Đề kiểm tra Đường thẳng và mặt phẳng song song lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

Từ M dựng đường thẳng song song \(AC\), cắt \(BC\)tại \(N\)thì \(MN\)chứa trong mặt phẳng cần tìm.

Từ M dựng đường thẳng song song \(BD\), cắt \(AD\)tại \(Q\)thì \(MQ\)chứa trong mặt phẳng cần tìm.

Vậy mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD chính là mặt phẳng \(\left( {MNQ} \right)\).

Từ N dựng đường thẳng song song \(BD\), cắt \(CD\)tại \(P\)thì \(NP \subset \left( {MNQ} \right)\).

Thiết diện là tứ giác \(MNPQ,\)tứ giác này có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Chọn D

Trong \(\left( {SAB} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(M\) song song với \(SA\) cắt \(SB\) tại \(F\).

Trong \(\left( {SBC} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(F\) song song với \(BC\) cắt \(SC\) tại \(E\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(M\) song song với \(BC\) cắt \(CD\) tại \(N\).

Suy ra thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\)cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) là hình thang \(FENM\) vì có \(FE\;{\rm{//}}\;MN\) (cùng song song với \(BC\)).

Chọn A

Gọi \[M\] là trung điểm của \[AC\].

\(\left. \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\\\left( {ABC} \right) \supset AB\\M \in \left( {ABC} \right) \cap \left( \alpha  \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( \alpha  \right) = MN\,{\rm{//}}\,AB\) với \(N\) là trung điểm của \(BC\)

\(\left. \begin{array}{l}CD\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\\\left( {DBC} \right) \supset CD\\N \in \left( {DBC} \right) \cap \left( \alpha  \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {DBC} \right) \cap \left( \alpha  \right) = NP\,{\rm{//}}\,CD\) với \(P\) là trung điểm của \(BD\)

\[\left. \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\\\left( {ABD} \right) \supset AB\\P \in \left( {ABD} \right) \cap \left( \alpha  \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABD} \right) \cap \left( \alpha  \right) = PQ\,{\rm{//}}\,AB\] với \(Q\) là trung điểm của \(AD\)

Tương tự có \[\left( {ACD} \right) \cap \left( \alpha  \right) = MQ\,{\rm{//}}\,CD\]

Thiết diện của tứ diện cắt bởi \(\left( \alpha  \right)\) là hình bình hành \(MNPQ\) do\[MN//PQ,MQ//NP\]

Mặt khác \(AB = CD \Rightarrow MN = NP\) (theo tính chất đường trung bình). Vậy \(MNPQ\) là hình thoi.

\(\left\{ \begin{array}{l}PQ//AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\\PQ\overline \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ//\left( {ABCD} \right)\).

Vì \((\alpha )//AB\) nên giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((ABC)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\) và cắt \(AC\) tại \(Q\).

Vì \((\alpha )//CD\) nên giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((BCD)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(CD\) và cắt \(BD\) tại \(N\).

Vì \((\alpha )//AB\) nên giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).với mặt phẳng \((ABD)\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với \(AB\) và cắt \(AD\) tại \(P\).

Ta có \(MN//PQ//CD,MQ//PN//AB\).

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với các mặt của tứ diện (ta gọi là thiết diện) là hình bình hành \(MNPQ\).

a) b) c) Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì?

\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta co\`u : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN = (\alpha ) \cap (ABCD)}\\{CD//(\alpha )}\\{CD \subset (ABCD)}\end{array} \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABCD) = MN//CD} \right.{\rm{.(1) }}\\{\rm{ T\"o \^o ng t\"o \"i : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MQ = (\alpha ) \cap (SAD)}\\{SA//(\alpha )}\\{SA \subset (SAD)}\end{array} \Rightarrow (\alpha ) \cap (SAD) = MQ//SA} \right.{\rm{; }}\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{PQ = (\alpha ) \cap (SCD)}\\{CD//(\alpha )}\\{CD \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow (\alpha ) \cap (SCD) = PQ//CD} \right.(2)\\\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình thang có hai đáy là \(MN\) và \(PQ\).

d) Xét \((SAD) \cap (SBC)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SAD) \cap (SBC)}\\{AD//BC}\\{AD \subset (SAD),BC \subset (SBC)}\end{array} \Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = Sx} \right.\)

(với \(Sx\) qua \(S\) và \(Sx//AD//BC\)).

