Bài tập Xác định, chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

- Ta có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD ⇒ MN ∥ AD.

Mà AD ∥ BC (do ABCD là hình bình hành) ⇒ MN ∥ BC.

Vì BC ⊂ (SBC) nên MN ∥ (SBC).

- Do MN // AD và AD ⊂ (ABCD) nên MN ∥ (ABCD).

- Xét tam giác SAC, có M là trung điểm SA và O là trung điểm AC ⇒ MO là đường trung bình của tam giác SAC ⇒ MO ∥ SC. Mà SC ⊂ (SBC) nên MO ∥ (SBC).

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác ABC, M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Theo định lý đường trung bình của tam giác, ta có: MN ∥ BC.

Vì BC ⊂ (BCD) và MN không nằm trong mặt phẳng (BCD), suy ra MN ∥ (BCD).

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm của cạnh AC.

Vì G₁ là trọng tâm tam giác ABC nên G₁ ∈ BM và \(\frac{{M{G_1}}}{{MB}}\) = \(\frac{1}{3}\).

Vì G₂ là trọng tâm tam giác ACD nên G₂ ∈ DM và \(\frac{{M{G_2}}}{{MD}}\) = \(\frac{1}{3}\).

Xét ∆MBD có \(\frac{{M{G_1}}}{{MB}}\) = \(\frac{{M{G_2}}}{{MD}}\) = \(\frac{1}{3}\) ⇒ G₁G₂ // BD (theo định lý Ta-lét đảo).

Mà BD ⊂ (ABD) nên G₁G₂ ∥ (ABD).

Đáp án đúng là: D

Ta có: ABCD và ABEF là hai hình bình hành.

Suy ra: AB ∥ CD, AD ∥ BC, BE ∥ AF, AB ∥ EF.

Xét từng mệnh đề:

A. Trong mặt phẳng (CDEF) có đường thẳng CD và AB ∥ CD ⇒ AB ∥ (CDEF).

B. EF ∥ AB, AB ⊂ (ABCD) và EF không thuộc (ABCD) ⇒ EF ∥ (ABCD).

C. Vì AD ∥ BC, mà BC ⊂ (BCF) ⇒ AD ∥ (BCF)

D. Đường thẳng FD không song song với AB cũng không song song với AE. Do đó không thể kết luận FD ∥ (ABE) ⇒ Mệnh đề này sai.

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình bình hành nên AB ∥ CD.

Vì AB ∥ CD và CD ⊂ (SCD). Đồng thời AB không cắt mặt phẳng (SCD) (do (SCD) cắt mặt phẳng đáy theo đường thẳng CD, mà AB ∥ CD).

⇒ AB ∥ (SCD).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Qua một đường thẳng a có vô số mặt phẳng. Chỉ có một mặt phẳng duy nhất chứa đồng thời hai đường thẳng song song a và b. Vì vậy, ngoài mặt phẳng đó ra, vẫn còn vô số mặt phẳng chứa a nhưng không chứa b.

b) Sai. Nếu mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có thể song song hoặc chứa đường thẳng b.

c) Đúng. Hai đường thẳng a và b song song nên có cùng phương. Nếu (P) cắt a, thì (P) không thể song song với phương của hai đường thẳng này. Do đó (P) cũng phải cắt b.

d) Sai. Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng a mà không chứa đường thẳng b (a, b là hai đường thẳng song song).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Do O là tâm hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC.

Xét △SAC có M là trung điểm SC, O là trung điểm AC ⇒ MO là đường trung bình của △SAC

⇒ MO ∥ SA. Mà SA ⊂ (SAD) ⇒ MO ∥ (SAD).

b) Đúng. Tương tự câu a, ta có MO ∥ SA. Mà SA ⊂ (SAB) ⇒ MO ∥ (SAB).

c) Đúng. Gọi N là trung điểm của cạnh SD.

Xét △SCD, có M là trung điểm SC và N là trung điểm SD ⇒ MN là đường trung bình của △SCD ⇒ MN ∥ CD và MN = \(\frac{1}{2}\)CD.

Mặt khác, xét đáy ABCD, vì I là trung điểm AB nên AI ∥ CD và AI = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)CD.

Từ hai điều trên, ta suy ra MN ∥ AI và MN = AI. Do đó, tứ giác MNAI là hình bình hành ⇒ MI ∥ AN.

Mà AN ⊂ (SAD) và MI không nằm trong (SAD) ⇒ MI ∥ (SAD).

d) Đúng. Gọi K là trung điểm của CD. Trong △SCD, MK là đường trung bình.

⇒ MK ∥ SD. Trong đáy ABCD, hình bình hành có tâm O và I là trung điểm AB nên ba điểm I, O, K thẳng hàng ⇒ K ∈ IO ⇒ MK ⊂ (MIO). Vì SD ∥ MK nên SD ∥ (MIO).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vì MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên MN ∥ BC.

Mặt khác: BC ⊂ (SBC) suy ra MN ∥ (SBC).

b) Đúng. Tương tự: MN ∥ AD, AD ⊂ (SAD) suy ra MN ∥ (SAD).

c) Sai. Ta có MP là đường trung bình của tam giác SAB nên SB ∥ MP.

