Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 12
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left| x \right|\) là:
\(D = \left( {0;\, + \infty } \right)\).
\(D = \mathbb{R}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Đáp án đúng là D
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 2;2} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( { - 2;1} \right)\).
\(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(q = - \frac{1}{2}\).
\(q = - 2\).
\(q = - 18\).
\(q = - 6\).
\(\left( {2; - 2;4} \right)\).
\(\left( {2;0;0} \right)\).
\(\left( {1; - 1;2} \right)\).
\(\;\left( { - 2;2; - 4} \right)\).
\(\pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\).
\({e^2} - e - \frac{5}{2}\).
\(\pi \left( {{e^2} - e - \frac{5}{2}} \right)\).
\({e^2} - e - \frac{3}{2}\).
Hàm số \(y = \sqrt {{e^x} - x} \) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {1;\,\,2} \right]\) nên thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {{e^x} - x} ,\)\(y = 0,\,\,x = 1,\,\,x = 2\) xung quanh trục Ox là:
\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt {{e^x} - x} } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} - x} \right)dx} = \left. {\pi \left( {{e^x} - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_1^2\)\( = \pi \left[ {\left( {{e^2} - \frac{1}{2}{{.2}^2}} \right) - \left( {{e^1} - \frac{1}{2}{{.1}^2}} \right)} \right] = \pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\).
\({\log _3}\left( {26a} \right)\).
9.
3.
\(3 - 2{\log _3}a\).
Đáp án đúng là C
Ta có: \({\log _3}\left( {27a} \right) - {\log _3}a = {\log _3}27 + {\log _3}a - {\log _3}a = 3\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
\(\;\overrightarrow {{u_1}} = \left( {4;2; - 6} \right)\).
\(\;\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 2;1;3} \right)\).
\(\;\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;0;2} \right)\).
Đáp án đúng là C
Phương trình đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{ - y}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 6}}\) được viết lại \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 6}}\)
Suy ra một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\;\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 2\,;1\,;\,3} \right)\).
\(y = - 1\).
\(x = - 1\).
\(y = 2\).
\(x = 2\).
Đáp án đúng là C
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) thì ta có \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2\,\,;\,\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2\,\).
Suy ra \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\).
\({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 25\).
\({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
\({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\).
\(V = 2\pi {R^2}h\).
\(V = \frac{4}{3}\pi {R^2}h\).
\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\).
\(V = \pi {R^2}h\).
\[\int\limits_1^3 {\left( {{2^x} - 2} \right)\,{\rm{d}}x} \].
\[\int\limits_1^3 {\left( {{2^x} + 2} \right)\,{\rm{d}}x} \].
\(\int\limits_1^3 {\left( {2 - {2^x}} \right)\,{\rm{d}}x} \).
\(\int\limits_1^3 {{2^x}\,{\rm{d}}x} \).
Hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ được giới hạn bởi các đường \(y = {2^x},y = 2,x = 1\) và \(x = 3\).
Do đó diện tích hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ bằng \(\int\limits_1^3 {\left| {{2^x} - 2} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left( {{2^x} - 2} \right)\,{\rm{d}}x} \).
Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 được mẫu số liệu sau:
Khoảng điểm | \(\left[ {6,5;\,7} \right)\) | \(\left[ {7;\,7,5} \right)\) | \(\left[ {7,5;\,8} \right)\) | \(\left[ {8;\,8,5} \right)\) | \(\left[ {8,5;\,9} \right)\) | \(\left[ {9;\,9,5} \right)\) | \(\left[ {9,5;\,10} \right)\) |
Tần số | \(8\) | \(10\) | \(16\) | \(24\) | \(13\) | \(7\) | \(4\) |
Phương sai của mẫu số liệu về điểm trung bình môn Toán của các học sinh đó là
0,616.
0,785.
0,78.
0,609.
Cỡ mẫu \(n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82\).
