Đề kiểm tra Bài tập cuối chương III lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Giá trị của \(\tan {30^{\rm{o}}} + \cot {30^{\rm{o}}}\) bằng bao nhiêu?
\(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\)
\(\frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}\)
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
\(2\)
Chọn A
\(\tan {30^{\rm{o}}} + \cot {30^{\rm{o}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Giá trị của tan45°+cot135° bằng bao nhiêu?
\(2\).
\(0\).
\(\sqrt 3 \).
\(1\).
Chọn B
tan45°+cot135°=1−1=0
Giá trị của biểu thức \(A = {\sin ^2}{51^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{55^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{39^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{35^{\rm{o}}}\) là
\(3\).
\(4\).
\(1\).
\(2\).
Chọn D
\(A = \left( {{{\sin }^2}{{51}^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{39}^{\rm{o}}}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{35}^{\rm{o}}}} \right) = \left( {{{\sin }^2}{{51}^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{{51}^{\rm{o}}}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{{55}^{\rm{o}}}} \right) = 2\)
Giá trị của B=cos273°+cos287°+cos23°+cos217° là
\(\sqrt 2 \).
\(2\).
\( - 2\).
\(1\).
Chọn B
\(B = \left( {{{\cos }^2}{{73}^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{{17}^{\rm{o}}}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{87}^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{3^{\rm{o}}}} \right) = \left( {{{\cos }^2}{{73}^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{73}^{\rm{o}}}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{87}^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{87}^{\rm{o}}}} \right) = 2\)
Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = 9\];\[BC = 8\];\[\widehat {\rm{B}} = {60^0}\]. Tính độ dài \[AC\].
\[\sqrt {73} \].
\[\sqrt {217} \].
\[8\].
\[\sqrt {113} \].
Chọn A
Theo định lý cosin có:
\[A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} - 2BA.BC.\cos \widehat {ABC} = 73\] \[ \Rightarrow AC = \sqrt {73} \].
Vậy \[AC = \sqrt {73} \].
Cho \(a;\,b;\,c\) là độ dài \(3\)cạnh của tam giác\(ABC\). Biết\(b = 7\);\(c = 5\);\(\cos A = \frac{4}{5}\). Tính độ dài của \(a\).
\(3\sqrt 2 \).
\(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{23}}{8}\).
\(6\).
Chọn A
Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABC\)ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{4}{5} = 18\).
Suy ra:\(a = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \).
Biết \(\sin a + \cos a = \sqrt 2 \). Hỏi giá trị của \({\sin ^4}a + {\cos ^4}a\) bằng bao nhiêu?
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - 1\).
\(0\).
Chọn B
Ta có: \(\sin a + \cos a = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow 2 = {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2}\)\( \Rightarrow \sin a.\cos a = \frac{1}{2}\).
\({\sin ^4}a + {\cos ^4}a = \left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) - 2{\sin ^2}a{\cos ^2}a = 1 - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\).
Biểu thức \(f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\) có giá trị bằng:
\(1\).
\(2\).
\( - 3\).
\(0\).
Chọn A
\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).
\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).
\(f\left( x \right) = 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) - 2\left( {1 - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) = 1\).
Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = 5\];\(\widehat {\rm{A}} = 40^\circ \);\(\widehat {\rm{B}} = 60^\circ \). Độ dài \[BC\] gần nhất với kết quả nào?
\[3,7\].
\[3,3\].
\[3,5\].
\[3,1\].
Chọn B
\(\widehat {\rm{C}} = 180^\circ - \widehat {\rm{A}} - \widehat {\rm{B}} = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ \)
Áp dụng định lý sin: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin A = \frac{5}{{\sin 80^\circ }}\sin 40^\circ \approx 3,3\].
Một tam giác có ba cạnh là \(13,14,15\). Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?
\(84\,.\)
\[\sqrt {84} \,.\]
\(42\,.\)
\[\sqrt {168} \,.\]
Chọn A
Ta có: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\).
Suy ra: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = 84\).
Cho tam giác \(ABC\). Biết \(AB = 2\); \(BC = 3\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Tính chu vi và diện tích tam giác \(ABC\).
\(5 + \sqrt 7 \)và \(\frac{3}{2}\).
\(5 + \sqrt 7 \)và \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\(5\sqrt 7 \)và \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\(5 + \sqrt {19} \)và \(\frac{3}{2}\).
Chọn B
Ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.c{\rm{os}}\widehat {ABC} = 4 + 9 - 2.2.3.c{\rm{os60}}^\circ = 13 - 6 = 7\).
Suy ra \(AC = \sqrt 7 \).
Chu vi tam giác \(ABC\) là \(AB + AC + BC = 2 + 3 + \sqrt 7 \).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.2.3.\sin 60^\circ = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) (đvdt).
Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (\(AB = 4,3\)cm;\(BC = 3,7\)cm; \(CA = 7,5\) cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).![Chọn A Bán kính \[R\] của chiếc đĩa b (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/7-1760106284.png)
5,73 cm.
6,01cm.
5,85cm.
4,57cm.
Chọn A
Bán kính \[R\] của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác\[ABC\].
Nửa chu vi của tam giác \[ABC\] là: \[p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{4,3 + 3,7 + 7,5}}{2} = \frac{{31}}{4}\]cm.
Diện tích tam giác \[ABC\] là: \[S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - CA} \right)} \approx 5,2\]cm2.
