Đề kiểm tra Đường thẳng và mặt phẳng song song lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho tứ diện \(ABCD\), điểm \(I\) nằm trong tam giác \(ABC\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(I\) và song song với \(AB,CD\). Thiết diện của tứ diện \(ABCD\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là
hình chữ nhật.
hình vuông.
hình bình hành.
tam giác.
Chọn C
Xét trong \(\left( {ABC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\\\left( \alpha \right)\;{\rm{//}}\;AB\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = ON\;{\rm{//}}\;AB\), với \(I \in ON;O \in AC;N \in BC\).
Xét trong \(\left( {ADC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ADC} \right)\\\left( \alpha \right)\;{\rm{//}}\;CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ADC} \right) = OQ\;{\rm{//}}\;CD\), với \(Q \in AD\).
Xét trong \(\left( {BDC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {BDC} \right)\\\left( \alpha \right)\;{\rm{//}}\;CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {BDC} \right) = NP{\rm{//}}\;CD\), với \(P \in PD\).
Suy ra \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ\;{\rm{//}}\;AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ON\;{\rm{//}}\;QP\;{\rm{//}}\;AB\\OQ\;{\rm{//}}\;NP\;{\rm{//}}\;CD\end{array} \right.\) nên thiết diện tạo thành là hình bình hành \(ONPQ\).
Cho tứ diện \(ABCD\). \(M\)là điểm nằm trong tam giác \(ABC\), \(mp\left( \alpha \right)\)qua \(M\)và song song với \(AB\)và \(CD\). Thiết diện của \(ABCD\)cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\)là:
Tam giá.
Hình chữ nhật.
Hình vuông.
Hình bình hành.
Chọn D
Do \[M \in \left( \alpha \right),\,\left( \alpha \right)//AB,\,\left( \alpha \right)//CD\]nên\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = IH\parallel AB}\\{\left( \alpha \right) \cap \left( {ADB} \right) = GF\parallel AB}\\\begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {ADC} \right) = FI\\\left( \alpha \right) \cap \left( {BDC} \right) = GH\end{array}\end{array}} \right.\].
Mà \(IH = \frac{1}{2}AB = HI\)nên \(GHIF\)là hình bình hành.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\)là trọng tâm của \(\Delta ABC\)và \(N\)là điểm nằm trên cạnh \(AD\)sao cho \(AN = 2ND.\)Khi đó ta có
\(MN\)cắt \(BD\).
\(MN\,{\rm{//}}\,\left( {BCD} \right)\).
\(MN\,{\rm{//}}\,CD\).
\(AC\)cắt \(BD\).
Chọn B
Gọi \(E\)là trung điểm \(BC\).
Trong \(\Delta AED\), có \[\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,ED \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {BCD} \right)\].
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\). Gọi \(M\)và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(BD\). Khẳng định nào sau đây đúng? Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(MN\,{\rm{//}}\,\,\left( {SAC} \right).\)
\(MN\,\,{\rm{//}}\,\,\left( {SAB} \right).\)
\(MN\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right).\)
\(MN\,{\rm{//}}\,\,\left( {SAD} \right).\)
Chọn D
Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\). Suy ra: \(MN{\rm{//}}\,\,SD.\)
Mà \(SD \subset \left( {SAD} \right)\) nên suy ra:\(MN\,{\rm{//}}\,\,\left( {SAD} \right).\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. Gọi \[M,N,P,Q\] lần lượt là trung điểm các cạnh \[AB\], \[CD\], \[SD\] và \[SA\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.
\[PN//\left( {SBC} \right)\].
\[MQ//\left( {SBC} \right)\].
\[PQ//\left( {SAD} \right)\].
\[MN//\left( {SAD} \right)\].
Chọn C
![Chọn C \[PQ \subset \left( {SAD} \right)\] nên khẳng định \[PQ//\left( {SAD} \right)\] là sai. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/5-1759689728.png)
\[PQ \subset \left( {SAD} \right)\] nên khẳng định \[PQ//\left( {SAD} \right)\] là sai.
