Đề kiểm tra Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).

Tọa độ giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của hệ phương trình sau :

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\{\left( {2y - 3} \right)^2} + {y^2} - 2\left( {2y - 3} \right) - 4y = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 4y + 3 = 0\\x = 2y - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {3\,;\,3} \right)\) và \(\left( { - 1\,;\,1} \right)\).

Đường tròn tâm \(I\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Ta có :

\(d\left( {I,\left( d \right)} \right) = 1\)\( = R\) \( \Rightarrow \) Vậy đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc đường thẳng \(\left( d \right)\) tại 1 điểm.

a) \({(x + 2)^2} + {(y + 5)^2} = 64\)

b) \({(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} = 20\).

c) \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} = 2\).

d) \({(x + 4)^2} + {(y + 9)^2} = 130\).

Gọi tâm đường tròn là \(I(3t + 11;t) \in \Delta \). Ta có: \(IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {(3t + 11 - 2)^2} + {(t - 3)^2} = {(3t + 11 + 1)^2} + {(t - 1)^2} \Leftrightarrow 22t =  - 55 \Leftrightarrow t =  - \frac{5}{2}.\)

Suy ra \(I\left( {\frac{7}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\); bán kính đường tròn \(R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - \frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3 + \frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{65}}{2}} \).

Phương trình đường tròn \((C):{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{65}}{2}\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3; - 1)\) bán kính \(R = \sqrt {9 + 1 - 6}  = 2\).

-Ta có: \(IA = 2 = R,IB = 2\sqrt 5  > R\) suy ra điểm \(A\) thuộc đường tròn và điểm \(B\) nằm ngoài đường tròn.

-Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(A\) nhận \(\overrightarrow {AI}  = (2;0)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(2(x - 1) + 0(y + 1) = 0\) hay \(x = 1\).

-Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(B\) có dạng: \(a(x - 1) + b(y - 3) = 0\) (với \({a^2} + {b^2} \ne 0\) ) hay \(ax + by - a - 3b = 0\).

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \( \Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{|3a - b - a - 3b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \Leftrightarrow {(a - 2b)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 3{b^2} - 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{3b = 4a}\end{array}} \right.\).

- Với \(b = 0\), chọn \(a = 1\); phương trình tiếp tuyến là \(x = 1\).

- Với \(3b = 4a\), chọn \(a = 3 \Rightarrow b = 4\); phương trình tiếp tuyến là \(3x + 4y - 15 = 0\).

Vậy qua \(B\) kẻ được hai tiếp tuyến với \((C)\) có phương trình là: \(x = 1\); \(3x + 4y - 15 = 0\).

(C) có tâm \(I(1;0)\), bán kính \(R = \sqrt {10} \).

Tuyến tuyến qua \(A(4;1)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA}  = (3;1)\) nên có phương trình: \(3(x - 4) + 1(y - 1) = 0\) hay \(3x + y - 13 = 0\).

Ta có: \(R = d(I;d) = \frac{{|3.5 - 4.6 - 6|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 3\).

Phương trình đường tròn cần tìm là \({(x - 5)^2} + {(y - 6)^2} = 9\).

Phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\) bán kính \(R\) có dạng: \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\). Do \((C)\) tiếp xúc \(Ox,Oy \Leftrightarrow R = |a| = |b|\).

\( + \) Trường hợp 1: Nếu \(a = b\)

\((C):{(x - a)^2} + {(y - a)^2} = {a^2}\). Do \((C)\) qua \(A(1;1)\) suy ra

\({(1 - a)^2} + {(1 - a)^2} = {a^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 - \sqrt 2 }\\{a = 2 + \sqrt 2 }\end{array}} \right.\). Vậy có 2 đường tròn:

\(\left( {{C_1}} \right):{(x - 2 + \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 + \sqrt 2 )^2} = {(2 - \sqrt 2 )^2}\)

\(\left( {{C_2}} \right):{(x - 2 - \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 - \sqrt 2 )^2} = {(2 + \sqrt 2 )^2}\)

+ Trường hợp 2: Nếu \(a =  - b\)

(C): \({(x - a)^2} + {(y + a)^2} = {a^2}\). Do \((C)\) qua \(A(1;1)\) suy ra

\({(1 - a)^2} + {(1 + a)^2} = {a^2}\) (vô nghiệm)

Đường tròn \((C)\) tiếp xúc với trục \(Ox\) tại \(A\) nên ta có \(I(2;b)\) và \(d(I,Ox) = |b| = R\).

Mặt khác, \(IB = 5 \Leftrightarrow I{B^2} = 25 \Leftrightarrow {(6 - 2)^2} + {(4 - b)^2} = 25 \Leftrightarrow b = 7\) hoặc \(b = 1\).

- \(b = 7 \Rightarrow I(2;7),R = 7\). Phương trình đường tròn \((C)\) là: \({(x - 2)^2} + {(y - 7)^2} = 49\).

- \(b = 1 \Rightarrow I(2;1),R = 1\). Phương trình đường tròn \((C)\) là: \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(d:3x + 4y + 8 = 0\). Khi đó khoảng cách từ điểm

\(B\) đến đường thẳng \(d\) là \(BH = \frac{{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 8|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).

\(H\) là trung điểm của \(MN\) nên \(HM = 4\). Suy ra bán kính đường tròn \((C)\) là: \(R = \sqrt {B{H^2} + H{M^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5.\)

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = 25\).

Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là: \(\overrightarrow {OM}  = (8;6)\).

Phương trình của tiếp tuyến là: \(8(x - 8) + 6(y - 6) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 50 = 0\).