Đề thi
Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 11
AdminToánTốt nghiệp THPT29 lượt thi
22 câu hỏi
1. Trắc nghiệm
• 1 điểm
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Bất phương trình \[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2 - 3x}} \ge 2\] có tập nghiệm là
\[\left( { - \infty ;\left. 1 \right]} \right.\].
\[\left[ {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\].
\[\left[ {1; + \infty } \right)\].
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
Xem đáp án
Đáp án đúng là C
Ta có: \[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2 - 3x}} \ge 2 \Leftrightarrow {2^{3x - 2}} \ge 2 \Leftrightarrow 3x - 2 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 1\]
Vậy tập nghiệm phương trình là \[\left[ {1; + \infty } \right)\]
2. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\]với \[{u_3} = 10\] và công bội \[q = - 2\]. Giá trị của \[{u_2}\]bằng
\(8\).
\[ - 5\].
\[ - 20\].
\[5\].
Xem đáp án
Đáp án đúng là B
Ta có: \[{u_3} = 10 \Leftrightarrow {u_1}.{q^2} = 10 \Leftrightarrow {u_1} = \frac{{10}}{{{q^2}}} = \frac{{10}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {u_2} = {u_1}.q = \frac{5}{2}.\left( { - 2} \right) = - 5\]
3. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] có đồ thị là đường cong như hình vẽ.
![Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture55-1779162930.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( { - 1;2} \right)\].
\[\left( { - 1;3} \right)\].
\[\left( {2; + \infty } \right)\].
\[\left( {0;2} \right)\].
Xem đáp án
Đáp án đúng là D
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\]
4. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \), tính \[\int\limits_0^2 {\left( {1 + 2f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} \].
\(4\).
\(7\).
\(6\).
\(8\).
Xem đáp án
Đáp án đúng là D
\[\int\limits_0^2 {\left( {1 + 2f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {1.{\rm{d}}x} + 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. x \right|_0^2 + 6 = 8\]
5. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1;0;2} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2;3;2} \right)\). Giá trị của \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng
\(2\).
\( - 6\).
\( - 4\).
\( - 3\).
Xem đáp án
Đáp án đúng là A
Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1.2 + 0.3 + 2.2 = 2\)
6. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cân nặng (kg) của \(50\) con lợn của một gia đình nông dân chăn nuôi được thống kê trong bảng dưới đây:
Cân nặng (kg) | \(\left[ {4;6} \right)\) | \(\left[ {6;8} \right)\) | \(\left[ {8;10} \right)\) | \(\left[ {10;12} \right)\) | \(\left[ {12;14} \right)\) |
Số con lợn | \(6\) | \(12\) | \(18\) | \(10\) | \(4\) |
Khối lượng trung bình của \(50\) con lợn ở bảng thống kê trên bằng
\(9,12\)kg.
\(8,76\)kg.
\(8,72\)kg.
\(8,52\)kg.
Xem đáp án
Đáp án đúng là B
Cân nặng (kg) | \(\left[ {4;6} \right)\) | \(\left[ {6;8} \right)\) | \(\left[ {8;10} \right)\) | \(\left[ {10;12} \right)\) | \(\left[ {12;14} \right)\) |
Giá trị đại diện | \(5\) | \(7\) | \(9\) | \(11\) | \(13\) |
Số con lợn | \(6\) | \(12\) | \(18\) | \(10\) | \(4\) |
Khối lượng trung bình của \(50\) con lợn ở bảng thống kê trên
\(\overline x = \frac{{5.6 + 7.12 + 9.18 + 11.10 + 13.4}}{{50}} = 8,76\)(kg).
7. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \[M\left( {2;\,1;\, - 3} \right)\] và nhận vectơ \[\overrightarrow u = \left( {3;\, - 2;\, - 5} \right)\] làm một vectơ chỉ phương là
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 2t\\z = - 3 - 5t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 1 + 2t\\z = 3 - 5t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 2t\\z = - 3 - 5t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 2 + t\\z = - 5 - 3t\end{array} \right.\].
Xem đáp án
Đáp án đúng là C
Phương trình đường thẳng là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 2t\\z = - 3 - 5t\end{array} \right.\]
8. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\] và \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Biết rằng khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[\frac{{3a}}{4}\]. Tính \[\tan \alpha \] với \[\alpha \] là góc tạo bởi giữa cạnh \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]
\[\frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
\[\frac{3}{2}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Xem đáp án
Đáp án đúng là B
Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\], dựng \[AK \bot SM\] thì \[d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \frac{{3a}}{4}\].
Mà \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\] nên \[AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Ta có: \[\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{{16}}{{9{a^2}}} - \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}\].
Góc tạo bởi giữa cạnh \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là góc \[\widehat {SBA} = \alpha \] nên \[\tan \alpha = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{3}{2}\]
9. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Đồ thị dưới đây là của hàm số nào trong các hàm số cho ở các phương án A, B, C, D?
\[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\].
\[y = 2x + \frac{1}{{x + 1}}\].
\[y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\].
\[y = {x^3} - 3x + 1\].
Xem đáp án
Đáp án đúng là A
Từ đồ thị ta có:
- Đáp án D là hàm bậc 3: loại
- Đáp án B là hàm số có đường tiệm cận xiên \[y = 2x\]: loại
- Đáp án C là hàm số có đường tiệm cận đứng là \[x = 1\]: loại
Vậy chọn đáp án A (hàm số có tiệm cận đứng là \[x = - 1\] và tiệm cận ngang là \[y = 2\]).
10. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều. Gọi các điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \[SC\]. Khi đó góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AB\) bằng:
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
Xem đáp án
Đáp án đúng là D
Do \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \[SC\]
Suy ra \[MN||BC\] nên \(\left( {MN,AB} \right) = \left( {BC,AB} \right) = \widehat {ABC} = 60^\circ \).
11. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3,y = 0,x = 0,x = 2\). Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[V = \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} \].
\[V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} \].
\[V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} \].
\[V = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} \].
Xem đáp án
Đáp án đúng là C
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3,y = 0,x = 0,x = 2\). Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\). Khi đó \[V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} \].
12. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {4^x}\) là
\(F\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C\).
\(F\left( x \right) = {4^x}.\ln 4 + C\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{4^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\).
\(F\left( x \right) = {4^x} + C\).
Xem đáp án
Đáp án đúng là A
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {4^x}\) là \(F\left( x \right) = \int {{4^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C = \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C\).
13. Đúng sai
• 1 điểm
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ dưới đây:
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ dưới đây:
a
\(bc - ad < 0\)
ĐúngSai
b
Khoảng cách từ tâm đối xứng \(I\) của đồ thị đến gốc tọa độ bằng \(\sqrt 5 \)
ĐúngSai
c
\(f\left( 2 \right) = 6\)
ĐúngSai
d
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + x\) trên khoảng \(\left( {1;\, + \infty } \right)\) bằng \(7\)
ĐúngSai
Xem đáp án
Dựa vào hình vẽ, ta xác định được các yếu tố sau:
Tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow - \frac{d}{c} = 1 \Rightarrow d = - c\) và tiệm cận ngang:\(y = 2 \Rightarrow \frac{a}{c} = 2 \Rightarrow a = 2c.\)
Giao điểm với trục hoành: Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).
