Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 2
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) là
\(\frac{{{2^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\).
\(\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).
\(\frac{{{2^x}}}{x} + C\).
\(x{.2^{x - 1}} + C\).
Đáp án đúng là B
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau.
![Câu 2: Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture17-1779094379.png)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
\(3\).
\(2\).
\( - 2\).
\( - 3\).
Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là .
1.
2.
4.
3.
\(\left( { - 1\,;\,\, + \infty } \right)\).
\(\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\,\, - 1} \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\,\,1} \right)\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).
Bảng xét dấu:
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\,\, - 1} \right)\).
Trong không gian\[Oxyz\], đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,3} \right)\) và song song với đường thẳng\(\Delta :\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\) có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).
Đường thẳng d song song \(\Delta :\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\) nên có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right)\);
Mà \(d\) qua \(M\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,3} \right)\) nên có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).
1.
\(5\).
\(3\).
4.
Ta có: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {9 - {x^2}} \right) < 0 \Leftrightarrow 9 - {x^2} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow 9 - {x^2} > 1 \Leftrightarrow {x^2} < 8 \Leftrightarrow - 2\sqrt 2 < x < 2\sqrt 2 \).
Tập nghiệm bất phương trình chứa 5 số nguyên là: \(\left\{ { - 2\,;\,\,1\,;\,\,0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right\}\).
\(\left( { - 2\,;\,\, - 10\,;\,\,3} \right)\).
\(\left( { - 2\,;\,\, - 6\,;\,\,3} \right)\).
\(\left( { - 4\,;\,\, - 8\,;\,\,4} \right)\).
\(\left( { - 2\,;\,\, - 10\,;\,\, - 3} \right)\).
Đáp án đúng là A
\(\left( {3\,;\,\, - 2} \right)\).
\(\left( {3\,;\,\,2} \right)\).
\(\left( { - 2\,;\,\,3} \right)\).
\(\left( {2\,;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là D
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x\, = 2\) và tiệm cận ngang \(y\, = \,3\).
Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(\left( {2\,;\,3} \right)\).
\(F\left( x \right) = {x^3} - \cos x + x + 2\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \cos x + x + 2\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \cos x + x\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \cos x + 2\).
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + \sin x + 1} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \cos x + x + C\).
Theo giả thiết: \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 2\) nên do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \cos x + x + 2\).
Nhóm | Tần số |
\(\left[ {20;\,30} \right)\) | \(3\) |
\(\left[ {30;\,40} \right)\) | \(7\) |
\(\left[ {40;\,50} \right)\) | \(6\) |
\(\left[ {50;\,60} \right)\) | \(4\) |
\(\left[ {60;\,70} \right)\) | \(5\) |
| \(n = 25\) |
\[19,15\].
\[21,32\].
\[20,07\].
\[22,23\].
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \[\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2} \in \left[ {30\,;\,\,40} \right)\] nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{Q_1} = 30 + \frac{{6,25 - 3}}{7} \cdot 10 = \frac{{485}}{{14}}\].
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \[\frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2} \in \left[ {50\,;\,\,60} \right)\] nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \[{Q_3} = 50 + \frac{{3 \cdot \frac{{25}}{4} - 16}}{4} \cdot 10 = \frac{{455}}{8}\].
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[{Q_3}\, - \,{Q_1}\, = \,\frac{{1245}}{{56}} \approx \,22,23\].
Người ta thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau:
Đường kính (cm) | \[\left[ {40\,;\,\,45} \right)\] | \(\left[ {45\,;\,\,50} \right)\) | \(\left[ {50\,;\,\,55} \right)\) | \(\left[ {55\,;\,\,60} \right)\) | \(\left[ {60\,;\,\,65} \right)\) |
Tần số | 5 | 20 | 18 | 7 | 3 |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
25.
30.
6.
69,8.
