Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 10
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số\(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
\(4\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Đáp án đúng là C
\(5\).
\(6\).
\(9\).
\(\frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là B
\(5x + 2y - 3z - 17 = 0\).
\(2x + 2y + z - 11 = 0\).
\(5x + 2y - 3z - 11 = 0\).
\(2x + 2y + z - 17 = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua điểm \(M\left( {2\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)\), có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right)\) nên có phương trình \(5\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 3z - 11 = 0\).
\({3^{n\;}}\).
\({3^{n - 1}}\).
\({3^{n\; + 1}}\)
\(3 + \left( {n - 1} \right).3\).
Đáp án đúng là A
Ta có \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 3 \cdot {3^{n - 1}} = {3^n}\,,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\(\left( { - \infty \,;\,\,2} \right]\).
\(\left[ {0\,;\,\,2} \right]\).
\(\left( { - \infty \,;\,\,2} \right)\).
\(\left( {0\,;\,\,2} \right)\).
\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(AB \bot \left( {SBC} \right)\).
\(AC \bot \left( {SBC} \right)\).
Vì \(SA = SC\) và \(O\) là trung điểm AC nên \(SO \bot AC\); Vì \(SB = SD\) và \(O\) là trung điểm BD nên \(SO \bot BD\).
Do đó \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ \frac{1}{x}{\rm{d}}x = \left| x \right| + {\rm{C}}\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ \frac{1}{x}{\rm{d}}x = {\rm{ln}}\left| x \right| + C\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ {\rm{ln}}x{\rm{d}}x = x + C\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ {\rm{ln}}\left| x \right|{\rm{d}}x = {\rm{ln}}x + C\).
Ta có \(\mathop \smallint \nolimits^ \frac{1}{x}{\rm{d}}x = {\rm{ln}}\left| x \right| + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2\,;\,2} \right]\) bằng
![Câu 8: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2\,;\,2} \right]\) bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture45-1779161514.png)
\( - 2\).
\( - 1\).
\(0\).
\(1\).
Bạn An rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn An được thống kê lại ở bảng sau:
Thời gian (phút) | \[\left[ {20;\,25} \right)\] | \[\left[ {25;\,30} \right)\] | \[\left[ {30;\,35} \right)\] | \[\left[ {35;\,40} \right)\] | \[\left[ {45;\,50} \right)\] |
Số ngày | \(6\) | \(6\) | \(4\) | \(1\) | \(1\) |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(31,25\).
\(31,26\).
\(5,4\).
\(5,6\).
Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\bar x = \frac{{22,5 \cdot 6 + 27,5 \cdot 6 + ... + 42,5 \cdot 1}}{{18}} = \frac{{85}}{3}\).
Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm là
\(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {22,5 - \bar x} \right)}^2}.6 + {{\left( {27,5 - \bar x} \right)}^2}.6 + ... + {{\left( {42,5 - \bar x} \right)}^2}.1}}{{18}}} = \sqrt {\frac{{125}}{4}} \approx 5,6\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với \(5,6\)
\(Q\left( { - 1\,;\;1\,;\;3} \right)\).
\(P\left( {1\,;\;2\,;\;5} \right)\).
\(M\left( {1\,;\;1\,;\;3} \right)\).
\(N\left( {1\,;\;5\,;\;2} \right)\).
Thay tọa độ N vào phương trình đường thẳng d, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - t\\5 = 5 + t\\2 = 2 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow t = 0\).
Do đó điểm \(N \in d\). Dễ dàng chứng minh được các điểm còn lại không thuộc d.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có: \(AC'\) là đường chéo hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)\( \Rightarrow AC' = AB.\sqrt 3 \).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CC' \bot (ABCD)}\\{AC' \cap (ABCD) = A}\end{array}} \right.\); suy ra góc \(\left( {AC',(ABCD)} \right) = \left( {AC'\,,\,\,AC} \right) = \widehat {C'AC}\) (góc nhọn); trong đó \(\sin \widehat {C'AC} = \frac{{CC'}}{{AC'}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) nên \(\sin \left( {AC',(ABCD)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\(0,65\).