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\bar x = \frac{{8.6,75 + 10.7,25 + 16.7,75 + 24.8,25 + 13.8,75 + 7.9,25 + 4.9,75}}{{82}} = \frac{{333}}{{41}}\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{{82}}\left( {{{8.6,75}^2} + {{10.7,25}^2} + {{16.7,75}^2} + {{24.8,25}^2} + {{13.8,75}^2} + {{7.9,25}^2} + {{4.9,75}^2}} \right) - {\left( {\frac{{333}}{{41}}} \right)^2}\)
\( \simeq 0,609\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x\cos x + 2x\) trên \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\)
Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f\prime \left( x \right) = 4\sin 2x + 2\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(4\) điểm cực trị thuộc \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\)
Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{{2\pi }}{3} + \sqrt 3 \)
Ta có: \(f\left( x \right) = 4\sin x\cos x + 2x = 2\sin 2x + 2x\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 4\cos 2x + 2\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right],f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3}; - \frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}; - \frac{{2\pi }}{3}} \right\}\).
Vẽ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\).
Từ bảng biến thiên ta thấy trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) hàm số có 4 điểm cực trị nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Do \( - 1 > - \frac{\pi }{3}\) nên khoảng \(\left( { - 2;\, - 1} \right)\) không là tập con của khoản \(\left( { - \frac{{2\pi }}{3};\, - \frac{\pi }{3}} \right)\)
Tại \(x = - 1 \in \left( { - 2;\, - 1} \right)\) có \(f'\left( { - 1} \right) = 4\cos \left( { - 2} \right) + 2 = 0,336 > 0\) do đó hàm số đã cho đồng biến nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\)
Trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3}\) và ta có \(f\left( 0 \right) = 0;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi ;f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{2\pi }}{3} + \sqrt 3 .\)
Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{{2\pi }}{3} + \sqrt 3 \) đạt khi \(x = \frac{\pi }{3}\) nên mệnh đề d) đúng
Phương trình của parabol có dạng \(y = a{\left( {x - 2} \right)^2}\)
Parabol đi qua điểm \(\left( {5;\,4,6} \right)\)
Diện tích phần hình phẳng bị gạch chéo bằng \(\frac{{26}}{3}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và hai trục tọa độ bằng \(\frac{4}{3}\)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm\(\left( {0;2} \right)\).
Thay tọa độ này vào phương trình ta được: \(2 = a{\left( {0 - 2} \right)^2} \Rightarrow a = \frac{1}{2}\) nên \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{\left( {x - 2} \right)^2}\)
Xét mệnh đề a)
Dựa vào tọa độ đỉnh\(I\left( {2;0} \right)\) như đã phân tích ở trên nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Thay \(x = 5\)vào phương trình parabol: \(y = \frac{1}{2}{\left( {5 - 2} \right)^2} = 4,5\, \ne 4,6\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Phần gạch chéo giới hạn bởi parabol\(\left( P \right)\), hai đường thẳng \[x = 3,{\rm{ }}x = 5.\]
Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_3^5 {\frac{1}{2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{13}}{3} \ne \frac{{26}}{3}\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Hình phẳng này giới hạn bởi parabol, trục tung \[\left( {x = 0} \right)\] và trục hoành\[\left( {y = 0} \right)\]. Điểm cắt của parabol với trục hoành là \[x = 2.\]
Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{4}{3}\) nên mệnh đề d) đúng
Số phần tử của không gian mẫu là \[200\]
Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là \[\frac{{483}}{{500}}\]
Xác suất để lấy được sản phẩm không tốt ở máy I là \[\frac{8}{{19}}\]
Khả năng lấy được sản phẩm không tốt của máy II là thấp hơn máy I
Xét mệnh đề a)
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 200\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Gọi \[{K_1}\] là biến cố lấy được phế phẩm của nhà máy I.
Gọi \[{K_2}\] là biến cố lấy được phế phẩm của nhà máy II.
Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm tốt: \[P\left( {{K_1}} \right) = 0,04 \Rightarrow P\left( {{{\overline K }_1}} \right) = 0,96\].
\[P\left( {{K_2}} \right) = 0,03 \Rightarrow P\left( {{{\overline K }_2}} \right) = 0,97\].
Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là \[P\left( B \right) = \frac{{C_{80}^1}}{{C_{200}^1}}.0,96 + \frac{{C_{120}^1}}{{C_{200}^1}}.0,97 = \frac{{483}}{{500}} = 0,966\] nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Xác suất để lấy được sản phẩm không tốt là \[P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{483}}{{500}} = \frac{{17}}{{500}} = 0,034\].
Xác suất để lấy được sản phẩm không tốt ở máy I là
\[ \Rightarrow P\left( {{K_1}|\overline B } \right) = \,\frac{{P\left( {{K_1}} \right)P\left( {\left. {\overline B } \right|{K_1}} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{C_{80}^1.0,04}}{{C_{200}^1.0,034}} = \frac{8}{{17}} = 0,47\] nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Xác suất để lấy được sản phẩm không tốt ở máy II là
\[ \Rightarrow P\left( {\left. {{K_2}} \right|\overline B } \right) = \,\frac{{P\left( {{K_2}} \right)P\left( {\left. {\overline B } \right|{K_2}} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{C_{120}^1.0,03}}{{C_{200}^1.0,034}} = \frac{9}{{17}} \approx 0,53\] nên mệnh đề d) sai
Vậy khả năng lấy được sản phẩm không tốt ở máy II cao hơn máy I.
\(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)\)
Điểm \(S\) nằm trên mặt phẳng \(x + y + z = 9\)
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng \(90\)
Xét điểm \(T\) nằm trên tia đối của tia \(SC\) thỏa mãn \(ST = 22\). Khi đó, gọi \(H\left( {a;\,b;\,c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(T\) lên đường thẳng \(AB\) thì biểu thức \(4a + 2b + 3c > 0\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 8; - 2} \right)\)và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 4;0} \right).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \({\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 8; - 4;8} \right) = - 4\left( {2;1; - 2} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(C\left( {0;4;0} \right)\) là:\(\left( {ABC} \right):\,\,2x + y - 2z - 4 = 0\)
Xét mệnh đề b)
Vì \(SC \bot \left( {ABC} \right)\) nên đường thẳng \(SC\)nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương
Tọa độ điểm \(S\)có dạng: \(S\left( {2k;4 + k; - 2k} \right)\)(với \(k\)là tham số)
Độ dài \(SC = 15 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2k} \right)}^2} + {k^2} + {{\left( { - 2k} \right)}^2}} = 15 \Leftrightarrow 3\left| k \right| = 15 \Leftrightarrow k = \pm 5.\)
Xét vị trí của\(S\)và gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) đối với mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\):
Thay\(O\left( {0;0;0} \right)\) vào \(\left( {ABC} \right)\)thì ta có\(f\left( {0;0;0} \right) = - 4 < 0\)
Vậy để \(S\)và \(O\)nằm khác phía, ta cần tính\(f\left( S \right) > 0\)
Với \(k = 5 \Rightarrow S\left( {10;9; - 10} \right)\) ta có \(f\left( S \right) = 45 > 0\)(thỏa mãn)
Với \(k = - 5 \Rightarrow S\left( { - 10; - 1;10} \right)\) ta có \(f\left( S \right) = - 45 < 0\)(loại)
Vậy \[S\left( {10;{\rm{ }}9;{\rm{ }} - 10} \right)\] thay vào \(x + y + z = 9\) ta thấy \(10 + 9 + \left( { - 10} \right) = 9\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Diện tích tam giác đáy \(ABC:\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {8^2}} = \frac{1}{2}.12 = 6.\)
Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SC = \frac{1}{3}.6.15 = 30\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Tia \(SC\) bắt đầu từ \(S\)qua \(C\). Tia đối của tia \(SC\)cũng bắt đầu từ \(S\)nhưng đi hướng ngược lại.
