10 Bài tập Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (có lời giải)
10 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn x2 + y2 – 1 = 0 tiếp xúc với đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?
3x – 4y + 5 = 0;
x + y = 0;
3x + 4y – 1 = 0;
x + y – 1 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường tròn có tâm O(0; 0) bán kính R = 1.
Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn là khoảng cách từ tâm tới đường thẳng bằng bán kính.
Xét phương án A: đường thẳng ∆: 3x – 4y + 5 = 0.
dO,Δ=3⋅0−4⋅0+532+42=55=1=R.
Do đó đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 tiếp xúc với đường tròn.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox?
x2 + y2 – 10x = 0;
x2 + y2 – 5 = 0;
x2 + y2 – 10x – 2y + 1 = 0;
x2 + y2 + 6x + 5y + 9 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đường tròn (C) tiếp xúc với trục Ox khi d(I, Ox) = R với I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).
Xét phương trình đường tròn: x2 + y2 + 6x + 5y + 9 = 0 có I−3;−52 và R=52.
d(I, Ox) = 52=R. Vậy (C) tiếp xúc với trục Ox.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0. Tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với đường thẳng Δ: 3x + 4y + 1 = 0 có phương trình là
3x+4y +52−11=0và 3x+4y−52+11=0;
3x+4y +52−11=0và 3x+4y−52-11=0;
3x+4y +52−11=0và 3x+4y+52+11=0;
3x+4y−52+11=0và 3x+4y-52-11=0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0 có tâm I(1; 2) và bán kính R=2.
Do d song song với đường thẳng Δ nên d có phương trình là 3x + 4y + k = 0 (k ≠ 1).
Để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) thì d(I, d) = R
⇔3⋅1+4⋅2+k32+42=2⇔11+k=52⇔11+k=5211+k=−52⇔k=52−11k=−52−11
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là 3x+4y+52−11=0 và 3x+4y−52−11=0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x – 2)2 + ( y + 4)2 = 25 vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 là
4x + 3y + 29 = 0;
4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0;
4x – 3y + 5 = 0 và 4x – 3y – 45 = 0;
4x + 3y + 5 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25 có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 có phương trình dạng: 4x + 3y + c = 0.
Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) khi và chỉ khi d(I, Δ) = R tức là
4.2+3.−4+c42+32=5⇔c−4=25⇔c−4=25c−4=−25⇔c=29c=−21.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: 4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 4)2 = 36 và điểm P(–3; –2) nằm ngoài đường tròn. Từ điểm P kẻ các tiếp tuyến PM và PN tới đường tròn (C), với M, N là các tiếp điểm. Phương trình đường thẳng MN là
x + y + 1 = 0;
x – y – 1 = 0;
x – y + 1 = 0;
x + y – 1 = 0.
Hướng dẫn giải :
Đáp án đúng là : D
Đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 4)2 = 36 tâm I(3; 4) và bán kính R = 6.
Với P(–3; –2) và I(3; 4) ta có PI→=6;6 nên ta có PI=62+62=62.
Xét ∆PIM vuông tại M, theo định lí Pythagore ta có :
PM=PI2−MI2=622−62=6.
Do đó ∆PIM vuông cân tại M, suy ra tứ giác IMPN là hình vuông nên đường thẳng MN nhận n→=16PI→=1;1 làm vectơ pháp tuyến đồng thời đường thẳng MN đi qua trung điểm K(0; 1) của IP.
Vậy phương trình đường thẳng MN là : 1(x – 0) + 1. ( y – 1) = 0 hay x + y – 1 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y + 18 = 0. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua A(1; –3) là
x + y + 4 = 0;
x + y – 4 = 0;
x – y + 4 = 0;
x – y – 4 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đường tròn (C) có tâm I(2; – 4) và bán kính R=2
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy điểm A thuộc đường tròn (C). Do đó tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua A chính là tiếp tuyến tại A của đường tròn (C).
Với A(1; –3) và I(2; – 4) ta có AI→=1;−1. Khi đó tiếp tuyến tại A nhận AI→=1;−1. làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; –3) là:
1(x – 1) – 1(y + 3) = 0 hay x – y – 4 = 0.
Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 25 và điểm M(9; –4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khoảng cách từ điểm P(6;5) đến d bằng
2;
3;
4;
5.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng d: 2x + (m – 2) y – m – 7 = 0. Tổng các giá trị của m sao cho đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) là
10;
–10;
16;
–16.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(–3; 1) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0. Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Khoảng cách từ O đến đường thẳng T1T2 là
5;
5;
35;
22.
Cho đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R=52 và điểm M có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng d:x=3+2ty=1−4t. Phương trình tiếp tuyến d’ của đường tròn (C) tại điểm M là
x + 2y + 3 = 0;
2x + 5y + 21 = 0;
2x – 3y – 19 = 0;
Đáp án khác.
