Đề kiểm tra Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Cho các phương trình sau, phương trình nào không là phương trình đường tròn?
\({x^2} + {y^2} - 6x + 2y - 5 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 1 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 12 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0\).
Ta có:
\({x^2} + {y^2} - 6x + 2y - 5 = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c = 15 > 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 1 = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c = 3 > 0\).
\({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 12 = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c = - 2 < 0\).
\({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c = 8 > 0\).
Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 12 = 0\) không là phương trình đường tròn.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\). Xác định đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\)
\(3\).
\(4\).
\(6\).
\(2\).
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có bán kính \(R = 3\)nên độ dài đường kính là \(6\).
Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\,\,3x - 4y + 1 = 0\). Hãy xác định bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).
\(R = \frac{{19}}{5}\).
\(R = 4\).
\(R = \frac{{17}}{5}\).
\(R = 3\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\,\,3x - 4y + 1 = 0\) nên ta có:
\(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 4} \right) - 4.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{15}}{5} = 3\).
Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - {m^2} = 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số\(m\)để đường tròn có bán kính bằng \(2\)
\(m = \pm 2\).
\(m = \pm \sqrt 2 \).
\(m = \sqrt 2 \).
\(m = 0\).
Ta có \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - {m^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2 + {m^2}\).
Đường tròn có bán kính bằng \(2\)khi và chỉ khi \(\sqrt {2 + {m^2}} = 2\) \( \Leftrightarrow 2 + {m^2} = 4\)\( \Leftrightarrow {m^2} = 2\)\( \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 \).
Điểm nào sau đây không nằm trên đường tròn có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\)?
\(\left( {4;0} \right)\).
\(\left( {3;1} \right)\).
\(\left( {2;4} \right)\).
\(\left( {1;1} \right)\).
Thay \(x = 2,y = 4\) vào phương trình đường tròn ta thấy không thỏa mãn.
Viết phương trình đường tròn đường kính \(AB\) biết \(A\left( {2;3} \right)\)và \(B\left( {0; - 5} \right)\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \sqrt {17} \).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 68\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 17\).
Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {68} = 2\sqrt {17} \)
Gọi \(I\)là tâm và \(R\)là bán kính của đường tròn đường kính \(AB\)
Khi đó\(I\)là trung điểm của \(AB\) và \(R = \frac{{AB}}{2}\).
Như vậy \(I\left( {1; - 1} \right)\)và \(R = \sqrt {17} \).
Vậy phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 17\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], đường tròn có tâm \[I\left( {1;\,2} \right)\] tiếp xúc với đường thẳng \[\left( d \right):\,3x - 4y - 10 = 0\] có phương trình là
\[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\,.\,\]
\right)^2} = 3\,.\]
\[\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\,.\]
\[\left( C \right):\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 3\,.\]
\[\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2}
Phương trình đường tròn \[\left( C \right)\] tâm \[I\left( {1;\,2} \right)\] tiếp xúc với đường thẳng \[\left( d \right):\,3x - 4y - 10 = 0\] có dạng: \[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\,.\,\]
\[R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 3\]
Vậy phương trình đường tròn \[\left( C \right)\]: \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\,.\,\]
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) biết \(A\left( { - 2\,;\,1} \right)\), \(B\left( {2\,;\, - 3} \right)\), \(C\left( {0\,;\,3} \right)\)
\(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\).
\(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\).
\(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).
\(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 10\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\, - 4} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {2\,;\,2} \right)\),\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 4.2 + \left( { - 4} \right).2 = 0 \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\).
Suy ra: tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = 0\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow I\left( {1\,;\,0} \right)\,,\,\overrightarrow {IA} = \left( { - 3\,;\,1} \right)\), bán kính đường tròn \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).
Đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC\) có tâm \(I\left( {1\,;\,0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {10} \).
\( \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 10\).
Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn có phương trình lần lượt là \[({C_1}):{x^2} + {y^2} - 4x = 0\] và \[({C_2}):{x^2} + {y^2} + 8y = 0\].
Tiếp xúc trong.
Cắt nhau.
Không cắt nhau.
Tiếp xúc ngoài.
Đường tròn \[({C_1}):{x^2} + {y^2} - 4x = 0\] có tâm \[{I_1}(2;0)\], bán kính \({R_1} = 2\).
