Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 14
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 1\) và \({u_2} = 4.\) Giá trị của \({u_3}\) bằng
\(9.\)
\( - 16.\)
\(7.\)
\( - 8.\)
Đáp án đúng là A
\(y' > 0,{\rm{ }}\forall x \ne 1.\)
\(y' > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
\(y' < 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
\(y' < 0,{\rm{ }}\forall x \ne 1.\)
\(16.\)
\(13.\)
\(15.\)
\(8.\)
Bất phương trình đã cho \( \Leftrightarrow 0 < 2x + 6 \le {\left( {0,5} \right)^{ - 5}} \Leftrightarrow 0 < 2x + 6 \le 32 \Leftrightarrow - 3 < x \le 13\)
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên có tất cả \(16\) nguyện nguyên thỏa mãn
Khoảng điểm | \({\rm{[}}6,5;{\rm{ }}7)\) | \([7;{\rm{ }}7,5)\) | \([7,5;{\rm{ }}8)\) | \({\rm{[}}8;{\rm{ }}8,5)\) | \([8,5;{\rm{ }}9)\) | \([9;{\rm{ }}9,5)\) | \([9,5;{\rm{ }}10)\) |
Tần số | \(7\) | \(10\) | \(17\) | \(24\) | \(13\) | \(8\) | \(5\) |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
\({\Delta _Q} = 1,1.\)
\({\Delta _Q} = 1.\)
\({\Delta _Q} = 1,2.\)
\({\Delta _Q} = 0,6.\)
Mặt khác: \(\frac{{3n}}{4} = 63 \Rightarrow {Q_3} = \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {7 + 10 + 17 + 24} \right)}}{{13}}.0,5 + 8,5 = \frac{{113}}{{13}}\)
\(\frac{n}{4} = 21 \Rightarrow {Q_1} = \frac{{\frac{n}{4} - 7 - 10}}{{17}}.\left( {8 - 7,5} \right) + 7,5 = \frac{{259}}{{34}}\)
Vậy khoảng tứ phân vị là: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{113}}{{13}} - \frac{{259}}{{34}} \approx 1,1\)
![Câu 5: Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh \(2\) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Độ dài của vectơ \(\vec u = \overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {A'A} \) bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture2-1779179696.png)
\(2\sqrt 2 .\)
\(\sqrt 3 .\)
\(2\sqrt 6 .\)
\(2\sqrt 3 .\)
Khi đó \[AC' = \sqrt {A{A^2} + A'{C^{\prime 2}}} = \sqrt {{2^2} + 8} = 2\sqrt 3 \]
\(1.\)
\(3.\)
\(0.\)
\(2.\)
\[\sin x + C'.\]
\[\cos x + C'.\]
\[ - \sin x + C'.\]
\[ - \cos x + C'.\]
Đáp án đúng là C
Ta có nên
\[60.\]
\[45.\]
\[90.\]
\[30.\]
Ta có: \({V_{C.ABB'A'}} = \frac{1}{3}.{S_{ABB'A'}}.d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{1}{3}.15.6 = 30\)
Mặt khác: \({V_{C.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.d\left( {C,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}} = \frac{1}{3}\) thể tích khối lăng trụ
Suy ra \({V_{C.ABB'A'}} = \frac{2}{3}\) thể tích khối lăng trụ nên \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}.30 = 45\).
\(x + 2y + z + 4 = 0.\)
\(x + 2y + z - 1 = 0.\)
\(x + 2y - z - 6 = 0.\)
\(x + 2y + z - 4 = 0.\)
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình: \(x + 2y + z + d = 0\) với \(d \ne 0\)
Điểm \(M \in \left( Q \right)\) nên suy ra \(1 + 2.2 + \left( { - 1} \right) + d = 0 \Rightarrow d = - 4\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là: \(x + 2y + z - 4 = 0.\)
\(171\pi .\)
\(171.\)
\(18\pi .\)
\[18.\]
\[\frac{{4\sqrt {29} }}{{29}} \cdot \]
\[\frac{{16}}{{29}} \cdot \]
\[\frac{{\sqrt {377} }}{{29}} \cdot \]
\[\frac{{13}}{{29}} \cdot \]
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_{\left( {Oxy} \right)}}} = \left( {0;\,0;\,1} \right)\)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là: \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {3;\,2;\,4} \right)\)
Ta có: \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{4}{{1.\sqrt {9 + 4 + 16} }} = \frac{4}{{\sqrt {29} }}\) suy ra \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt {377} }}{{29}}\).