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Đạo hàm của hàm số là \(f'\left( x \right) = 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
Trên khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) thì hàm số có đúng hai điểm cực trị
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) bằng \(1\)
Xét mệnh đề a)
Đạo hàm của hàm số là: \(f'\left( x \right) = 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(f'\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x < 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) < 0\)
Xét trên khoảng \(x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có \[x + \frac{\pi }{3} \in \left( {\frac{\pi }{3};\,\,\frac{{5\pi }}{6}} \right)\] suy ra \(0 \le x \le \frac{\pi }{2}\) mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Xét trên khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) thì phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{6}\\x = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\). Đây là hai nghiệm đơn, suy ra hàm số có hai điểm cực trị nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Xét trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) thì hàm số chỉ có một điểm cực trị là \(x = \frac{\pi }{2}\)
Với \(x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1\)
Với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - \sqrt 3 \)
Với \(x = \pi \Rightarrow f\left( \pi \right) = \pi - 1\)
So sánh các giá trị thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) bằng \(\pi - 1\)
Vậy mệnh đề d) sai
Trên một trục tọa độ \(Ox\), hai chất điểm đồng thời xuất phát từ gốc tọa độ \(O\) tại thời điểm \(t = 0\) và chuyển động cùng chiều dương. Chất điểm thứ nhất chuyển động với vận tốc biến thiên theo quy luật \({v_A}\left( t \right) = 4t - {t^2}\)(m/s) còn chất điểm thứ hai chuyển động nhanh dần đều với gia tốc không đổi là \(a = 2\)(m/s2)
Phương trình vận tốc của chất điểm thứ hai là \({v_B}\left( t \right) = 2t\)(m/s)
Hai chất điểm gặp nhau tại thời điểm \(t = 4\)(giây)
Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm trong quá trình chuyển động là \(\frac{4}{3}\) mét
Tại thời điểm hai chất điểm gặp nhau thì vận tốc của chất điểm thứ nhất lớn hơn vận tốc của chất điểm thứ hai
Xét mệnh đề a)
\({v_B}\left( t \right) = \int {2{\rm{d}}t = 2t + {C_1}} \) mà \({v_B}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0\) suy ra \({v_B}\left( t \right) = 2t\)(m/s) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Chất điểm A: \({x_A}\left( t \right) = \int {\left( {4t - {t^2}} \right){\rm{d}}t = 2{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3} + {C_2}} \) mà tại thời điểm \(t = 0\) thì \({x_A} = 0 \Rightarrow \)\({C_2} = 0\)
Khi đó \({x_A}\left( t \right) = 2{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}\)
Chất điểm B: \({x_B}\left( t \right) = \int {2t{\rm{d}}t = {t^2} + {C_3}} \) mà tại thời điểm \(t = 0\) thì \({x_B} = 0 \Rightarrow \)\({C_3} = 0\)
Khi đó \({x_B}\left( t \right) = {t^2}\)
Hai chất điểm gặp nhau thì \({x_A}\left( t \right) = {x_B}\left( t \right) \Leftrightarrow \)\(2{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3} = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - \frac{{{t^3}}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 3\end{array} \right.\)
Vậy thời điểm hai chất điểm gặp nhau kể từ khi xuất phát là \(t = 3\) mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Khoảng cách giữa hai chất điểm trước khi gặp nhau là: \(d\left( t \right) = \left| {{x_A}\left( t \right) - {x_B}\left( t \right)} \right| = \left| {{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right|\)
Xét hàm số \(d\left( t \right) = {t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,3} \right]\) ta có \(d'\left( t \right) = 2t - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\)
Thay các giá trị: \(d\left( 0 \right) = 0;\,d\left( 2 \right) = \frac{4}{3}\) và \(d\left( 3 \right) = 0\) với \({d_{\max }} = \frac{4}{3}\) mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Tại thời điểm hai chất điểm gặp nhau là \(t = 3\), thay vào phương trình vận tốc
\({v_A}\left( 3 \right) = 4.3 - {3^2} = 3\)
\({v_B}\left( 3 \right) = 2.3 = 6\)
Ta thấy \({v_A}\left( 3 \right) < {v_B}\left( 3 \right)\) nên vận tốc của chất điểm thứ nhất nhỏ hơn vận tốc của chất điểm thứ hai
Vậy mệnh đề d) sai
Quả bóng có tâm \(I\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \)
Khoảng cách từ tâm quả bóng đến đường thẳng \(d\) bằng \(2\sqrt 6 \)
Nếu \({\rm{cos}}\widehat {AIB} = \frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) phân số tối giản và \(a,\,b \in \mathbb{Z}\)) thì giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2} = 82\)
Một con kiến bò từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) trên quả bóng với tốc độ \(2\)(cm/s) thì thời gian ngắn nhất cho chuyến đi này là \(21\) giây (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Xét mệnh đề a)
Mặt ngoài quả bóng là mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\) qua \(A\left( { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = \left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {4\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right)\,;\,\,\left[ {{{\vec u}_d}\,,\,\,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {3\,;\,\,6\,;\,\,12} \right)\).
Do đó \(d\left( {I\,,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_d}\,,\,\,\overrightarrow {AI} } \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \frac{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {{12}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(I\) trên \(d\) thì \(KI = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) và \(KA \bot IA\) suy ra \[{\rm{cos}}\widehat {AIK} = \frac{{IA}}{{IK}} = \frac{2}{3}.\]
Do vậy \[{\rm{cos}}\widehat {AIB} = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {AIK} - 1\]\( = 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{9} = \frac{a}{b} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 82\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Độ dài cung tròn bé nhất mà con kiến có thể đi: (dm)
Thời gian tối thiểu để kiến đến nơi là giây nên mệnh đề d) sai
Nếu biết một người đầu tư bất động sản không sinh lời thì xác suất kinh tế suy thoái vượt quá \(0,4\)
Một nhà đầu tư chọn ngẫu nhiên một trong hai hình thức là bất động sản hoặc vàng thì xác suất để sinh lời trong trường hợp này lớn hơn \(0,5\)
Nếu biết nhà đầu tư sinh lời thì xác suất kinh tế đang phát triển là lớn hơn \(0,5\)
Giả định độc lập trong cùng điều kiện kinh tế, một nhà đầu tư có lợi nhuận ở cả hai kênh bất động sản và vàng trong cùng một năm. Anh ta tin rằng điều này chắc chắn chứng tỏ kinh tế đang phát triển
Gọi \(K\) là biến cố “Kinh tế phát triển”; \(S\) là biến cố “Kinh tế suy thoái”; \(B\) là biến cố “Đầu tư bất động sản sinh lời”; \(V\) là biến cố “Đầu tư vàng sinh lời”
Theo đề bài, ta có: \(P\left( K \right) = 0,6\) và \(P\left( S \right) = 0,4\)
Khi kinh tế phát triển: \(P\left( {B|K} \right) = 0,8\) và \(P\left( {V|K} \right) = 0,3\)
Khi kinh tế suy thoái: \(P\left( {B|S} \right) = 0,1\) và \(P\left( {V|S} \right) = 0,7\)
Xác suất BĐS sinh lời là: \(P\left( B \right) = P\left( {B|K} \right).P\left( K \right) + P\left( {B|S} \right).P\left( S \right) = 0,8.0,6 + 0,1.0,4 = 0,52\)
Xác suất vàng sinh lời là: \(P\left( V \right) = P\left( {V|K} \right).P\left( K \right) + P\left( {V|S} \right).P\left( S \right) = 0,3.0,6 + 0,7.0,4 = 0,46\)
Xét mệnh đề a)
Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,52 = 0,48\) và \(P\left( {\overline B |S} \right) = 1 - P\left( {B|S} \right) = 1 - 0,1 = 0,9\)
Áp dụng công thức Bayes:\(P\left( {S|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline B |S} \right).P\left( S \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,9.0,4}}{{0,48}} = 0,75 > 0,4\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Gọi \(L\) là biến cố “Nhà đầu tư sinh lời”. Do chọn ngẫu nhiên một trong hai kênh để đầu tư nên xác xuất mỗi kênh là \(0,5\)
