Bài tập Xác định, chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trên (ABCD), E và F là hai điểm trên SA; SB sao cho: . Vị trí tương đối giữa EF và (ABCD) là
EF nằm trên (ABCD);
EF cắt (ABCD);
EF song song (ABCD);
EF và (ABCD) chéo nhau.
Đáp án đúng là: C
Theo định lí Thalès, ta có:
nên EF song song với AB
Mà AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên: EF // (ABCD).
Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tam giác ABD; M nằm trên AB sao cho AM = 2MB. Vị trí tương đối của MG và (BCD) là
MG nằm trên (BCD);
MG cắt (BCD);
MG song song (BCD);
MG và (BCD) chéo nhau.
Đáp án đúng là: C
Từ (1) và (2) suy ra: .
Do đó MG // BD (định lí Thalès đảo)
Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD) suy ra GQ // mp(BCD).
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Trên BC lấy điểm E sao cho EB = 2EC. Vị trí tương đối của EG và (ACD) là
EG nằm trên (ACD);
EG song song (ACD);
EG cắt (ACD);
EG và (ACD) chéo nhau.
Đáp án đúng là: B
Gọi I là trung điểm AD.
G là trọng tâm tam giác ABD nên (1)
Điểm E nằm trên BC sao cho EB = 2EC nên (2)
Từ (1) và (2) ta có EG // CI (Định lý Thalès).
Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD).
Vậy EG // (ACD).
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Vị trí tương đối của EF và (BCD) là
EF song song (BCD);
EF nằm trên (BCD);
EF vuông góc (BCD);
EF cắt (BCD).
Đáp án đúng là: A
Do E và F là trung điểm của AB và AC nên EF // BC (tính chất đường trung bình của tam giác).
Mà BC nằm trên mặt phẳng (BCD) nên EF // (BCD).
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là trọng tâm các tam giác ACD và ABD. Vị trí tương đối của EF và ABC là
EF song song (ABC);
EF nằm trên (ABC);
EF vuông góc (ABC);
EF cắt (ABC).
Đáp án đúng là: A
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
E và F là trọng tâm các tam giác ACD và ABD nên EF // MN.
Mà MN nằm trên (ABC) nên EF // (ABC).
Cho hình chóp S.ABC; gọi G; H là trọng tâm tam giác SAC và SBC. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng song song với (ABC) là
GM;
HM;
GH;
GS.
Đáp án đúng là: C
Gọi M và N là trung điểm của BC và AC.
Do G; H lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và SBC nên
Suy ra GH // HK.
Mà HK ⊂ (ABC) nên GH // (ABC).
Cho tứ diện ABCD; lấy điểm M trên cạnh AB sao cho: . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho MN // (BCD). Tỉ số là
2
3
Đáp án đúng là: B
Giả sử MN cắt BC tại P.
Ta có BC ⊂ (BCD) nên đường thẳng MN cắt (BCD) tại P(mâu thuẫn với đề bài MN// (BCD)).
Do đó MN // BC.
Xét tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thalès ta có
hay .
Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trên (ABCD). Gọi E, F, G và H lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA và SD. Mặt phẳng song song với đường thẳng EF là
(GBA);
(HCD);
(GHB);
(HAB).
Đáp án đúng là: C
•Xét mp (ABCD) có E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Nên EF là đường trung bình của hình bình hành
Do đó EF // AD // BC (1)
•Xét tam giác SAD có G và H lần lượt là trung điểm của SA và SD.
Nên GH là đường trunh bình của tam giác SAD.
Do đó GH // AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: GH // EF // AD // BC.
Vậy EF // mp(GHB).
Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trên (ABCD). O là giao điểm của AC và BD. I là trung điểm của SC. Đường thẳng song song với (SAB) là
SI;
IC;
SO;
IO.
Đáp án đúng là: D
O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC.
Mà I là trung điểm của SC nên IO // SA (đường trung bình của tam giác SAC).
Mà SA nằm trên SAB nên IO // (SAB).
Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
0;
1;
2;
vô số.
Đáp án đúng là: D
Với hai đường thẳng chéo nhau, khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Khẳng định nào sau đây là sai?
MN ∥ (ABCD).
MO ∥ (SBC).
MN ∥ (SBC).
MN ∥ (SCD).
Đáp án đúng là: D
- Ta có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD ⇒ MN ∥ AD.
Mà AD ∥ BC (do ABCD là hình bình hành) ⇒ MN ∥ BC.