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[{G_1}\]và \[{G_2}\]lần lượt là trọng tâm các tam giác \[BCD\]và \[ACD\]. Chọn khẳng định sai?
\[{G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {ABD} \right)\].
\[{G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\].
\[B{G_1}\], \[A{G_2}\]và \[CD\]đồng qui.
\[{G_1}{G_2} = \frac{2}{3}AB\].
Chọn D
![Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[{G_1}\]và \[{G_2}\]lần lượt là trọng tâm các tam giác \[BCD\]và \[ACD\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/6-1759689777.png)
\[{G_1}\]và \[{G_2}\]lần lượt là trọng tâm các tam giác \[BCD\]và \[ACD\]nên \[B{G_1}\], \[A{G_2}\]và \[CD\]đồng qui tại \(M\)với \(M\)là trung điểm \(CD\).
Vì \[{G_1}{G_2}{\rm{//}}AB\]nên \[{G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {ABD} \right)\]và \[{G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\].
Lại có \(\frac{{{G_1}{G_2}}}{{AB}} = \frac{{M{G_1}}}{{MB}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \)\[{G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. \(M\) là một điểm thuộc đoạn \(SB\). Mặt phẳng \(\left( {ADM} \right)\) cắt hình chóp \(S.ABCD\)theo thiết diện là
Hình thang.
Hình chữ nhật.
Hình bình hành.
Tam giác.
Chọn A
Do \(BC\parallel AD\) nên mặt phẳng \(\left( {ADM} \right)\)và \(\left( {SBC} \right)\)có giao tuyến là đường thẳng \(MG\)song song với \(BC\). Thiết diện là hình thang \(AMGD\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[E,{\rm{ }}F\] lần lượt là trung điểm cạnh \[AB,{\rm{ }}BC\] và điểm \[G\] thỏa mãn \[\overrightarrow {SG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} \]. Thiết diện của hình chóp \[S.ABC\] khi cắt bởi mặt phẳng \[\left( {EFG} \right)\] là hình nào dưới đây?
Tam giác.
Hình bình hành.
Hình thang chỉ có một cặp cạnh song song.
Hình thoi.
![Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[E,{\rm{ }}F\] lần lượt là trung điểm cạnh \[AB,{\rm{ }}BC\] và điểm \[G\] thỏa mãn \[\overrightarrow {SG} = \ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/8-1759689875.png)
Chọn B
Ta có \[EF\] là đường trung bình trong tam giác \[ABC,\] suy ra \[EF//AC{\rm{ }}\left( 1 \right)\].
\[\left. \begin{array}{l}\left( {EFG} \right) \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ G \right\}\\EF \subset \left( {EFG} \right)\\AC \subset \left( {SAC} \right)\\EF//AC\end{array} \right\} \Rightarrow \] \[\left( {EFG} \right) \cap \left( {SAC} \right) = Gx//FE//AC\]
Gọi \[Gx \cap SA = \left\{ H \right\}\], suy ra \[H\] là trung điểm \[SA\] và \[HG//AC{\rm{ }}\left( 2 \right)\]
Ta có \[\overrightarrow {SG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} ,\] suy ra \[G\] là trung điểm của \[SC\] và \[GF//SB{\rm{ }}\left( 3 \right)\].
Ta có \[HE\] là đường trung bình trong tam giác \[SAB,\]suy ra \[HE//SB{\rm{ }}\left( 4 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\] suy ra thiết diện là hình bình hành \[FGHE\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\]có đáy \[ABCD\] là hình thang, \[AD\;{\rm{//}}\;BC\], \[AD = 3BC\]. \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm \[AB\], \[CD\]. \[G\] là trọng tâm \[\Delta SAD\]. Mặt phẳng \[(GMN)\]cắt hình chóp \[S.ABCD\] theo thiết diện là
Hình bình hành.
\[\Delta GMN\].
\[\Delta SMN\].
Ngũ giác.
Chọn A
Ta có \(\left( {GMN} \right)\,{\rm{//}}\,AD\) nên giao tuyến của \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là đường thẳng \(PQ\) qua \(G\) và song song với \(AD\), thiết diện là tứ giác \(MNPQ\) và vì cùng song song với \(AD\) nên \[\begin{array}{*{20}{c}}{MN\,{\rm{//}}\,\,PQ}&{\left( 1 \right)}\end{array}\].