Mặt khác: MP ⊂ (MNP) nên SB ∥ (MNP).

d) Sai. Tương tự OP là đường trung bình của tam giác SAC nên SC ∥ OP

Mặt khác: OP ⊂ (MNP) nên SC ∥ (MNP).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì I, J lần lượt là trọng tâm của △SAB và △SCD, theo tính chất trọng tâm ta có: \(\frac{{SJ}}{{SF}}\) = \(\frac{2}{3}\).

b) Đúng. Xét tam giác SEF có: \(\frac{{SI}}{{SE}}\) = \(\frac{{SJ}}{{SF}}\) = \(\frac{2}{3}\).

Suy ra IJ ∥ EF. Mà EF ⊂ (ABCD), nên IJ ∥ (ABCD).

c) Đúng. BC ∥ AD, mà AD ⊂ (SAD) nên BC ∥ (SAD).

EF ∥ AD ∥ BC, mà EF ⊂ (SEF) nên BC ∥ (SEF).

d) Sai. Theo câu b, ta có: IJ ∥ EF (1)

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD trong hình bình hành ABCD nên: EF ∥ AD ∥ BC. (2)

Từ (1), (2) suy ra: IJ ∥ BC.

Ta có: IJ ⊂ (AIJ), BC không nằm trong mặt phẳng (AIJ) và BC ∥ IJ ⇒ BC ∥ (AIJ).

Do đó, khẳng định “BC cắt mặt phẳng (AIJ)” Sai.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì OI là đường trung bình của △ABD ⇒ OI ∥ AB.

Ta có: OI không nằm trong (SAB), AB ⊂ (SAB) mà OI ∥ AB ⇒ OI ∥ (SAB).

b) Đúng. Tương tự, Vì OI là đường trung bình của △ACD ⇒ OI ∥ CD.

Ta có: OI không nằm trong (SCD), CD ⊂ (SCD) mà OI ∥ CD ⇒ OI ∥ (SCD).

c) Sai. Vì \(\frac{{DI}}{{DA}}\) = \(\frac{1}{2}\) ≠ \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{{DE}}{{DC}}\) nên IE không không song song với AC.

d) Đúng. Gọi K là trung điểm của BC, G' là trọng tâm tam giác SBC.

Khi đó \(\frac{{SG'}}{{SK}} = \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{{G'G}}{{KI}} = \frac{2}{3}\), suy ra G'G ∥ KI ∥ CE ⇒ G'G = \(\frac{2}{3}\)KI = \(\frac{2}{3}\)CD = CE.

Do đó tứ giác G'GEC là hình bình hành, suy ra CG' ∥ GE ⇒ GE ∥ (SBC).

Đáp án: 2

Trong tam giác SAB, M là trung điểm của SA ⇒ \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2}\).

Ta có: d ⊂ (SAB), d ∥ (ABCD) và (SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ d ∥ AB.

Mà d cắt SB tại N, suy ra MN ∥ AB. Xét tam giác SAB:

⇒ \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{2}\) ⇒ \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{2}{1}\) = 2.

Đáp án: 1

Ta có: MN ∥ CD.

CD ⊂ (ABCD) nên MN ∥ (ABCD).

MN ⊂ (SCD), cắt (SAD) tại N

Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng song song với MN là (ABCD).

Đáp án: 0,5

Vì mặt phẳng (α) ∥ BC và chứa M là trung điểm SB nên (α) cắt mặt bên (SBC) theo giao tuyến MN ∥ BC.

Xét △SBC, vì đường thẳng MN ∥ BC và xuất phát từ trung điểm M của cạnh SB nên theo tính chất đường trung bình, điểm N phải là trung điểm của cạnh SC.

Do đó tỷ số cần tìm là \(\frac{{SN}}{{SC}}\)= \(\frac{1}{2}\) = 0,5.

Đáp án: 5

Vì O là tâm của hình bình hành ABCD ⇒ O là trung điểm của AC.

Ta có: MO ∥ (SAD); MO ⊂ (SAC) và (SAC) ∩ (SAD) = SA ⇒ MO ∥ SA.

Do đó, M là trung điểm của SC.

Xét tam giác SAC, O là trung điểm của AC, M là trung điểm của SC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC.

⇒ MO = \(\frac{1}{2}\)SA = \(\frac{1}{2}\)⋅ 10 = 5 cm.

Đáp án: 5

Ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) ⇒ \(\frac{{AM}}{{MB}}\) = \(\frac{1}{2}\)

Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N.

Vì mặt phẳng (α) ∥ AC, mà AC ⊂ (ABC), nên mặt phẳng (α) sẽ cắt (ABC) theo đoạn thẳng MN ∥ AC ⇒ \(\frac{{NC}}{{NB}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{1}{2}\).

Vì mặt phẳng (α) ∥ BD, mà BD ⊂ (BCD), nên mặt phẳng (α) sẽ cắt (BCD) theo đoạn thẳng NP ∥ BD ⇒ \(\frac{{PC}}{{PD}} = \frac{{NC}}{{NB}} = \frac{1}{2}\).

⇒ a = 1, b = 2 ⇒ a² + b² = 1 + 4 = 5.