Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 15
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}\) là
\(3\ln \left| {2x + 3} \right| + C\).
\(\frac{1}{3}\ln \left| {2x + 3} \right| + C\).
\(2\ln \left| {2x + 3} \right| + C\).
\(\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C\).
Đáp án đúng là D
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
\(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
\(S = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
\(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Đáp án đúng là A
Sau khi kiểm tra sức khỏe tổng quát, kết quả số cân nặng của học sinh lớp 12A sĩ số 40 HS được thể hiện trong bảng số liệu sau: ( Đơn vị: kg)
Cân nặng | \([40;50)\) | \([50;60)\) | \([60;70)\) | \([70;80)\) | \([80;90)\) |
Số học sinh | 7 | 12 | 12 | 7 | 2 |
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
\(50\)
\(50,5\).
\(52,5\).
\(55,5\).
\(\frac{{x + 1}}{1}\, = \,\frac{{y\, + \,3}}{2}\, = \,\frac{{z\, + \,2}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1}\, = \,\frac{{y\, - \,3}}{2}\, = \,\frac{{z\, - \,2}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x + 1}}{1}\, = \,\frac{{y\, + \,2}}{3}\, = \,\frac{{z\, - \,1}}{2}\).
\(\frac{{x - 1}}{1}\, = \,\frac{{y\, - \,2}}{3}\, = \,\frac{{z\, + \,1}}{2}\).
Hàm số số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình bên dưới:
Đường tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng có phương trình
\(x = 1\).
\(x = 2\).
\(x = - 2\).
\(x = - 1\).
\[\left[ {\frac{5}{2};\,\, + \infty } \right)\].
\(\left( {\frac{5}{2};\,\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;{{\log }_2}5} \right)\).
\(\left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right)\).
Điều kiện: \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)
Bất phương trình: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1 \Leftrightarrow x - 2 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{2}\)
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm \(T = \left[ {\frac{5}{2};\,\, + \infty } \right)\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 4\,;\,1} \right)\).
\(\left( {0\,; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;\,0\,} \right)\).
\(\left( {0\,;2} \right)\).
\[x + 2y + 3 = 0.\]
\[x + 2y + 3z = 0.\]
\[y + 2z + 3 = 0.\]
\[x + 2z + 3 = 0.\]
\(x = - 1;\,x = 2\).
Vô nghiệm.
\(x = 1;\,x = 2\).
\(x = 1;\,x = - 2\).
Phương trình đã cho tương đương \({5^{ - {x^2} + 2x + 3}} = {5^{x + 1}} \Leftrightarrow - {x^2} + x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2.\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - 1;\,x = 2\).
\[8.\]
\[ - 4.\]
3.
4.
\(\overrightarrow {BC'} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \).
Do \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên \(\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \) nên ta có:
\(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \)
\[\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\].
\[\left( {SBC} \right) \bot \left( {SIA} \right)\].
\[\left( {SDC} \right) \bot \left( {SAI} \right)\].
\[\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\].
Ta có: \[CD \bot AD\] (Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\)
Mặt khác: \(SA \cap AD = A\) và \(SA,AD \subset \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\)
Mà \[CD \subset \left( {SCD} \right)\] nên \[\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\]
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1\]
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi \)
Đạo hàm của hàm số đã cho là \[f'\left( x \right) = 2\sin 2x + 2\]
Nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) trên đoạn \[\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\] là \(x = \frac{\pi }{4}\)
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\] bằng \(2\pi \)
Xét mệnh đề a)
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) + 2.\frac{\pi }{2} + 1 = \pi \) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Đạo hàm \[f'\left( x \right) = - 2\sin 2x + 2\] nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Phương trình \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2\sin 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\]
Vì \[x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\] nên \[x = \frac{\pi }{4}\] nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Ta có \[f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi \]; \[f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1\]; \[f\left( \pi \right) = 2\pi + 2\].
Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\,\pi } \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi \] và \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]} f\left( x \right) = f\left( \pi \right) = 2\pi + 2\]
Khi đó tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\] bằng \(\pi + 2\) nên mệnh đề d) sai
\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập
Khả năng công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 30%
Xác suất công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty đã thắng thầu dự án 1 là \(0,5\)
Xác suất công ty không thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là \(0,25\)
Xét mệnh đề a)
Ta có \[P\left( A \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,4;\,\,P\left( B \right) = 0,5 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 0,5\] và \[P\left( {AB} \right) = 0,4\]
Vì \[P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\] nên \[A,B\] không độc lập nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Do \(A\overline B \) và \(\overline A B\) là hai biến cố xung khắc nên xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:
\[P\left( {A\bar B} \right) + P\left( {\bar AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,6 - 0,4 + 0,5 - 0,4 = 0,3\] nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Xác suất công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty đã thắng thầu dự án 1 là:
\[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {BA} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,6}} = \frac{2}{3}\] nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Xác suất công ty thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là:
\[P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{P\left( {B\bar A} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{0,5 - 0,4}}{{0,4}} = 0,25\]
Vậy xác suất công ty không thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là
\(P\left( {\overline B \left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - 0,25 = 0,75\) nên mệnh đề d) sai
\(f\left( x \right) - g\left( x \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right)\) và \(d\) bằng \(\frac{{27}}{4}a\)
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx > 0} \)
Giả sử phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(f\left( x \right)\) và đường thẳng \(d\) có diện tích bằng \(\frac{{27}}{4}\) thì khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành bằng \(\frac{1}{2}\)
Với \(x = - 1,x = 2\) thay vào biểu thức, ta thấy \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\) (thoả mãn) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {a{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)} \right|} \,dx = a\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\,dx = a\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)} \,dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + 4x} \right)} \right|} _{ - 1}^2 = \frac{{27}}{4}a\)
nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Gọi phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(\left( {2;\,0} \right)\) là: \(g\left( x \right) = k\left( {x - 2} \right)\)
Thay \(f\left( 0 \right) = 0\) vào biểu thức \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow k = 2a\)
Vậy đường thẳng \(d\) có phương trình là \(g\left( x \right) = 2a\left( {x - 2} \right)\), ta thế ngược lại, ta có :
\(f\left( x \right) - 2a\left( {x - 2} \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) + 2a\left( {x - 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x} \right) = ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
Vậy \[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^2 {ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx} = 0\] nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Từ câu b) \(\frac{{27}}{4}a = \frac{{27}}{4} \Rightarrow a = 1\) thì hàm số trở thành \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\) và đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại các điểm \(x = 0;\,x = 1;\,x = 2\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục \(Ox\) là :\(S' = \int\limits_0^2 {\left| {x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx} \)
Do tính đối xứng của hai phần diện tích trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) và \(\left[ {1;\,2} \right]\) nên ta chỉ cần tính một phần rồi nhân đôi
Khi đó : \(S' = 2\int\limits_0^1 {x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)dx} = \frac{1}{2}\)nên mệnh đề d) đúng
Phương trình mặt cầu giới hạn vùng phủ sóng trong không gian là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 8z - 4 = 0\)
Một người dùng điện thoại đứng ở vị trí \(A\left( {4;3;6} \right)\) nằm ngoài vùng phủ sóng nên không thể sử dụng dịch vụ của trạm
Vùng phủ sóng của trạm trên mặt đất (giả sử là mặt phẳng \(Oxy\)) là một hình tròn có diện tích bằng \(25\pi \) (km2)
Một chiếc flycam bay theo đường thẳng từ điểm \(M(2; - 7;1)\) đến điểm \(N(2;5;1)\). Quãng đường bay mà flycam nhận được tín hiệu sóng của trạm dài \(8\)km
Phương trình mặt cầu có dạng:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 2y + 1 + {z^2} - 8z + 16 = 25\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 8z - 4 = 0\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Khoảng cách từ \(I\) đến \(A\) là \(IA = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {24} < \sqrt {25} \) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt đất \(\left( {z = 0} \right):d\left( {I;z} \right) = \left| 4 \right| = 4 \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {4^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3\)
Khi đó diện tích hình tròn giao tuyến : \(S = \pi {r^2} = \pi {.3^2} = 9\pi \)(km2) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Phương trình đường thẳng \(MN\) đi qua \(M\left( {2; - 7;1} \right)\) và nhận một vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;12;0} \right) = \left( {0;1;0} \right)\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = - 7 + t}\\{z = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng và mặt cầu:
\({\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( { - 7 + t + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 4} \right)^2} = {5^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2\,\,}\\{t = 10}\end{array}} \right.\).
Lúc ấy, điểm đầu và cuối mà Flycam cắt mặt cầu là :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_1}\left( {2; - 5;1} \right)}\\{{A_2}\left( {2;3;1} \right)\,\,\,}\end{array}} \right. \Rightarrow {A_1}{A_2} = \sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 8\) (km) nên mệnh đề d) đúng
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2\) và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AC'D'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^{\rm{o}}}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD'\) và \(A'B\). (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy)
Vì \(\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\) nên góc giữa \(\left( {AC'D'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa \(\left( {AC'D'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {AC'D'} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = C'D'}\\{AD' \bot C'D'}\\{A'D' \bot C'D'}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left( {\left( {AC'D'} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = \left( {AD';\,A'D'} \right)\)\( = \widehat {AD'A'} = 30^\circ \).
Trong tam giác vuông \(AA'D'\) có \(AA' = A'D'.\tan 30^\circ = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Vì \(A'B\parallel CD'\) nên \(A'B\parallel \left( {ACD'} \right)\) suy ra \(d\left( {A'B;\,AD'} \right) = d\left( {A'B;\,\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {A';\,\left( {ACD'} \right)} \right)\)
Mặt khác \(A'B \cap \left( {ACD'} \right) = I\) là trung điểm của \(A'D\) nên \(d\left( {A';\,\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {D;\,\left( {ACD'} \right)} \right)\).
Tại \(D\) ta có ba tia \(DA,\,DC,\,DD'\) đôi một vuông góc nên:
\(\frac{1}{{{d^2}\left( {D;\,\left( {ACD'} \right)} \right)}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D{{D'}^2}}}\)\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\)
Suy ra \(d\left( {D;\,\left( {ACD'} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) hay \(d\left( {A'B;\,AD'} \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \approx 0,89\)
Với hệ trục toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\) như hình vẽ, điểm thấp nhất mà mực nước tiếp xúc với đường tròn tại điểm có toạ độ \(\left( {0; - 10} \right)\)
Xét tam giác vuông \(OKA\) vuông tại \(K\) có \[\sin \alpha = \frac{{AK}}{{OA}} \Rightarrow AK = OA.\sin \alpha = 10.\sin \alpha \]
Mặt khác, vì guồng nước dao động điều hoà nên \(AK = 10.\sin \left( {\omega t + \phi } \right)\)
Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{24}} = \frac{\pi }{{12}}\,\left( {rad/s} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\phi = 0\,\left( {t = 0,A \equiv M} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Rightarrow AK = 10.\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right).\)
Khi đó khoảng cách từ từ điểm \(M\) đến mặt nước bằng \(15\)m thì:
\[\begin{array}{l}AK - \left( { - 10} \right) = 10.\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right) + 10 = 15 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right) = \sin \left( {\frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{{12}}\,t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{\pi }{{12}}\,t = \left( {\pi - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{{12}}\,t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{\pi }{{12}}\,t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2 + 24k\,\,}\\{t = 10 + 24k}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\end{array}\]
Khi đó, 4 thời điểm đầu tiên tương ứng là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 2\,\,}\\{{t_2} = 10}\\{{t_3} = 26}\\{{t_4} = 34}\end{array}} \right.\,\,\left( s \right)\) với \({t_1},{t_2}:k = 0;{t_3},{t_4}:k = 1 \Rightarrow {t_1} + {t_2} + {t_3} + {t_4} = 72\)
Toạ độ điểm \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 2\) nên ta suy ra:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} = {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{y_B} = {u_1} + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{z_B} = {u_1} + 2 + 2 = {u_1} + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Mặt khác: \(B \in \left( P \right) \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + 2} \right) - \left( {{u_1} + 4} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow {u_1} = 5 \Rightarrow B\left( {5;7;9} \right)\)
Vì \(AM,\,MN,\,NB\) lập thành một cấp số cộng và \(MN\) dài hơn đoạn \(AM\) một khoảng đúng bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài đoạn \(AM\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = {v_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{MN = {v_1} + \frac{1}{3}{v_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{NB = {v_1} + \frac{1}{3}{v_1} + \frac{1}{3}{v_1}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = {v_1}\,\,\,}\\{MN = \frac{4}{3}{v_1}}\\{NB = \frac{5}{3}{v_1}\,\,}\end{array}} \right.\)
Mặt khác: \(AB = AM + MN + NB = {v_1} + \frac{4}{3}{v_1} + \frac{5}{3}{v_1} = 4{v_1} = 4AM \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow {AM} \).
Từ đó, \(\left( {12; - 12;24} \right) = 4\left( {a + 7;b - 19;c + 15} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4\left( {a + 7} \right) = 12\,\,\,\,\,\,}\\{4\left( {b - 19} \right) = - 1\,2}\\{4\left( {c + 15} \right) = 24\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 4}\\{b = 16\,}\\{c = - 9}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b + c = 3\).
Xét cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {16 - {x^2}} \)
Phần diện tích gạch màu hồng: \(S = 2.\int\limits_2^4 {\sqrt {16 - {x^2}} } {\rm{d}}x = 16\left. {\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{16\pi }}{3} - 4\sqrt 3 \)
Phần diện tích màu xanh: \(2.\left( {\frac{1}{4}\pi {{.4}^2} - \frac{{16\pi }}{3} + 4\sqrt 3 } \right) = - \frac{{8\pi }}{3} + 8\sqrt 3 \)
Phần diện tích còn lại: \(16 - \left( {\frac{{16\pi }}{3} - 4\sqrt 3 + \frac{{ - 8\pi }}{3} + 8\sqrt 3 } \right) = 16 - \frac{{8\pi }}{3} - 4\sqrt 3 \)
Số tiền để sơn biển quảng cáo:
\[\left( {\frac{{16\pi }}{3} - 4\sqrt 3 } \right).150{\rm{ 000}}\,{\rm{ + }}\left( {\frac{{ - 8\pi }}{3} + 8\sqrt 3 } \right).100{\rm{ 000}} + \left( {16 - \frac{{8\pi }}{3} - 4\sqrt 3 } \right).250{\rm{ 000}}\, \approx 2,2\] triệu đồng
- Nông trại ấn định giá bán buôn \(m\) (triệu đồng/tạ) để tối đa hóa lợi nhuận của nông trại
- Dựa vào mức giá \(m\) này, siêu thị quyết định số lượng nhập \(x\)(tạ) để tối đa hóa lợi nhuận của siêu thị.
Hỏi nông trại phải chào giá bán buôn \(m\) bằng bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất?
Theo giả thiết, \(x \in \left( {0;10} \right]\).
Khi đó lợi nhuận của siêu thị được xác định bởi :
\({L_1}\left( x \right) = x\left( {150 - x} \right) - \left( {{x^2} + 10x + 100} \right) - mx = - 2{x^2} + \left( {140 - m} \right)x - 100\)
Với \(x\left( {150 - x} \right)\) là doanh thu tính cho \(x\) sản phẩm, \({x^2} + 10x + 100\) là chi phí tính cho \(x\) sản phẩm và \(mx\) là chi phí nhập hàng tính cho \(x\) sản phẩm.
Khảo sát hàm số: \({L_1}^\prime \left( x \right) = - 4x + 140 - m = 0 \Rightarrow x = \frac{{140 - m}}{4}\) với \(x \in \left( {0;10} \right]\).
Mặt khác, lợi nhuận của nông trại được xác định bởi :
\({L_2}\left( m \right) = mx - 20x = x\left( {m - 20} \right) = \left( {\frac{{140 - m}}{4}} \right)\left( {m - 20} \right)\)
Với \(mx\) là doanh thu của nông trại tính cho \(x\) sản phẩm và \(20x\) là chi phí gốc để trồng và thu hoạch dâu tây tính cho \(x\) sản phẩm.
Khảo sát hàm số ta được \(m = 80 \Rightarrow x = 15 \notin \left( {0;10} \right]\).
Với \(x = 10 \Rightarrow m = 100 \Rightarrow L\left( m \right) = 800\) (triệu đồng)
Vậy với \(m = 100\) triệu đồng/tạ thì nông trại đạt lợi nhuận lớn nhất.
Gọi \(A\) là biến cố : cuộn thép ấy bị lỗi \( \Rightarrow P\left( A \right) = 10\% = 0,1 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,1 = 0,9\).
Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là biến cố: Cảm biến 1 báo lỗi và cảm biến 2 báo lỗi.
Gọi \(B\) là biến cố: Cuộn thép ấy bị loại
Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P\left( {{S_1}|A} \right) = 0,9}\\{P\left( {{S_2}|A} \right) = 0,8\,}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P\left( {{S_1}|\overline A } \right) = 0,1\,\,}\\{P\left( {{S_2}|\overline A } \right) = 0,05}\end{array}} \right.\).
Vì \({S_1},{S_2}\) độc lập với điều kiện \(L\) nên xác suất để cuộn thép bị loại trong điều kiện nó bị lỗi là:
\(P\left( {B|A} \right) = P\left( {{S_1}|A} \right).P\left( {{S_2}|A} \right) = 0,9.0,8 = 0,72\)
Từ đó, xác suất để cuộn thép bị loại trong điều kiện nó không bị lỗi là :
\(P\left( {B|\overline A } \right) = P\left( {{S_1}|\overline A } \right).P\left( {{S_2}|\overline A } \right) = 0,1.0,05 = 0,005\)
Xác suất cuộn thép ấy bị loại:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( A \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1.0,72 + 0,9.0,05 = 0,0765\)
Theo định lý Bayes, ta được:
\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,9.0,005}}{{0,0765}} \approx 0,06\)