Thay vào hàm số: \(0 = \frac{{a\left( { - 1} \right) + b}}{{c\left( { - 1} \right) + d}} \Rightarrow - a + b = 0 \Rightarrow b = a = 2c.\)
Từ đó ta có được hàm số \(f\left( x \right)\)theo biến \(c:\,f\left( x \right) = \frac{{2cx + 2c}}{{cx - c}} = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\)
Xét mệnh đề a)
Cách 1: Ta có: \(bc - ad = 2.1 - 2.\left( { - 1} \right) = 2 + 2 = 4 > 0\)nên mệnh đề a) sai
Cách 2 : Đồ thị hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên:
\(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} < 0 \Rightarrow ad - bc < 0 \Rightarrow bc - ad > 0\)
Xét mệnh đề b)
Tâm đối xứng \(I\)là giao điểm của hai đường tiệm cận nên \(I\left( {1;2} \right)\)
Khoảng cách \(OI = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Thay \(x = 2\)vào hàm số: \(f\left( 2 \right) = \frac{{2.2 + 2}}{{2 - 1}} = \frac{6}{1} = 6\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cauchy
Ta có: \(g\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} + x = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 4}}{{x - 1}} + x = 2 + \frac{4}{{x - 1}} + x = \left( {x - 1} \right) + \frac{4}{{x - 1}} + 3\)
Với \(\left( {x > 1} \right)\)áp dụng Cô-si cho hai số dương ta có \(\left( {x - 1} \right) + \frac{4}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right) \cdot \frac{4}{{x - 1}}} = 2\sqrt 4 = 4\)
Suy ra \(g\left( x \right) \ge 4 + 3 = 7.\)
Dấu xảy ra khi \(x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3 \in \left( {1; + \infty } \right)\) nên mệnh đề d) đúng
Cách 2: Dùng đạo hàm
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) + x = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} + x = g(x) = \frac{{2x + 2 + x(x - 1)}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\)
Suy ra: \(g'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1\left( l \right)}\\{x = 3\left( n \right)}\end{array}} \right.\)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên thì hàm số \(g\left( x \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3 \Rightarrow g\left( 3 \right) = \frac{{{3^2} + 3 + 2}}{{3 - 1}} = 7\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\)trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) bằng 7 nên mệnh đề d) đúng
Tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow - \frac{d}{c} = 1 \Rightarrow d = - c\) và tiệm cận ngang:\(y = 2 \Rightarrow \frac{a}{c} = 2 \Rightarrow a = 2c.\)
Giao điểm với trục hoành: Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).
Thay vào hàm số: \(0 = \frac{{a\left( { - 1} \right) + b}}{{c\left( { - 1} \right) + d}} \Rightarrow - a + b = 0 \Rightarrow b = a = 2c.\)
Từ đó ta có được hàm số \(f\left( x \right)\)theo biến \(c:\,f\left( x \right) = \frac{{2cx + 2c}}{{cx - c}} = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\)
Xét mệnh đề a)
Cách 1: Ta có: \(bc - ad = 2.1 - 2.\left( { - 1} \right) = 2 + 2 = 4 > 0\)nên mệnh đề a) sai
Cách 2 : Đồ thị hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên:
\(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} < 0 \Rightarrow ad - bc < 0 \Rightarrow bc - ad > 0\)
Xét mệnh đề b)
Tâm đối xứng \(I\)là giao điểm của hai đường tiệm cận nên \(I\left( {1;2} \right)\)
Khoảng cách \(OI = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Thay \(x = 2\)vào hàm số: \(f\left( 2 \right) = \frac{{2.2 + 2}}{{2 - 1}} = \frac{6}{1} = 6\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cauchy
Ta có: \(g\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} + x = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 4}}{{x - 1}} + x = 2 + \frac{4}{{x - 1}} + x = \left( {x - 1} \right) + \frac{4}{{x - 1}} + 3\)
Với \(\left( {x > 1} \right)\)áp dụng Cô-si cho hai số dương ta có \(\left( {x - 1} \right) + \frac{4}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right) \cdot \frac{4}{{x - 1}}} = 2\sqrt 4 = 4\)
Suy ra \(g\left( x \right) \ge 4 + 3 = 7.\)
Dấu xảy ra khi \(x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3 \in \left( {1; + \infty } \right)\) nên mệnh đề d) đúng
Cách 2: Dùng đạo hàm
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) + x = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} + x = g(x) = \frac{{2x + 2 + x(x - 1)}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\)
Suy ra: \(g'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1\left( l \right)}\\{x = 3\left( n \right)}\end{array}} \right.\)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên thì hàm số \(g\left( x \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3 \Rightarrow g\left( 3 \right) = \frac{{{3^2} + 3 + 2}}{{3 - 1}} = 7\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\)trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) bằng 7 nên mệnh đề d) đúng
14. Đúng sai
• 1 điểm
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với đơn vị trên mỗi trục là centimet, xét mô hình tư thế Yoga “Downward-Facing Dog” của bạn Trâm. Giả sử mặt sàn trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), chân bạn Trâm đặt tại gốc tọa độ, tay đặt tại điểm \(T\) thuộc tia \(Ox\) và đỉnh hông là điểm \(H\) nằm trong mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]. Biết rằng chiều dài chân của bạn Trâm là 75cm và phần than trên \(HT = 100\)cm. Trong quá trình tập luyện, chiều dài chân và phần thân trên được xem như không đổi. Ở tư thế ban đầu, khoảng cách giữa hai tay và hai chân của bạn là \(125\)cm, góc tạo bởi thân trên và chân tại khớp hông là \(90^\circ \). Các lực tác dụng lên khớp hông được mô hình hóa bởi hai vectơ lực nén là \({F_1}\) dọc theo chân (cùng phương \(\overrightarrow {HO} \)) và \({F_2}\) dọc theo thân trên (cùng phương \(\overrightarrow {HT}
a
Ở tư thế ban đầu thì \(H\left( {45;\,0;\,60} \right)\)
ĐúngSai
b
Khi Trâm dịch chuyển tay dọc theo tia \(Ox\) để thay đổi tư thế, đỉnh hông \(H\) luôn di chuyển trên một cung tròn thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)
ĐúngSai
c
Ở tư thế ban đầu, gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi phần thân trên và mặt sàn thì \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\)
ĐúngSai
d
Giả sử độ lớn các lực nén không đổi là \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 300\)N và \(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 200\)N. Để hợp lực \(\overrightarrow F \) có phương thẳng đứng thì Trâm cần dịch chuyển tay ra xa thêm khoảng \(10,4\)cm so với vị trí ban đầu
ĐúngSai
Xem đáp án
Sàn nhà là mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\), chân đặt tại gốc tọa độ\(O\left( {0;0;0} \right)\).
Tay đặt tại\(T \in Ox \Rightarrow T\left( {{x_T};0;0} \right)\left( {{x_T} > 0} \right)\) và đỉnh hông \[H \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow H\left( {x;0;z} \right)\left( {z > 0} \right)\]
Độ dài không đổi: \(OH = 75\)cm,\(HT = 100\)cm.
Xét mệnh đề a)
Ở tư thế ban đầu, ta có \(OT = 125\)cm và \(\widehat {OHT} = 90^\circ \).
Xét tam giác\(OHT\) có \(O{H^2} + H{T^2} = {75^2} + {100^2} = 15625\) mà \(O{T^2} = {125^2} = 15625\).
Vậy \(O{H^2} + H{T^2} = O{T^2}\) nên tam giác \(OHT\)vuông tại \(H\) là hoàn toàn chính xác.
Gọi \(K\)là hình chiếu vuông góc của \(H\)xuống trục\(Ox\) nên \[H\left( {OK;0;HK} \right)\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OHT\) với đường cao\(HK\):
\(O{H^2} = OK.OT \Rightarrow {75^2} = OK.125 \Rightarrow OK = 45\)cm.
\(HK.OT = OH.HT \Rightarrow HK.125 = 75.100 \Rightarrow HK = 60\)cm.
