một bệnh nhất định. Một xét nghiệm chẩn đoán có thể được áp dụng để xác định cá heo có mắc bệnh hay không. Nếu cá heo mắc bệnh thì xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất \(0,96\) còn nếu cá heo không mắc bệnh thì xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất 0,02. Xét nghiệm được áp dụng cho một cá heo được chọn ngẫu nhiên
Xác suất để thu được kết quả dương tính bằng \(0,07\)
Biết rằng kết quả dương tính thu được thì xác suất để cá heo này thực sự mắc bệnh bằng \(\frac{{45}}{{67}}\)
Cá heo khi xét nghiệm đã cho kết quả dương tính lần đầu, xác suất để khi xét nghiệm lần tiếp theo vẫn cho kết quả dương tính bằng \(0,69\)(làm tròn đến hàng phần trăm)
Biết rằng kết quả xét nghiệm cả hai lần là dương tính thì xác suất để cá heo này thực sự mắc bệnh bằng \(0,97\) (làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi A là biến cố: “Cá heo thực sự mắc một bệnh nhất định” và \({B_i}\) là biến cố: “Xét nghiệm cá heo cho kết quả dương tính lần thứ i”; với \(i \in {\mathbb{N}^*}\).
Xác suất để có kết quả dương tính là \(P\left( {{B_1}} \right) = P\left( A \right).P\left( {{B_1}\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {{B_1}\mid \bar A} \right)\);
\(P\left( {{B_1}} \right) = 0,05.0,96 + 0,95.0,02 = 0,067\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Ta có: \(P\left( {A|{B_1}} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,05.0,96}}{{0,067}} = \frac{{48}}{{67}}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(P\left( {{B_2}|{B_1}} \right) = \frac{{P\left( {{B_1}{B_2}} \right)}}{{P\left( {{B_1}} \right)}} = \frac{{{{0,05.0,96}^2} + {{0,95.0,02}^2}}}{{0,067}} \approx 0,69\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Ta có: \(P\left( {A|{B_2}} \right) = \frac{{P\left( {A{B_2}} \right)}}{{P\left( {{B_2}} \right)}} = \frac{{{{0,05.0,96}^2}}}{{{{0,05.0,96}^2} + {{0,95.0,02}^2}}} = \frac{{2\,304}}{{2\,323}} \approx 0,99\) nên mệnh đề d) sai
Cường độ mưa lớn nhất trong suốt trận mưa này đạt \(6\)mm/giờ
Tổng lượng mưa của cả trận mưa là \(12,5\)mm
Thể tích nước mưa thực tế thu được trong dụng cụ đo sau \(4\) giờ là \(160\pi \)(cm3)
Kết thúc trận mưa, mực nước trong dụng cụ đo dân lên đến chiều cao \(163\)mm (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Xét hàm số \(v\left( t \right) = - 1,5{t^2} + 6t\)có đồ thì là parabol bề lõm quay xuống, đạt cực đại tại \(t = 2\)
Suy ra \({v_{\max }}\left( 2 \right) = 6\)(mm/giờ) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Gọi \(h\)(mm) là tổng lượng mưa của cả trận: \[h = \int\limits_0^4 {\left( { - 1,5{t^2} + 6t} \right)} \,{\rm{d}}t = 16\](mm) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Dụng cụ đo có miệng hình tròn bán kính \(R = 100\)mm\( = 10\)(cm).
Lượng mưa \[h = 16\]mm\( = 1,6\)m là độ cao nước rơi xuống trên một đơn vị diện tích bề mặt ngang. Thể tích nước thu được trong phễu chính bằng diện tích miệng phễu nhân với chiều cao lượng mưa: \(V = \pi {.10^2}.1,6 = 160\pi \)(cm3) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi \({h_x}\) là chiều cao, \(r\) là bán kính tương ứng thì theo định lý Ta let: \(\frac{r}{R} = \frac{{{h_x}}}{h} \Rightarrow r = \frac{{R{h_x}}}{h}\)
Thể tích nước trong phiễu theo \({h_x}\): \(V = \frac{1}{3}.\pi .{r^2}.{h_x} = \frac{1}{3}.\pi .{\left( {\frac{{100{h_x}}}{{300}}} \right)^2}.{h_x} = 160\pi \Rightarrow {h_x} \approx 163\)(mm)
nên mệnh đề d) đúng
Độ dài của mỗi chân máy bằng \(\sqrt {37} \)
Vectơ chỉ phương của chân máy thứ hai là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {\sqrt 3 ;\, - 1;\,12} \right)\)
Để máy quay cân bằng (khi không có tác động bên ngoài) thì độ lớn lực nén dọc theo mỗi chân máy phải bằng \(100\)N
Giả sử có một luồng gió thổi theo phương ngang, cùng hướng với trục \(Oy\) tác dụng lên máy quay một lực \(\overrightarrow {{F_{gio}}} \) có độ lớn \(30\)N. Để giữ cho máy quay vẫn cân bằng tại \(E\) thì lực nén dọc theo chân máy \({A_1}\) phải tăng lên và đạt giá trị \(223\)N (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Độ dài chân máy chính là khoảng cách từ \(E\)đến các điểm \({A_1};{A_2};{A_3}\).
