Đề kiểm tra Bài tập cuối chương III lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Tính giá trị của biểu thức \(P = \sin 30^\circ \cos 60^\circ + sin60^\circ cos30^\circ \).
\(P = 1\).
\(P = 0\).
\(P = \sqrt 3 \).
\(P = - \sqrt 3 \).
Chọn A
Ta có: \(P = \sin 30^\circ \cos 60^\circ + sin60^\circ cos30^\circ = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 1\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
\(\sin {0^{\rm{o}}} + \cos {0^{\rm{o}}} = 0\).
\(\sin {90^{\rm{o}}} + \cos {90^{\rm{o}}} = 1\).
\(\sin {180^{\rm{o}}} + \cos {180^{\rm{o}}} = - 1\).
\(\sin {60^{\rm{o}}} + \cos {60^{\rm{o}}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}\).
Chọn A
Ta có \(\sin {0^{\rm{o}}} + \cos {0^{\rm{o}}} = 1\).
Giá trị của \(E = \sin {36^{\rm{o}}}\cos {6^{\rm{o}}}\sin {126^{\rm{o}}}\cos {84^{\rm{o}}}\) là
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(1\).
\( - 1\).
Chọn A
\(E = \sin {36^{\rm{o}}}\cos {6^{\rm{o}}}\sin \left( {{{90}^{\rm{o}}} + {{36}^{\rm{o}}}} \right)\cos \left( {{{90}^{\rm{o}}} - {6^{\rm{o}}}} \right) = \sin {36^{\rm{o}}}\cos {6^{\rm{o}}} - \cos {36^{\rm{o}}}\sin {6^{\rm{o}}} = \sin {30^{\rm{o}}} = \frac{1}{2}\)
Tổng \({\sin ^2}{2^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{4^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{6^{\rm{o}}} + ... + {\sin ^2}{84^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{86^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{88^{\rm{o}}}\) bằng
\(21\).
\(23\).
\(22\).
\(24\).
Chọn C
\(S = {\sin ^2}{2^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{4^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{6^{\rm{o}}} + ... + {\sin ^2}{84^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{86^{\rm{o}}} + {\sin ^2}{88^{\rm{o}}}\)
\[ = \left( {{{\sin }^2}{2^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{88}^{\rm{o}}}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{4^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{86}^{\rm{o}}}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{44}^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{46}^{\rm{o}}}} \right)\]
\( = \left( {{{\sin }^2}{2^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{2^{\rm{o}}}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{4^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{4^{\rm{o}}}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{44}^{\rm{o}}} + {{\cos }^2}{{44}^{\rm{o}}}} \right) = 22\).
Cho \(\tan \alpha - \cot \alpha = 3.\) Tính giá trị của biểu thức sau: \(A = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \).
\(A = 12\).
\(A = 11\).
\(A = 13\).
\(A = 5\).
Chọn B
\(\tan \alpha - \cot \alpha = 3 \Leftrightarrow {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2\tan \alpha .\cot \alpha = 9\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2 = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 11\).
Biểu thức \({\tan ^2}x{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + {\sin ^2}x\) có giá trị bằng
\( - 1\).
\(0\).
\(2\).
\(1\).
Chọn B
\({\tan ^2}x{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + {\sin ^2}x = {\tan ^2}x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right) + {\sin ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\left( { - {{\cos }^2}x} \right) + {\sin ^2}x = 0\).
Biểu thức \(A = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ \)có giá trị bằng
\(1\).
\( - 1\).
\(2\).
\( - 2\).
Chọn B
Ta có \(\cos \alpha = - \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)\quad \left( {0^\circ \le \alpha \le 180^\circ } \right)\)nên suy ra \(\cos \alpha + \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = 0\).
Do đó: \[A = \left( {\cos 20^\circ + \cos 160^\circ } \right) + \left( {\cos 40^\circ + \cos 140^\circ } \right) + \left( {\cos 60^\circ + \cos 120^\circ } \right)\]\[ + \left( {\cos 80^\circ + \cos 100^\circ } \right) + \cos 180^\circ \] \( = \,\,\cos 180^\circ = - 1\).
Biểu thức: \(f\left( x \right) = {\cos ^4}x + {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^2}x\) có giá trị bằng
\(1\).
\(2\).
\( - 2\).
\( - 1\).