\(0,25\).
\(0,5\).
\(\frac{{56}}{{65}}\).
Theo công thức xác suất toàn phần:
\[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65\].
Theo công thức Bayes: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,8.0,7}}{{0,65}} = \frac{{56}}{{65}}\).
Cho hàm số \(y = ax + b - \frac{1}{{x + c}}\) có đồ thị như hình vẽ:
Đồ thị hàm số nhận đường \(x = - 1\) làm tiệm cận đứng và đường \(y = - x - 1\) làm tiệm cận xiên
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( { - 1;\, - 2} \right)\)
\(a + b + c = 1\)
Gọi \(M\) là một điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số thì giá trị nhỏ nhất của \(IM\) bằng \(2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
Xét mệnh đề a)
Từ đồ thị ta có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\)
Tiệm cận xiên \(y = ax + b\)đi qua \(A\left( { - 1; - 2} \right)\)và \(B\left( {0; - 1} \right) \Rightarrow TCX:y = x - 1\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Tâm đối xứng là giao giữa hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên nên \(I\left( { - 1; - 2} \right)\)nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow c = 1\)
Tiệm cận xiên \(y = x - 1 \Rightarrow a = 1;\,b = - 1\)
Suy ra \(y = x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}\) suy ra \(a + b + c = 1\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Cách 1: Dùng BĐT Cauchy
Điểm \(M \in y = x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}\). Suy ra \(M\left( {x;x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\)
Độ dài \(I{M^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left[ {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 2} \right]^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left[ {\left( {x + 1} \right) - \frac{1}{{x + 1}}} \right]^2}\)
Đặt \(t = {\left( {x + 1} \right)^2} \Rightarrow I{M^2} = t + \left( {\sqrt t - \frac{1}{{\sqrt t }}} \right) = 2t + \frac{1}{t} - 2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : \[2t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt {2t.\frac{1}{t}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow I{M^2} \ge 2\sqrt 2 - 2 \Rightarrow I{M_{\min }} = \sqrt {2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \]
Cách 2: Dùng Casio
Độ dài \(IM = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left[ {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 2} \right]}^2}} \)
Suy ra \(IM = \sqrt {{{\left( {A + 1} \right)}^2} + {{\left[ {\left( {A - 1 - \frac{1}{{A + 1}}} \right) + 2} \right]}^2}} = 0,9101... \ne 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)nên mệnh đề d) sai
Thời gian để tàu hoàn thanh giai đoạn tăng tốc đầu tiên là \(20\) giây
Gia tốc của tàu trong giai đoạn giảm tốc là \( - 0,06\)(m/s2) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Tổng thời gian thực hiện cả hành trình của tàu là \(748\) giây (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Trong giai đoạn giảm tốc, độ lớn gia tốc tức thời lớn nhất của tàu gấp đôi độ lơn gia tốc trung bình của cả giai đoạn đó
Cách 1: Thuần toán
Vận tốc ban đầu: \(v\left( 0 \right) = 0\) và quãng đường ban đầu \(s\left( 0 \right) = 0\) với gia tốc \({a_1}\) không đổi
Khi đó \(v\left( t \right) = \int {{a_1}} {\rm{d}}t = {a_1}t\) với \(v\left( 0 \right) = 0\) nên \[s\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int {{a_1}} } t{\rm{d}}t = \frac{1}{2}{a_1}{t^2}\] (\(s\left( 0 \right) = 0\))
Tại thời điểm kết thúc \(t = {t_1}\) thì \(v\left( {{t_1}} \right) = {a_1}{t_1} = 150\left( 1 \right)\) và \(s\left( {{t_1}} \right) = \frac{1}{2}{a_1}t_1^2 = 1500\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{1}{2}.150.{t_1} = 1500 \Rightarrow {t_1} = 20\) giây nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Trong giai đoạn này: \(v\left( t \right) = a{t^2} + 150\)
Tại thời điểm \(t = {t_3}\)có vận tốc là \(v\left( {{t_3}} \right) = 30 \Rightarrow at_3^2 + 150 = 30 \Leftrightarrow at_3^2 = - 120\left( * \right)\)
Quãng đường giảm tốc : \[s\left( {{t_3}} \right) = \int\limits_0^{{t_3}} {\left( {a{t^2} + 150} \right){\rm{d}}t = \frac{1}{3}} .at_3^3 + 150{t_3} = 5000\left( {**} \right)\]
Thay \(\left( * \right)\)vào \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{3}.\left( { - 120} \right){t_3} + 150{t_3} = 5000 \Rightarrow {t_3} = \frac{{500}}{{11}}\)
Từ \(\left( * \right) \Rightarrow a = - \frac{{120}}{{t_3^2}} = - \frac{{120}}{{{{\left( {\frac{{500}}{{11}}} \right)}^2}}} \approx - 0,06\)nên mệnh đề b) đúng.