Suy ra tọa độ điểm \(H\left( {45;0;60} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Trong quá trình tập luyện, chiều dài chân \(OH = 75\)cm được xem như không đổi.
Điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\)là điểm cố định. Đỉnh hông \(H\)luôn nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)và cách \(O\) một khoảng không đổi \(R = 75\)cm.
Ngoài ra, \(H\) luôn ở phía trên mặt sàn nên tung độ\(z > 0\).
Do đó, quỹ tích của \(H\) là một cung tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 75\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)nên mệnh đề b) đúng.
Xét mệnh đề c)
Cách 1: Hình học
Phần thân trên là đoạn thẳng \(HT\) và mặt sàn là mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)
Góc tạo bởi \(HT\)và \(\left( {Oxy} \right)\) chính là góc giữa \(HT\)và hình chiếu của nó trên \(\left( {Oxy} \right)\)
Từ câu a) ta có \(H\left( {45;0;60} \right)\) và \(T\left( {125;0;0} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của \(H\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là điểm \(K\left( {45;0;0} \right)\) nằm trên trục \(Ox\).
Hình chiếu của đoạn \(HT\)xuống mặt sàn chính là đoạn \(KT\) nên \(\alpha = \widehat {HTK}\).
Xét tam giác vuông \(HKT\) vuông tại \(K\) có \(HK = 60\)cm và \(KT = OT - OK = 125 - 45 = 80\)cm
Suy ra: \(\tan \alpha = \frac{{HK}}{{KT}} = \frac{{60}}{{80}} = \frac{3}{4}\) nên mệnh đề c) đúng
Cách 2: Vectơ
Mặt sàn là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)có phương trình \(z = 0\).
Mặt phẳng này nhận vectơ đơn vị của trục \(Oz\) làm vectơ pháp tuyến:\(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Từ câu a) ta có \(H\left( {45;0;60} \right)\)và \(T\left( {125;0;0} \right)\)
Đường thẳng biểu diễn “phần thân trên” đi qua hai điểm \(H\) và \(T\), nhận \(\overrightarrow {HT} \)làm vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {HT} = \left( {45 - 125;0 - 0;60 - 0} \right) = \left( { - 80;0;60} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi phần thân trên (đường thẳng\(HT\)) và mặt sàn (mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)). Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {HT} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {HT} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 80} \right).0 + 0.0 + 60.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 80} \right)}^2} + {0^2} + {{60}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{4}{5} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{3}{4}\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi vị trí mới của hông và tay lần lượt là \(H'\left( {x;0;z} \right)\)và\(T'\left( {t;0;0} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {H'O} = \left( { - x;0; - z} \right)\) và chiều dài \(H'O = 75\) mà \(\overrightarrow {H'T'} = \left( {t - x;0; - z} \right)\) và chiều dài \(H'T' = 100\)
Lực nén \({F_1}\)cùng phương\(\overrightarrow {H'O} \):\(\overrightarrow {{F_1}} = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \frac{{\overrightarrow {H'O} }}{{\left| {\overrightarrow {H'O} } \right|}} = 300.\frac{{\left( { - x;0; - z} \right)}}{{75}} = \left( { - 4x;0; - 4z} \right)\)
Lực nén \({F_2}\)cùng phương\(\overrightarrow {H'T'} \):\(\overrightarrow {{F_2}} = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\frac{{\overrightarrow {H'T'} }}{{|\overrightarrow {H'T'} |}} = 200.\frac{{\left( {t - x;0; - z} \right)}}{{100}} = \left( {2t - 2x;0; - 2z} \right)\)
Hợp lực \(\vec F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \left( { - 6x + 2t;0; - 6z} \right)\).
Để hợp lực \(\vec F\)có phương thẳng đứng (vuông góc với sàn\(\left( {Oxy} \right)\)), thì thành phần theo trục \(Ox\)phải bằng 0:\( - 6x + 2t = 0 \Leftrightarrow t = 3x\)
Ta có hệ phương trình về độ dài: \({x^2} + {z^2} = {75^2} = 5625\)(vì \(OH' = 75\)) \(\left( 1 \right)\)
\({\left( {t - x} \right)^2} + {z^2} = {100^2} = 10000\) (vì\(H'T' = 100\)) \(\left( 2 \right)\)
Thay \(t = 3x\) vào phương trình\(\left( 2 \right)\):\({\left( {3x - x} \right)^2} + {z^2} = 10000 \Rightarrow 4{x^2} + {z^2} = 10000\)
Lấy \(\left( 2 \right)\) trừ \(\left( 1 \right)\):\(3{x^2} = 10000 - 5625 = 4375 \Rightarrow {x^2} = \frac{{4375}}{3} \Rightarrow x = \frac{{25\sqrt {21} }}{3}\)
Tọa độ mới của tay là:\(t = 3x = 25\sqrt {21} \approx 114,56\)cm nên độ dời\( = 125 - 114,56 = 10,44\)cm.
Vì \(114,56 < 125\)nên Trâm phải dịch chuyển tay lại gần phía chân thêm khoảng \(10,4\)cm nên mệnh đề d) sai
Tay đặt tại\(T \in Ox \Rightarrow T\left( {{x_T};0;0} \right)\left( {{x_T} > 0} \right)\) và đỉnh hông \[H \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow H\left( {x;0;z} \right)\left( {z > 0} \right)\]
Độ dài không đổi: \(OH = 75\)cm,\(HT = 100\)cm.
Xét mệnh đề a)
Ở tư thế ban đầu, ta có \(OT = 125\)cm và \(\widehat {OHT} = 90^\circ \).
Xét tam giác\(OHT\) có \(O{H^2} + H{T^2} = {75^2} + {100^2} = 15625\) mà \(O{T^2} = {125^2} = 15625\).
Vậy \(O{H^2} + H{T^2} = O{T^2}\) nên tam giác \(OHT\)vuông tại \(H\) là hoàn toàn chính xác.
Gọi \(K\)là hình chiếu vuông góc của \(H\)xuống trục\(Ox\) nên \[H\left( {OK;0;HK} \right)\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OHT\) với đường cao\(HK\):
\(O{H^2} = OK.OT \Rightarrow {75^2} = OK.125 \Rightarrow OK = 45\)cm.
\(HK.OT = OH.HT \Rightarrow HK.125 = 75.100 \Rightarrow HK = 60\)cm.
Suy ra tọa độ điểm \(H\left( {45;0;60} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Trong quá trình tập luyện, chiều dài chân \(OH = 75\)cm được xem như không đổi.
Điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\)là điểm cố định. Đỉnh hông \(H\)luôn nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)và cách \(O\) một khoảng không đổi \(R = 75\)cm.
Ngoài ra, \(H\) luôn ở phía trên mặt sàn nên tung độ\(z > 0\).
Do đó, quỹ tích của \(H\) là một cung tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 75\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)nên mệnh đề b) đúng.
Xét mệnh đề c)
Cách 1: Hình học
Phần thân trên là đoạn thẳng \(HT\) và mặt sàn là mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)
Góc tạo bởi \(HT\)và \(\left( {Oxy} \right)\) chính là góc giữa \(HT\)và hình chiếu của nó trên \(\left( {Oxy} \right)\)
Từ câu a) ta có \(H\left( {45;0;60} \right)\) và \(T\left( {125;0;0} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của \(H\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là điểm \(K\left( {45;0;0} \right)\) nằm trên trục \(Ox\).
Hình chiếu của đoạn \(HT\)xuống mặt sàn chính là đoạn \(KT\) nên \(\alpha = \widehat {HTK}\).