Vì \(T\) thuộc tia đối của \(SC\) và \(ST = 22\), vectơ \(\overrightarrow {ST} \)cùng hướng với \(\overrightarrow {CS} = \left( {10;5; - 10} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {ST} = \frac{{22}}{{15}}\overrightarrow {CS} = \left( {\frac{{44}}{3};\frac{{22}}{3}; - \frac{{44}}{3}} \right) \Rightarrow T\left( {\frac{{74}}{3};\frac{{49}}{3}; - \frac{{74}}{3}} \right).\)
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(B\left( {0;0; - 2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 4; - 1} \right)\)
\(H \in AB \Rightarrow H\left( {t; - 4t; - 2 - t} \right)\) thì ta có \(\overrightarrow {TH} = \left( {t - \frac{{74}}{3}; - 4t - \frac{{49}}{3}; - t + \frac{{68}}{3}} \right)\)
Vì \(TH \bot AB\) nên \(\overrightarrow {TH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \left( {t - \frac{{74}}{3}} \right) - 4\left( { - 4t - \frac{{49}}{3}} \right) - 1\left( { - t + \frac{{68}}{3}} \right) = 0 \Rightarrow 18t + 18 = 0 \Rightarrow t = - 1\)
Tọa độ \(H\left( { - 1;4; - 1} \right)\).
Biểu thức \(4a + 2b + 3c = 4.\left( { - 1} \right) + 2.4 + 3.\left( { - 1} \right) = 1 > 0\) nên mệnh đề d) đúng
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(2,\,\widehat {ABC} = 120^\circ ,SB = 2\). Mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) vuông góc với đáy và cạnh bên \(SA\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^ \circ }\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng bao nhiêu?
Tứ giác \(ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh bằng \(2\) và góc \(\widehat {ABC} = 120^\circ \) nên tam giác \(ADB\) là tam giác đều cạnh bằng 2
Xét khối chóp \(B.DSA\) có \(BA = BS = BD = 2\) suy ra khối chóp \(B.DSA\) là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau nên chân đường cao kẻ từ \(B\) là điểm \(K\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DSA\).
Mà \(\left( {BAD} \right) \bot \left( {DSA} \right)\) và \(\Delta BDA\) đều nên \(BK \bot AD\) tại điểm \(K\)là trung điểm của \(AD\).
Từ đó ta thấy rằng \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta DSA\) và là trung điểm của \(AD\) nên tam giác \(\Delta DSA\) vuông tại \(S\).
Suy ra \(SA = \cos \widehat {SAD}.AD = \cos 60^\circ .2 = 1\) và \(SH = \sin \widehat {SAH}.SA = \sin 60^\circ .1 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = 2.{V_{S.ADB}} = 2.\frac{1}{3}.SH.{S_{ADB}} = 2.\frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.{\left( 2 \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 1\)
Từ tâm \({O_2}\), kẻ đường thẳng song song với đoạn \(AB\). Kéo dài bán kính \({O_1}A\) cắt đường thẳng vừa kẻ tại \(H\)
Xét tứ giác \(AB{O_2}H\) có ba góc vuông nên \(AB{O_2}H\) là hình chữ nhật
Khi đó: \(AH = {O_2}B = r = 15\)cm và \({O_2}H = AB\)
Xét \(\Delta {O_1}H{O_2}\) vuông tại \(H\) có \({O_1}H = {O_1}A + AH = R + r = 30 + 15 = 45\)cm và \({O_1}{O_2} = d = 90\)cm
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta {O_1}H{O_2}:\)\({O_2}H = \sqrt {{O_1}O_2^2 - {O_1}{H^2}} = \sqrt {{{90}^2} - {{45}^2}} = 45\sqrt 3 \)cm
Vì \(AB = {O_2}H\) nên chiều dài một đoạn dây thẳng là \(45\sqrt 3 \)cm
Do có 2 đoạn chéo nhau, tổng chiều dài phần dây thẳng là \(90\sqrt 3 \)cm và đặt \(\alpha = \widehat {H{O_1}{O_2}}\)
