Bài tập Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: d ∥ (α), d ⊂ (β) và (α) ∩ (β) = d' ⇒ d ∥ d'.

Đáp án đúng là: B

Vì a và b cùng thuộc mặt phẳng (Q) nên chúng không thể chéo nhau.

Mặt khác, vì a ∥ (P) nên a không có điểm chung nào với (P), do đó a không thể cắt b (vì b ⊂ (P)).

Vậy a và b không thể cắt nhau.

Đáp án đúng là: B

Có AB // (P); AB (ABC) mà E ∈ (ABC) ∩ (P)

Nên (ABC) ∩ (P) = d (d đi qua E và song song với AB)

Đáp án đúng là: B

Ta có: SB ∥ (P) và SB ⊂ (SBD). Mặt phẳng (P) và (SBD) có điểm chung là O.

Do đó, giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua O và song song với SB.

Đáp án đúng là: D

Do mặt phẳng (P) ∥ SB mà đường thẳng SB nằm trong mặt phẳng (SBD). Điểm chung của (P) và (SBD) là M (vì M ∈ SD ⊂ (SBD)).

Vậy giao tuyến sẽ qua M và song song với SB.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì M ∈ BC ⊂ (ABC) và M ∈ (α), nên M là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (ABC).

Lại có AB ⊂ (ABC) và AB ∥ (α). Do đó, giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt AC tại Q.

b) Đúng. Vì M ∈ BC ⊂ (BCD) và M ∈ (α), nên M là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (BCD).

Lại có CD ⊂ (BCD) và CD ∥ (α). Do đó, giao tuyến của (α) và (BCD) là đường thẳng đi qua M và song song với CD. Đường thẳng này cắt BD tại N.

c) Đúng. Vì N = (α) ∩ BD và BD ⊂ (ABD), nên N là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (ABD).

Lại có AB ⊂ (ABD) và AB ∥ (α). Do đó, giao tuyến của (α) và (ABD) là đường thẳng đi qua N và song song với AB. Đường thẳng này cắt AD tại P.

d) Sai. Ta có MN ∥ PQ ∥ CD, MQ ∥ PN ∥ AB.

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của tứ diện (ta gọi là thiết diện) là hình bình hành MNPQ.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì AB ⊂ (SAB), AB ∥ (α) và G ∈ (SAB) ∩ (α), nên giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (SAB) là đường thẳng đi qua G và song song với AB.

b) Sai. Gọi đường thẳng đi qua G và song song với AB cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó M, N ∈ (α), nên MN = (SAB) ∩ (α), MN ∥ AB.

Do M ∈ SA ⊂ (SAC) và M ∈ (α), nên M ∈ (SAC) ∩ (α).

Mà SC ⊂ (SAC) và SC ∥ (α), nên (α) ∩ (SAC) là đường thẳng đi qua M và song song với SC.

Vậy khẳng định “giao tuyến của (α) với (SAC) là đường thẳng đi qua G và song song với SC” là sai.

c) Đúng. Theo câu b), ta có (α) ∩ (SAB) =MN, MN ∥ AB (1).

Gọi đường thẳng đi qua M và song song với SC cắt AC tại Q; đường thẳng đi qua N và song song với SC cắt BC tại P.

Khi đó, (α) ∩ (SBC) = NP, NP ∥ SC và (α) ∩ (SAC) = MQ, MQ ∥ SC (2).

Mặt khác, (α) ∩ (ABC) = PQ.

Vì AB ⊂ (ABC) và AB ∥ (α), nên PQ ∥ AB (3).

Từ (1), (2), (3) ⇒ MN ∥ PQ, MP ∥ NQ.

Tứ giác MNPQ có: MN ∥ PQ, MQ ∥ NP ⇒ MNPQ là hình bình hành.

Vậy thiết diện của (α) với hình chóp là một hình bình hành.

d) Sai. Theo câu c), thiết diện của (α) với hình chóp là hình bình hành, nên không thể là hình tam giác.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì E, H ∈ (ACD) và E, H ∈ (P), nên EH là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (ACD).

Lại có CD ⊂ (ACD) và CD ∥ (P), nên EH ∥ CD.

b) Sai. Vì F, G ∈ (BCD) và F, G ∈ (P), nên FG là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (BCD).

Mặt khác, CD ⊂ (BCD) và CD ∥ (P), nên FG ∥ CD.

Do đó khẳng định FG ∥ AB là sai.

c) Đúng. Theo câu a), ta có: EH ∥ CD.

Theo câu b), ta có: FG ∥ CD.

Suy ra EH ∥ FG.

Mặt khác, GH là giao tuyến của (P) với (ABD). Vì AB ⊂ (ABD) và AB ∥ (P), nên GH ∥ AB. (1)

Đồng thời, EF là giao tuyến của (P) với (ABC). Vì AB ⊂ (ABC) và AB ∥ (P), nên EF ∥ AB. (2)

Từ (1), (2), suy ra EF ∥ GH.

Vậy thiết diện EFGH có hai cặp cạnh đối song song, nên EFGH là hình bình hành.

d) Đúng. Vì GH là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (ABD), mà AB ⊂ (ABD) và AB ∥ (P), nên GH ∥ AB.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có M ∈ AC ⊂ (ABC) và M ∈ (P).