Xét tam giác vuông \(HKT\) vuông tại \(K\) có \(HK = 60\)cm và \(KT = OT - OK = 125 - 45 = 80\)cm
Suy ra: \(\tan \alpha = \frac{{HK}}{{KT}} = \frac{{60}}{{80}} = \frac{3}{4}\) nên mệnh đề c) đúng
Cách 2: Vectơ
Mặt sàn là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)có phương trình \(z = 0\).
Mặt phẳng này nhận vectơ đơn vị của trục \(Oz\) làm vectơ pháp tuyến:\(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Từ câu a) ta có \(H\left( {45;0;60} \right)\)và \(T\left( {125;0;0} \right)\)
Đường thẳng biểu diễn “phần thân trên” đi qua hai điểm \(H\) và \(T\), nhận \(\overrightarrow {HT} \)làm vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {HT} = \left( {45 - 125;0 - 0;60 - 0} \right) = \left( { - 80;0;60} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi phần thân trên (đường thẳng\(HT\)) và mặt sàn (mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)). Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {HT} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {HT} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 80} \right).0 + 0.0 + 60.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 80} \right)}^2} + {0^2} + {{60}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{4}{5} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{3}{4}\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi vị trí mới của hông và tay lần lượt là \(H'\left( {x;0;z} \right)\)và\(T'\left( {t;0;0} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {H'O} = \left( { - x;0; - z} \right)\) và chiều dài \(H'O = 75\) mà \(\overrightarrow {H'T'} = \left( {t - x;0; - z} \right)\) và chiều dài \(H'T' = 100\)
Lực nén \({F_1}\)cùng phương\(\overrightarrow {H'O} \):\(\overrightarrow {{F_1}} = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \frac{{\overrightarrow {H'O} }}{{\left| {\overrightarrow {H'O} } \right|}} = 300.\frac{{\left( { - x;0; - z} \right)}}{{75}} = \left( { - 4x;0; - 4z} \right)\)
Lực nén \({F_2}\)cùng phương\(\overrightarrow {H'T'} \):\(\overrightarrow {{F_2}} = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\frac{{\overrightarrow {H'T'} }}{{|\overrightarrow {H'T'} |}} = 200.\frac{{\left( {t - x;0; - z} \right)}}{{100}} = \left( {2t - 2x;0; - 2z} \right)\)
Hợp lực \(\vec F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \left( { - 6x + 2t;0; - 6z} \right)\).
Để hợp lực \(\vec F\)có phương thẳng đứng (vuông góc với sàn\(\left( {Oxy} \right)\)), thì thành phần theo trục \(Ox\)phải bằng 0:\( - 6x + 2t = 0 \Leftrightarrow t = 3x\)
Ta có hệ phương trình về độ dài: \({x^2} + {z^2} = {75^2} = 5625\)(vì \(OH' = 75\)) \(\left( 1 \right)\)
\({\left( {t - x} \right)^2} + {z^2} = {100^2} = 10000\) (vì\(H'T' = 100\)) \(\left( 2 \right)\)
Thay \(t = 3x\) vào phương trình\(\left( 2 \right)\):\({\left( {3x - x} \right)^2} + {z^2} = 10000 \Rightarrow 4{x^2} + {z^2} = 10000\)
Lấy \(\left( 2 \right)\) trừ \(\left( 1 \right)\):\(3{x^2} = 10000 - 5625 = 4375 \Rightarrow {x^2} = \frac{{4375}}{3} \Rightarrow x = \frac{{25\sqrt {21} }}{3}\)
Tọa độ mới của tay là:\(t = 3x = 25\sqrt {21} \approx 114,56\)cm nên độ dời\( = 125 - 114,56 = 10,44\)cm.
Vì \(114,56 < 125\)nên Trâm phải dịch chuyển tay lại gần phía chân thêm khoảng \(10,4\)cm nên mệnh đề d) sai
15. Đúng sai
• 1 điểm
Trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 5\) (giờ), một thiết bị A được sạc pin với tốc độ nạp điện là \(v\left( t \right) = 2{t^3} - 16{t^2} + 32t\) (đơn vị: mAh/giờ). Cùng khoảng thời gian đó, thiết bị B cũng được sạc với tốc độ nạp là \(u\left( t \right)\) (mAh/giờ). Giả sử cả hai thiết bị đều cạn pin (\(0\)mAh) tại thời điểm \(t = 0\)
![{\rm{d}}t - 12,5} \right] \approx 37\)mAh nên mệnh đề d) sai (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture64-1779163880.png)
Đồ thị tốc độ nạp \(y = v\left( t \right)\) là đường màu đỏ và \(y = u\left( t \right)\) là đường màu xanh cắt nhau tại điểm có hoành độ \(t = k\) và \(t = 3,8\). Trong khoảng thời gian \(0 \le t \le k\) giờ, thiết bị B được sạc với tốc độ không đổi là 18 mAh/giờ
a
Tại thời điểm \(t = 4\) giờ thì lượng điện năng nạp vào thiết bị A là khoảng \(37,3\) mAh (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
ĐúngSai
b
Trong khoảng thời gian \(k < t < 5\), xét tại thời điểm \(t = 3\) giờ thì tốc độ nạp của thiết bị A đang tăng nhanh hơn tốc độ nạp của thiết bị B, biết tại đó \(u'\left( 3 \right) \approx - 4\)
ĐúngSai
c
Tại thời điểm \(t = k\) (giao điểm đầu tiên), lượng điện trong thiết bị B nhiều hơn lượng điện trong thiết bị A được tính bởi công thức: \(\Delta Q = \int\limits_0^k {\left( { - 2{t^3} + 16{t^2} - 32t + 18} \right)} {\rm{d}}t\)
ĐúngSai
d
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(v\left( t \right)\) và \(u\left( t \right)\) trong khoảng thời gian \(k \le t \le 3,8\). Biết \(S = 12,5\) mAh. Khi đó, tại thời điểm \(t = 3,8\) giờ, thiết bị B đã nạp được khoảng 35 mAh điện (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
ĐúngSai
Xem đáp án
Hàm tốc độ nạp
Thiết bị A: \(v\left( t \right) = 2{t^3} - 16{t^2} + 32t\)
Thiết bị B: \(u\left( t \right)\) đường màu xanh \(u\left( t \right) = 18\) khi \(0 < t < k\) và \(u\left( t \right)\) là đường cong khi \(k < t \le 5\)
Xét mệnh đề a)
Lượng điện nạp vào của thiết bị A là:
\[{Q_A} = \int\limits_0^4 {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^4 {\left( {2{t^3} - 16{t^2} + 32t} \right)} } {\rm{d}}t = \frac{{128}}{3} \approx 42,7\]mAh nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Tốc độ tăng của tốc độ nạp chính là đạo hàm của hàm vận tốc sạc:
\(v'\left( t \right) = 6{t^2} - 32t + 32 \Rightarrow v'\left( 3 \right) = - 10\)
Vì \( - 10 < - 4 \Leftrightarrow v'\left( 3 \right) < u'\left( 3 \right)\) nên tốc độ của thiết bị A chậm hơn B (về mặt đại số) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Lượng điện chênh lệch là:
\[\Delta Q = {Q_B}\left( k \right) - {Q_A}\left( k \right) = \int\limits_0^k {\left[ {u\left( t \right) - v\left( t \right)} \right]} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^k {\left( { - 2{t^3} + 16{t^2} - 32t + 18} \right)} {\rm{d}}t\]nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
\(v\left( k \right) = u\left( k \right) = 18 \Leftrightarrow v\left( k \right) = 2{t^3} - 16{t^2} + 32t = 18 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 1\left( n \right)}\\{k = 1,69...\left( l \right)}\\{k = 5,30...\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