\[14,026\] triệu đồng.
\[50,7\] triệu đồng.
\[4,026\]triệu đồng.
\[3,5\] triệu đồng.
Số tiền cả gốc và lãi sau \(5\) năm là: \({P_5} = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^5} = 10{\left( {1 + 7\% } \right)^5} \approx 14,026\) triệu đồng.
Vậy số tiền lãi mà người đó nhận là: \(14,026 - 10 = 4,026\) triệu đồng.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \[y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\] có đồ thị như hình vẽ sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 2;0} \right)\]
Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận xiên \[y = x + 1\]
Gọi \[A,{\rm{ }}B\] là hai điểm cực trị của hàm số đã cho thì diện tích của tam giác \[OAB\] bằng \[8\] (với \[O\] là gốc tọa độ)
Một trục đối xứng của đồ thị đã cho là \[d:y = \left( {x + 1} \right)\tan \frac{{3\pi }}{8}\]
Đồ thị đi xuống trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right),\left( { - 1;0} \right)\) nên nghịch biến trên các khoảng này nên mệnh đề a) sai.
Xét mệnh đề b)
Tiệm cận xiên qua hai điểm \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;1} \right)\) là \(y = x + 1\)nên mệnh đề b) đúng.
Xét mệnh đề c)
Hai điểm cực trị của đồ thị là \(A\left( {0;2} \right),B\left( { - 2; - 2} \right) \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {0.\left( { - 2} \right) - \left( { - 2} \right).2} \right| = 2\)nên mệnh đề c) sai.
Xét mệnh đề d)
Tiệm cận đứng \(x = - 1\). Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường phân giác của góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên:
\(\frac{{x - y + 1}}{{\sqrt 2 }} = \pm \left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = \left( {x + 1} \right) \pm \sqrt 2 \left( {x + 1} \right) = \left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)\left( {x + 1} \right)\) nên \({\rm{tan}}\left( {\frac{{3\pi }}{8}} \right) = 1 + \sqrt 2 \)nên mệnh đề d) đúng.
![Câu 2: Đường gấp khúc trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,3} \right]\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture7-1779180068.png)
Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có đúng một nghiệm trên khoảng \(\left( { - 2;\,3} \right)\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 2;\,x = 3\) là \(4\)(đvdt)
\(\int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 6\)
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 2;\,3} \right]\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) thì giá trị của \(F\left( { - 2} \right) = - 1\)
Trên đoạn\(\left[ {1;3} \right]\), đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {1;1} \right)\)và \(\left( {3; - 1} \right)\): \(f\left( x \right) = - x + 2\)
Xét mệnh đề a)
Trên đoạn\(\left[ {1;3} \right]\), cho \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \in \left( { - 2;3} \right)\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Từ đồ thị ta có
\[S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| 1 \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left| {\left( { - x + 2} \right)} \right|{\rm{d}}x = } 4\](dvdt) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
\[\int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 2}^1 {1{\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( { - x + 2} \right){\rm{d}}x = } 3\] nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Theo dữ kiện đề bài \(\int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 0 \right) - F\left( { - 2} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)\)trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\), ta có \(f\left( x \right) = 1\) nên do đó \(\int\limits_{ - 2}^0 {1{\rm{d}}x} = 2\)
Thay vào biểu thức: \(2 = 1 - F\left( { - 2} \right) \Rightarrow F\left( { - 2} \right) = 1 - 2 = - 1\) nên mệnh đề d) đúng
Gọi \(A\)là biến cố: “ Ngày thứ 7 trời nắng” và \(B\) là biến cố: “ Ngày chủ nhật trời mưa”.