Đường tròn \[({C_2}):{x^2} + {y^2} + 8y = 0\] có tâm \[{I_2}(0; - 4)\], bán kính \({R_2} = 4\).
Ta có\({R_2} - {R_1} < {I_1}{I_2} = 2\sqrt 5 < {R_2} + {R_1}\) nên hai đường tròn cắt nhau.
Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0\) có tâm \(I\), bán kính \(R\) là
\(I\left( { - 1;\,2} \right),\,R = \sqrt 2 \).
\(I\left( { - 1;\,2} \right),\,R = 2\sqrt 2 \).
\(I\left( {1;\, - 2} \right),\,R = \sqrt 2 \).
\(I\left( {1;\, - 2} \right),\,R = 2\sqrt 2 \).
Tâm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\), bán kính \(\,R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 3} \right)} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \).
Cho tam giác \[ABC\] có \(A\left( {1; - 1} \right),\,B\left( {3;2} \right),\;C\left( {5; - 5} \right)\). Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là
\[\left( {\frac{{47}}{{10}}; - \frac{{13}}{{10}}} \right)\].
\[\left( {\frac{{47}}{{10}};\frac{{13}}{{10}}} \right)\].
\[\left( { - \frac{{47}}{{10}}; - \frac{{13}}{{10}}} \right)\].
\[\left( { - \frac{{47}}{{10}};\frac{{13}}{{10}}} \right)\].
Gọi \(I\left( {x;\,\,y} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 11\\8x - 8y = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{47}}{{10}}\\y = - \frac{{13}}{{10}}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow I\left( {\frac{{47}}{{10}}; - \frac{{13}}{{10}}} \right)\).
Số tiếp tuyến chung của 2 đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) và \(\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} + 6x - 8y + 20 = 0\) là
\(1\).
\(2\).
\(4\).
\(3\).
Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \(R = 2\).
Đường tròn \(\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} + 6x - 8y + 20 = 0\) có tâm \(I'\left( { - 3;4} \right)\) bán kính \(R' = \sqrt 5 \).
\(II' = 2\sqrt {13} \).
Vậy \(II' > R + R'\) nên 2 đường tròn không có điểm chung suy ra 2 đường tròn có 4 tiếp tuyến chung.
Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
Cho \({x^2} - {y^2} + 2x + 6y - 3 = 0\) không phải là phương trình đường tròn.
Cho \({x^2} + {y^2} - 8x + 2y - 15 = 0\)là phương trình đường tròn có tâm \(I(4; - 1)\), bán kính \(R = 4\sqrt 2 \).
Cho \({x^2} + {y^2} - 14x + 4y + 55 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I(7; - 2)\), bán kính \[R = 2\sqrt 2 \].
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 44 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I(1;2)\), bán kính \(R = 3\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Không phải là phương trình đường tròn.
b) Là phương trình đường tròn có tâm \(I(4; - 1)\), bán kính \(R = 4\sqrt 2 \).
c) Không phải là phương trình đường tròn.
d) là phương trình đường tròn có tâm \(I(1;2)\), bán kính \(R = 7\).
Cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I( - 1;2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 7 = 0\). Khi đó:
\(d(I,\Delta ) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\)
Đường kính của đường tròn có độ dài bằng \(\frac{4}{{\sqrt 5 }}\)
Phương trình đường tròn là \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = \frac{4}{5}\)
Đường tròn \((C)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tại điểm có hoành độ lớn hơn
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
\((C)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc \(\Delta \) nên có bán kính \(R = d(I,\Delta ) = \frac{{| - 1 - 4 + 7|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = \frac{4}{5}\).
Đường tròn \((C)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 0
Đường tròn \((C)\) đi qua \(A(2; - 1)\) và tiếp xúc với hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\). Khi đó:
Đường tròn \((C)\) đi qua điểm \(N(1;0)\)
Đường tròn \((C)\) đi qua điểm \(M(1;1)\)
Có 2 đường tròn thỏa mãn
Tổng bán kính các đường tròn thỏa mãn bằng 5
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Vì điểm \(A(2; - 1)\) nằm ở góc phần tư thứ tư của hệ trục tọa độ và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng \(I(R; - R)\) trong đó \(R\) là bán kính đường tròn \((C)\).