Do tính đối xứng nên \(E{A_1} = E{A_2} = E{A_3}\) và \(E{A_1} = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {6^2}} = \sqrt {37} \)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vectơ chỉ phương của chân máy thứ 2 là \(\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {E{A_2}} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6} \right) = 2\left( {\sqrt 3 ; - 1; - 12} \right)\)nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Khi máy cân bằng và không có ngoại lực, trọng lực \(300\left( N \right)\)được chia đều cho 3 chân máy theo phương thẳng đứng.
Thành phần lực theo phương thẳng đứng \(\left( z \right)\) của mỗi chân máy là: \({F_z} = \frac{{300}}{3} = 100\)(N)
Gọi \(F\)là độ lớn lực nén dọc theo chân máy.
Ta có mối liên hệ:\({F_z} = F.\cos \alpha \), trong đó \(\alpha \) là góc hợp bởi chân máy và trục \(Oz.\)
Từ tọa độ ta có: \(\cos \alpha = \frac{{\left| {{z_E} - {z_{{A_1}}}} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {E{A_1}} } \right|}} = \frac{6}{{\sqrt {37} }}\) suy ra \(F = \frac{{100}}{{\cos \alpha }} = \frac{{100\sqrt {37} }}{6}\left( N \right)\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Gió thổi dọc trục\(y\). Chân \(A{}_2\) và \(A{}_3\)nằm đối xứng qua trục này, nên lực nén lên chúng vẫn bằng nhau\(\left( {{F_2} = {F_3}} \right)\). Gọi lực nén lên chân \(A{}_1\)là \({F_1}\).
Phương trình 1: Cân bằng theo phương thẳng đứng \(\left( {Oz} \right)\)
Tổng lực nâng của 3 chân: \(P \Leftrightarrow {F_1}.\frac{6}{{\sqrt {37} }} + 2{F_2}.\frac{6}{{\sqrt {37} }} = 300 \Leftrightarrow {F_1} + 2{F_2} = 50\sqrt {37} \left( 1 \right)\)
Phương trình 2: Cân bằng theo phương ngang \(\left( {Oy} \right)\).
Tổng lực theo phương \(y\) phải bằng 0 (Lưu ý dấu: gió hướng dương, chân 1 hướng âm, chân 2,3 hướng dương) suy ra \[{F_1}.\left( { - \frac{1}{{\sqrt {37} }}} \right) + 2{F_2}.\left( {\frac{{0,5}}{{\sqrt {37} }}} \right) + 30 = 0 \Leftrightarrow {F_2} = {F_1} - 30\sqrt {37} \left( 2 \right)\]
Thay \(\left( 2 \right)\)vào \(\left( 1 \right) \Rightarrow {F_1} = \frac{{110\sqrt {37} }}{3} \approx 223\)(N) nên mệnh đề d) đúng
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {AB'C'} \right)\] và \[\left( {AC'D'} \right)\]. Tính giá trị \(\cot \varphi \) và làm tròn đến hàng phần trăm
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}CD' \bot C'D\\CD' \bot AD\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,AD \bot \left( {CDD'C'} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD' \bot \left( {ADC'B'} \right)\] \(\left( 1 \right)\)
Tương tự: \[\left\{ \begin{array}{l}B'C \bot BC'\\B'C \bot AB\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,AB \bot \left( {BCC'B'} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B'C \bot \left( {ABC'D'} \right)\] \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[\left( {\left( {AB'C'} \right),\,\,\left( {AC'D'} \right)} \right) = \left( {CD',\,CB'} \right)\].
Giả sử cạnh hình lập phương bằng a. Ta có \[CB' = CD' = B'D' = a\sqrt 2 \] (đường chéo trong hình vuông) suy ra tam giác \[CB'D'\] đều.