Đặt \(BC = a\) khi đó \(AD = 3a\) nên \(MN = 2a\).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAD\) nên \(\frac{{PQ}}{{AD}} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow PQ = 2a\). Vậy \[\begin{array}{*{20}{c}}{MN = PQ}&{\left( 2 \right)}\end{array}\].
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra, \(MNPQ\) là hình bình hành.
Cho tứ diện \(ABCD\)và điểm M thay đổi trên cạnh AB (M không trùng với các đỉnh). Thiết diện của tứ diện tạo bởi mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD luôn là
một tam giá.
một ngũ giá.
một tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau.
một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chọn D
Từ M dựng đường thẳng song song \(AC\), cắt \(BC\)tại \(N\)thì \(MN\)chứa trong mặt phẳng cần tìm.
Từ M dựng đường thẳng song song \(BD\), cắt \(AD\)tại \(Q\)thì \(MQ\)chứa trong mặt phẳng cần tìm.
Vậy mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD chính là mặt phẳng \(\left( {MNQ} \right)\).
Từ N dựng đường thẳng song song \(BD\), cắt \(CD\)tại \(P\)thì \(NP \subset \left( {MNQ} \right)\).
Thiết diện là tứ giác \(MNPQ,\)tứ giác này có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình thang \(\left( {AD\;{\rm{//}}\;BC} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và song song với \(SA,{\rm{ }}BC\) cắt hình chóp \(S.ABCD\) theo thiết diện là hình gì?
Ngũ giác.
Hình bình hành.
Tam giác.
Hình thang.
Chọn D
Trong \(\left( {SAB} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(M\) song song với \(SA\) cắt \(SB\) tại \(F\).
Trong \(\left( {SBC} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(F\) song song với \(BC\) cắt \(SC\) tại \(E\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(M\) song song với \(BC\) cắt \(CD\) tại \(N\).
Suy ra thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\)cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) là hình thang \(FENM\) vì có \(FE\;{\rm{//}}\;MN\) (cùng song song với \(BC\)).
Cho tứ diện \(ABCD,AB = CD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)qua trung điểm của \[AC\] và song song với \(AB,CD\)cắt tứ diện đã cho theo thiết diện là
Hình thoi.
Hình chữ nhật.
Hình vuông.
Hình tam giác.
Chọn A
![Cho tứ diện \(ABCD,AB = CD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)qua trung điểm của \[AC\] và song song với \(AB,CD\)cắt tứ diện đã cho theo thiết diện là A. Hình thoi. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình tam giác. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/12-1759690078.png)
Gọi \[M\] là trung điểm của \[AC\].
\(\left. \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\\\left( {ABC} \right) \supset AB\\M \in \left( {ABC} \right) \cap \left( \alpha \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( \alpha \right) = MN\,{\rm{//}}\,AB\) với \(N\) là trung điểm của \(BC\)
\(\left. \begin{array}{l}CD\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\\\left( {DBC} \right) \supset CD\\N \in \left( {DBC} \right) \cap \left( \alpha \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {DBC} \right) \cap \left( \alpha \right) = NP\,{\rm{//}}\,CD\) với \(P\) là trung điểm của \(BD\)
\[\left. \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\\\left( {ABD} \right) \supset AB\\P \in \left( {ABD} \right) \cap \left( \alpha \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABD} \right) \cap \left( \alpha \right) = PQ\,{\rm{//}}\,AB\] với \(Q\) là trung điểm của \(AD\)
Tương tự có \[\left( {ACD} \right) \cap \left( \alpha \right) = MQ\,{\rm{//}}\,CD\]
Thiết diện của tứ diện cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là hình bình hành \(MNPQ\) do\[MN//PQ,MQ//NP\]
Mặt khác \(AB = CD \Rightarrow MN = NP\) (theo tính chất đường trung bình). Vậy \(MNPQ\) là hình thoi.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh \(SA\) và \(SB\) sao cho \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) \(PQ\) cắt \(\left( {ABCD} \right)\).
b) \(PQ \subset \left( {ABCD} \right)\).
c) \(PQ//\left( {ABCD} \right)\).
d)\(PQ\) và \(CD\) chéo nhau.
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
\(\left\{ \begin{array}{l}PQ//AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\\PQ\overline \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ//\left( {ABCD} \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Giả sử \(M\) thuộc đoạn thẳng \(BC\). Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(M\) song song với \(AB\) và \(CD\). Khi đó:
a) Giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((ABC)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\)
b) Giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((BCD)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(CD\)
c) Giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((ABD)\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với \(AB\)
d) Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với các mặt của tứ diện (ta gọi là thiết diện) là hình thang
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Vì \((\alpha )//AB\) nên giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((ABC)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\) và cắt \(AC\) tại \(Q\).
Vì \((\alpha )//CD\) nên giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((BCD)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(CD\) và cắt \(BD\) tại \(N\).
Vì \((\alpha )//AB\) nên giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).với mặt phẳng \((ABD)\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với \(AB\) và cắt \(AD\) tại \(P\).
Ta có \(MN//PQ//CD,MQ//PN//AB\).
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với các mặt của tứ diện (ta gọi là thiết diện) là hình bình hành \(MNPQ\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, điểm \(M\) di động trên cạnh \(AD\). Một mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(M\) và song song với hai đường thẳng \(CD,SA\), cắt \(BC,SC\) và \(SD\) lần lượt tại \(N,P,Q\). Khi đó:
a) Giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((ABCD)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AD\)
b) Giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((SAD)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(SA\)
c) Tứ giác \(MNPQ\) là hình thang có hai đáy là \(MN\) và \(PQ\).
b) Gọi \(I = MQ \cap NP\). Khi đó \(I\) thuộc đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AB\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) b) c) Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì?
\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta co\`u : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN = (\alpha ) \cap (ABCD)}\\{CD//(\alpha )}\\{CD \subset (ABCD)}\end{array} \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABCD) = MN//CD} \right.{\rm{.(1) }}\\{\rm{ T\"o \^o ng t\"o \"i : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MQ = (\alpha ) \cap (SAD)}\\{SA//(\alpha )}\\{SA \subset (SAD)}\end{array} \Rightarrow (\alpha ) \cap (SAD) = MQ//SA} \right.{\rm{; }}\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{PQ = (\alpha ) \cap (SCD)}\\{CD//(\alpha )}\\{CD \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow (\alpha ) \cap (SCD) = PQ//CD} \right.(2)\\\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình thang có hai đáy là \(MN\) và \(PQ\).
d) Xét \((SAD) \cap (SBC)\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SAD) \cap (SBC)}\\{AD//BC}\\{AD \subset (SAD),BC \subset (SBC)}\end{array} \Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = Sx} \right.\)
(với \(Sx\) qua \(S\) và \(Sx//AD//BC\)).
\({\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in NP,NP \subset (SBC)}\\{I \in MQ,MQ \subset (SAD)}\end{array} \Rightarrow I \in (SAD) \cap (SBC)} \right.{\rm{. }}\)
Suy ra \(I \in Sx\) (với \(Sx\) cố định).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(SCD;E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Khi đó:
a) \(\frac{{SJ}}{{SF}} = \frac{2}{3}\)
b) \(IJ//(ABCD)\).
b) \(BC\) song song với mặt phẳng \((SAD),(SEF)\)
d) \(BC\) cắt mặt phẳng \((AIJ)\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) b) Do \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(SCD\) nên
\(\frac{{SI}}{{SE}} = \frac{{SJ}}{{SF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//EF{\rm{ m\`a }}EF \subset (ABCD) \Rightarrow IJ//(ABCD){\rm{. }}\)
c) d) Vì \(BC//AD,AD \subset (SAD) \Rightarrow BC//(SAD)\).
Vì \(EF\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\) nên
\(BC//EF,EF \subset (SEF) \Rightarrow BC//(SEF){\rm{. }}\)Ta có: \(IJ//EF,EF//BC \Rightarrow BC//IJ\) mà \(IJ \subset (AIJ) \Rightarrow BC//(AIJ)\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\), song song với \(BD\) và \(SA\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với các mặt của hình chóp.
Gọi \(N,P,R\) lần lượt là trung điểm của \(AD,SD,SB\). Trong mặt phẳng \((SAB)\) vẽ đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và \(d//AB//CD\). \(MR\) cắt \(d\) tại \(I,PI\) cắt \(SC\) tại \(Q\).
Suy ra: \((\alpha ) \cap (ABCD) = MN\), \((P) \cap (SAD) = NP,(\alpha ) \cap (SCD) = PQ\),
\((\alpha ) \cap (SBC) = QR,(\alpha ) \cap (SAB) = MR\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) và \(H\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABC\) và \(ACD\). Chứng minh rằng \(GH//(BCD)\).
Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CD\). Vì\(\;G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), nên \(A,G,E\) thẳng hàng và \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}\).
Tương tự có \(A,H,F\) thẳng hàng và \(\frac{{AH}}{{AF}} = \frac{2}{3}\). Do đó \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{{AH}}{{AF}}\). Theo định lí Thalès đảo, suy ra tam giác \(AEF\) có \(GH//EF\), vì vậy \(GH//(BCD)\).
Một tấm bảng hình chữ nhật được đặt dựa vào tường như trong Hình 4.18.
Hãy giải thích vì sao mép trên của tấm bảng song song với mặt đất, mép dưới của tấm bảng song song với mặt tường.
Gọi \((P)\) là mặt tường và \((Q)\) là mặt bảng. Gọi \[a\] là mép dưới của bảng và \(b\) là mép trên thì \(b\) nằm trong \((P)\). Vì bảng có dạng hình chữ nhật nên \(a//b\), do đó \(a//(P)\), tức là mép dưới của bảng song song với mặt tường. Giải thích tương tự suy ra mép trên của bảng song song với mặt đất.
Lăng trụ ABC.A'B'C'. \(M,N\) là trung điểm của \(A'C',BC\). Chứng minh \(MN\;{\rm{//}}\;\left( {ABB'A'} \right)\)
*) Trong \(\Delta ABC\): Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\);
Khi đó \(ON\) là đường trung bình \( \Rightarrow ON\;{\rm{//}}\; = \frac{1}{2}AC\) (1)
*) \[ACC'A'\] là hình bình hành \( \Rightarrow AC\;{\rm{//}}\; = A'C' \Rightarrow A'M\;{\rm{//}}\; = \frac{1}{2}AC\) (2)
*) \(ON\;{\rm{//}}\; = A'M \Rightarrow \) Từ giác \(A'ONM\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN\;{\rm{//}}\;A'O\\A'O \subset \left( {ABB'A'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN\;{\rm{//}}\;\left( {ABB'A'} \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABC\), \(ACD\). Chứng minh rằng \(IJ//(BCD)\).
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\).
Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\). Suy ra \(MN//BD\). (1)
Mặt khác, \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(ACD\) nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).
Theo định lí Thalès đảo trong tam giác \(AMN\), ta có \(IJ//MN\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(IJ//BD\).
Mà \(BD \subset (BCD)\) nên \(IJ//(BCD)\).
Để dựng dây phơi quần áo, bác Việt lắp hai thanh sắt thẳng đứng có chiều dài bằng nhau trên mặt đất và căng dây nối hai đầu còn lại của hai thanh sắt (H.4.19).
Khi đó, dây phơi có song song với mặt đất không? Giải thích vì sao.
Gọi hai đầu của hai thanh sắt trên mặt đất là \(A,B\) và hai đầu tương ứng còn lại là \(M,N\) thì \(AM//BN\) và \(AM = BN\), suy ra \(ABNM\) là hình bình hành. Vì vậy \(MN//AB\) và do đó dây phơi (nối hai điểm \(M,N\)) song song với mặt đất (chứa đường thẳng \(AB\)).