Xét mệnh đề c)
Giai đoạn 1(tăng tốc): \({t_1} = 20\)(giây); giai đoạn 2 (vận tốc không đổi): \({t_2} = \frac{{100000}}{{150}} = \frac{{2000}}{3}\)(giây)
Giai đoạn 3 (giảm tốc): \({t_3} = \frac{{500}}{{11}}\)(giây); giai đoạn 4 (vận tốc không đổi cuối): \({t_4} = \frac{{480}}{{30}} = 16\)(giây)
Tổng thời gian thực hiện hành trình là: \(T = {t_1} + {t_2} + {t_3} + {t_4} = 20 + \frac{{2000}}{3} + \frac{{500}}{{11}} + 16 \approx 748\)(giây) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gia tốc tức thời : \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2at\) nên độ lớn cực đại tại \(t = {t_3} \Rightarrow \left| {{a_{\max }}} \right| = \left| {2a{t_3}} \right| = 2.\left| a \right|.{t_3}\left( 1 \right)\)
Gia tốc trung bình trong giai đoạn này: \({a_{tb}} = \frac{{v\left( {{t_3}} \right) - v\left( 0 \right)}}{{{t_3} - 0}} = \frac{{30 - 150}}{{{t_3}}} = - \frac{{120}}{{{t_3}}}\)
Độ lớn: \(\left| {{a_{tb}}} \right| = \left| { - \frac{{120}}{{{t_3}}}} \right| = \frac{{120}}{{{t_3}}}\)
Từ dữ kiện đề bài: \[v\left( {{t_3}} \right) = 30 \Rightarrow at_3^2 + 150 = 30 \Leftrightarrow at_3^2 = - 120 \Leftrightarrow \left| a \right|{t_3} = \frac{{120}}{{{t_3}}}\]
Thay \[\left| a \right|{t_3} = \frac{{120}}{{{t_3}}}\]vào \(\left( 1 \right) \Rightarrow \left| {{a_{\max }}} \right| = 2.\left| {{a_{tb}}} \right|\)nên mệnh đề d) đúng
Phương trình mặt phẳng chứa cửa số là \(y - 4 = 0\)
Tọa độ tâm của bóng cửa sổ trên mặt sàn là \(G'\left( {3;\,\frac{{20}}{3};\,0} \right)\)
Diện tích bóng của cửa sổ trên mặt sàn bằng \(18,75\)m2
Nếu hạ thấp nguồn sáng \(L\) xuống vị trí mới là \(L'\left( {3;\,0;\,4} \right)\) thì diện tích bóng mới sẽ tăng thêm hơn \(200\% \) so với diện tích bóng ban đầu
Xét mệnh đề a)
Theo đề bài thì cửa sổ hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(2\)m nằm trong mặt phẳng \(y = 4\)
Suy ra Phương trình mặt phẳng chứa cửa số là \(y - 4 = 0\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Gọi \(G'\)là giao điểm của đường thẳng \(LG\)lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên \(\overrightarrow {LG} = \left( {0;4; - 3} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(LG:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 4t}\\{z = 5 - 3t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Tại giao điểm với mặt sàn \(\left( {z = 0} \right) \Leftrightarrow 5 - 3t = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{5}\) nên \(G'\left( {3;\frac{{20}}{3};0} \right)\)nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Cách 1: Vectơ \(\overrightarrow {LA} = \left( {1;4; - 4} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(LA:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 4t}\\{z = 5 - 4t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Khi đó: \(LA \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 5 - 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{4}\). Mà \(A' \in LA \Rightarrow A'\left( {\frac{{17}}{4};5;0} \right)\)
Vectơ \(\overrightarrow {LB} = \left( { - 1;4; - 4} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(LB:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - t}\\{y = 4t}\\{z = 5 - 4t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
\(LB \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 5 - 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{4}\) mà \(B' \in LB \Rightarrow B'\left( {\frac{7}{4};5;0} \right)\) nên \[A'B' = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{4} - \frac{{17}}{4}} \right)}^2}} = 2,5\](m)