Mà \[S = \frac{{AB.BC.CA}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{AB.BC.CA}}{{4S}} \approx 5,73\]cm.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác \(ABC\). Khi đó:
a) \(\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).
b) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}a.b.c\).
c) \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\).
d) \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Với \(\Delta ABC\) bất kì, ta có công thức tính diện tích: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\). Câu B sai
Xét tính đúng, sai của các đẳng thức sau
a) D=asin90°+bcos90°+csin180°=2a;
b) E=sin260°+2cos230°−5tan245°=114;
c) F=cos224°+cos266°+cos210+cos289°=3;
d) G=cos245°−2cos250°+2sin245°−2cos240°+5tan55°cot125°=−112.
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) \(D = a.1 + b.0 + c.0 = a\).
b) \(E = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 2 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - 5.1 = - \frac{{11}}{4}\).
c) \(F = {\cos ^2}{24^0} + {\sin ^2}{24^0} + {\cos ^2}{1^0} + {\sin ^2}{1^0} = 1 + 1 = 2\).
d) G=cos245°+sin245°+sin245°−2cos250°+cos240°−5tan55°cot55°
=cos245°+sin245°+sin245°−2cos250°+sin250°−5tan55°cot55°=−112
Cho tam giác \(ABC\) biết a=3 cm,b=4 cm,C^=30°. Khi đó:
a) \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)
b) \(c \approx 3,05(\;cm)\)
c) \(\cos A \approx 0,68\)
d) A^≈77,2°
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có: c2=a2+b2−2abcosC hay c2=32+42−2⋅3⋅4⋅cos30°=25−123. Do đó, \(c \approx 2,05(\;cm)\).
Ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{4^2} + {{(25 - 12\sqrt 3 )}^2} - {3^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot \sqrt {25 - 12\sqrt 3 } }} \approx 0,68\).
Suy ra A^≈47,2°. Do đó, B^=180°−A^−C^=180°−47,2°−30°=102,8°
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a,CA = b,AB = c\). Khi đó:
a) \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
b) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\);
b) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\);
c) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
b) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\);
c) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \(\cos A > 0\) hay \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0 \Leftrightarrow {a^2} < {b^2} + {c^2}\).
d) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \(\cos A < 0\) hay \({b^2} + {c^2} - {a^2} < 0 \Leftrightarrow {a^2} > {b^2} + {c^2}\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho tam giác \(ABC\). Hãy tính \(\sin A \cdot \cos (B + C) + \cos A \cdot \sin (B + C)\)
sinA⋅cos(B+C)+cosA⋅sin(B+C)=sinA⋅cos180°−A+cosA⋅sin180°−A
= - \sin A \cdot \cos A + \cos A \cdot \sin A = 0\).
Cho \(\tan \alpha = \frac{1}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\)?
Vì \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{3}\) nên \(\cos \alpha \ne 0\).
Chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \(\cos \alpha \), ta được: \(A = \frac{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 4}}{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 5}} = \frac{{3\tan \alpha + 4}}{{2\tan \alpha - 5}} = \frac{{3 \cdot \frac{1}{3} + 4}}{{2 \cdot \frac{1}{3} - 5}} = - \frac{{15}}{{13}}{\rm{. }}\)
Cho cosα=−2590°<α<180°. Tính \(\tan \alpha \).
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{1}{{\frac{4}{{25}}}} - 1 = \frac{{21}}{4}\).
\( \Rightarrow \tan \alpha = - \frac{{\sqrt {21} }}{2}\) (Do 90°<α<180°
Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm \(A\) và \(B\) trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12\;m\) cùng thẳng hàng với chân \(C\) của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao \(h = 1,3\;m\). Gọi \(D\) là đỉnh tháp và hai điểm \({A_1},{B_1}\) cùng thẳng hàng với \({C_1}\) thuộc chiều cao \(CD\) của tháp. Người ta đo được góc DA1C1^=49° và DB1C1^=35°. Tính chiều cao \(CD\) của tháp.
Ta có: C1DA1^=90°−49°=41°;C1DB1^=90°−35°=55°, nên A1DB1^=14°.
Xét tam giác \({A_1}D{B_1}\), có: A1B1sinA1DB1^=A1DsinA1B1D^⇒A1D=12⋅sin35°sin14°≈28,45 m
Xét tam giác \({C_1}{A_1}D\) vuông tại \({C_1}\), có:
sinC1A1D^=C1DA1D⇒C1D=A1D⋅sinC1A1D=28,45⋅sin49°≈21,47 m⇒CD=C1D+CC1≈22,77 m.
Trên ngọn đồi có một cái tháp cao \(100\;m\) (hình vẽ). Đỉnh tháp \(B\) và chân tháp \(C\) lần lượt nhìn điểm \(A\) ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng 30° và 60° so với phương thẳng đứng. Tính chiều cao \(AH\) của ngọn đồi.
ACB^=120°;ABC^=30°⇒BAC^=30°. Nên \(\Delta ABC\) cân tại \(C \Rightarrow AC = BC = 100\)
Trong tam giác vuông AHC:sinACH^=AHAC⇔AH=AC⋅sin30°=50 m
Để đo khoảng cách từ một điểm \(A\) trên bờ sông đến gốc cây \(C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \(B\) cùng ở trên bờ với \(A\) sao cho từ \(A\) và \(B\) có thể nhìn thấy điểm \(C\). Ta đo được khoảng cách \(AB = 40\;m\), CAB^=45°,CBA^=70°. Vậy sau khi đo đạc và tính toán khoảng cách \(AC\) bằng bao nhiêu mét?
Ta có: C^=180°−A^−B^=65°
Áp dụng định lí sin vào tam giác \(ABC\) ta có
ACsinB=ABsinC⇒AC=AB⋅sinBsinC=40⋅sin70°sin65°≈41,47 m.
Vậy khoảng cách giữa \(A\) và \(C\) khoảng \(41,47m\).