Xét tam giác vuông \({O_1}H{O_2}\), ta có: \(\cos \left( \alpha \right) = \frac{{{O_1}H}}{{{O_1}{O_2}}} = \frac{{45}}{{90}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ = \frac{\pi }{3}\)rad (góc này là cung nhỏ) nên góc ở tâm \(\widehat {A{O_1}A'} = 2\alpha = 120^\circ = \frac{{2\pi }}{3}\)rad
Vậy góc của phần cung mà dây ôm vào ròng rọc lớn là: \({\varphi _1} = 2\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\)rad
Mặt khác \({O_1}A \bot AB\)và \({O_2}B \bot AB\)nên \({O_1}A//{O_2}B\)
Đường thẳng \({O_1}{O_2}\)cắt hai đường thẳng song song này tạo ra các góc so le trong bằng nhau
Do đó góc hợp bởi bán kính ròng rọc nhỏ và đường nối tâm cũng bằng \(\alpha = 60^\circ \)
Tương tự suy ra góc ôm dây trên ròng rọc nhỏ cũng là: \({\varphi _2} = 2\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\)rad
Chiều dài cung trên ròng rọc lớn: \({L_R} = R.{\varphi _1} = 30.\frac{{4\pi }}{3} = 40\pi \)cm
Chiều dài cung trên ròng rọc nhỏ: \({L_r} = r.{\varphi _2} = 15.\frac{{4\pi }}{3} = 20\pi \)cm
Tổng chiều dài dây curoa \(L\)là: cm
Quãng đường máy bay \(A\) đã bay: \({d_A} = 800.2,25 = 1800\)km
Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là một vectơ chỉ phương
Mặt khác ta có \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) hợp với các trục tọa độ các góc bằng nhau
Đặt \(a = \cos \alpha ,\,\,b = \cos \beta ,\,\,c = \cos \gamma \).
Và một tính chất bất biến trong không gian là:\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\left( * \right)\)
Đề bài cho biết máy bay bay theo tia hợp với các trục tọa độ các góc bằng nhau.
Nghĩa là \(\alpha = \beta = \gamma \Rightarrow \cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma \)thay vào \(\left( * \right) \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Vậy tọa độ điểm \(A\) là: \(OA = 1800.\overrightarrow u = \left( {600\sqrt 3 ;600\sqrt 3 ;600\sqrt 3 } \right)\)
Thời gian bay của máy bay \(B\) là \({t_B} = 2\)(giờ) và quãng đường máy bay \(B\) đã bay: \({d_B} = 2 \cdot {v_B}\)
Xuất phát từ \(P\left( {80\sqrt 6 ;0;0} \right)\) và bay theo hướng tương tự máy bay \(A\):
\(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OP} + {d_B}.\overrightarrow u = \left( {80\sqrt 6 + \frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }};\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }};\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Vậy \(AB = \sqrt {{{\left( {80\sqrt 6 + \frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }} - 600\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }} - 600\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }} - 600\sqrt 3 } \right)}^2}} = 160 \Leftrightarrow {v_B} \approx 843\)km
Hình chiếu vuông góc của \(\overrightarrow v \)lên mặt phẳng đáy \(\left( {Oxy} \right)\) là \({\overrightarrow v _{xy}} = \left( {1;\sqrt 2 ;0} \right)\).
Độ dài \(\left| {{{\overrightarrow v }_{xy}}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \)
Ta thực hiện phép xoay trục: Giữ nguyên trục \(Oz\), ta xoay hệ trục \(Oxy\) quanh \(O\) thành hệ trục \(OXY\)sao cho trục \(OX\) mới trùng với hướng của \({\overrightarrow v _{xy}}\).