Khi đó: \(P\left( L \right) = 0,5.P\left( B \right) + 0,5.P\left( V \right) = 0,5.0,52 + 0,5.0,46 = 0,49 < 0,5\)nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(P\left( {L|K} \right) = 0,5.P\left( {B|K} \right) + 0,5.P\left( {V|K} \right) = 0,5.0,8 + 0,5.0,3 = 0,55\)
Áp dụng công thức Bayes: \(P\left( {K|L} \right) = \frac{{P\left( {L|K} \right).P\left( K \right)}}{{P\left( L \right)}} = \frac{{0,55.0,6}}{{0,49}} = 0,673 > 0,5\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi \(C\) là biến cố “Có lợi nhuận cả hai kênh”. Do giả định độc lập trong cùng điều kiện kinh tế nên:
Khi kinh tế phát triển: \(P\left( {C|K} \right) = P\left( {B|K} \right).P\left( {V|K} \right) = 0,8.0,3 = 0,24\)
Khi kinh tế suy thoái: \(P\left( {C|S} \right) = P\left( {B|S} \right).P\left( {V|S} \right) = 0,1.0,7 = 0,07\)
Suy ra: \(P\left( {K|C} \right) = \frac{{P\left( {C|K} \right).P\left( K \right)}}{{P\left( {C|K} \right).P\left( K \right) + P\left( {C|S} \right).P\left( S \right)}} = \frac{{0,24.0,6}}{{0,24.0,6 + 0,07.0,4}} = \frac{{36}}{{43}} \approx 0,837 \ne 1\)
Kết quả cho thấy khả năng kinh tế phát triển rất cao, nhưng vẫn có xác suất nhỏ (khoảng 16,3%) là kinh tế đang suy thoái mà nhà đầu tư “may mắn” trúng cả hai. Do đó, dùng từ “chắc chắn” là sai nên mệnh đề d) sai
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Giả sử quỹ đạo của Trái Đất là một đường elip \(\left( E \right)\) với mặt trời nằm tại tiêu điểm \({F_1}\). Gọi \({F_2}\) là tiêu điểm còn lại của elip (điểm đối xứng với mặt trời qua tâm quỹ đạo). Xét đại lượng \(P\) là tích khoảng cách từ trái đất đến hai tiêu điểm là \({F_1}\) và \({F_2}\) tại một thời điểm bất kỳ. Hãy tìm sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P\) trong suốt một chu kỳ quay (Biết khoảng cách cận nhật là \(147\) triệu kilomet và viễn nhật là \(152\) triệu kilomet)
Phương trình chính tắc của \(\left( E \right):\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\)
Theo đề bài: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_{1\min }} = a - c = 147\\M{F_{1\max }} = a + c = 152\end{array} \right.\) (triệu kilomet) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 149,5\\c = 2,5\end{array} \right.\)
Đại lượng cần xét \(P = M{F_1}.M{F_2} = x.y\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a\\P = x.y\end{array} \right.\)
Sử dụng tính chất:
· Tích của hai số có tổng không đổi sẽ lớn nhất khi hai số đó bằng nhau (\(x = y\)).
· Tích của hai số có tổng không đổi sẽ nhỏ nhất khi độ chênh lệch giữa hai số đó là lớn nhất.
Giá trị lớn nhất xảy ra khi \(M{F_1} = M{F_2} = a \Rightarrow {P_{\max }} = a.a = {a^2}\)
Hoặc giá trị lớn nhất xảy ra khi hiệu \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right|\) lớn nhất thì khi đó \(M{F_1} = a - c\) và \(M{F_2} = a + c\)
Khi đó \({P_{\min }} = \left( {a - c} \right)\left( {a + c} \right) = {a^2} - {c^2}\)
Vậy sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là:
\(\Delta P = {a^2} - \left( {{a^2} - {c^2}} \right) = {c^2} = {2,5^2} = 6,25\)
Hình bên dưới minh họa một cánh cửa và khung cửa. Cánh cửa có dạng hình chữ nhật \(BCMN\)và khung cửa có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) và biết được\(AB = BN\). Góc mở cửa là góc nhị diện \(\left[ {A,BC,N} \right]\). Biết chiều rộng \(BN\) của cửa là \(1,5\) mét. Khi góc mở cửa bằng \(60^\circ \)thì khoảng cách giữa \(A\)và \(N\)bằng bao nhiêu?
Vì \(AB \bot BC\) và \(NB \bot BC\) nên góc \(\widehat {ABN}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,N} \right]\).
Vì góc mở cửa bằng \({60^o}\) nên số đo góc nhị diện \(\left[ {A,BC,N} \right]\) bằng \(60^\circ \) suy ra \(\widehat {ABN} = 60^\circ \)
Xét tam giác \(ABN\)cân tại \(B\)có: \(BA = BN = 1,5\)m và \(\widehat {ABN} = 60^\circ \).
Khi đó \(\Delta ABN\) là tam giác đều suy ra \(AN = 1,5\)m hay khoảng cách giữa \(A\) và \(N\)bằng \(1,5\)m.
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\30 - 2x > 0\\\frac{{90 - 3x}}{2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < 15\\x < 30\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 15\)
Thể tích của khối hộp là: \(V\left( x \right) = {S_d}.h = \left( {\frac{{90 - 3x}}{2}} \right)\left( {30 - 2x} \right).x = 3{x^3} - 135{x^2} + 1350x\)
Đạo hàm: \(V'\left( x \right) = 9{x^2} - 270x + 1350 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15 + 5\sqrt 3 \notin \left( {0;\,15} \right)\\x = 15 - 5\sqrt 3 \in \left( {0;\,15} \right)\end{array} \right.\)
Vậy thể tích lớn nhất của chiếc hộp là: \(V\left( {15 - 5\sqrt 3 } \right) = 3897,114... \approx 3897\)(cm3)
|
|
Độ dày (chiều cao) quân cờ bằng \(20\)mm, đường kính mặt trên và mặt dưới của quân cờ bằng \(40\)mm. Biết rằng khối lượng riêng của đá cẩm thạch là \(D = 2,7\)(g/cm3) và công thức tính khối lượng là \(m = D.V\). Hỏi nghệ nhân cần chuẩn bị khối lượng đá tối thiểu là bao nhiêu gam để chế tác đủ bộ 32 quân cờ này? (Giả sử hao hụt trong quá trình gia công không đáng kể và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Chọn hệ trục tọa \(Oxy\) độ như hình vẽ
Gọi phương trình đường tròn \(\left( O \right)\) là \({x^2} + {y^2} = {R^2}\) và \(\left( O \right)\) đi qua \(M\left( {1;\,2} \right)\) nên \({R^2} = 5\)
Khi đó phương trình đường tròn là: \(y = \sqrt {5 - {x^2}} \)
Thể tích của một quân cờ tướng là: \({V_1} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {\sqrt {5 - {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x = \frac{{28\pi }}{3}} \)
Vậy khối lượng đá cần dùng để làm bộ cờ vua là: \(m = 32\left( {2,7.\frac{{28\pi }}{3}} \right) = \frac{{4032\pi }}{5} \approx 2533\) (gam)
 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture29-1779095869.png)
Gọi tấm bạt là một mặt phẳng \(\left( P \right)\), theo đề ta có \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\), điểm \(A\left( {2;5;1} \right)\) và tạo với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) một góc \[\alpha \] có \[\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {30} }}\].
Ta có đường thẳng \(OA\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;5;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\)
Khi đó: \(\sin \left( {OA;\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 5.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {30} }}\) suy ra \(\left( {OA;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left( {\left( P \right);\left( {Oxy} \right)} \right)\).
Suy ra giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) vuông góc với \(OA\).
Gọi \[d = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{u_{OA}}} }\\{\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow k }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{OA}}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {5; - 2;0} \right)\]
Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d \subset \left( P \right)}\\{OA \subset \left( P \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_d}} }\\{\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_{OA}}} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{OA}}} } \right] = \left( { - 2; - 5;29} \right)\] nên \(\left( P \right): - 2x - 5y + 29z = 0\).
Do bóng đèn có bán kính phủ sáng là 700 m nên vùng ánh sáng chiếu ra có dạng một hình cầu tâm \[I\left( {2;5;5} \right)\], bán kính \(R = 7\). Ta có: \[d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.2 - 5.5 + 29.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{29}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {870} }}{{15}}\].
 (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture30-1779095910.png)
Gọi bán kính đường tròn giao tuyến là \(r\) rồi áp dụng định lý Pytago, ta có:
\(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {{7^2} - {{\left( {\frac{{2\sqrt {870} }}{{15}}} \right)}^2}} \approx 5,79\).
Vậy bán kính đường tròn thu được trên tấm bạt là \[579\](m)
 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture31-1779095959.png)
Gọi \(a\) là số chàng trai đứng trước cô lại thứ nhất \({G_1}\) \(\left( {a \ge 0} \right)\)
\(b\) là số chàng trai ở giữa cô gái thứ nhất và cô gái thứ hai \({G_1} - {G_2}\) \(\left( {b \ge 1} \right)\)
\(c\) là số chàng trai ở giữa cô gái thứ hai và cô gái thứ ba \({G_2} - {G_3}\) \(\left( {c \in \left\{ {0;\,1;\,2} \right\}} \right)\)
\(d\) là số chàng trai đứng sau cô gái thứ ba \({G_3}\) \(\left( {d \ge 0} \right)\)
Do có \(6\) chàng trai nên \(a + b + c + d = 6\)
Trường hợp 1: Với \(c = 0\) suy ra \(a + b + d = 6\,\,\left( {b \ge 1} \right)\) nên \(b \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\)
\(b\) | \(a + d\) | Số nghiệm |
1 | 5 | 6 |
2 | 4 | 5 |
| 3 | 3 | 4 |
4 | 2 | 3 |
5 | 1 | 2 |
6 | 0 | 1 |
Vậy tổng số nghiệm trong trường hợp này bằng \(21\)
Trường hợp 2: Với \(c = 1\) suy ra \(a + b + d = 5\,\,\left( {b \ge 1} \right)\) nên \(b \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}\)
\(b\) | \(a + d\) | Số nghiệm |
1 | 4 | 5 |
2 | 3 | 4 |
3 | 2 | 3 |
4 | 1 | 2 |
5 | 0 | 1 |
Vậy tổng số nghiệm trong trường hợp này bằng \(15\)
Trường hợp 3: Với \(c = 2\) suy ra \(a + b + d = 4\,\,\left( {b \ge 1} \right)\) nên \(b \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4} \right\}\)
\(b\) | \(a + d\) | Số nghiệm |
1 | 3 | 4 |
2 | 1 | 3 |
3 | 1 | 2 |
4 | 0 | 1 |
Vậy tổng số nghiệm trong trường hợp này bằng \(10\)
Số cách chia \(6\) chàng trai vào \(6\) khoảng trống: \(21 + 15 + 10 = 46\) cách
Số cách xếp \(6\) chàng trai này là \(6! = 720\) cách
Vậy số cách xếp thỏa mãn là: \(T = 46.720 = 33120\) nên \(\frac{T}{{80}} = \frac{{33120}}{{80}} = 414\)