\[S = \int\limits_k^{3,8} {\left[ {v\left( t \right) - u\left( t \right)} \right]} \,{\rm{d}}t = \int\limits_k^{3,8} {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t - \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = 12,5 \Rightarrow \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_k^{3,8} {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t - 12,5\]
\[{Q_B}\left( {3,8} \right) = \int\limits_0^k {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t + \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)\,} {\rm{d}}t = \int\limits_0^k {18} \,{\rm{d}}t + \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^k {18} \,{\rm{d}}t + \left[ {\int\limits_k^{3,8} {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t - 12,5} \right]\]
Với \(k = 1\)thì \({Q_B}\left( {3,8} \right) = \int\limits_0^1 {18} {\rm{d}}t + \left[ {\int\limits_1^{3,8} {v\left( t \right)} {\rm{d}}t - 12,5} \right] \approx 37\)mAh nên mệnh đề d) sai
Thiết bị A: \(v\left( t \right) = 2{t^3} - 16{t^2} + 32t\)
Thiết bị B: \(u\left( t \right)\) đường màu xanh \(u\left( t \right) = 18\) khi \(0 < t < k\) và \(u\left( t \right)\) là đường cong khi \(k < t \le 5\)
Xét mệnh đề a)
Lượng điện nạp vào của thiết bị A là:
\[{Q_A} = \int\limits_0^4 {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^4 {\left( {2{t^3} - 16{t^2} + 32t} \right)} } {\rm{d}}t = \frac{{128}}{3} \approx 42,7\]mAh nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Tốc độ tăng của tốc độ nạp chính là đạo hàm của hàm vận tốc sạc:
\(v'\left( t \right) = 6{t^2} - 32t + 32 \Rightarrow v'\left( 3 \right) = - 10\)
Vì \( - 10 < - 4 \Leftrightarrow v'\left( 3 \right) < u'\left( 3 \right)\) nên tốc độ của thiết bị A chậm hơn B (về mặt đại số) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Lượng điện chênh lệch là:
\[\Delta Q = {Q_B}\left( k \right) - {Q_A}\left( k \right) = \int\limits_0^k {\left[ {u\left( t \right) - v\left( t \right)} \right]} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^k {\left( { - 2{t^3} + 16{t^2} - 32t + 18} \right)} {\rm{d}}t\]nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
\(v\left( k \right) = u\left( k \right) = 18 \Leftrightarrow v\left( k \right) = 2{t^3} - 16{t^2} + 32t = 18 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 1\left( n \right)}\\{k = 1,69...\left( l \right)}\\{k = 5,30...\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
\[S = \int\limits_k^{3,8} {\left[ {v\left( t \right) - u\left( t \right)} \right]} \,{\rm{d}}t = \int\limits_k^{3,8} {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t - \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = 12,5 \Rightarrow \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_k^{3,8} {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t - 12,5\]
\[{Q_B}\left( {3,8} \right) = \int\limits_0^k {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t + \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)\,} {\rm{d}}t = \int\limits_0^k {18} \,{\rm{d}}t + \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^k {18} \,{\rm{d}}t + \left[ {\int\limits_k^{3,8} {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t - 12,5} \right]\]
Với \(k = 1\)thì \({Q_B}\left( {3,8} \right) = \int\limits_0^1 {18} {\rm{d}}t + \left[ {\int\limits_1^{3,8} {v\left( t \right)} {\rm{d}}t - 12,5} \right] \approx 37\)mAh nên mệnh đề d) sai
16. Đúng sai
• 1 điểm
Một hộp có chứa \(6\) viên bi màu xanh và \(8\) viên bi màu đỏ (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng, được đánh số khác nhau). Bạn An lấy ngẫu nhiên \(1\) viên bi từ trong hộp và không hoàn lại, Sau đó bạn Bình lấy ngẫu nhiên \(2\) viên bi từ trong hộp (Các kết quả tính được ở các ý đều làm tròn đến hàng phần trăm)
a
Xác suất để bạn An lấy được \(1\) viên bi màu xanh là \(0,43\)
ĐúngSai
b
Xác suất để bạn Bình lấy được \(2\) viên bi màu xanh, biết rằng bạn An đã lấy được \(1\) viên bi màu đỏ là \(0,19\)
ĐúngSai
c
Xác suất để bạn An lấy được \(1\) viên bi màu đỏ và bạn Bình lấy được \(1\) viên bi màu xanh và \(1\) viên bi màu đỏ là \(0,33\)
ĐúngSai
d
Biết rằng bạn Bình lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ, xác suất bạn An lấy được một viên bi màu đỏ là \(0,55\)
ĐúngSai
Xem đáp án
Gọi \(A\)là biến cố: "Bạn An lấy được 1 viên bi màu xanh".
Gọi \({B_1}\)là biến cố: "Bạn Bình lấy được 2 viên xanh "
Gọi \({B_2}\)là biến cố: "Bạn Bình lấy được 1 viên xanh và 1 viên bi đỏ "
Gọi \({B_3}\)là biến cố: "Bạn Bình lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ".
Xét mệnh đề a)
Xác suất để bạn An lấy được \(1\) viên bi màu xanh:\(P\left( A \right) = \frac{{C_6^1}}{{C_{14}^2}} = \frac{3}{7} \approx 0,43\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vì An đã lấy 1 viên đỏ (\(\bar A\)đã xảy ra), trong hộp còn lại: 6 xanh, 7 đỏ (tổng 13 viên).
Xác suất Bình lấy 2 xanh từ 13 viên còn lại là: \(P\left( {{B_1}|\bar A} \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{13}^2}} = \frac{5}{{26}} \approx 0,19\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{4}{7}\)
Sau khi An lấy1 viên bi đỏ, hộp còn 6 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ.
Khi đó: \(P\left( {{B_2}|\bar A} \right) = \frac{{C_6^1 \cdot C_7^1}}{{C_{13}^2}} = \frac{7}{{13}}.\)
Vậy :\(P\left( {\bar A \cap {B_2}} \right) = \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{{13}} = \frac{4}{{13}} \approx 0,31\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
\(P\left( {{B_3}|A} \right) = 1 - P\left( {{B_1}|A} \right) = 1 - \frac{{C_5^2}}{{C_{13}^2}} = \frac{{34}}{{39}}\) và \(P\left( {{B_3}|\bar A} \right) = 1 - P\left( {{B_1}|\bar A} \right) = 1 - \frac{5}{{26}} = \frac{{21}}{{26}}.\)
\( \Rightarrow P\left( {{B_3}} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {{B_3}|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {{B_3}|\bar A} \right) = \frac{3}{7} \cdot \frac{{34}}{{39}} + \frac{4}{7} \cdot \frac{{21}}{{26}} = \frac{{76}}{{91}}\)
Vậy \(P\left( {\bar A|{B_3}} \right) = \frac{{P\left( {\bar A \cap {B_3}} \right)}}{{P\left( {{B_3}} \right)}} = \frac{{P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {{B_3}|\bar A} \right)}}{{P\left( {{B_3}} \right)}} = \frac{{\frac{4}{7}.\frac{{21}}{{26}}}}{{\frac{{76}}{{91}}}} = \frac{{21}}{{38}} \approx 0,55\) nên mệnh đề d) đúng
Gọi \({B_1}\)là biến cố: "Bạn Bình lấy được 2 viên xanh "
Gọi \({B_2}\)là biến cố: "Bạn Bình lấy được 1 viên xanh và 1 viên bi đỏ "
Gọi \({B_3}\)là biến cố: "Bạn Bình lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ".
Xét mệnh đề a)
Xác suất để bạn An lấy được \(1\) viên bi màu xanh:\(P\left( A \right) = \frac{{C_6^1}}{{C_{14}^2}} = \frac{3}{7} \approx 0,43\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Vì An đã lấy 1 viên đỏ (\(\bar A\)đã xảy ra), trong hộp còn lại: 6 xanh, 7 đỏ (tổng 13 viên).