Vì BC ⊂ (SBC) nên MN ∥ (SBC).
- Do MN // AD và AD ⊂ (ABCD) nên MN ∥ (ABCD).
- Xét tam giác SAC, có M là trung điểm SA và O là trung điểm AC ⇒ MO là đường trung bình của tam giác SAC ⇒ MO ∥ SC. Mà SC ⊂ (SBC) nên MO ∥ (SBC).
Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Mặt phẳng nào sau đây song song với đường thẳng MN?
(ACD).
(ABD).
(ABC).
(BCD).
Đáp án đúng là: D
Trong tam giác ABC, M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Theo định lý đường trung bình của tam giác, ta có: MN ∥ BC.
Vì BC ⊂ (BCD) và MN không nằm trong mặt phẳng (BCD), suy ra MN ∥ (BCD).
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Đường thẳng G1G2 song song với mặt phẳng nào sau đây?
(ABC).
(ACD).
(ABD).
(MCB).
Đáp án đúng là: C
Gọi M là trung điểm của cạnh AC.
Vì G1 là trọng tâm tam giác ABC nên G1 ∈ BM và \(\frac{{M{G_1}}}{{MB}}\) = \(\frac{1}{3}\).
Vì G2 là trọng tâm tam giác ACD nên G2 ∈ DM và \(\frac{{M{G_2}}}{{MD}}\) = \(\frac{1}{3}\).
Xét ∆MBD có \(\frac{{M{G_1}}}{{MB}}\) = \(\frac{{M{G_2}}}{{MD}}\) = \(\frac{1}{3}\) ⇒ G1G2 // BD (theo định lý Ta-lét đảo).
Mà BD ⊂ (ABD) nên G1G2 ∥ (ABD).
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây là sai?
AB ∥ (CDEF).
EF ∥ (ABCD).
AD ∥ (BCF).
FD ∥ (ABE).
Đáp án đúng là: D
Ta có: ABCD và ABEF là hai hình bình hành.
Suy ra: AB ∥ CD, AD ∥ BC, BE ∥ AF, AB ∥ EF.
Xét từng mệnh đề:
A. Trong mặt phẳng (CDEF) có đường thẳng CD và AB ∥ CD ⇒ AB ∥ (CDEF).
B. EF ∥ AB, AB ⊂ (ABCD) và EF không thuộc (ABCD) ⇒ EF ∥ (ABCD).
C. Vì AD ∥ BC, mà BC ⊂ (BCF) ⇒ AD ∥ (BCF)
D. Đường thẳng FD không song song với AB cũng không song song với AE. Do đó không thể kết luận FD ∥ (ABE) ⇒ Mệnh đề này sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
SA ∥ (SBC).
CD ∥ (SAD).
SB ∥ (ACD).
AB ∥ (SCD).
Đáp án đúng là: D
Vì ABCD là hình bình hành nên AB ∥ CD.
Vì AB ∥ CD và CD ⊂ (SCD). Đồng thời AB không cắt mặt phẳng (SCD) (do (SCD) cắt mặt phẳng đáy theo đường thẳng CD, mà AB ∥ CD).
⇒ AB ∥ (SCD).
Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a và b. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng a mà không chứa đường thẳng b.
Nếu mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) cũng song song với đường thẳng b.
Nếu mặt phẳng (P) cắt đường thẳng a thì mặt phẳng (P) cũng cắt đường thẳng b.
Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a thì mặt phẳng (P) cũng chứa đường thẳng b.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Qua một đường thẳng a có vô số mặt phẳng. Chỉ có một mặt phẳng duy nhất chứa đồng thời hai đường thẳng song song a và b. Vì vậy, ngoài mặt phẳng đó ra, vẫn còn vô số mặt phẳng chứa a nhưng không chứa b.
b) Sai. Nếu mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có thể song song hoặc chứa đường thẳng b.
c) Đúng. Hai đường thẳng a và b song song nên có cùng phương. Nếu (P) cắt a, thì (P) không thể song song với phương của hai đường thẳng này. Do đó (P) cũng phải cắt b.
d) Sai. Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng a mà không chứa đường thẳng b (a, b là hai đường thẳng song song).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xét tính đúng hay sai của các khẳng định sau:
Đường thẳng MO song song với mặt phẳng (SAD).
Đường thẳng MO song song với mặt phẳng (SAB).
Gọi I là trung điểm của AB, khi đó MI ∥ (SAD).