Mặt khác AB ⊂ (ABC) và AB ∥ (P).

Do đó giao tuyến (P) ∩ (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AB.

b) Đúng. Ta có M ∈ AC ⊂ (ACD) và M ∈ (P).

Lại có CD ⊂ (ACD) và CD ∥ (P).

Vì vậy giao tuyến (P) ∩ (ACD) là đường thẳng đi qua M và song song với CD.

c) Đúng. Theo câu a và câu b, cả hai giao tuyến đều đi qua điểm M. Do đó chúng cắt nhau tại M.

d) Sai. Theo câu c), hai giao tuyến cắt nhau tại điểm M. Vì vậy chúng không song song với nhau.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Theo đề bài ta có: (α) đi qua M và (α) ∥ SA, BC.

Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng MN ∥ BC, cắt AC tại N. Khi đó N ∈ (α).

Mặt phẳng (SAC) chứa đường thẳng SA, đồng thời SA ∥ (α).

⇒ Giao tuyến d = (α) ∩ (SAC) là đường thẳng đi qua N và song song với SA.

Vì SC không song song với SA nên d ∥ SC là sai.

b) Sai. Điểm M ∈ AB nên M ∈ (α).

Tuy nhiên, AB cắt mặt phẳng (SAC) tại A.

Mà M ≠ A (do AM = 2MB) ⇒ M ∉ (SAC).

Vì d = (α) ∩ (SAC), muốn M ∈ d thì M phải thuộc đồng thời hai mặt phẳng, điều này không xảy ra.

⇒ M ∉ d.

c) Đúng. Theo định nghĩa, d = (α) ∩ (SAC) là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Do đó mọi điểm thuộc d đều thuộc (SAC).

⇒ d ⊂ (SAC).

d) Đúng. Từ phần (a), ta có N ∈ AC và N ∈ (α).

Lại có N ∈ (SAC) vì AC ⊂ (SAC).

Do đó N là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (SAC) ⇒ N ∈ d.

Mà N ∈ AC ⇒ d cắt cạnh AC tại N.

Đáp án: 0

Vì a ∥ (P), a ⊂ (Q) và (Q) ∩ (P) = b, nên a ∥ b.

Hai đường thẳng a và b cùng nằm trong mặt phẳng (Q) và song song với nhau nên không có điểm chung.

Vậy a ∩ b = ∅.

Đáp án: 2

Gọi (α) là mặt phẳng qua A, G và song song với BC.

Vì (α) và (BCD) có G chung; (α) ∥ BC, BC ⊂ (BCD) nên giao tuyến của (α) và (BCD) là đường thẳng qua G và song song với BC, cắt BD, DC lần lượt tại M, N.

Suy ra MN ∥ BC.

Gọi I là trung điểm BC, khi đó DI là đường trung tuyến của tam giác BCD, có G là trong tâm tam giác ⇒ \(\frac{{DG}}{{DI}} = \frac{2}{3}\).

Xét △DBC: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{DG}}{{DI}} = \frac{2}{3}\) ⇒ MN = \(\frac{2}{3}\)BC = \(\frac{{2 \cdot 3}}{3}\) = 2.

Đáp án: 0,5

Vì (α) ∥ SB và I ∈ SC (SBC), I ∈ (α) nên (α) cắt mặt bên (SBC) theo giao tuyến IJ ∥ SB (J ∈ BC). Do I là trung điểm SC nên J là trung điểm BC.

Mặt phẳng (α) ∥ AC và J ∈ BC ⊂ (ABCD), nên (α) cắt mặt đáy (ABCD) theo giao tuyến JK ∥ AC (K ∈ AB).

Xét △ABC có JK ∥ AC và J là trung điểm của BC. Suy ra K là trung điểm của cạnh AB. Do đó tỉ số \(\frac{{AK}}{{AB}}\) = 0,5.

Đáp án: 0,67

Gọi I là giao điểm của AM và BD. Ta có I là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra: \(\frac{{BI}}{{BO}} = \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{2}{3}\), mà O là tâm hình bình hành ABCD.

⇒ O là trung điểm BD ⇒ OB = OD = \(\frac{1}{2}BD\).

⇒ \(\frac{{BI}}{{BD}} = \frac{2}{{3 + 3}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{ID}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)

Ta có: (α) và mặt phẳng (SBD) có chung điểm I, (α) ∥ SD, SD ⊂ (SBD) nên giao tuyến của (α) và mặt phẳng (SBD) là đường thẳng qua I song song với SD cắt SB tại N, suy ra NI ∥ SD.

Vậy: \(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{2}{3}\) ≈ 0,67.

Đáp án: 0,5

Xét hai mặt phẳng (P) và (ABC) có: E ∈ AC ⊂ (ABC) và E ∈ (P).

Suy ra (P) cắt (ABC) theo một đường thẳng đi qua E.

Mặt khác, (P) ∥ AB nên giao tuyến này song song với AB.

Trong mặt phẳng (ABC), đường thẳng qua E song song với AB cắt cạnh BC tại F.

Do đó EF ⊂ (P) và EF ∥ AB.

Xét △ABC: EF ∥ AB và E là trung điểm AC ⇒ F là trung điểm BC.

Do đó, BF = \(\frac{1}{2}\)BC ⇒ \(\frac{{BF}}{{BC}}\) = 0,5.