Ta có: \({R^2} = I{A^2} \Leftrightarrow {R^2} = {(2 - R)^2} + {( - 1 + R)^2} \Leftrightarrow {R^2} - 6R + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{R = 1}\\{R = 5}\end{array}} \right.\).
Vậy có hai đường tròn thoả mãn đề bài là: \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1\); \({(x - 5)^2} + {(y + 5)^2} = 25\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C)\): \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 25\). Khi đó:
Đường tròn \((C)\) có tâm \(I( - 1;2)\)
Đường tròn \((C)\) có bán kính \(R = 5\).
Có 2 tiếp tuyến đường tròn \((C)\) song song với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 14 = 0\).
Tiếp tuyến đường tròn \((C)\), song song với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 14 = 0\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1; - 2)\) bán kính \(R = 5\).
b) Giả sử \({\Delta ^\prime }\) là tiếp tuyến của đường tròn và song song với \(\Delta \).
Khi đó, phương trình \({\Delta ^\prime }\) có dạng \(3x - 4y + c = 0\) với \(c \ne 14\).
Khoảng cách từ \(I\) đến \({\Delta ^\prime }\) là \(d\left( {I,{\Delta ^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot 1 - 4 \cdot ( - 2) + c|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{|11 + c|}}{5}\). \({\Delta ^\prime }\) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi \(d\left( {I,{\Delta ^\prime }} \right) = R \Leftrightarrow |11 + c| = 25\). Suy ra \(c = - 36\) hoặc \(c = 14\) (loại). Vậy phương trình \(\Delta \)' là: \(3x - 4y - 36 = 0\).
Viết phương trình đường tròn \((C)\) trong trường hợp sau: (C) có tâm nằm trên đường thẳng \(d:x - 6y - 10 = 0\) và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình \({d_1}:3x + 4y + 5 = 0\) và \({d_2}:4x - 3y - 5 = 0\).
Gọi tâm đường tròn là \(I(6a + 10;a) \in d\).
Đường tròn tiếp xúc với \({d_1},{d_2}\) nên khoảng cách từ tâm \(I\) đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính \(R\), ta có:
\(\begin{array}{l}d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{|3(6a + 10) + 4a + 5|}}{5} = \frac{{|4(6a + 10) - 3a - 5|}}{5}\\ \Leftrightarrow |22a + 35| = |21a + 35| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{22a + 35 = 21a + 35}\\{22a + 35 = - 21a - 35}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{a = - \frac{{70}}{{43}}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
- Với \(a = 0\) thì \(K(10;0)\) và \(R = 7\) suy ra \((C):{(x - 10)^2} + {y^2} = 49\).
- Với \(a = - \frac{{70}}{{43}}\) thì \(K\left( {\frac{{10}}{{43}}; - \frac{{70}}{{43}}} \right)\) và \(R = \frac{7}{{43}}\) suy ra
\((C):{\left( {x - \frac{{10}}{{43}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{70}}{{43}}} \right)^2} = {\left( {\frac{7}{{43}}} \right)^2}\).
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là:
\({(x - 10)^2} + {y^2} = 49;{\left( {x - \frac{{10}}{{43}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{70}}{{43}}} \right)^2} = {\left( {\frac{7}{{43}}} \right)^2}{\rm{. }}\)
Cho đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\) và các đường thẳng \({d_1}:x - y = 0\), \({d_2}:x - 7y = 0\). Viết phương trình đường tròn \(\left( {{C^\prime }} \right)\) có tâm \(I\) nằm trên đường tròn \((C)\) và tiếp xúc với \({d_1},{d_2}\)
Gọi \(I(a;b)\) là tâm đường tròn \(\left( {{C^\prime }} \right)\). Ta có: \(I \in (C) \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {b^2} = \frac{4}{5}\).
Đường tròn \(\left( {{C^\prime }} \right)\) tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)
\( \Leftrightarrow d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{|a - b|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{|a - 7b|}}{{\sqrt {50} }} \Leftrightarrow 5|a - b| = |a - 7b|\)
\( \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1}}{2}b\) hoặc \(a = 2b\).