Đường thẳng SD song song với mặt phẳng (MIO).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Do O là tâm hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC.
Xét △SAC có M là trung điểm SC, O là trung điểm AC ⇒ MO là đường trung bình của △SAC
⇒ MO ∥ SA. Mà SA ⊂ (SAD) ⇒ MO ∥ (SAD).
b) Đúng. Tương tự câu a, ta có MO ∥ SA. Mà SA ⊂ (SAB) ⇒ MO ∥ (SAB).
c) Đúng. Gọi N là trung điểm của cạnh SD.
Xét △SCD, có M là trung điểm SC và N là trung điểm SD ⇒ MN là đường trung bình của △SCD ⇒ MN ∥ CD và MN = \(\frac{1}{2}\)CD.
Mặt khác, xét đáy ABCD, vì I là trung điểm AB nên AI ∥ CD và AI = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)CD.
Từ hai điều trên, ta suy ra MN ∥ AI và MN = AI. Do đó, tứ giác MNAI là hình bình hành ⇒ MI ∥ AN.
Mà AN ⊂ (SAD) và MI không nằm trong (SAD) ⇒ MI ∥ (SAD).
d) Đúng. Gọi K là trung điểm của CD. Trong △SCD, MK là đường trung bình.
⇒ MK ∥ SD. Trong đáy ABCD, hình bình hành có tâm O và I là trung điểm AB nên ba điểm I, O, K thẳng hàng ⇒ K ∈ IO ⇒ MK ⊂ (MIO). Vì SD ∥ MK nên SD ∥ (MIO).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD, P là trung điểm cạnh SA. Xét tính đúng hay sai của các khẳng định sau:
MN ∥ (SBC).
MN ∥ (SAD).
SB cắt với mặt phẳng (MNP).
SC cắt với mặt phẳng (MNP).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Vì MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên MN ∥ BC.
Mặt khác: BC ⊂ (SBC) suy ra MN ∥ (SBC).
b) Đúng. Tương tự: MN ∥ AD, AD ⊂ (SAD) suy ra MN ∥ (SAD).
c) Sai. Ta có MP là đường trung bình của tam giác SAB nên SB ∥ MP.
Mặt khác: MP ⊂ (MNP) nên SB ∥ (MNP).
d) Sai. Tương tự OP là đường trung bình của tam giác SAC nên SC ∥ OP
Mặt khác: OP ⊂ (MNP) nên SC ∥ (MNP).
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SCD, E, F là trung điểm của AB, CD. Xét tính đúng hay sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{SJ}}{{SF}}\) = \(\frac{2}{3}\).
IJ ∥ (ABCD).
BC song song với mặt phẳng (SAD) và (SEF).
BC cắt mặt phẳng (AIJ).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì I, J lần lượt là trọng tâm của △SAB và △SCD, theo tính chất trọng tâm ta có: \(\frac{{SJ}}{{SF}}\) = \(\frac{2}{3}\).
b) Đúng. Xét tam giác SEF có: \(\frac{{SI}}{{SE}}\) = \(\frac{{SJ}}{{SF}}\) = \(\frac{2}{3}\).
Suy ra IJ ∥ EF. Mà EF ⊂ (ABCD), nên IJ ∥ (ABCD).
c) Đúng. BC ∥ AD, mà AD ⊂ (SAD) nên BC ∥ (SAD).
EF ∥ AD ∥ BC, mà EF ⊂ (SEF) nên BC ∥ (SEF).
d) Sai. Theo câu b, ta có: IJ ∥ EF (1)
Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD trong hình bình hành ABCD nên: EF ∥ AD ∥ BC. (2)
Từ (1), (2) suy ra: IJ ∥ BC.
Ta có: IJ ⊂ (AIJ), BC không nằm trong mặt phẳng (AIJ) và BC ∥ IJ ⇒ BC ∥ (AIJ).
Do đó, khẳng định “BC cắt mặt phẳng (AIJ)” Sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD và E là điểm trên cạnh DC sao cho DC = 3DE, I là trung điểm AD .
OI song song với mặt phẳng (SAB).
OI song song với mặt phẳng (SCD).
IE song song với AC.
GE ∥ (SBC).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì OI là đường trung bình của △ABD ⇒ OI ∥ AB.
Ta có: OI không nằm trong (SAB), AB ⊂ (SAB) mà OI ∥ AB ⇒ OI ∥ (SAB).
b) Đúng. Tương tự, Vì OI là đường trung bình của △ACD ⇒ OI ∥ CD.