Trong hệ tọa độ \(OXYZ\)mới:
Khối bán cầu là khối tròn xoay quanh \(Oz\)nên phương trình không đổi: \({X^2} + {Y^2} + {Z^2} \le 4\)
Vectơ chỉ phương của tia sáng lúc này chỉ còn thành phần trên trục \(OX\)và \(OZ\) tọa độ mới của nó là: \({\overrightarrow {v'} _{xy}} = \left( {\left| {{{\overrightarrow v }_{xy}}} \right|;0;{v_z}} \right) = \left( {\sqrt 3 ;0; - 1} \right)\)
Bóng của chính mặt đáy bán cầu: Do đáy bán cầu đã nằm sẵn trên mặt đất, bóng của nó chính là hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 2\) có phương trình \(\left( C \right):{X^2} + {Y^2} \le 4\)
Bóng của phần mặt cong bán cầu: Gọi \(M\left( {{X_0};{Y_0};{Z_0}} \right)\)là điểm tiếp xúc thì vectơ pháp tuyến tại điểm \(M\) là \[\vec n = \left( {{X_0};{Y_0};{Z_0}} \right)\]
Điều kiện tiếp xúc (tia sáng vuông góc với pháp tuyến): \[\overrightarrow n .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 {X_0} - {Z_0} = 0 \Rightarrow {Z_0} = \sqrt 3 {X_0}\]
Thay \({Z_0}\)vào phương trình mặt cầu, ta được phương trình đường cong tiếp xúc:
\[X_0^2 + Y_0^2 + Z_0^2 = 4 \Leftrightarrow 4X_0^2 + Y_0^2 = 4\]
Một tia sáng đi qua \(M\)có phương trình tham số:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X = x + t}\\{Y = y + \sqrt 2 t}\\{Z = z - t}\end{array}} \right.\) và tia sáng qua \(M\)chạm đất khi \(Z = 0 \Rightarrow t = {Z_0} = \sqrt 3 {X_0}\)
Tọa độ điểm bóng trên mặt đất là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = {X_0} + \left( {\sqrt 3 {X_0}} \right)\sqrt 3 = 4{X_0} \Rightarrow {X_0} = \frac{X}{4}}\\{Y = {Y_0}}\end{array}} \right.\)
Thế vào phương trình trên, ta được đường viền của bóng cong là một nửa Elip
\(\left( E \right):\frac{{{X^2}}}{{16}} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\left( {X \ge 0} \right)\)
Bóng trên mặt đất là sự hợp nhất của hình tròn \(\left( C \right)\)và nửa Elip \(\left( E \right)\). Do nửa Elip bao trùm hoàn toàn nửa phải của hình tròn, nên hình phẳng tạo thành bóng được giới hạn bởi:
Nửa trái là đường tròn \({X^2} + {Y^2} = 4 \Rightarrow Y = \pm \sqrt {4 - {X^2}} \)(với \(X \in \left[ { - 2;0} \right]\))
Nửa phải là Elip \(\frac{{{X^2}}}{{16}} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow Y = \pm \frac{1}{2}\sqrt {16 - {X^2}} \)
Gọi \(S\) là diện tích toàn bộ bóng. Do tính đối xứng qua trục \(OX\), ta tính phần diện tích phía trên trục \(OX\)rồi nhân đôi
Vậy diện tích bóng cần tìm là: \[S = 2.\left( {\int\limits_{ - 2}^0 {\sqrt {4 - {X^2}} {\rm{d}}X + \int\limits_0^4 {\frac{1}{2}} \sqrt {16 - {X^2}} {\rm{d}}X} } \right) \approx 18,8\]
Cách 2: Dựa vào tính chất
Gọi \(\alpha \) là góc giữa các tia sáng và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\): \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\vec v.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .1}} = \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\alpha = 30^\circ \)
Bóng của khối bán cầu trên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\) được hợp thành bởi hai phần:
Một nửa hình tròn đáy: Phần này nằm sẵn trên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\) có diện tích \({S_1} = \frac{1}{2}\pi {R^2}.\)
Một nửa hình elip: Đây là hình chiếu của mặt cong bán cầu xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) theo phương của tia sáng.
Hình chiếu của một hình tròn bán kính \(R\) xuống mặt phẳng nghiêng một góc \(\alpha \)(hoặc hình chiếu của mặt cầu) là một hình elip có các bán trục là \(R\) và \(\frac{R}{{\sin \alpha }}\).