\(P\left( A \right) = 0,7\)
\(P\left( {AB} \right) = 0,21\)
\(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,7\)
Xác suất để ngày chủ nhật trời nắng là \(0,8\)
Xét mệnh đề a)
Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào ngày thứ 7 là \(0,7\) nên \(P\left( A \right) = 0,7\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Nếu một ngày là nắng thì khả năng sảy ra mưa ở ngày tiếp theo là \(20\% \) nên \(P\left( {B|A} \right) = 0,2\)
Ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) = 0,2.0,7 = 0,14\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là \(30\% \) nên \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,3\)
Ta có: \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,3 = 0,7\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Xác suất để ngày chủ nhật trời nắng là \(P\left( {\overline B } \right)\)
\(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = 0,2.0,7 + 0,3.0,3 = 0,23 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,23 = 0,77\)nên mệnh đề d) sai
![Vậy \[M\left( {13;9,75;3,2} \right)\] nên mệnh đề d) đúng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture8-1779180174.png)
Bề rộng của lần nảy thứ 3 là \(2,5\)m
Độ cao cực đại của quả bóng ở lần nảy thứ \(4\) là \(2,5\)m
Nếu quả bóng nảy vô hạn lần, tổng độ dài hình chiếu đường đi của nó trên mặt sân bằng \(25\)m
Trong lần nảy thứ 3, quả bóng đạt độ cao cực đại tại điểm có tọa độ là \(M\left( {13;9,75;3,2} \right)\)
Gọi \({A_1} \in \left( {Oxy} \right)\) là điểm rơi xuống vị trí đầu tiên cách trục \(Ox\) là \(6\)m, cách trục \(Oy\) là \(8\)m\( \Rightarrow {A_1}\left( {8;6;0} \right)\) nên độ dài \(O{A_1} = \sqrt {{8^2} + {6^2} + {0^2}} = 10\) là bề rộng lần đầu của quả bóng
Gọi \({L_n}\) là bề rộng của lần nảy thứ \(n\) thì \({L_1} = 10\) và công bội \({q_L} = 0,5\)
\( \Rightarrow {L_n} = {L_1}.{\left( {{q_L}} \right)^{n - 1}} = 10 \cdot {\left( {0,5} \right)^{n - 1}}\)
Gọi \({H_n}\) là độ cao của lần nảy thứ \(n\) thì \({H_1} = 5\) và công bội \({q_H} = 0,8\)
\( \Rightarrow {H_n} = {H_1}.{\left( {{q_H}} \right)^{n - 1}} = 5.{\left( {0,8} \right)^{n - 1}}\)
Xét mệnh đề a)
Bề rộng lần thứ 3 là: \({L_3} = 10 \cdot {\left( {0,5} \right)^2} = 2,5\)(m) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Độ cao cực đại lần thứ 4 là: \({H_4} = 5 \cdot {\left( {0,8} \right)^3} = 2,56\)(m) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Tổng độ dài hình chiếu (tổng các bề rộng) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
\(S = \frac{{{L_1}}}{{1 - {q_L}}} = \frac{{10}}{{1 - 0,5}} = 20\)(m) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Độ cao cực đại lần 3 đạt được tại trung điểm của bề rộng \({L_3}\).
Khoảng cách từ gốc \(O\) đến điểm này trên mặt sàn là \(d = {L_1} + {L_2} + \frac{{{L_3}}}{2} = 10 + 5 + 1,25 = 16,25\)(m).
Tọa độ điểm \(M\) là:
\({x_M} = d.\cos \alpha = 16,25.\frac{8}{{10}} = 13\); \({y_M} = d.\sin \alpha = 16,25.\frac{6}{{10}} = 9,75\);\({z_M} = {H_3} = 5.{\left( {0,8} \right)^2} = 3,2\)
Vậy \[M\left( {13;9,75;3,2} \right)\] nên mệnh đề d) đúng
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) và có độ dài các cạnh\(AB = a\sqrt 3 \), \(BC = 2a\), \(AA' = a\sqrt 2 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C\) khi \(a = 1\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
![Vậy \[M\left( {13;9,75;3,2} \right)\] nên mệnh đề d) đúng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture9-1779180258.png)
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BB'\) thì \(MN{\rm{//}}B'C \Rightarrow B'C{\rm{//}}\left( {AMN} \right)\).
Ta có: \(d\left( {B'C,AM} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B',\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)\).
Dựng \(BI \bot AM,{\rm{ }}BH \bot NI\)\( \Rightarrow BH \bot \left( {AMN} \right)\) nên do đó \(d\left( {B'C,AM} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BH\).
Vì \(\Delta ABM\) vuông tại \(B\), ta có \[BM = \frac{{BC}}{2} = a\]; \(BI = \frac{{BA.BM}}{{\sqrt {B{A^2} + B{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta BIN\) vuông tại \(B\), ta có:
\(BN = \frac{{BB'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \(BH = \frac{{BN.BI}}{{\sqrt {B{N^2} + B{I^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\).
Vậy .
Khi đó, đường tròn được chia thành\(N\)cung nhỏ bằng nhau, mỗi cung có số đo là \(\frac{{360^\circ }}{N}\)
Góc ở đỉnh của "ngôi sao" là một góc nội tiếp
Nối một điểm với điểm cách nó 2 điểm nên mỗi bước nhảy chiếm 3 cung nhỏ
Hai cạnh của góc ở đỉnh xuất phát từ một điểm và đi về hai phía, mỗi phía chiếm 3 cung nhỏ. Vậy phần cung chứa đỉnh chiếm \(3 + 3 = 6\)cung nhỏ.
Cung bị chắn là phần còn lại của đường tròn: \(N - 6\) cung nhỏ
Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn:
Hàm chi phí trung bình có dạng:\(C\left( x \right) = \frac{{m{x^2} + nx + p}}{x} = mx + n + \frac{p}{x}\left( {x > 0} \right)\)
Theo đề bài, đồ thị có đường tiệm cận xiên là\(y = x + 4\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{n = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow C\left( x \right) = x + 4 + \frac{p}{x}\)
Ta có: \(C'\left( x \right) = 1 - \frac{p}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - p}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = p \Rightarrow x = \sqrt p \)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(C\left( x \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt p \)
Theo đề bài, chi phí sản xuất trung bình đạt mức thấp nhất (tối ưu nhất) là \(12\)nghìn đồng/sản phẩm \( \Leftrightarrow C\left( {\sqrt p } \right) = \sqrt p + 4 + \frac{p}{{\sqrt p }} = 2\sqrt p + 4 = 12 \Rightarrow p = 16\) suy ra\(C\left( x \right) = x + 4 + \frac{{16}}{x}\)
Mức sản lượng để chi phí trung bình ở mức \(14\) nghìn đồng/sản phẩm là:
\(C\left( x \right) = 14 \Rightarrow x + 4 + \frac{{16}}{x} = 14 \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 16 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 8}\end{array}} \right.\)
Vì \({x_0}\)là mức sản lượng lớn hơn nên ta chọn \({x_0} = 8\)
Tốc độ thay đổi của chi phí sản xuất trung bình tại mức sản lượng \({x_0} = 8\)chính là giá trị đạo hàm tại điểm đó:\({y_0} = C'\left( 8 \right) = 1 - \frac{{16}}{{{8^2}}} = 0,75\) nên
Đường thẳng \(CD\) nằm trong mặt phẳng \(Oxy\)đi qua \(D\left( {0;12} \right)\)và \(C\left( {30;6} \right)\) có phương trình:
\(w\left( x \right) = \frac{{6 - 12}}{{30 - 0}}\left( {x - 0} \right) + 12 \Rightarrow w\left( x \right) = - \frac{1}{5}x + 12\)
Xét mặt cắt tại\(K\)có bề trộng \(KE = w\)
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\)sao cho \(K \equiv O\left( {0;0} \right)\), tia \(KE \equiv Ox\), tia \(KF \equiv Oy\)
Tọa độ các điểm \[K\left( {0;0} \right),\,E\left( {w;0} \right),F\left( {0;w} \right)\] nên phương trình Parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\)
Đi qua \(F\left( {0;w} \right) \Rightarrow c = w\) và \(E\left( {w;0} \right) \Rightarrow a{w^2} + bw + w = 0 \Rightarrow b = - aw - 1\)
Tọa độ đỉnh \(S\left( {h;k} \right)\) với \(h = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{aw + 1}}{{2a}}\); tung độ đỉnh \[k = y\left( h \right) = - \frac{{{{\left( {aw + 1} \right)}^2}}}{{4a}} + w\]
Hình chiếu của \(S\) lên \(KE\) là \(H\left( {h;0} \right)\), ta có: \[EH = w - h = \frac{{aw - 1}}{{2a}}\]
Theo giả thiết: \(SH = 3EH \Rightarrow - \frac{{{{\left( {aw + 1} \right)}^2}}}{{4a}} + w = 3\left( {\frac{{aw - 1}}{{2a}}} \right)\)
Giải phương trình ta thu được \[aw = - 5 \Rightarrow a = - \frac{5}{w}\left( {a < 0} \right)\] và \(b = 4\)\( \Rightarrow \left( P \right):y = - \frac{5}{w}{x^2} + 4x + w\)
Thiết diện \(S\left( w \right) = \int\limits_0^w {\left( { - \frac{5}{w}{x^2} + 4x + w} \right){\rm{d}}x = \frac{4}{3}} {w^2}\)
Vậy thể tích không gian bên trong khu nhà kính là: \(V = \int\limits_0^{30} {\frac{4}{3}} {\left( { - \frac{1}{5}x + 12} \right)^2}{\rm{d}}x = 3360\)(m3)
Ta có các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;4; - 3} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \({\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\)
Phương trình mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)là: \(\left( \alpha \right):x - y - 1 = 0\)
Gọi tâm đường tròn là \(I\left( {x;y;z} \right)\) và do \(I \in \left( \alpha \right) \Rightarrow y = x - 1\)
Do \(I\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác\(ABC\)nên \(I{A^2} = I{B^2}\) và \(I{A^2} = I{C^2}\)
Từ \(I{A^2} = I{B^2}\) \[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1 - 0} \right)^2} + {\left( {z - 8} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {x - 1 - 1} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2}\]\( \Leftrightarrow 4x - 2z + 9 = 0 \Rightarrow 2z = 4x + 9\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Từ \(I{A^2} = I{C^2}\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {z - 8} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {x - 1 - 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 16x - 6z - 9 = 0(2)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)\(16x - 3\left( {4x + 9} \right) - 9 = 0 \Rightarrow x = 9\)
Suy ra \(y = 8\)và \(z = 22,5\) có ttâm \(I\left( {9;8;22,5} \right)\) và bán kính \({R^2} = I{A^2} = 338,25 \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {1353} }}{2}\)
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\)nằm trên đường tròn\(\left( C \right)\), do đó \(M\)thỏa mãn :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x - 1}\\{{{\left( {x - 9} \right)}^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + {{\left( {z - 22,5} \right)}^2} = {R^2} \Leftrightarrow 2{{\left( {x - 9} \right)}^2} + {{\left( {z - 22,5} \right)}^2} = 338,25\left( * \right)}\end{array}} \right.\)