Vectơ \(\overrightarrow {LC} = \left( { - 1;4; - 2} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(LC:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - k}\\{y = 4k}\\{z = 5 - 2k}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có: \(LC \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 5 - 2k = 0 \Rightarrow k = \frac{5}{2}\) mà \(C' \in LC \Rightarrow C'\left( {\frac{1}{2};10;0} \right)\)
Vectơ \(\overrightarrow {LD} = \left( {1;4; - 2} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(LD:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + k}\\{y = 4k}\\{z = 5 - 2k}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có: \(LD \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 5 - 2k = 0 \Rightarrow k = \frac{5}{2}\). Mà \(D' \in LD \Rightarrow D'\left( {\frac{{11}}{2};10;0} \right)\)
Khoảng cách \(C'D' = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{2} - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = 5\)(m)
Chiều cao hình thang cân \(A'B'C'D':h = \left| {{y_{D'}} - {y_{A'}}} \right| = 5\left( m \right)\)
Vậy \({S_{A'B'C'D'}} = \frac{{2,5 + 5}}{2}.5 = 18,75\left( {{m^2}} \right)\) nên mệnh đề c) đúng
Cách 2: Gọi \(M\left( {{x_M};4;{z_M}} \right)\)là một điểm thuộc cửa sổ.
Phương trình đường thẳng \(LM:\,\,\frac{{x - 3}}{{{x_M} - 3}} = \frac{{y - 0}}{{4 - 0}} = \frac{{z - 5}}{{{z_M} - 5}}\)
Tại mặt sàn \(\left( {z = 0} \right)\,\)ta có tỉ lệ : \(\frac{y}{4} = - \frac{5}{{{z_M} - 5}} \Rightarrow y = \frac{{20}}{{5 - {z_M}}}\)
Với cạnh \(AB\): \({z_M} = 1 \Rightarrow y = \frac{{20}}{{5 - 1}} = 5\) thì chiều rộng bóng: \({r_1} = \frac{5}{{5 - 1}}.2 = 2,5\)(m)
Với cạnh \(CD\): \({z_M} = 3 \Rightarrow y = \frac{{20}}{{5 - 3}} = 10\) thì chiều rộng bóng: \({r_2} = \frac{5}{{5 - 3}}.2 = 5\)(m)
Chiều cao bóng: \(h = 10 - 5 = 5\)(m) nên \({S_{A'B'C'D'}} = \frac{{2,5 + 5}}{2}.5 = 18,75\left( {{m^2}} \right)\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Vectơ \(\overrightarrow {L'A} = \left( {1;4; - 3} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(L'A:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 4t}\\{z = 4 - 3t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
\(L'A \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 4 - 3t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}\). Mà \(A'' \in L'A \Rightarrow A''\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{16}}{3};0} \right)\)
Tương tự cho \(B\left( {2;4;1} \right)\), ta tìm được \(B''\left( {\frac{5}{3};\frac{{16}}{3};0} \right)\) suy ra \(A''B'' = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{3} - \frac{{13}}{3}} \right)}^2}} = \frac{8}{3}\)(m)
Vectơ \(\overrightarrow {L'C} = \left( { - 1;4; - 1} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(L'C:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - t}\\{y = 4t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có: \(L'C \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 4 - t = 0 \Rightarrow t = 4\). Mà \(C'' \in L'C \Rightarrow C''\left( { - 1;16;0} \right)\)
Tương tự cho \(D\left( {4;4;3} \right)\), ta tìm được \(D''\left( {7;16;0} \right)\) nên \(C''D'' = \sqrt {{{\left( {7 + 1} \right)}^2}} = 8\)(m)
Chiều cao hình thang cân \(A''B''C''D'':h = \left| {{y_{D''}} - {y_{A''}}} \right| = \frac{{32}}{3}\) nên \({S_{A''B''C''D''}} = \frac{{\frac{8}{3} + 8}}{2}.\frac{{32}}{3} = \frac{{512}}{9}\)(m2)
Phần trăm tăng thêm : \(\% T = \frac{{{S_{A''B''C''D''}} - {S_{A'B'C'D'}}}}{{{S_{A'B'C'D'}}}}.100 = \frac{{\frac{{512}}{9} - 18,75}}{{18,75}}100 \approx 203 > 200\)nên mệnh đề d) đúng
\(P\left( {AB} \right) = 0,6\)
Tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu là \(72,5\% \)
Trong số người được phỏng vấn thực sự sẽ xem có 17% người trả lời không xem khi được phỏng vấn
Trong số những người mặc áo đội bóng có 30% người phỏng vấn thực sự sẽ không xem trận đấu biết rằng số người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu mặc áo đội bóng là 14 người
Xét mệnh đề a)
Thực tế Phỏng vấn | Người xem thật | Người không xem thật |
Người trả lời sẽ xem\(\left( {75} \right)\) | \(0,8.75 = 60\) | \(75 - 60 = 15\) |
Người trả lời sẽ không xem \(\left( {25} \right)\) | \(0,2.25 = 5\) | \(25 - 5 = 20\) |
\(AB\) là tập hợp người được phỏng vấn trả lời sẽ xem và xem thật nên do đó \(n\left( {AB} \right) = 60\)
Vậy \(P\left( {AB} \right) = \frac{{60}}{{100}} = 0,6\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
\(A\) là tập hợp người được phỏng vấn xem thật trận đấu nên \(n\left( A \right) = 60 + 5 = 65\)
Do đó\(P\left( A \right) = \frac{{65}}{{100}} = 0,65\) suy ra tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu là 65% nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Ngoài ra, ta có thể thực hiện tìm \(P\left( A \right)\) theo công thức xác suất toàn phần như sau:
Theo bài ra ta có: \(P\left( B \right) = 0,75;\,\,P\left( {\overline B } \right) = 0,25;\,\,P\left( {A|B} \right) = 0,8;\,\,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,2\).
Do đó, \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,75.0,8 + 0,25.0,2 = 0,65\).
Tổng số người được phỏng vấn thực sự sẽ xem thật trận đấu là \(65\) người
Số người trả lời không xem khi được phỏng vấn là \(5\) người
Tỉ lệ người trả lời không xem khi được phỏng vấn trong số những người thực sự xem trận đấu là \(\frac{5}{{65}} \approx 7,69\% \) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Tỉ lệ người phỏng vấn thực sự sẽ không xem trận đấu trong số những người mặc áo đội bóng là \(\frac{{20 - 14}}{{20}} = 30\% \) nên mệnh đề d) đúng
Một khối đá có dạng hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) với cạnh đáy bằng \(2\)dm, khoảng cách tứ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)dm. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của khối đá hình lăng trụ đã cho theo đơn vị deximet
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot A'H\\B'C' \bot AA'\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow A'K \bot B'C'\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)suy ra \(A'K \bot \left( {AB'C'} \right)\) hay \(d\left( {A',\,\,\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'K = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)dm
Xét tam giác \(A'B'C'\) đều có đường cao \(A'H = \frac{{2.\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)dm
Tam giác \(AA'H\) vuông tại \(A'\) có đường cao \(A'K\) nên \(\frac{1}{{A'{K^2}}} = \frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}}\)\( \Rightarrow A'A = 1\)dm
Hai mặt đáy song song với nhau và có khoảng cách là \(d\left( {\left( {ABC} \right),\,\,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = 1\)dm
Tốc độ quay của kim giờ là: \(\frac{{360^\circ }}{{12.60}} = 0,5^\circ \)/phút; tốc độ quay của kim phút là \(\frac{{360^\circ }}{{60}} = 6^\circ \)/phút
Sau thời gian \(t\) phút thì kim giờ quay được \(0,5t\)(độ), kim phút quat được \(6t\)(độ)
Góc tạo bởi hai kim là: \(\theta \left( t \right) = 6t - 0,5t = 5,5t\)(độ) hay \(\theta \left( t \right) = \frac{{11\pi t}}{{360}}\)(rad)
Khi \(\Delta OAB\) có diện tích bằng \(37,5\)mm2
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.10.15.\sin \left( {\theta \left( t \right)} \right) = 37,5 \Leftrightarrow \sin \left( {\theta \left( t \right)} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\theta \left( t \right) = \frac{\pi }{6}\\\theta \left( t \right) = \frac{{5\pi }}{6}\end{array} \right.\)
Thời điểm \(t\) nhỏ nhất sẽ ứng với góc \(t\) nhỏ nhất nên ta sẽ đi tìm \(t\) để \(\theta \left( t \right) = \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \frac{{11\pi t}}{{360}} = \frac{\pi }{6}\)
Suy ra \(t = \frac{{360}}{{6.11}} = \frac{{60}}{{11}} \approx 5,45\)(phút)
Vậy tại thời điểm \(t = \frac{{60}}{{11}} \approx 5,5\) phút kể từ lúc \(12\) giờ chiều thì diện tích \(\Delta OAB\) bằng \(37,5\)mm2
Trước hết ta gọi \(p\) là giá bán sản phẩm (triệu đồng)
Lợi nhuận mỗi năm của công ty là \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xp\left( x \right) - \left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right)\)
Suy ra \(P\left( x \right) = - 0,5{x^2} + \left( {p - 2} \right)x - 6\) là tam thức bậc 2 max tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2 - p}}{{2\left( { - 0,5} \right)}} = p - 2\) và lợi nhuận lớn nhất là \(\frac{{{{\left( {p - 2} \right)}^2}}}{2} - 6\) (tỷ đồng)
Năm 1 giá bán sản phẩm là \(p = 10\) triệu đồng
Năm 2 giá bán sản phẩm là \(p = 10 + 1 = 11\) triệu đồng … năm \(n\) giá bán sản phẩm là:\(p = 10 + \left( {n - 1} \right) = n + 9\) triệu đồng
Vậy công ty hoàn vốn khi lợi nhuận = chi phí
Xét phương trình \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {10 - {t^2}} \right).{e^{ - 0,2t}} = 0 \Leftrightarrow 10 - {t^2} = 0 \Rightarrow \pm \sqrt {10} \]
Với\(0 \le t < \sqrt {10} \), ta có \(10 - {t^2} > 0 \Rightarrow v\left( t \right) > 0\)(thiết bị đang lặn xuống)
Với\(t > \sqrt {10} \), ta có \(10 - {t^2} < 0 \Rightarrow v\left( t \right) < 0\) (thiết bị đang đi lên)
Vậy độ sâu lớn nhất đạt được tại thời điểm \(t = \sqrt {10} \)
Độ sâu \(h\) tại thời điểm \(t\) là tích phân của vận tốc từ lúc bắt đầu \(\left( {t = 0} \right)\):
\({h_{\max }} = \int\limits_0^{\sqrt {10} } {\left[ {\frac{1}{2}\left( {10 - {t^2}} \right).{e^{ - 0,2t}}} \right]} \,{\rm{d}}t \approx 8,4\)(m)
Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\)tâm \(B\left( {0;6;5} \right)\), bán kính \[R = 6\]là: \[\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\]
Giao của hai mặt cầu là một đường tròn nằm trên mặt phẳng vuông góc với đường nối tâm \(AB\)
Độ dài \(AB = \sqrt {{8^2} + {6^2} + {2^2}} = 2\sqrt {26} \)
Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\)(vì \(MA = MB = 6\)nên \(I\)là tâm đường tròn giao tuyến)\( \Rightarrow I\left( {4;3;4} \right)\)
Bán kính đường tròn giao tuyến \(r = MI = \sqrt {M{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{6^2} - {{\left( {\sqrt {26} } \right)}^2}} = \sqrt {10} \)
Cao độ của\(M\)sẽ bằng cao độ của tâm \(I\) cộng với hình chiếu đứng của bán kính \(MI\). Để \({z_M}\)max, vectơ \(IM\)phải nằm trong mặt phẳng đứng chứa \(AB\).
Gọi \(\alpha \)là góc giữa đường thẳng \(AB\)và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)
Ta có : \(\cos \alpha = \frac{{A'B'}}{{AB}}\)(với \(A',B'\)là hình chiếu của \(A,B\) xuống sàn)
Vậy \[A'B' = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{10}}{{2\sqrt {26} }} \Rightarrow {h_{\max }} = 4 + \sqrt {10} .\frac{{10}}{{2\sqrt {26} }} \approx 7,1\](m)
ØĐúng \(01\) ý trong \(04\) ý được \(0,1\) điểm
ØĐúng \(02\) ý trong \(04\) ý được \(0,25\) điểm
ØĐúng \(03\) ý trong \(04\) ý được \(0,5\) điểm
ØĐúng cả \(04\) ý được \(1\) điểm
ØKhông đúng ý nào trong cả \(04\) ý thì không được điểm
Một học sinh khoanh bừa ngẫu nhiên tất cả các ý của \(2\) câu hỏi. Biết rằng sau khi chấm, tổng điểm của học sinh này nhận được cho cả \(2\) câu hỏi đó là \(1\) điểm. Tính xác suất để số điểm đó được tạo thành từ việc học sinh làm đúng \(3\) ý ở cả hai câu hỏi (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Tổng số cách trả lời cho mỗi câu hỏi là: \({2^4} = 16\)(cách)
Số cách để đạt các mức điểm như sau:
Được \(1\) điểm khi đúng cả 4 ý có \(C_4^4 = 1\)(cách)
Được \(0,5\) điểm khi đúng 3 ý có \(C_4^3 = 4\)(cách)
Được \(0,25\) điểm khi đúng 2 ý có \(C_4^2 = 6\)(cách)
Được \(0,1\) điểm khi đúng 1 ý có \(C_4^1 = 4\)(cách)
Được \(0\) điểm khi không làm đúng ý nào có \(C_4^0 = 1\)(cách)
Các trường hợp đạt tổng \(1,0\)điểm
Gọi \({x_1},{x_2}\) là điểm số của 4 câu hỏi thì khi đó \({x_1} + {x_2} = 1\)
Trường hợp 1: Bộ điểm \(\left\{ {1;0} \right\}\)
Số cách chọn vị trí câu hỏi: Ta có 4 câu, chọn 1 câu 1 điểm và 1 câu 0 điểm:
Số cách xếp bộ điểm này là: \(2! = 2\)(cách)
Số cách chọn đáp án: 1 câu được 1 điểm có 1 cách; 1 câu được 0 điểm có 1 cách
Tổng số cách ở trong trường hợp này là \(2.\left( {1.1} \right) = 2\)(cách)
Trường hợp 2: Bộ điểm \(\left\{ {0,5;0,5} \right\}\)
Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 2 câu đều được \(0,5\) điểm
Số cách xếp có \(1\) cách
Số cách chọn đáp án: 2 câu được \(0,5\) điểm mỗi câu có \(4\) cách
Tổng số cách ở trường hợp này là \(1.\left( {4.4} \right) = 16\)(cách)
Vậy không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 2 + 16 = 18\)(cách)
Gọi \(A\) là biến cố “Điểm số đó tạo thành từ việc học sinh làm đúng \(3\) ý ở cả hai câu” nên khi đó số kết quả thuận lợi là \(n\left( A \right) = 16\)
Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{16}}{{18}} \approx 0,89\)