Xác suất Bình lấy 2 xanh từ 13 viên còn lại là: \(P\left( {{B_1}|\bar A} \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{13}^2}} = \frac{5}{{26}} \approx 0,19\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{4}{7}\)
Sau khi An lấy1 viên bi đỏ, hộp còn 6 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ.
Khi đó: \(P\left( {{B_2}|\bar A} \right) = \frac{{C_6^1 \cdot C_7^1}}{{C_{13}^2}} = \frac{7}{{13}}.\)
Vậy :\(P\left( {\bar A \cap {B_2}} \right) = \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{{13}} = \frac{4}{{13}} \approx 0,31\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
\(P\left( {{B_3}|A} \right) = 1 - P\left( {{B_1}|A} \right) = 1 - \frac{{C_5^2}}{{C_{13}^2}} = \frac{{34}}{{39}}\) và \(P\left( {{B_3}|\bar A} \right) = 1 - P\left( {{B_1}|\bar A} \right) = 1 - \frac{5}{{26}} = \frac{{21}}{{26}}.\)
\( \Rightarrow P\left( {{B_3}} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {{B_3}|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {{B_3}|\bar A} \right) = \frac{3}{7} \cdot \frac{{34}}{{39}} + \frac{4}{7} \cdot \frac{{21}}{{26}} = \frac{{76}}{{91}}\)
Vậy \(P\left( {\bar A|{B_3}} \right) = \frac{{P\left( {\bar A \cap {B_3}} \right)}}{{P\left( {{B_3}} \right)}} = \frac{{P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {{B_3}|\bar A} \right)}}{{P\left( {{B_3}} \right)}} = \frac{{\frac{4}{7}.\frac{{21}}{{26}}}}{{\frac{{76}}{{91}}}} = \frac{{21}}{{38}} \approx 0,55\) nên mệnh đề d) đúng
17. Tự luận
• 1 điểm
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng \(AB = 1\), góc nhị diện \(\left[ {S,\,BC,\,A} \right] = 45^\circ \) và khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng 2. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)Xem đáp án
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot SB,\,SB \subset \left( {SBC} \right)\\BC \bot AB,\,AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,\,BC,\,A} \right] = \widehat {SBA} = 45^\circ \).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = 1 = h\).
Mặt khác, \(BC \bot \left( {SAB} \right),\,B \in \left( {SAB} \right)\) nên \(d\left( {C\,,\,\left( {SAB} \right)} \right) = BC = 2\).
Từ đó, ta có diện tích mặt phẳng đáy là \(S = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}.1.2 = 1\).
Vậy thể tích khối chóp đã cho bằng \(V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}.1.1 = \frac{1}{3} \approx 0,33\).
18. Tự luận
• 1 điểm
Một khách hàng cần đặt một thợ mộc một số bàn học và một số ghế. Để làm một cái bàn học người thợ mất \(6\) giờ và mất \(4\) giờ để làm một cái ghế. Người thợ mộc có tối đa \(48\) giờ/tuần để làm bàn và ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế nhiều nhất là hơn số bàn \(3\) cái. Số lượng bàn và ghế tối đa người thợ mộc có thể làm được trong một tuần là \(10\) cái. Biết một cái bàn học bán ra lãi \(240\) nghìn đồng, mỗi cái ghế bán ra lãi \(160\) nghìn đồng. Khi đó số tiền lãi lớn nhất mà xưởng thu được trong một tuần là bao nhiêu nghìn đồng?
Xem đáp án
Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số bàn và số ghế mà người thợ này làm trong một tuần \(\left( {x,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Làm một cái bàn mất 6 giờ, một cái ghế mất 4 giờ. Tổng thời gian không quá \(48\) giờ/tuần nên ta có bất phương trình: \(6x + 4y \le 48 \Leftrightarrow 3x + 2y \le 24\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tổng số bàn và số ghế không quá 10 cái: \(x + y \le 10\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế nhiều nhất là hơn số bàn\(3\)cái (nghĩa là số ghế trừ số bài không vượt quá 3 cái) : \(y - x \le 3 \Leftrightarrow - x + y \le 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Số lượng sản phẩm không âm: \(x \ge 0,\,y \ge 0\,\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right),\,\left( 4 \right)\)ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y \le 24}\\{x + y \le 10}\\{ - x + y \le 3}\\{x \ge 0,\,y \ge 0}\end{array}} \right.\,\]
Mỗi cái bàn lãi 240 nghìn đồng, mỗi cái ghế lãi 160 nghìn đồng.
Tổng tiền lãi \(F\left( {x,\,y} \right)\) là :\(F\left( {x,\,y} \right)\, = \,240x + 160y\)
Ta có miền nghiệm của bất phương trình là ngũ giác \(OABCD\)
Trong đó \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;3} \right),\,B\left( {3,5;6,5} \right),\,C\left( {4;6} \right),\,D\left( {8;0} \right)\)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;3} \right)\, \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 480\\B\left( {3,5;6,5} \right) \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 1880\\C\left( {4;6} \right) \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 1920\\D\left( {8;0} \right) \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 1920\end{array} \right.\) suy ra \(F{\left( {x;\,y} \right)_{\max }} = 1920\)
Làm một cái bàn mất 6 giờ, một cái ghế mất 4 giờ. Tổng thời gian không quá \(48\) giờ/tuần nên ta có bất phương trình: \(6x + 4y \le 48 \Leftrightarrow 3x + 2y \le 24\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tổng số bàn và số ghế không quá 10 cái: \(x + y \le 10\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế nhiều nhất là hơn số bàn\(3\)cái (nghĩa là số ghế trừ số bài không vượt quá 3 cái) : \(y - x \le 3 \Leftrightarrow - x + y \le 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Số lượng sản phẩm không âm: \(x \ge 0,\,y \ge 0\,\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right),\,\left( 4 \right)\)ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y \le 24}\\{x + y \le 10}\\{ - x + y \le 3}\\{x \ge 0,\,y \ge 0}\end{array}} \right.\,\]
Mỗi cái bàn lãi 240 nghìn đồng, mỗi cái ghế lãi 160 nghìn đồng.
Tổng tiền lãi \(F\left( {x,\,y} \right)\) là :\(F\left( {x,\,y} \right)\, = \,240x + 160y\)
Ta có miền nghiệm của bất phương trình là ngũ giác \(OABCD\)
Trong đó \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;3} \right),\,B\left( {3,5;6,5} \right),\,C\left( {4;6} \right),\,D\left( {8;0} \right)\)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;3} \right)\, \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 480\\B\left( {3,5;6,5} \right) \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 1880\\C\left( {4;6} \right) \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 1920\\D\left( {8;0} \right) \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 1920\end{array} \right.\) suy ra \(F{\left( {x;\,y} \right)_{\max }} = 1920\)
19. Tự luận
• 1 điểm
Một công ty xây dựng một nhà máy mới có chi phí \(225\) tỷ đồng. Chi phí sản xuất \(x\) nghìn sản phẩm mỗi năm tại nhà máy này là \(0,5{x^2} + 2x + 6\) tỷ đồng. Khi nhà máy đã được xây dựng, công ty sẽ sản xuất sản phẩm ở số lượng sao cho lợi nhuận lớn nhất. Giá bán sản phẩm trong năm đầu là 10 triệu đồng, và mỗi năm tiếp theo, giá tăng thêm 1 triệu đồng so với năm ngay trước đó. Hỏi sau bao nhiêu năm việc xây dựng nhà máy mới, công ty sẽ hoàn vốn?
Xem đáp án
Trước hết ta gọi \(p\) là giá bán sản phẩm (triệu đồng).
Lợi nhuận mỗi năm của công ty là \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xp\left( x \right) - \left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right)\)
Suy ra \(P\left( x \right) = - 0,5{x^2} + \left( {p - 2} \right)x - 6\) là tam thức bậc 2 max tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2 - p}}{{2\left( { - 0,5} \right)}} = p - 2\) và lợi nhuận lớn nhất là \(\frac{{{{\left( {p - 2} \right)}^2}}}{2} - 6\) (tỷ đồng).
Năm 1 giá bán sản phẩm là \(p = 10\) triệu đồng
Năm 2 giá bán sản phẩm là \(p = 10 + 1 = 11\) triệu đồng ? … ? năm \(n\) giá bán sản phẩm là \(p = 10 + \left( {n - 1} \right) = n + 9\) triệu đồng
Vậy công ty hoàn vốn khi lợi nhuận = chi phí \( \Leftrightarrow \sum\limits_{p = 10}^{n + 9} {\left[ {\frac{{{{\left( {p - 2} \right)}^2}}}{2} - 6} \right]} = 225 \Rightarrow n = 5\)
Lợi nhuận mỗi năm của công ty là \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xp\left( x \right) - \left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right)\)
Suy ra \(P\left( x \right) = - 0,5{x^2} + \left( {p - 2} \right)x - 6\) là tam thức bậc 2 max tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2 - p}}{{2\left( { - 0,5} \right)}} = p - 2\) và lợi nhuận lớn nhất là \(\frac{{{{\left( {p - 2} \right)}^2}}}{2} - 6\) (tỷ đồng).
Năm 1 giá bán sản phẩm là \(p = 10\) triệu đồng
Năm 2 giá bán sản phẩm là \(p = 10 + 1 = 11\) triệu đồng ? … ? năm \(n\) giá bán sản phẩm là \(p = 10 + \left( {n - 1} \right) = n + 9\) triệu đồng
Vậy công ty hoàn vốn khi lợi nhuận = chi phí \( \Leftrightarrow \sum\limits_{p = 10}^{n + 9} {\left[ {\frac{{{{\left( {p - 2} \right)}^2}}}{2} - 6} \right]} = 225 \Rightarrow n = 5\)
20. Tự luận
• 1 điểm
Bạn Khôi muốn dùng các đường cong parobol để vẽ một chiếc cỏ 4 lá may mắn như hình minh họa. Mỗi cánh lá là phần được giới hạn bởi hai phần parabol đối xứng nhau qua đường thẳng \(AB\) và đặt trong hệ trục tọa độ \(Oxy\). Diện tích một một cánh lá là phần hình phẳng giới hạn bởi hai phần parabol đó. Hãy tính diện tích của chiếc cỏ 4 lá, biết rằng nó được cấu tạo bởi 4 cánh giống hệt nhau
Xem đáp án
Parabol \(\left( P \right):\,y = a{x^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\), \(O\left( {0;0} \right)\)và \(B\left( {2;4} \right)\)
Suy ra \(\left( P \right):y = {x^2}\)
Phương trình đường thẳng \(AB\)có dạng : \(d = mx + n\)đi qua các điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\)
Suy ra \(d = x + 2\)
Vậy \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left[ {\left( {x + 2} \right) - {x^2}} \right]} \right|} {\rm{d}}x = \frac{9}{2}\)
Diện tích của cỏ 4 lá là: \(S = 8.{S_1} = 8.\frac{9}{2} = 36\)(đvdt)
Suy ra \(\left( P \right):y = {x^2}\)
Phương trình đường thẳng \(AB\)có dạng : \(d = mx + n\)đi qua các điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\)
Suy ra \(d = x + 2\)
Vậy \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left[ {\left( {x + 2} \right) - {x^2}} \right]} \right|} {\rm{d}}x = \frac{9}{2}\)
Diện tích của cỏ 4 lá là: \(S = 8.{S_1} = 8.\frac{9}{2} = 36\)(đvdt)
21. Tự luận
• 1 điểm
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) và đơn vị trên mỗi hệ trục là 1 mét, một đường đi của phân tử electron được mô hình hóa bởi điểm đầu và điểm cuối lần lượt là điểm \(A\left( {4;3;0} \right)\) và \(B\left( { - 1;0;6} \right)\). Biết rằng có hai màng plasma lần lượt là mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 7 = 0\) và \(\left( {Q} \right):x + 2y - 2z + 5 = 0\) và electron cần phải đi qua hai màng \(\left( P \right)\) và \(\left( {Q} \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) sao cho tọa độ hai điểm thỏa mãn \({x_M} - {x_N} = 2\left( {{y_M} - {y_N}} \right) = 4\left( {{z_M} - {z_N}} \right)\). Với quỹ đạo khép kín \(AM \to MN \to NB\) thì khi đó tổng quãng đường đi ngắn nhất của electron bằng bao nhiêu mét (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Xem đáp án
Từ giả thiết của đề bài: \(\frac{{{x_M} - {x_N}}}{4} = \frac{{{y_M} - {y_N}}}{2} = \frac{{{z_M} - {z_N}}}{1} = k\)\( \Rightarrow \overrightarrow {NM} = \left( {4k;2k;k} \right)\).
Vì \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( Q \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + 2{y_M} - 2{z_M} - 7 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_N} + 2{y_N} - 2{z_N} + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\) ta được: \(\left( {{x_M} - {x_N}} \right) + 2\left( {{y_M} - {y_N}} \right) - 2\left( {{z_M} - {z_N}} \right) - 12 = 0\)
Thay tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) ta có: \(4k + 2\left( {2k} \right) - 2\left( k \right) - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow 6k = 12 \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy \(\overrightarrow {NM} = \left( {8;4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 8;\, - 4;\, - 2} \right)\)nên \(MN = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {84} = 2\sqrt {21} \).
Tổng quãng đường electron cần đi là: \(S = AM + MN + NB\).
Vì \(MN = 2\sqrt {21} \) là một hằng số không đổi nên để quãng đường \(S\) ngắn nhất ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(AM + NB\).
Chọn một điểm \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) thì \(A' = A + \overrightarrow {MN} = \left( {4 - 8;3 - 4;0 - 2} \right) \Rightarrow A' = \left( { - 4;\, - 1;\, - 2} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) nên tứ giác \(AA'NM\)là một hình bình hành.
Tính chất hình bình hành cho ta độ dài \(AM = A'N\).
Thay tọa độ \(A'\) và \(B\) vào mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì ta thấy hai điểm này nằm khác phía nhau
Lúc này, tổng cần tìm cực trị trở thành: \(AM + NB = A'N + NB \ge A'B = \sqrt {74} \).
Vậy tổng quãng đường ngắn nhất của electron là:
\({S_{\min }} = A'B + MN = \sqrt {74} + 2\sqrt {21} = 17,767 \approx 17,8{\rm{(m)}}\)
Vì \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( Q \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + 2{y_M} - 2{z_M} - 7 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_N} + 2{y_N} - 2{z_N} + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\) ta được: \(\left( {{x_M} - {x_N}} \right) + 2\left( {{y_M} - {y_N}} \right) - 2\left( {{z_M} - {z_N}} \right) - 12 = 0\)
Thay tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) ta có: \(4k + 2\left( {2k} \right) - 2\left( k \right) - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow 6k = 12 \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy \(\overrightarrow {NM} = \left( {8;4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 8;\, - 4;\, - 2} \right)\)nên \(MN = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {84} = 2\sqrt {21} \).
Tổng quãng đường electron cần đi là: \(S = AM + MN + NB\).