Vì \({\left( {z - 22,5} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(z\), nên từ phương trình \(\left( * \right)\)suy ra :
\(\left( * \right) \Rightarrow 2{\left( {x - 9} \right)^2} \le 338,25 \Leftrightarrow - \sqrt {169,125} \le x - 9 \le \sqrt {169,125} \Leftrightarrow 9 - \sqrt {169,125} \le x \le 9 + \sqrt {169,125} \)
Từ đề bài, ta có: \({d_1}\left( {M,\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| x \right|\) và \({d_2}\left( {M,\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| y \right| = \left| {x - 1} \right|\)
Vậy biểu thức vần tìm là: \(f\left( x \right) = \left| x \right| + 2\left| {x - 1} \right|\)với \(x \in \left[ {9 - \sqrt {169,125} ;9 + \sqrt {169,125} } \right]\)
Đây là hàm số bậc nhất trên từng khoảng (hàm liên tục nhưng không có đạo hàm tại \(x = 0\) và\(x = 1\))
Đồ thị của nó là các đoạn thẳng nối lại với nhau nên giá trị lớn nhất sẽ nằm ở một trong hai đầu mút của đoạn
Tại \(x = 9 - \sqrt {169,125} \Rightarrow f\left( {9 - \sqrt {169,125} } \right) \approx 14\)
Tại \(x = 9 + \sqrt {169,125} \Rightarrow f\left( {9 + \sqrt {169,125} } \right) \approx 64\)
Vậy giá trị lớn nhất là
Trường hợp 1: Bộ số \[\left( {4;4;0;0;0} \right)\]
Chọn \(2\)bộ trong \(5\)bộ để lấy đủ \(4\)miếng: \(C_5^2\)cách
Trong mỗi bộ đã chọn, lấy cả\(4\)miếng \({\left( {C_4^4} \right)^2} = 1\) cách
Tổng số cách chọn cho trường hợp này \[C_5^2.1 = 10\]cách
Trường hợp 2: Bộ số \(\left( {4;3;1;0;0} \right)\)
Số cách chọn bộ:
- Chọn \(1\) bộ lấy \(4\)miếng \(C_5^1\)cách
- Chọn \(1\) bộ (trong \(4\) bộ còn lại) lấy \(3\) miếng \(C_4^1\) cách
- Chọn \(1\) bộ (trong \(3\)bộ còn lại) lấy \(1\) miếng \(C_3^1\) cách
- Số cách chọn miếng: \[C_4^4.C_4^3.C_4^1 = 16\]cách
Tổng số cách chọn cho trường hợp này: \[\left( {C_5^1.C_4^1.C_3^1} \right).16 = 960\] cách
Trường hợp 3: Bộ số \(\left( {4;2;2;0;0} \right)\)
Số cách chọn bộ:
- Chọn \(1\)bộ lấy \(4\)miếng:\(C_5^1\)cách
- Chọn \(2\) bộ (trong \(4\)bộ còn lại) lấy \(2\) miếng: \(C_4^2\)cách
- Số cách chọn miếng: \(C_4^4.{\left( {C_4^2} \right)^2} = 36\)cách
Tổng số cách chọn cho trường hợp này: \[\left( {C_5^1.C_4^2} \right).36 = 1080\] cách
Trường hợp 4: Bộ số \[\left( {4;2;1;1;0} \right)\]
Số cách chọn bộ:
- Chọn \(1\) bộ lấy \(4\)miếng:\(C_5^1\) cách
- Chọn \(1\) bộ (trong \(4\)bộ còn lại) lấy \(2\) miếng: \(C_4^1\)cách
- Chọn \(2\) bộ (trong \(3\)bộ còn lại) lấy \(1\) miếng:\(C_3^2\)cách
Số cách chọn miếng: \[C_4^4.C_4^2.{\left( {C_4^1} \right)^2} = 96\]cách
Tổng số cách chọn cho trường hợp này: \[\left( {C_5^1.C_4^1.C_3^2} \right).96 = 5760\] cách
Trường hợp 5: Bộ số \(\left( {4;1;1;1;1} \right)\)
Số cách chọn bộ:
- Chọn \(1\)bộ lấy \(4\)miếng:\(C_5^1\)cách
- \(4\) bộ còn lại đều phải lấy \(1\) miếng: \(C_4^4\)cách
Số cách chọn miếng: \(C_4^4.{\left( {C_4^1} \right)^2} = 256\)cách
Tổng số cách chọn cho trường hợp này: \[C_5^1.256 = 1280\]cách
Tổng số trường hợp thuận lợi: \(n\left( A \right) = 10 + 960 + 1080 + 5760 + 1280 = 9090\)
Vậy xác suất cần tìm là:
