Đề kiểm tra Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Ta có:\({x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\).

Đường tròn đã cho có tâm \(I\left( {1; - 3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 9  = 3\).

Chọn D

Phương án A: có tích \[xy\] nên không phải là phương trình đường tròn.

Phương án B: có hệ số bậc hai không bằng nhau nên không phải là phương trình đường tròn.

Phương án C: ta có \[{x^2} + {y^2} - 14x + 2y + 2018 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + 1968 = 0\] không tồn tại \[x,y\] nên cũng không phải phương trình đường tròn.

Còn lại, chọn D

Chọn A

Ta có phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\).

Vậy tâm đường tròn là: \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).

Chọn A

Ta có \({x^2} + {y^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)\)

\( \Rightarrow a = m + 2;b =  - 2m;c = 19m - 6.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow m < 1\) hoặc \(m > 2\).

Biết rằng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\).

Ta thấy phương trình trong phương án \[A\] và \[B\] có hệ số của \({x^2}\), \({y^2}\) không bằng nhau nên đây không phải là phương trình đường tròn.

Với phương án \[C\] có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 16 - 18 < 0\) nên đây không phải là phương trình đường tròn. Vậy ta chọn đáp án \[D\].

Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10y - 24 = 0\) có tâm \(I\left( {0;\,5} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{0^2} + {5^2} - \left( { - 24} \right)}  = 7\).

Gọi \(I\left( {a;\;b} \right)\)là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\), do đó:

\(A{I^2} = B{I^2} \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\) \[ \Leftrightarrow  - 2a + 1 - 6b + 9 =  - 6a + 9 - 2b + 1\]

Hay: \(a = b\;\;(1)\). Mà \(I\left( {a;\,b} \right) \in d:2x - y + 7 = 0{\rm{ n\^e n }}2a - b + 7 = 0\;\;(2)\).

Thay vào ta có: \(a =  - 7 \Rightarrow b =  - 7 \Rightarrow {R^2} = A{I^2} = 164\).

Vậy \(\left( C \right):{\left( {x + 7} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 164\).

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4 = 0\\4 - 4x - 4y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4 = 0\\x + y = 2\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} - 4 = 0\\y = 2 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\).

Vậy giao điểm \(A\left( {2\,;\,0} \right)\) và \(B\left( {0\,;\,2} \right)\).

Ta có đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\), bán kính \(R = 2\)

Để đường tròn \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(\left( d \right)\) tại 2 điểm phân biệt khi \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {4 - 6 + m} \right|}}{5} < 2 \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| < 10 \Leftrightarrow  - 8 < m < 12\).

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right),r = 3\)

Do tiếp tuyến song song đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 17 = 0\) nên tiếp tuyến có dạng \(d:3x + 4y + c = 0\;\left( {c \ne  - 17} \right)\)

Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) khi và chỉ khi: \(d\left( {I,\,d} \right) = r \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.2 + 4.\left( { - 1} \right) + c} \right|}}{5} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 13\\c =  - 17\end{array} \right.\).

So với điều kiện \(c =  - 17\) loại.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y + 13 = 0\).

Đường tròn \[\left( C \right)\]: \[{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 5 = 0\] có tâm \[I\left( {1;\, - 2} \right)\].

Tiếp tuyến của đường tròn \[\left( C \right)\] tại \[M\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \overrightarrow {IM}  = \left( {1;\, - 3} \right)\] nên có phương trình: \[1\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 17 = 0\].

a) Phương trình đường tròn \((C)\) là: \({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 16\).

b) Bán kính đường tròn \((C)\) là: \(R = AK = \sqrt {{{[3 - ( - 2)]}^2} + {{(2 - 1)}^2}}  = \sqrt {26} \).

Suy ra phương trình đường tròn \((C)\) là: \({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 26\).

c) Tâm của đường tròn \((C)\) là trung điểm \(I\) của \(PQ\), suy ra \(I(3;1)\).

Bán kính đường tròn là: \(R = IP = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{( - 1 - 1)}^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Phương trình đường tròn \((C)\) là: \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = 8\).

d) Bán kính \(R\) của đường tròn \((C)\) bằng khoảng cách từ điểm \(S\) đến đường thẳng

\(\Delta :3x + 4y - 10 = 0\). Suy ra \(R = d(S,\Delta ) = \frac{{|3 \cdot ( - 3) + 4 \cdot ( - 4) - 10|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 7\).

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \({(x + 3)^2} + {(y + 4)^2} = 49\).

Gọi tâm đường tròn là \(I(a;b)\), ta có: \(d(I,\Delta ) = \frac{{|3a + b - 3|}}{{\sqrt {10} }}\).

Theo giả thiết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{A^2} = {{(d(I,\Delta ))}^2}}\end{array}} \right.\)

⇔(a−1)2+(b−2)2=(a−3)2+(b−4)2(a−1)2+(b−2)2=(3a+b−3)210⇔a+b=51a2−2a+9b2−34b+41−6ab=02

Thay (1) vào \((2):{(5 - b)^2} - 2(5 - b) + 9{b^2} - 34b + 41 - 6(5 - b)b = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 18b + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 1}&{ \Rightarrow a = 4 \Rightarrow R = \sqrt {10} }\\{b = \frac{7}{2}}&{ \Rightarrow a = \frac{3}{2} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {10} }}{2}}\end{array}.} \right.\)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn: \({\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2}\) và \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} = 10\)

Gọi tâm đường tròn là \(I(a;b)\). Theo giả thiết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A{I^2} = B{I^2}}\\{A{I^2} = C{I^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a - 2)}^2} + {b^2} = {a^2} + {{(b + 3)}^2}}\\{{{(a - 2)}^2} + {b^2} = {{(a - 5)}^2} + {{(b + 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 6b =  - 5}\\{6a - 6b = 30}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{5}{2}}\\{b =  - \frac{5}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Bán kính đường tròn là \(R = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2} - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{13}}{2}} \).

Vậy phương trình đường tròn \((C):{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{13}}{2}\).

\((C)\) có tâm \(I(2;2)\) và bán kính \(R = 3\).

Gọi \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) qua \(A(5; - 1)\);

phương trình \(\Delta :a(x - 5) + b(y + 1) = 0\).

\(\Delta \) là tiếp tuyến của \((C)\) khi và chỉ khi: \(d(I,\Delta ) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{|a(2 - 5) + b(2 + 1)|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow | - 3a + 3b| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow 9{a^2} + 9{b^2} - 18ab = 9{a^2} + 9{b^2} \Leftrightarrow ab = 0 \Leftrightarrow a = 0 \vee b = 0.\end{array}\)

- Với \(a = 0\), chọn \(b = 1\); phương trình \(\Delta \) là: \(y + 1 = 0\).

- Với \(b = 0\), chọn \(a = 1\); phương trình \(\Delta \) là: \(x - 5 = 0\).

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: \(y + 1 = 0;x - 5 = 0\).

Quỹ đạo chuyển động của chất điểm thứ nhất là đường tròn \((C)\) có phương trình chính tắc: \({(x - 3)^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

Vì \(\overrightarrow {AB}  = (5;5)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\frac{{x + 3}}{5} = \frac{{y - 2}}{5} \Leftrightarrow x - y + 5 = 0\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(AB\).

Ta có: \(IH = \frac{{|3 - 3 + 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt 2 }}(\;m)\).

Vì \(\frac{5}{{\sqrt 2 }} > 2\), tức là \(IH > R\) nên đường thẳng \(AB\) và đường tròn \((C)\) không có điểm chung. Gọi \(K\) là giao điểm của đoạn thẳng \(IH\) và đường tròn. Ta có: \(HK = IH - IK = \frac{5}{{\sqrt 2 }} - 1 > 1(\;m){\rm{. }}\)

Xét \(M\) là điểm bất kì trên đường tròn, \(N\) là điểm bất kì trên đường thẳng \(AB\).

Ta có: \(MN \ge IN - IM,IM = IK,IN \ge IH \Rightarrow MN \ge IH - IK = HK > 1\;m\).

Vậy tại mọi thời điểm, khoảng cách giữa hai chất điểm lớn hơn \(1\;m\).

Gọi \(M(x;y)\). Ta có: \(3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left[ {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} \right] + {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = 2\left[ {{{(x - 4)}^2} + {{(y - 1)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 6x + 3 + {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20 = 2{x^2} + 2{y^2} - 16x - 4y + 34\end{array}\)\(\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 18x - 4y - 11 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 9x - 2y - \frac{{11}}{2} = 0\left( * \right)\)

Đặt \(a =  - \frac{9}{2},b = 1,c =  - \frac{{11}}{2}\). Ta có \(a =  - \frac{9}{2},b = 1,c =  - \frac{{11}}{2}{a^2} + {b^2} - c = \frac{{107}}{4} > 0\) nên \(\left( * \right)\) là phương trình của một đường tròn (tức đường tròn \((C)\)).

Bán kính của \((C)\) là: \(R = \frac{{\sqrt {107} }}{2}\).

(C) có tâm \(O(0;0)\), bán kính \(R = 5\).

\(\Delta \) tiếp xúc \((C) \Leftrightarrow d(O,\Delta ) = R \Leftrightarrow \frac{{|0 + 2.0 - 3m + 1|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = 5 \Leftrightarrow | - 3m + 1| = 5\sqrt 5 \) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3m + 1 = 5\sqrt 5 }\\{ - 3m + 1 =  - 5\sqrt 5 }\end{array} \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm 5\sqrt 5 }}{3}} \right.\). Vậy \(m = \frac{{1 \pm 5\sqrt 5 }}{3}\) thỏa mãn đề bài.

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua với mọi \(m\).

Ta có: \(x_0^2 + y_0^2 + 4m{x_0} + 2(m + 1){y_0} - 1 = 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4m{x_0} + 2m{y_0} + x_0^2 + y_0^2 + 2{y_0} - 1 = 0,\forall m \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left( {4{x_0} + 2{y_0}} \right)m + x_0^2 + y_0^2 + 2{y_0} - 1 = 0,\forall m \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_0} + 2{y_0} = 0}\\{x_0^2 + y_0^2 + 2{y_0} - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} =  - 2{x_0}}\\{x_0^2 + {{\left( { - 2{x_0}} \right)}^2} + 2\left( { - 2{x_0}} \right) - 1 = 0}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)\(\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} =  - 2{x_0}}\\{5x_0^2 - 4{x_0} - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 1}\\{{y_0} =  - 2}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} =  - \frac{1}{5}}\\{{y_0} = \frac{2}{5}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy với mọi số thực \(m\) thì \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm \((1; - 2),\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(2; - 2)\), bán kính \(R = 3\).

Vì  nên phương trình \(\Delta \) có dạng: \(3x - 2y + c = 0\).

Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi \(d(I,\Delta ) = 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|3.2 - 2( - 2) + c|}}{{\sqrt {9 + 4} }} = 3 \Leftrightarrow |c + 10| = 3\sqrt {13}  \Leftrightarrow c =  - 10 \pm 3\sqrt {13} .\)

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là \(\Delta :3x - 2y - 10 \pm 3\sqrt {13}  = 0\).

Gọi \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAB\). Ta có tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) nên tâm \(I\) của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là trung điểm cạnh \(AB\) suy ra \(I\left( {4;3} \right)\); bán kính đường tròn là \(R = IA = \sqrt {{{\left( {8 - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}}  = 5\). Vậy phương trình đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là \({(x - 4)^2} + {(y - 3)^2} = 25\).