Chọn A
\(f\left( x \right) = {\cos ^2}x\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^2}x = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\).
Cho \(\sin x + \cos x = m\). Tính theo \(m\)giá trị của \(M = \sin x.\cos x\).
\({m^2} - 1\).
\(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
\(\frac{{{m^2} + 1}}{2}\).
\({m^2} + 1\).
Chọn B
\(\sin x + \cos x = m\,\, \Rightarrow \,{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\, = {m^2}\, \Leftrightarrow \,\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 2\sin x.\cos x = {m^2}\,\)
\( \Leftrightarrow \,1 + 2\sin x.\cos x = {m^2} \Leftrightarrow \,\sin x.\cos x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
Vậy \(M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
Trong mặt phẳng, cho tam giác \[ABC\] có \[AC = 4{\rm{ cm}}\], góc \(\widehat A = 60^\circ \), \(\widehat B = 45^\circ \). Độ dài cạnh \[BC\] là
\(2\sqrt 6 \).
\(2 + 2\sqrt 3 \).
\(2\sqrt 3 - 2\).
\(\sqrt 6 \).
Chọn A
Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)\( \Leftrightarrow BC = \frac{{4.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 6 \).
Tính diện tích tam giác \(ABC\) biết \(AB = 3,\;BC = 5,\;CA = 6\).
\(\sqrt {56} \).
\(\sqrt {48} \).
\(6\).
\(8\).
Chọn A
Ta có: \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{3 + 5 + 6}}{2} = 7\).
Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = \sqrt {7\left( {7 - 3} \right)\left( {7 - 6} \right)\left( {7 - 5} \right)} = \sqrt {56} \).
Từ một đỉnh tháp chiều cao \(CD = 80\,m\), người ta nhìn hai điểm \(A\) và \(B\) trên mặt đất dưới các góc nhìn là \({72^0}12'\) và \({34^0}26'\). Ba điểm \(A,B,D\) thẳng hàng. Tính khoảng cách \(AB\)?
\(71\,m.\)
\(91\,m.\)
\(79\,m.\)
\(40\,m.\)
Chọn B
Ta có: Trong tam giác vuông \(CDA\): \(\tan {72^0}12' = \frac{{CD}}{{AD}} \Rightarrow AD = \frac{{CD}}{{\tan {{72}^0}12'}} = \frac{{80}}{{\tan {{72}^0}12'}} \simeq 25,7.\)
Trong tam giác vuông \(CDB\): \(\tan {34^0}26' = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow BD = \frac{{CD}}{{\tan {{34}^0}26'}} = \frac{{80}}{{\tan {{34}^0}26'}} \simeq 116,7.\)
Suy ra: khoảng cách \(AB = 116,7 - 25,7 = 91\,m.\)
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\); \(\widehat B = {30^{\rm{o}}}\). Khi đó:
a) \(\cos C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
b) \(\tan C = \sqrt 3 \).
c) \(\cot C = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
d) \(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\widehat C = {90^{\rm{o}}} - \widehat B = {60^{\rm{o}}}\).
Khi đó \(\cos C = \cos {60^{\rm{o}}} = \frac{1}{2} \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(a = 6\;m,b = 8\;m,c = 10\;m\). Khi đó:
a) \(p = 16\,(cm)\)
b) \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
c) \(S = 24\left( {\;c{m^2}} \right)\)
d) \(r = 4(\;cm)\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(p = (6 + 8 + 10):2 = 12(\;cm)\).
Áp dụng công thức Heron trong tam giác, ta có:
\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) hay \(S = \sqrt {12 \cdot (12 - 6) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 10)} = 24\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Mà \(S = p \cdot r\) nên \(r = S:p = 24:12 = 2(\;cm)\).
Cho tam giác \(ABC\) với \(a = 49,4\;cm;b = 26,4\;cm\) và C^=47°20'. Khi đó:
a) \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)
b) \(c \approx 47\;cm\)
c) \(\widehat A \approx 137^\circ \)
d) \(\widehat B \approx 31^\circ 40'\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Theo định lí cosin, ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)
\( = {(49,4)^2} + {(26,4)^2} - 2.49,4.26,4 \cdot \cos \left( {{{47}^0}{{20}^\prime }} \right) \approx 1369,66.{\rm{ }}\)
Suy ra: \(c \approx 37\;cm\).
Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \approx \frac{{{{\left( {26,4} \right)}^2} + 1369,66 - {{\left( {49,4} \right)}^2}}}{{2.26,4.37}} \approx - 0,191 \Rightarrow \widehat A \approx 101^\circ \)
Ta có: \(\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \approx 31^\circ 40'\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(BC = \sqrt 6 ,CA = 2,AB = 1 + \sqrt 3 \). Khi đó:
a) A^=30°
b) B^=35°
c) \(S = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2}\)
d) \(R = \sqrt 2 .\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
cosA=b2+c2−a22bc=12⇒A^=60°;cosB=a2+c2−b22ac=22⇒B^=45°
\(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2};S = \frac{1}{2}BC \cdot AH \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}};S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \sqrt 2 .\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho \(\cos x = \frac{1}{2}\). Tính giá trị biểu thức \(P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x\)?
Ta có: \(P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x = 3\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + 4{\cos ^2}x = 3 + {\cos ^2}x = 3 + \frac{1}{4} = \frac{{13}}{4}\).
Tính giá trị của biểu thức: E=sin250+sin2130+sin2770+sin285°
E=sin25°+sin213°+sin290°−13°+sin290°−5°
=sin25°+sin2130+cos2130+cos250
\( = \left( {{{\sin }^2}{5^0} + {{\cos }^2}{5^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{13}^0} + {{\cos }^2}{{13}^0}} \right) = 1 + 1 = 2\)
Cho \(\alpha \) là góc tù và \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\). Tính giá trị biểu thức \(3\sin \alpha + 2\cos \alpha \).
Lời giải
\({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}\)
Do \(\alpha \) là góc tù nên \(\cos \alpha < 0\), từ đó \(\cos \alpha = - \frac{{12}}{{13}}\)
Như vậy \(3\sin \alpha + 2\cos \alpha = 3 \cdot \frac{5}{{13}} + 2\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) = - \frac{9}{{13}}\)
Từ một miếng bìa hình tròn, bạn Nam cắt ra một hình tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh \(AB = 4\;cm,AC = 5\;cm,BC = 6\;cm\) (Hình). Tính bán kính \(R\) của miếng bìa ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị xăng-ti-mét)
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\), ta có: \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{4^2} + {5^2} - {6^2}}}{{2.4.5}} = \frac{1}{8}\). Mà A^<180° nên \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 - \frac{1}{{64}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\)
Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{6}{{2 \cdot \frac{{3\sqrt 7 }}{8}}} \approx 3(\;cm)\).
Để đo khoảng cách từ vị trí \(A\) trên bờ sông đến vị trí \(B\) của con tàu bị mắc cạn gần một cù lao giữa sông, bạn Minh đi dọc bờ sông từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) cách \(A\) một khoảng bằng \(50\;m\) và đo các góc BAC^=70°,BCA^=50°. (Hình). Tính khoảng cách \(AB\) theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Xét tam giác \(ABC\), ta có: ABC^=180°−70°−50°=60°
Áp dụng định lí sin, ta có: ABsinC=ACsinB⇒AB=ACsinCsinB=50sin50°sin60°≈44( m)
Thành phố Hải Đông dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư \(A\) và \(B\). Trạm nước sạch đặt tại vị trí \(C\) trên bờ sông. Biết \(AB = 3\sqrt {17} \;km\), khoảng cách từ \(A\) và \(B\) đến bờ sông lần lượt là \(AM = 3\;km,BN = 6\;km\) (hình vẽ). Gọi \(T\) là tổng độ dài đường ống từ trạm nước đến \(A\) và \(B\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).
Kẻ \(AK \bot BN;{A^\prime }H \bot BN\).
Gọi \({A^\prime }\) đối xứng với \(A\) qua \(MN,D\) là trung của \(NB\).
\(T = CA + CB = C{A^\prime } + CB \ge {A^\prime }B\) (không đổi). Đẳng thức xảy ra khi \(\{ C\} = MN \cap {A^\prime }B\).
\(MN = AK = {A^\prime }H = \sqrt {A{B^2} - K{B^2}} = \sqrt {{{(3\sqrt {37} )}^2} - {3^2}} = 18\;km.\)
Vậy \({A^\prime }B = \sqrt {{A^\prime }{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{18}^2} + {9^2}} = 9\sqrt 5 \simeq 20,12\;km\).