Do vậy \[\varphi = \left( {\left( {AB'C'} \right),\,\,\left( {AC'D'} \right)} \right) = \left( {CD',\,CB'} \right) = \widehat {B'CD'} = {60^{\rm{o}}} \Rightarrow \cot \varphi \approx 0,58\]
Số cách tô màu cho tam giác \(ACE\) là: \(6.5.4 = 120\) (cách)
Giả sử, tô ba màu cho các đỉnh \(A,C,E\) lần luợt là màu đỏ, xanh và vàng (gọi là nhóm màu cũ)
Lúc này, trong hộp bút còn lại ba màu chưa dùng (gọi là nhóm màu mới)
Tiếp theo ta tiến hành tô màu cho ba đỉnh còn lại là \(B,E,F\)
Với đỉnh \(B\) nằm giữa \(A\)(đỏ) và \(C\)(xanh) thì đỉnh \(B\) không được tô hai màu này
Nếu \(B\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu vàng còn nếu dùng màu mới thì thoải mái chọn
Với đỉnh \(D\) nằm giữa \(C\)(xanh) và \(E\)(vàng) thì đỉnh \(D\) không được tô hai màu này
Nếu \(D\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu đỏ
Với đỉnh \(F\) nằm giữa \(E\)(vàng) và \(A\)(đỏ) thì đỉnh \(F\) không được tô hai màu này
Nếu \(F\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu xanh
Lưu ý: Ba đỉnh \(B,D,F\) cũng tạo thành tam giác nên chúng phải khác màu nhau nên ta xét các trường hợp có bao nhiêu màu mới được sử dụng
Trường hợp 1: Dùng cả ba màu mới cho \(B,D,F\) có \(3! = 6\)(cách)
Trường hợp 2: Dùng \(2\) màu mới và \(1\) màu cũ
Nếu đỉnh \(B\) tô màu cũ thì bắt buộc phải là màu vàng, hai đỉnh \(D,F\) lấy hai màu mới từ \(3\) màu mới có \(A_3^2 = 6\)(cách), tương tự cho hai đỉnh còn lại mỗi đỉnh có \(6\) cách
Vậy tổng trường hợp này có \(6 + 6 + 6 = 18\) cách
Trường hợp 3: Dùng \(1\) màu mới và \(2\) màu cũ
Nếu đỉnh \(B\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(B\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(D\) dùng màu đỏ, \(F\) dùng màu xanh nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Nếu đỉnh \(D\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(D\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(B\) dùng màu vàng, \(F\) dùng màu xanh nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Nếu đỉnh \(F\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(F\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(B\) dùng màu vàng, \(D\) dùng màu đỏ nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Vậy tổng số cách trong trường hợp này là: \(3 + 3 + 3 = 9\) cách
Trường hợp 4: Dùng cả ba màu cũ chỉ có 1 cách duy nhất là \(B\) tô màu vàng, \(D\) tô màu đỏ, \(F\) tô màu xanh
Suy ra số cách tô màu hợp lệ cho bộ ba \(\left( {B,D,F} \right)\) là \(6 + 18 + 9 + 1 = 34\)(cách)
Vậy số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(120.34 = 4080\)(cách)
Ta có: \(L = k.{v^2}.t \Rightarrow 10 = k{.20^2}.1 \Rightarrow k = \frac{{10}}{{{{20}^2}.1}} = \frac{1}{{40}}\)
Khi ca nô đi ngược dòng từ \(A\) đến \(B\) thì vận tốc thực của ca nô là: \({v_{nguoc}} = v - {v_{nuoc}} = v - 5\)(km/h)
Lượng xăng ca nô tiêu thụ khi đi ngược dòng là: \({L_1} = k.{v^2}.{t_{nguoc}} = \frac{1}{{40}}.{v^2}.\left( {\frac{{60}}{{v - 5}}} \right) = \frac{{1,5{v^2}}}{{v - 5}}\)
Khi ca nô đi xuôi dòng từ \(B\) về \(A\) thì vận tốc thực của ca nô là: \({v_{xuoi}} = v + {v_{nuoc}} = v + 5\)(km/h)
Lượng xăng ca nô tiêu thụ khi đi xuôi dòng là: \({L_2} = k.{v^2}.{t_{xuoi}} = \frac{1}{{40}}.{v^2}.\left( {\frac{{60}}{{v + 5}}} \right) = \frac{{1,5{v^2}}}{{v + 5}}\)
Hàm tổng lượng xăng tiêu thụ cho cả chuyến tuần tra là:
\[L\left( v \right) = {L_1} + {L_2} = \frac{{1,5{v^2}}}{{v - 5}} + \frac{{1,5{v^2}}}{{v + 5}} = 1,5{v^2}\left( {\frac{{2v}}{{{v^2} - 25}}} \right)\]
Xét hàm số \(L\left( v \right) = \frac{{3{v^3}}}{{{v^2} - 25}}\)với \(v \in \left( {5;\, + \infty } \right)\) có \[L'\left( v \right) = \frac{{3{v^2}\left( {{v^2} - 75} \right)}}{{{{\left( {{v^2} - 25} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow v = 5\sqrt 3 \in \left( {5;\, + \infty } \right)\]
Vậy người lái ca nô vẫn cần cài đặt tốc độ động cơ là \(v = 5\sqrt 3 \approx 8,66\)(km/h)
Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là đường chéo lớn và đường chéo nhỏ của hình thoi \(\left( {0 < {d_2} < {d_1}} \right)\), khi đó ta có hệ phương trình sau: \[{\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = {50^2};\frac{{{d_1}}}{2}.\frac{{{d_2}}}{2} = 2400 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1} = 40\\{d_2} = 30\end{array} \right.\].
Xét hệ trục tọa độ như hình trên (do tính đối xứng), do đó ta chỉ cần tìm diện tích lớn nhất của \(\frac{1}{4}\) hình elip ở góc phần tư thứ nhất.
Xét phương trình cạnh hình thoi ở góc phần tư thứ nhất là \(y = - \frac{3}{4}x + 30,0 \le x \le 4\) và phương trình elip ở góc phần tư thứ nhất là \(y = \sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} ,0 \le x \le \left| a \right|\)
Khi đó ta có đánh giá sau: \(\sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} \le - \frac{3}{4}x + 30 \Leftrightarrow {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) \le {\left( {30 - \frac{3}{4}x} \right)^2}\)
Bất phương trình tương đương với: \(\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){x^2} - 45x + 900 - {b^2} \ge 0\) \(\left( * \right)\)
\(\left( * \right)\) luôn đúng khi và chỉ khi \[\Delta = {45^2} - 4\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {900 - {b^2}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2}\]
Theo bất đẳng thức Cosi ta có: \[14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2} \ge 24ab \Leftrightarrow ab \le 600 \Rightarrow {S_{\left( E \right)}} \le 600\pi \]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} = 16{b^2}\\9{a^2} + 16{b^2} = 14400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 800\\{b^2} = 450\end{array} \right. \Rightarrow \left( {E} \right):y = \sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} \)
Vậy thể tích cần tìm là \[V = \pi {\int\limits_{ - 20\sqrt 2 }^{20\sqrt 2 } {\left( {\sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} } \right)} ^2}{\rm{d}}x \approx 53,3\](dm3)
Sau nảy bóng thì phản xạ giữ nguyên vận tốc, không đổi hướng ngang
Hướng mới \(\overrightarrow {v'} = \left( {2; - 18;3,1} \right)\) nên phương trình mới của quả bóng là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2s\\y = 6 - 18s\\z = 3,1s\end{array} \right.,(s \in \mathbb{R})\)
Điểm \(K\) trên vạch cuối sân bên kia thuộc mặt phẳng \(y = 0\)
Suy ra: \(6 - 18s = 0 \Rightarrow s = \frac{1}{3} \Rightarrow K\left( {\frac{{17}}{3};0;\frac{{31}}{{30}}} \right)\)
Quãng đường \(TK = \sqrt {{{\left( {\frac{{17}}{3} - 5} \right)}^2} + {6^2} + {{\left( {\frac{{31}}{{30}}} \right)}^2}} = \frac{{7\sqrt {689} }}{{30}}\)
Vận tốc \(144\;\)(km/h)\( = 40\)(m/s) nên thời gian đối thủ có để phản ứng: \(t = \frac{{TK}}{{40}} \approx 0,15\)(giây)
Số ván chơi : \(n = 5\)
Xác suất thắng một ván : \[p = 0,3125\]
Xác suất thua một ván : \(1 - p = 1 - 0,3125 = 0,6875\)
Gọi \(X\)là số ván thắng trong 5 ván chơi
Xác suất để thắng đúng 3 ván: \(P\left( {X = 3} \right) = C_5^3.{\left( {0,3125} \right)^3}.{\left( {0,6875} \right)^2} \to Sto\,A\)
Xác suất để thắng đúng 4 ván \(P\left( {X = 4} \right) = C_5^4.{\left( {0,3125} \right)^4}.{\left( {0,6875} \right)^1} \to Sto\,B\)
Xác suất để thắng đúng 5 ván \(P\left( {X = 5} \right) = C_5^5.{\left( {0,3125} \right)^5}.{\left( {0,6875} \right)^0} \to Sto\,C\)
Xác suất để người chơi này thắng đúng \(4\) ván:
\(P\left( {X = 4|X \ge 3} \right) = \frac{{P\left( {X = 4} \right)}}{{P\left( {X \ge 3} \right)}} = \frac{{P\left( {X = 4} \right)}}{{P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right)}} = \frac{B}{{A + B + C}} = \frac{{55}}{{302}} \approx 0,18\)