- \(a = \frac{{ - 1}}{2}b \Rightarrow {\left( {\frac{{ - 1}}{2}b - 2} \right)^2} + {b^2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{5}{4}{b^2} + 2b + \frac{{16}}{5} = 0\) (vô nghiệm).
- \(a = 2b \Rightarrow {(2b - 2)^2} + {b^2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow 5{b^2} - 8b + \frac{{16}}{5} = 0 \Leftrightarrow b = \frac{4}{5}\).
Suy ra \(a = \frac{8}{5},R = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\).
Vậy đường tròn (C') có phương trình là: \({\left( {x - \frac{8}{5}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{8}{{25}}\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), vị trí của một chất điểm \(K\) tại thời điểm \(t(0 \le t \le 180)\) có toạ độ là 3+2cost°;4+2sint°. Tìm quỹ đạo chuyển động của chất điểm \(K\).
Ta có:
x=3+2cost°y=4+2sint°⇔x−3=2cost°y−4=2sint°⇒(x−3)2+(y−4)2=4
Vậy chất điểm \(K\) chuyển động theo quỹ đạo đường tròn \({(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} = 4\) có
tâm \(I(3;4)\) và bán kính \(R = 2\).
Lập phương trình đường tròn \((C)\) biết: \((C)\) đi qua ba điểm \(M(2;0),N( - 2;0),P(1; - 1)\).
Giả sử tâm của đường tròn là điểm \(I(a;b)\).
Vì \(IM = IN = IP\) nên \(I{M^2} = I{N^2} = I{P^2}\). Suy ra
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(2 - a)}^2} + {{(0 - b)}^2} = {{( - 2 - a)}^2} + {{(0 - b)}^2}}\\{{{( - 2 - a)}^2} + {{(0 - b)}^2} = {{(1 - a)}^2} + {{( - 1 - b)}^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} - 4a + 4 = {a^2} + {b^2} + 4a + 4}\\{{a^2} + {b^2} + 4a + 4 = {a^2} + {b^2} - 2a + 2b + 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8a = 0}\\{6a - 2b + 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{b = 1.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt 5 \).
Phương trình đường tròn là: \({x^2} + {(y - 1)^2} = 5\).
Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0\) và hai điểm \(A(2; - 2),B( - 3; - 1)\). Gọi \(M,N\) là các điểm thuộc \((C)\) sao cho \(AM,AN\) lần lượt đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tính \(AM + AN\).
(C) có tâm \(I(1; - 1)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 1 + 7} = 3\).
Ta có \(:IA = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 2 + 1)}^2}} = \sqrt 2 < R\) nên \(A\) nằm bên trong đường tròn. \(IB = \sqrt {{{( - 3 - 1)}^2} + {{( - 1 + 1)}^2}} = 4 > R\) nên \(B\) nằm bên ngoài đường tròn.
Vì \(M\) thuộc \(\left( C \right)\) và \(AM\) lớn nhất nên \(A,I,M\) thẳng hàng (\(I\) nằm giữa \(A,M\)) ta có: \(AM = R + IA\).
\(N\) thuộc \(\left( C \right)\), \(AN\) bé nhất nên \(I,A,N\)thẳng hàng (\(A\) nằm giữa \(I,N\)), ta có \(AN = R - IA\)
Suy ra: \(AM + AN = \left( {R + IA} \right) + \left( {R - IA} \right) = 2R = 6\).
Cho họ đường tròn \(\left( {{C_m}} \right):{x^2} + {y^2} + 4mx + 2(m + 1)y - 1 = 0\).
Tìm bán kính bé nhất của đường tròn \(\left( {{C_m}} \right)\).
Đặt \(a = \frac{{4m}}{{ - 2}} = - 2m,b = \frac{{2(m + 1)}}{{ - 2}} = - (m + 1),c = - 1\).
Ta có: \({a^2} + {b^2} - c = 4{m^2} + {(m + 1)^2} + 1 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) nên \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn là đường tròn với mọi số thực \(m\).
Bán kính đường tròn là:
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {5{m^2} + 2m + 2} = \sqrt {5{{\left( {m + \frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{9}{5}} \ge \sqrt {\frac{9}{5}} .\)
Vậy bán kính nhỏ nhất của đườn tròn \({R_{\min }} = \sqrt {\frac{9}{5}} \); khi đó \(m = - \frac{1}{5}\).