Ta có: OI không nằm trong (SCD), CD ⊂ (SCD) mà OI ∥ CD ⇒ OI ∥ (SCD).
c) Sai. Vì \(\frac{{DI}}{{DA}}\) = \(\frac{1}{2}\) ≠ \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{{DE}}{{DC}}\) nên IE không không song song với AC.
d) Đúng. Gọi K là trung điểm của BC, G' là trọng tâm tam giác SBC.
Khi đó \(\frac{{SG'}}{{SK}} = \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{{G'G}}{{KI}} = \frac{2}{3}\), suy ra G'G ∥ KI ∥ CE ⇒ G'G = \(\frac{2}{3}\)KI = \(\frac{2}{3}\)CD = CE.
Do đó tứ giác G'GEC là hình bình hành, suy ra CG' ∥ GE ⇒ GE ∥ (SBC).
Cho hình chóp S.ABCD. M là trung điểm SA. Qua M kẻ d ∥ (ABCD), cắt SB tại N. Tính tỉ số \(\frac{{AB}}{{MN}}\)?
Đáp án: 2
Trong tam giác SAB, M là trung điểm của SA ⇒ \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2}\).
Ta có: d ⊂ (SAB), d ∥ (ABCD) và (SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ d ∥ AB.
Mà d cắt SB tại N, suy ra MN ∥ AB. Xét tam giác SAB:
⇒ \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{2}\) ⇒ \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{2}{1}\) = 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt SD tại N. Có bao nhiêu mặt phẳng trong các mặt phẳng (SCD), (SAD), (ABCD) song song với đường thẳng MN?
Đáp án: 1
Ta có: MN ∥ CD.
CD ⊂ (ABCD) nên MN ∥ (ABCD).
MN ⊂ (SCD), cắt (SAD) tại N
Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng song song với MN là (ABCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB. Mặt phẳng (α) qua M và song song với SA và BC. Mặt phẳng (α) cắt cạnh SC tại N. Tính tỉ số \(\frac{{SN}}{{SC}}\).
Đáp án: 0,5
Vì mặt phẳng (α) ∥ BC và chứa M là trung điểm SB nên (α) cắt mặt bên (SBC) theo giao tuyến MN ∥ BC.
Xét △SBC, vì đường thẳng MN ∥ BC và xuất phát từ trung điểm M của cạnh SB nên theo tính chất đường trung bình, điểm N phải là trung điểm của cạnh SC.
Do đó tỷ số cần tìm là \(\frac{{SN}}{{SC}}\)= \(\frac{1}{2}\) = 0,5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho đường thẳng MO song song với mặt phẳng (SAD). Nếu độ dài SA = 10 cm thì độ dài đoạn thẳng MO bằng bao nhiêu cm?
Đáp án: 5
Vì O là tâm của hình bình hành ABCD ⇒ O là trung điểm của AC.
Ta có: MO ∥ (SAD); MO ⊂ (SAC) và (SAC) ∩ (SAD) = SA ⇒ MO ∥ SA.
Do đó, M là trung điểm của SC.
Xét tam giác SAC, O là trung điểm của AC, M là trung điểm của SC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC.
⇒ MO = \(\frac{1}{2}\)SA = \(\frac{1}{2}\)⋅ 10 = 5 cm.
Cho tứ diện ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = \(\frac{1}{3}\)AB. Mặt phẳng (α) đi qua M song song với BD và AC, cắt cạnh CD tại P. Biết tỉ số \(\frac{{PC}}{{PD}} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, a, b ∈ ℕ, tính tổng a2 + b2.
Đáp án: 5
Ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) ⇒ \(\frac{{AM}}{{MB}}\) = \(\frac{1}{2}\)
Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N.
Vì mặt phẳng (α) ∥ AC, mà AC ⊂ (ABC), nên mặt phẳng (α) sẽ cắt (ABC) theo đoạn thẳng MN ∥ AC ⇒ \(\frac{{NC}}{{NB}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{1}{2}\).
Vì mặt phẳng (α) ∥ BD, mà BD ⊂ (BCD), nên mặt phẳng (α) sẽ cắt (BCD) theo đoạn thẳng NP ∥ BD ⇒ \(\frac{{PC}}{{PD}} = \frac{{NC}}{{NB}} = \frac{1}{2}\).
⇒ a = 1, b = 2 ⇒ a2 + b2 = 1 + 4 = 5.