\({\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in NP,NP \subset (SBC)}\\{I \in MQ,MQ \subset (SAD)}\end{array} \Rightarrow I \in (SAD) \cap (SBC)} \right.{\rm{. }}\)

Suy ra \(I \in Sx\) (với \(Sx\) cố định).

a) b) Do \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(SCD\) nên

\(\frac{{SI}}{{SE}} = \frac{{SJ}}{{SF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//EF{\rm{ m\`a }}EF \subset (ABCD) \Rightarrow IJ//(ABCD){\rm{. }}\)

c) d) Vì \(BC//AD,AD \subset (SAD) \Rightarrow BC//(SAD)\).

Vì \(EF\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\) nên

\(BC//EF,EF \subset (SEF) \Rightarrow BC//(SEF){\rm{. }}\)Ta có: \(IJ//EF,EF//BC \Rightarrow BC//IJ\) mà \(IJ \subset (AIJ) \Rightarrow BC//(AIJ)\).

Gọi \(N,P,R\) lần lượt là trung điểm của \(AD,SD,SB\). Trong mặt phẳng \((SAB)\) vẽ đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và \(d//AB//CD\). \(MR\) cắt \(d\) tại \(I,PI\) cắt \(SC\) tại \(Q\).

Suy ra: \((\alpha ) \cap (ABCD) = MN\), \((P) \cap (SAD) = NP,(\alpha ) \cap (SCD) = PQ\),

\((\alpha ) \cap (SBC) = QR,(\alpha ) \cap (SAB) = MR\).

Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CD\). Vì\(\;G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), nên \(A,G,E\) thẳng hàng và \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}\).

Tương tự có \(A,H,F\) thẳng hàng và \(\frac{{AH}}{{AF}} = \frac{2}{3}\). Do đó \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{{AH}}{{AF}}\). Theo định lí Thalès đảo, suy ra tam giác \(AEF\) có \(GH//EF\), vì vậy \(GH//(BCD)\).

Gọi \((P)\) là mặt tường và \((Q)\) là mặt bảng. Gọi \[a\] là mép dưới của bảng và \(b\) là mép trên thì \(b\) nằm trong \((P)\). Vì bảng có dạng hình chữ nhật nên \(a//b\), do đó \(a//(P)\), tức là mép dưới của bảng song song với mặt tường. Giải thích tương tự suy ra mép trên của bảng song song với mặt đất.

*) Trong \(\Delta ABC\): Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\);

Khi đó \(ON\) là đường trung bình \( \Rightarrow ON\;{\rm{//}}\; = \frac{1}{2}AC\) (1)

*) \[ACC'A'\] là hình bình hành \( \Rightarrow AC\;{\rm{//}}\; = A'C' \Rightarrow A'M\;{\rm{//}}\; = \frac{1}{2}AC\) (2)

*) \(ON\;{\rm{//}}\; = A'M \Rightarrow \) Từ giác \(A'ONM\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN\;{\rm{//}}\;A'O\\A'O \subset \left( {ABB'A'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN\;{\rm{//}}\;\left( {ABB'A'} \right)\).

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\).

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\). Suy ra \(MN//BD\). (1)

Mặt khác, \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(ACD\) nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).

Theo định lí Thalès đảo trong tam giác \(AMN\), ta có \(IJ//MN\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(IJ//BD\).

Mà \(BD \subset (BCD)\) nên \(IJ//(BCD)\).

Gọi hai đầu của hai thanh sắt trên mặt đất là \(A,B\) và hai đầu tương ứng còn lại là \(M,N\) thì \(AM//BN\) và \(AM = BN\), suy ra \(ABNM\) là hình bình hành. Vì vậy \(MN//AB\) và do đó dây phơi (nối hai điểm \(M,N\)) song song với mặt đất (chứa đường thẳng \(AB\)).