Diện tích nửa hình elip tạo ra bóng là \({S_2} = \frac{1}{2}\frac{{\pi {R^2}}}{{\sin \alpha }}.\)
Vậy tổng diện tích bóng \(S\)là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}\left( {1 + \frac{1}{{\sin \alpha }}} \right) = 6\pi \approx 18,8\)
Khay nắp trong được gấp từ một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước\(\left( {x + 2y} \right).\left( {5 + 2y} \right)\) sau khi cắt bỏ 4 hình vuông cạnh\(y\)ở góc
Diện tích tấm bìa khay là: \({S_1} = \left( {x + 2y} \right).\left( {5 + 2y} \right) = 5x + 2xy + 10y + 4{y^2} = 5x + 10y + 4{y^2} + 6\)
Chi phí khay: \({T_1} = C.{S_1} = C\left( {5x + 10y + 4{y^2} + 6} \right)\)
Vỏ bao ngoài bao gồm 2 mặt lớn và 2 mặt bên, mỗi mặt có chiều dài là 5 cm.
Hai mặt lớn in logo có iện tích \({S_L} = 2.5x = 10x\); chi phí đơn vị là \(1,1C\) nên chi phí tổng cho hai mặt lớn là \[{T_L} = 11Cx\]
Hai mặt bên quét phốt pho có diện tích \({S_B} = 2.5y = 10y\) ; chi phí đơn vị là \(3C\) nên chi phí tổng cho hai mặt bên: \({T_B} = 30Cy\)
Tổng chi phí vật liệu \(T\)là:
\(T = {T_1} + {T_L} + {T_B} = C\left( {5x + 10y + 4{y^2} + 6 + 11x + 30y} \right) = C\left( {16x + 40y + 4{y^2} + 6} \right)\)
Thay \(y = \frac{3}{x}\)vào biểu thức: \(f\left( x \right) = 16x + 40\left( {\frac{3}{x}} \right) + 4{\left( {\frac{3}{x}} \right)^2} + 6\)
Để tìm giá trị \(x\)làm cho chi phí thấp nhất, ta dùng \[{\left. {\frac{d}{{dX}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = x}}\]Shift solve suy ra
Vậy giá trị của \(x = 3\)thì tổng chi phí vật liệu là thấp nhất.
Có \(10\) em học sinh xuất sắc gồm \(4\) học sinh nam và \(6\) học sinh nữ được mời dự tiệc vinh danh và được xếp ngồi ngẫu nhiên vào một bàn tròn gồm \(10\) ghế. Gọi \(P\) là xác suất để cách xếp thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
- Mỗi bạn nam đều được ngồi kẹp giữa hai bạn nữ
- Không có bất kỳ 3 bạn nữ nào ngồi kề nhau liên tiếp
Giả sử \(P\) được viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) với \(a,\,b \in {\mathbb{N}^*}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\)(Biết rằng các cách sắp xếp có thể chuyển hóa cho nhau bằng phép quay bàn tròn được coi là trùng nhau)
Không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = \left( {10 - 1} \right)! = 9!\)
Xếp 6 bạn nữ vào bàn tròn thì số cách xếp là \(\left( {6 - 1} \right)! = 5!\) cách
Lúc này, giữa \(6\) bạn nữ sẽ có \(6\) khoảng trống nên ta chọn \(4\) vị trí cho \(4\) bạn nam
Để mỗi bạn nam ngồi giữa hai bạn nữ, mỗi khoảng trống chỉ được xếp tối đa 1 bạn nam.
Điều kiện “Không có 3 bạn nữ nào ngồi kề nhau” nghĩa là không được để 2 khoảng trống liên tiếp bị bỏ trống
Tổng số cách chọn \(4\) trong \(6\) khoảng trống là \(C_6^4 = 15\)
Các trường hợp vi phạm (2 khoảng trống trống nằm cạnh nhau) có \(6\) cặp như vậy
(Ví dụ: trống 1-2, 2-3, ..., 6-1).
Số cách chọn vị trí hợp lệ là \(15 - 6 = 9\)cách
Xếp 4 bạn nam vào 4 vị trí đã chọn có \(4!\)cách
Số cách thuận lợi: \(n\left( A \right) = 5!.9.4!\)
Vậy xác suất cần tính là:
