Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 3
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
![Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( { - 1\,;\,2} \right)\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture1-1779120762.png)
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng nào?
\[\left( { - \infty \,;\, - 1} \right)\].
\[\left( { - 2\,;\,4} \right)\].
\[\left( {2\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( { - 1\,;\,2} \right)\].
\(2x - 2y + 4z - 21 = 0\).
\(x - 2z + 1 = 0\).
\[10x + 9y + 5z - 74 = 0\].
\(3x - 2y + z - 12 = 0\).
Phương trình của mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
\(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + z - 12 = 0\).
Điều tra về mức lương khởi điểm (đơn vị: triệu đồng) của \(20\) công nhân, ta có bảng số liệu sau
Mức lương | \[\left[ {5\,;\,\,6} \right)\] | \[\left[ {6\,;\,7} \right)\] | \[\left[ {7\,;\,\,8} \right)\] | \[\left[ {8\,;\,\,9} \right)\] | \[\left[ {9\,;\,\,10} \right)\] |
Tần số | \(4\) | \(5\) | \(5\) | \(4\) | \(2\) |
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là (làm tròn đến hàng phần trăm):
\[{s^2} = 0,63\].
\[{s^2} = 2,52\].
\[{s^2} = 1,26\].
\[{s^2} = 1,59\].
Ta có bảng thống kê về mức lương theo giá trị đại diện như sau:
Mức lương | \[\left[ {5\,;\,\,6} \right)\] | \[\left[ {6\,;\,\,7} \right)\] | \[\left[ {7\,;\,\,8} \right)\] | \[\left[ {8\,;\,\,9} \right)\] | \[\left[ {9\,;\,\,10} \right)\] |
Giá trị đại diện | \(5,5\) | \(6,5\) | \(7,5\) | \(8,5\) | \(9,5\) |
Tần số | \(4\) | \(5\) | \(5\) | \(4\) | \(2\) |
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\bar x = \frac{{4.5,5 + 5.6,5 + 5.7,5 + 4.8,5 + 2.9,5}}{{20}} = 7,25\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: .
\[F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 1\].
\[F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - x\].
\[F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - x + 2025\].
\[F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - x - 1\].
Đáp án đúng là A
\(Q\left( {6\,;\,\,5\,;\,\,2} \right)\).
\(Q\left( { - 6\,;\,\, - 5\,;\,\, - 2} \right)\).
\(Q\left( { - 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 4} \right)\).
\[Q\left( { - 4\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right)\].
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\,,\,\,\overrightarrow {QP} = \left( {7 - {x_Q}\,;\,7 - {y_Q}\,;\,5 - {z_Q}} \right)\).
Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 7 - {x_Q}\\2 = 7 - {y_Q}\\3 = 5 - {z_Q}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_Q} = 6\\{y_Q} = 5\\{z_Q} = 2\end{array} \right.\). Vậy \(Q\left( {6\,;\,\,5\,;\,\,2} \right)\).
\[{S_5} = \frac{5}{4}\].
\[{S_5} = \frac{4}{5}\].
\[{S_5} = - \frac{5}{4}\].
\[{S_5} = - \frac{4}{5}\].
\(x = \frac{{10}}{3}\).
\(x = {\log _3}10\).
\(x = {\log _{10}}3\).
\(x = \frac{{10}}{3}\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SBD} \right)\).
\(y = - x + 1\).
\(y = x - 1\).
\(y = x - 5\).
\(y = - x - 5\).
Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{x + 2}}\)\( = x - 5 + \frac{{14}}{{x + 2}}\); mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{14}}{{x + 2}} = 0\).
Do đó tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = x - 5\).
\(y = - 3x - 7\).
\(y = - 3x + 7\).
\(y = - 3x + 1\).
\(y = - 3x - 1\).
Đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 6x\). Gọi \(\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
Hệ số góc tiếp tuyến \(k = - 3\) nên \(3x_0^2 - 6{x_0} = - 3 \Rightarrow x_0^2 - 2{x_0} + 1 = 0 \Rightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 4\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: \(y = - 3\left( {x - 1} \right) - 4\,\,\,{\rm{hay}}\)\(y = - 3x - 1\)
\(\frac{7}{{10}}\).
\(\frac{4}{7}\).
\(\frac{7}{{25}}\).
\[\frac{3}{{10}}\].
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4\,.\,0,7 = 0,28\)
Ta có: \(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = 1 - \frac{{0,28}}{{0,4}} = \frac{3}{{10}}\).
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[M\,,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[BC\]. Tổng \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} \] bằng
\(\vec 0\).
\(2\overrightarrow {AD} \).
\(2\overrightarrow {NM} \).
\(2\overrightarrow {MN} \).
Ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} \]
\[ = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DM} } \right) + 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right) = 2\overrightarrow {MN} .\]
(Vì \[M,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[BC\] nên \[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow 0 \,,\,\,\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \]).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = g\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ và đặt \(f\left( x \right) = \int\limits_0^x {g\left( t \right){\rm{d}}t} \). Gọi \({S_1},\,{S_2}\) và \({S_3}\) lần lượt là diện tích của các phần hình phẳng được tô màu
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 7\)
Giá trị của hàm số tại \(x = 10\) là \(f\left( {10} \right) = {S_1} - {S_2}\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {7;\,10} \right)\)
Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ {0;\,14} \right]\)
Xét mệnh đề a)
Ta có \(f\left( x \right) = \int\limits_0^x {g\left( t \right){\rm{d}}t} \Rightarrow f'\left( x \right) = g\left( x \right)\)
Tại \(x = 7\) thì đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 7\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Ta có \(f\left( {10} \right) = \int\limits_0^{10} {g\left( t \right){\rm{d}}t = } \int\limits_0^7 {g\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_7^{10} {g\left( t \right){\rm{d}}t = {S_1} - {S_2}} \) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Trên khoảng \(\left( {7;\,10} \right)\) thì hàm số \(y = g\left( x \right)\) nằm phía dưới trục hoành
Mặt khác: suy ra hàm số nghịch biến nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Xét \(f\left( 0 \right) = 0\).
Khi \(x \in \left( {0;\,7} \right)\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến và \(f\left( 7 \right) = {S_1} > 0\),
Khi \(x \in \left( {7;\,10} \right)\) thì \(f\left( x \right)\) nghịch biến và \(f\left( {10} \right) = {S_1} - {S_2}\)
Khi thì \(f\left( x \right)\) đồng biến cho \(g\left( x \right) > 0\) và từ đồ thị thì \({S_1} > {S_2} \Rightarrow {S_1} - {S_2} > 0\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) chỉ cắt trục hoanh tại điểm duy nhất là \(x = 0\) nên mệnh đề d) sai
\(a - 60d = 20\)
Tổng số lượt tải tích lũy sau \(3\) ngày đầu tiên là \(100\) nghìn lượt
Theo mô hình này, tổng số lượt tải của ứng dụng sẽ không vượt quá \(190\) nghìn lượt
Để duy trì đà tăng trưởng, nhà phát hành đang chi \(6\) triệu đồng/ngày cho tiền chạy quảng cáo. Biết rằng mỗi một nghìn lượt tải mới đem lại doanh thu tức thì là \(1\) triệu đồng. Để tối ưu hóa lợi nhuận, nhà phát hành nên dừng chạy chiến dịch quảng cáo này ngay sau khi kết thúc ngày thứ \(7\)
Xét mệnh đề a)
Theo đề bài, \(N\left( t \right) = \frac{{at + b}}{{t + d}}\)
Với \(t = 0 \Rightarrow N\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \frac{b}{d} = 0 \Rightarrow b = 0\)
Với \(t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 50 \Rightarrow \frac{{a + b}}{{1 + d}} = 50 \Leftrightarrow a + b = 50\left( {1 + d} \right) \Leftrightarrow a - 50d = 50\)
Với \(t = 2 \Rightarrow N\left( 2 \right) = 80 \Rightarrow \frac{{2a + b}}{{2 + d}} = 80 \Leftrightarrow 2a + b = 80\left( {2 + d} \right) \Leftrightarrow 2a - 80d = 160\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a - 50d = 50\\2a - 80d = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 200\\d = 3\end{array} \right.\) suy ra \(a = 60d = 20\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Theo câu trên suy ra \(N\left( t \right) = \frac{{200t}}{{t + 3}}\) suy ra \(N\left( 3 \right) = \frac{{200.3}}{{3 + 3}} = 100\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {\frac{{200t}}{{t + 3}}} \right) = 200\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Ta có hàm tốc độ tăng trưởng: \(N'\left( t \right) = \frac{{600}}{{{{\left( {t + 3} \right)}^2}}}\)
Lợi nhuận thì bằng doanh thu trừ chi phí. Ta nên dừng lại khi lợi nhuận bắt đầu chuyển sang âm
Vậy điểm hòa vốn khi \(N'\left( t \right) = 6 \Leftrightarrow \frac{{600}}{{{{\left( {t + 3} \right)}^2}}} = 6 \Leftrightarrow t = 7\)
Vậy nhà phát hành nên dừng ngay sau khi kết thúc ngày thứ 7 nên mệnh đề d) đúng
\(P\left( B \right) = 0,5\)
\(P\left( {A|B} \right) = 0,4\)
\(P\left( A \right) = 0,3\)
\(P\left( {B|A} \right) = 0,8\)
Xét mệnh đề a)
Mỗi chi nhánh chọn hai nhân viên nên \(P\left( b \right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{24}}{{60}} = \frac{2}{5} = 0,4\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có sơ đồ cây:
\(P\left( A \right) = 0,5.0,4 + 0,5.0,1 = 0,25\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{0,5.0,4}}{{0,25}} = \frac{4}{5} = 0,8\) nên mệnh đề d) đúng
Đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng \(z - 2 = 0\)
Tọa độ đỉnh của mái nhà là \(S\left( {5;\,4;\,5} \right)\)
Mặt nghiêng của mái nhà \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) một góc \(\varphi \) thì \(\cos \varphi = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
Một đèn chiếu sáng điểm được đặt tại vị trí \(L\left( {5;\,10;\,2} \right)\) để chiếu sáng mái nhà từ bên phải. Một màn chắn đặt trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), trên đó sẽ xuất hiện bóng của mái nhà và chiếc bóng đó có diện tích bằng \(10\)m2
Xét mệnh đề a)
Đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng \(z = 2 \Leftrightarrow z - 2 = 0\)
Xét mệnh đề b)
Khối chóp \(S.ABCD\) là một tứ giác đều nên \(ABCD\) là một hình vuông
Gọi \(H\) là hình chiếu của đỉnh \(S\) xuống \(\left( {ABCD} \right)\) thì \(H\) là tâm của hình vuông \(ABCD\)
Khi đó \(H = \frac{{A + C}}{2} = \left( {5;\,5;\,2} \right)\) nên tọa độ \(S\left( {5;\,5;4} \right)\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình \(y = 0\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)\)
Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {SBC} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;\,4;\,2} \right)\)
Khi đó: \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\] nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Ta có: \(\overrightarrow {LB} = \left( {1;\, - 4;\,0} \right);\,\overrightarrow {LC} = \left( { - 1;\, - 4;\,0} \right)\) và \(\overrightarrow {LS} = \left( {0;\, - 5;\,2} \right)\)
Do các điểm \(S',\,B',\,C'\) đều thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) nên \(y = 0\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(LB:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + t\\y = 6 - 4t\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow 6 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 1,5 \Rightarrow B'\left( {7,5;\,0;\,2} \right)\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(LC:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t\\y = 6 - 4t\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow 6 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 1,5 \Rightarrow C'\left( {2,5;\,0;\,2} \right)\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(LS:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5 - 5t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 5 - 5t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow S'\left( {5;\,0;\,6} \right)\)
Vậy diện tích của hình chiếu là: \({S_{S'B'C'}} = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {S'C'} ;\,\overrightarrow {S'B'} } \right| = 10\)(m2) nên mệnh đề d) đúng
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có tất cả cạnh bằng \(2\)cm. Tính khoảng cách của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi \(I,\,J\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\)
Các tam giác \(ABC\), \(ABD\) đều có \(I\) là trung điểm \(AB\)nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot DI\end{array} \right.\)
Suy ra \(AB \bot \left( {ICD} \right)\) mà \(IJ \subset \left( {ICD} \right) \Rightarrow AB \bot IJ\) \(\left( 1 \right)\)
Tương tự, các tam giác \(ACD\),\(BCD\) đều có \(J\) là trung điểm \(CD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AJ\\CD \bot BJ\end{array} \right.\)
Suy ra \(CD \bot \left( {ABJ} \right)\) mà \(IJ \subset \left( {JAB} \right) \Rightarrow CD \bot IJ\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(IJ\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\)
Ta có: \(CI = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \); \(IJ = \sqrt {C{I^2} - C{J^2}} = \sqrt {3 - 1} = \sqrt 2 \approx 1,41\).
Vậy khoảng cách hai đường thẳng AB, CD xấp xỉ 1,41cm
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ + }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ + }} \left( {a - 2t} \right) = a - 120\) và \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ - }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ - }} \left( {20 + 5t} \right) = 20 + 300 = 320\)
\( \Leftrightarrow T\left( {60} \right) = 320\) nên ta có \(a - 120 = 320 \Rightarrow a = 440\)
Theo bài ra: \(h\left( t \right) = 1,5 \Leftrightarrow 2 - 0,2t = 1,5 \Rightarrow t = 2,5\) nên \(C\left( t \right) = \frac{{\sqrt 8 .\sin \alpha }}{{{x^2}}} = \sqrt 8 .\frac{{\frac{{h\left( t \right)}}{{x\left( t \right)}}}}{{{h^2}\left( t \right) + {r^2}\left( t \right)}}\)
\[ \Leftrightarrow C\left( t \right) = \sqrt 8 .\frac{{\frac{{\left( {2 - 0,2t} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {2 - 0,2t} \right)}^2} + {{\left( {0,5t} \right)}^2}} }}}}{{{{\left( {2 - 0,2t} \right)}^2} + {{\left( {0,5t} \right)}^2}}} = \sqrt 8 .\frac{{\left( {2 - 0,2t} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {{{\left( {2 - 0,2t} \right)}^2} + {{\left( {0,5t} \right)}^2}} } \right)}^3}}} = \sqrt 8 .\frac{{\left( {2 - 0,2t} \right)}}{{{{\left[ {{{\left( {2 - 0,2t} \right)}^2} + {{\left( {0,5t} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}\]
Khi đó: \(C'\left( {2,5} \right) = \frac{d}{{dX}}{\left[ {\sqrt 8 .\frac{{\left( {2 - 0,2t} \right)}}{{{{\left[ {{{\left( {2 - 0,2t} \right)}^2} + {{\left( {0,5t} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}} \right]_{x = 2,5}} = - 0,2235 \approx - 0,2\)
Vậy tốc độ thay đổi của cường độ sáng mà robot nhận được tại thời điểm bóng đèn ở độ cao 1,5 mét bằng \( - 0,2\)(m/s)
Gọi \(T\left( t \right)\) là nhiệt độ của ly trà tại thời điểm \(t\)(giờ) và nhiệt độ của môi trường là \(25\)°C
Tốc độ thay đổi nhiệt độ của vật thể tỉ lệ thuận với sự chênh lệch nhiệt độ giữa vật thể và môi trường nên \(\frac{{T'\left( t \right)}}{{\left( {T\left( t \right) - 25} \right)}} = k \Leftrightarrow T'\left( t \right) = k\left( {T\left( t \right) - 25} \right)\) (trong đó \(k\) là hằng số tỷ lệ)
Ta đã biết \(T'\left( t \right) = \frac{{dT}}{{dt}}\) nên phương trình trở thành \(\frac{{dT}}{{dt}} = k\left( {T - 25} \right)\)
Lấy nguyên hàm hai vế: \(\int {\frac{1}{{\left( {T - 25} \right)}}d\left( T \right)} = \int {kt} \Rightarrow \ln \left| {T - 25} \right| = kt + C\)\( \Leftrightarrow \left| {T - 25} \right| = {e^{kt + C}} = {e^{kt}}.{e^C}\)
Do nhiệt độ của ly trà luôn hơn hơn hoặc bằng nhiệt độ của môi trường nên \(T - 25 \ge 0\) nên ta có thể phá dấu trị tuyệt đối: \(T - 25 = {e^C}.{E^{kt}}\)
Đặt \(A = {e^C}\) (Với \(A\) là một hằng số dương tùy ý) suy ra \[T\left( t \right) - 25 = A.{e^{kt}} \Leftrightarrow T\left( t \right) = 25 + A.{e^{kt}}\]
Tại \(t = 0\)(10 giờ) thì \(T = 65\) nên \(65 = 25 + A.{e^{k.0}} \Rightarrow 65 = 25 + A \Rightarrow A = 40\)
Tại \(t = 1\)(11 giờ) thì \(T = 45\) nên \(45 = 25 + 40.{e^{k.1}} \Rightarrow 45 = 25 + 40.{e^k} \Leftrightarrow 20 = 40.{e^k} \Rightarrow {e^k} = 0,5\)
Vậy lúc này phương trình \(T\left( t \right) = 25 + 40.{\left( {{e^k}} \right)^t} = 25 + 40.{\left( {0,5} \right)^t}\)
Nhiệt độ lúc pha trà là \(95\)°C nên \(95 = 25 + 40.{\left( {0,5} \right)^t} \Rightarrow {\left( {0,5} \right)^t} = 1,75 \Rightarrow t = {\log _{0,5}}\left( {1,75} \right)\)
Khi \(t = {\log _{0,5}}\left( {1,75} \right) \approx - 0,807535\)(dấu âm thể hiện thời điểm pha trà nằm trước mốc thời gian \(t = 0\), tức là trước \(10\) giờ)
Đổi sang phút ta có \(0,80735.60 \approx 48,44\)(phút) nên cốc trà được pha trước lúc bấm giờ \(48\) phút
Tổng số bóng mục tiêu tối đa là \(3\) bóng nên ta có \(x + y \le 3\)
Do cơ thủ X đang có lợi thế hơn cơ thủ Y nên số bóng mục tiêu của X nhiều hơn của Y
Khi đó ta có điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 3\\x > y\end{array} \right.\) nên ta có thể liệt kê các trường hợp thỏa mãn
Trường hợp 1: \(x = 1;\,y = 0\)
Cơ thủ X chọn: \(1\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng và \(2\) bóng thường trong \(6\) bóng có số cách chọn là \(C_3^1.C_6^2 = 45\) cách
Cơ thủ Y chọn: \(3\) bóng thường trong \(4\) bóng có \(C_4^3 = 4\) cách chọn
Vậy có tổng cộng \({n_1} = 45.4 = 180\)(cách)
Trường hợp 2: \(x = 2;\,y = 0\)
Cơ thủ X chọn: \(2\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng và \(1\) bóng thường trong \(6\) bóng có số cách chọn là \(C_3^2.C_6^1 = 18\) cách
Cơ thủ Y chọn: \(3\) bóng thường trong \(5\) bóng có \(C_5^3 = 10\) cách chọn
Vậy có tổng cộng \({n_2} = 18.10 = 180\)(cách)
Trường hợp 3: \(x = 2;\,y = 1\)
Cơ thủ X chọn: \(2\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng và \(1\) bóng thường trong \(6\) bóng có số cách chọn là \(C_3^2.C_6^1 = 18\) cách
Cơ thủ Y chọn: \(1\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng và \(2\) bóng thường trong \(5\) bóng có số cách chọn là \(C_3^1.C_5^2 = 10\) cách
Vậy có tổng cộng \({n_3} = 18.10 = 180\)(cách)
Trường hợp 4: \(x = 3;\,y = 0\)
Cơ thủ X chọn: \(3\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng có số cách chọn là 1 cách
Cơ thủ Y chọn: \(3\) bóng thường trong \(6\) bóng có số cách chọn là \(C_6^3 = 20\) cách
Vậy có tổng cộng \({n_4} = 20\)(cách)
Vậy tổng số trường hợp thỏa mãn X lợi thế hơn Y là: \(n\left( \Omega \right) = 180 + 180 + 180 + 20 = 560\) cách
Theo yêu cầu bài toán, cơ thủ Y không giữ bất kỳ quả bóng mục tiêu nào tức \(y = 0\)
Khi đó \(n\left( A \right) = 180 + 180 + 20 = 380\) cách
Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{380}}{{560}} = \frac{{19}}{{28}} = 0,67857... \approx 0,68\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: \(R = IA = IB = \frac{{12\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = 4\sqrt 6 \Rightarrow {R^2} = 96\)
Vì trục quạt thẳng đứng, điểm treo \(S\left( {a;\,b;\,340} \right)\) và tâm quay \(I\) sẽ có dùng hoành độ và tung độ nên tâm \(I\left( {a;\,b;\,280} \right)\)
Hệ phương trình khoảng cách \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = 96\\I{B^2} = 96\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 10} \right)^2} + {\left( {b - 20} \right)^2} = 96\\{\left( {a - 22} \right)^2} + {\left( {b - 32} \right)^2} = 96\end{array} \right. \Rightarrow b = 42 - a\)
Thay \(b = 42 - a\) vào 1 trong 2 phương trình, ta được \({a^2} - 32a + 244 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 16 + 2\sqrt 3 \\b = 16 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Do \(a > 16\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 16 + 2\sqrt 3 \\b = 26 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\) nên \(T = a + b + c = 16 + 2\sqrt 3 + 26 - 2\sqrt 3 + 340 = 382\)