Vì \(MN = 2\sqrt {21} \) là một hằng số không đổi nên để quãng đường \(S\) ngắn nhất ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(AM + NB\).
Chọn một điểm \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) thì \(A' = A + \overrightarrow {MN} = \left( {4 - 8;3 - 4;0 - 2} \right) \Rightarrow A' = \left( { - 4;\, - 1;\, - 2} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) nên tứ giác \(AA'NM\)là một hình bình hành.
Tính chất hình bình hành cho ta độ dài \(AM = A'N\).
Thay tọa độ \(A'\) và \(B\) vào mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì ta thấy hai điểm này nằm khác phía nhau
Lúc này, tổng cần tìm cực trị trở thành: \(AM + NB = A'N + NB \ge A'B = \sqrt {74} \).
Vậy tổng quãng đường ngắn nhất của electron là:
\({S_{\min }} = A'B + MN = \sqrt {74} + 2\sqrt {21} = 17,767 \approx 17,8{\rm{(m)}}\)
22. Tự luận
• 1 điểm
Một quỹ đầu tư mạo hiểm đánh giá các Startup dựa trên 6 tiêu chí bao gồm: Công nghệ, tài chính, nhân sự, quy trình, sản phẩm, thị trường. Kết quả đánh giá được thể hiện trên một biểu đồ Radar lục giác đều (như hình vẽ), trong đó mức độ đánh giá cho mỗi tiêu chí như sau:
Mức 0: yếu (tâm đỏ); mức 1: khá (vòng xanh lá); mức 2: tốt (vòng tím); mức 3: xuất sắc (vòng xanh dương ngoài cùng). Giả sử quá trình đánh giá \(6\) tiêu chí là độc lập ngẫu nhiên. Khi đó, doanh nghiệp tiềm năng là doanh nghiệp có tổng điểm của cả \(6\) tiêu chí đúng bằng \(16\) điểm và doanh nghiệp cân bằng là doanh nghiệp có điểm số của các cặp tiêu chí đối diện nhau là bằng nhau. Biết rằng một Startup đã được đánh giá là “Doanh nghiệp tiềm năng”. Tính xác suất để Startup đó cũng là một “Doanh nghiệp cân bằng” (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Mức 0: yếu (tâm đỏ); mức 1: khá (vòng xanh lá); mức 2: tốt (vòng tím); mức 3: xuất sắc (vòng xanh dương ngoài cùng). Giả sử quá trình đánh giá \(6\) tiêu chí là độc lập ngẫu nhiên. Khi đó, doanh nghiệp tiềm năng là doanh nghiệp có tổng điểm của cả \(6\) tiêu chí đúng bằng \(16\) điểm và doanh nghiệp cân bằng là doanh nghiệp có điểm số của các cặp tiêu chí đối diện nhau là bằng nhau. Biết rằng một Startup đã được đánh giá là “Doanh nghiệp tiềm năng”. Tính xác suất để Startup đó cũng là một “Doanh nghiệp cân bằng” (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Xem đáp án
Gọi \({x_1};{x_2};{x_3};{x_4};{x_5};{x_6}\)lần lượt là điểm đánh giá của 6 tiêu chí
Theo đề bài, mỗi tiêu chí có 4 mức điểm: \(\left\{ {0;1;2;3} \right\}\)
Gọi \(A\) là doanh nghiệp tiềm năng
Tổng điểm 6 tiêu chí bằng \(16 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} + {x_6} = 16\left( * \right)\)
Gọi \(B\) là doanh nghiệp cân bằng:
Các cặp tiêu chí đối diện nhau có điểm bằng nhau\( \Leftrightarrow {x_1} = {x_4},\quad {x_2} = {x_5},\quad {x_3} = {x_6}\)
Trường hợp doanh nghiệp tiềm năng\(\left( {n\left( A \right)} \right)\)
Đặt \({y_i} = 3 - {x_i}\). Vì \({x_i} \in \left\{ {0;1;2;3} \right\} \Rightarrow {y_i} \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)
Thay vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow {y_1} + {y_2} + {y_3} + {y_4} + {y_5} + {y_6} = 2\)
- Trường hợp 1: Một biến bằng 2, các biến còn lại bằng 0 có \(C_6^1 = 6\)cách
- Trường hợp 2: Hai biến bằng 1, các biến còn lại bằng 0 có \(C_6^2 = 15\)cách
Vậy tổng số trường hợp doanh nghiệp tiềm năng là: \[n\left( A \right) = 6 + 15 = 21\] trường hợp
Trường hợp vừa “Tiềm năng” vừa “Cân bằng” \[\left( {n\left( {A \cap B} \right)} \right)\]
Để doanh nghiệp cân bằng, ta có \[{x_1} = {x_4},{x_2} = {x_5},{x_3} = {x_6}\]
Thay vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow 2{x_1} + 2{x_2} + 2{x_3} = 16 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 8\)
Với \[{x_i} \in \left\{ {0,1,2,3} \right\}\]các bộ số \(\left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right)\)có tổng bằng 8 chỉ có thể là hoán vị của bộ \(\left( {3,3,2} \right)\)
Các bộ thỏa mãn là: \[\left( {3,3,2} \right),\left( {3,2,3} \right),\left( {2,3,3} \right)\] suy ra \(n\left( {A \cap B} \right) = 3\) trường hợp
Vậy xác suất cần tính là: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{3}{{21}} = \frac{1}{7} \approx 0,14\)
Theo đề bài, mỗi tiêu chí có 4 mức điểm: \(\left\{ {0;1;2;3} \right\}\)
Gọi \(A\) là doanh nghiệp tiềm năng
Tổng điểm 6 tiêu chí bằng \(16 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} + {x_6} = 16\left( * \right)\)
Gọi \(B\) là doanh nghiệp cân bằng:
Các cặp tiêu chí đối diện nhau có điểm bằng nhau\( \Leftrightarrow {x_1} = {x_4},\quad {x_2} = {x_5},\quad {x_3} = {x_6}\)
Trường hợp doanh nghiệp tiềm năng\(\left( {n\left( A \right)} \right)\)
Đặt \({y_i} = 3 - {x_i}\). Vì \({x_i} \in \left\{ {0;1;2;3} \right\} \Rightarrow {y_i} \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)
Thay vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow {y_1} + {y_2} + {y_3} + {y_4} + {y_5} + {y_6} = 2\)
- Trường hợp 1: Một biến bằng 2, các biến còn lại bằng 0 có \(C_6^1 = 6\)cách
- Trường hợp 2: Hai biến bằng 1, các biến còn lại bằng 0 có \(C_6^2 = 15\)cách
Vậy tổng số trường hợp doanh nghiệp tiềm năng là: \[n\left( A \right) = 6 + 15 = 21\] trường hợp
Trường hợp vừa “Tiềm năng” vừa “Cân bằng” \[\left( {n\left( {A \cap B} \right)} \right)\]
Để doanh nghiệp cân bằng, ta có \[{x_1} = {x_4},{x_2} = {x_5},{x_3} = {x_6}\]
Thay vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow 2{x_1} + 2{x_2} + 2{x_3} = 16 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 8\)
Với \[{x_i} \in \left\{ {0,1,2,3} \right\}\]các bộ số \(\left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right)\)có tổng bằng 8 chỉ có thể là hoán vị của bộ \(\left( {3,3,2} \right)\)
Các bộ thỏa mãn là: \[\left( {3,3,2} \right),\left( {3,2,3} \right),\left( {2,3,3} \right)\] suy ra \(n\left( {A \cap B} \right) = 3\) trường hợp
Vậy xác suất cần tính là: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{3}{{21}} = \frac{1}{7} \approx 0,14\)
