Bài tập cuối chương III có đáp án
8 câu hỏi
Cho tam giác ABC có B^=1350. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a)
A. S=12ca.
B. S=−24ac.
C. S=24bc.
D. S=24ca.
b)
A. R=asinA.
B. R=22b.
C. R=22c.
D. R=22a.
c)
A. a2=b2+c2+2ab.
B. bsinA=asinB.
C. sinB=−22.
D. b2 = c2 + a2 – 2ca.cos1350.
a) Diện tích tam giác ABC:
S=12ac . sinB=12ac . sin135o=24ac.
Chọn D.
b) Theo định lí sin, ta có:
asinA=bsinB=csinC=2R
A. R=asinAsai vì R=a2sinA
B.R=22b
Mà sinB=22⇒R=b2sinB=b2 . 22=22b.
Do đó B đúng.
C. R=22c(loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c).
D. R=22a(loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a).
Chọn B.
c)
A. a2=b2+c2+2ab.
Vì theo định lí côsin, ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc . cosA
Không đủ dữ kiện để suy ra: a2=b2+c2+2ab.
Do đó A sai.
B. bsinA=asinB.
Theo định lí sin, ta có: asinA=bsinB
Nên bsinA≠asinB.
Do đó B sai.
C. sinB=−22.
Vì theo câu a, sinB=22.
Do đó C sai.
D. b2 = c2 + a2 – 2ca . cos135o. đúng.
Theo định lý côsin ta có:
b2 = c2 + a2 − 2ca . cosB (*)
Mà B^=135°Þ cosB = cos 135o.
Thay vào (*) ta được: b2 = c2 + a2 − 2ca . cos 135o.
Do đó D đúng.
Chọn D.
Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a)
A. S=abc4r.
B. r=2Sa+b+c.
C. a2 = b2 + c2 + 2bc.cosA.
D. S = r(a + b + c).
b)
A. sinA = sin(B + C).
B. cosA = cos(B + C).
C. cosA > 0.
D. sinA ≤ 0
a) M = sin45o. cos45o + sin30o
Ta có: sin 45o = cos 45o =22 ; sin 30o = 12.
Thay vào M, ta được:
M =22.22+12=12+12=1.
b) N=sin60o . cos30o+12sin45o . cos45o
Ta có: sin60o=32;cos30o=32 ; sin45°=cos45°=22.
Thay vào N, ta được:
N = 32.32+12.22.22=34+14=1.
c) P = 1 + tan260o
Ta có: tan60o=3.
Thay vào P, ta được: P=1+32=1+3=4.
d)Q=1sin2120o−cot2120o.
Ta có: sin120o=32;cot120o=− 13
Thay vào Q, ta được:
Q=1322−−132=134−13=43−13=1
.
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) M = sin450.cos450 + sin300;
b) N=sin600.cos300+12sin450.cos450;
c) P = 1 + tan2600;
d) Q=1sin21200−cot1200.
a) M = sin450.cos450 + sin300
=22.22+12=12+12=1
b) N=sin600.cos300+12sin450.cos450
= 32.32+12.22.22=34+14=1
c) P = 1 + tan2600
=1+32=1+3=4
d) Q=1sin21200−cot1200
=1sin2600+cot600
=43+13=4+33.
Cho tam giác ABC có B^=600,C^=450,AC = 10. Tính a, R, S, r.
Xét ΔABC, có:
Ta có: A^=1800−B^−C^=1800−600−450=750.
asinA=bsinB=csinC=2R (định lí sin)
⇒asinA=bsinB=10sin600=1032=203⇒a=203sinA=203.sin750=11,15
⇒2R=bsinB=203⇔R=103..
Diện tích tam giác ABC là: S=12.b.a.sinC=12.10.11,15.sin450≈39,42 (đvdt)
⇒csinC=bsinB=203⇒c=203sinC=203.sin450=1063
Ta có: S=pr=a+b+cr2⇒r=2Sa+b+c=2.39,4211,15+10+1063=2,69
Vậy a = 11,15; R=1033,c≈8,16, r ≈ 2,69.
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:
a) cosAMB^+cosAMC^=0;
b) MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cosAMB^ và MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cosAMC^;
c) MA2=2AB2+AC2−BC24 (công thức đường trung tuyến).
a) cosAMB^+cosAMC^=0
Ta có: AMB^+AMC^=1800
AMC^=1800−AMB^
cosAMB^=−cos1800−AMB^=−cosAMC^
⇒cosAMB^+cosAMC^=−cosAMC^+cosAMC^=0
b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:
AB2 = MA2 + MB2 – 2MA.MB.cosAMB^
⇔ MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cos AMB^(1)
Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:
AC2 = MA2 + MC2 – 2MA.MC.cos AMC^
⇔ MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cos AMC^ (2)
c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:
MA2 + MB2 – AB2 + MA2 + MC2 – AC2
= 2MA.MB.cos AMB^ + 2MA.MC.cos AMC^
⇔2MA2+ BC24– AB2+BC24– AC2= 2MA.BC2.cosAMB^ + 2MA.BC2.cosAMC^
(Vì MB=MC=BC2)
2MA2 = AB2+ AC2–BC22 – BC22+ 2MA.MB.cos + 2MA.MB.cos
Û 2MA2 = AB2+ AC2–BC22 + 2MA.MB.(cos AMB^ + cos AMC^)
Û 2MA2 = AB2+ AC2– BC22
ÛMA2=AB2+AC2−BC222
⇔MA2=2AB2+AC2−BC24 (công thức đường trung tuyến).
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu góc A nhọn thì b2 + c2 > a2;
b) Nếu góc A tù thì b2 + c2 < a2;
c) Nếu góc A vuông thì b2 + c2 = a2.
Theo định lí côsin, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
Þb2 + c2 – a2 =2bc.cosA.
a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 Þ 2bccosA > 0
Do đó: b2 + c2 – a2 =2bc.cosA> 0.
Vậy b2 + c2 > a2 (đpcm).
b) Nếu góc A tù thì cosA < 0 Þ 2bccosA < 0
Do đó: b2 + c2 – a2 =2bc.cosA < 0.
Vậy b2 + c2 < a2 (đpcm).
c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 Þ2bccosA = 0
Do đó: b2 + c2 – a2 =2bc.cosA = 0.
Vậy b2 + c2 = a2 (đpcm).
Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hướng N340E. Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50km/h để gặp tàu B.
a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?
b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A gặp tàu B?
a) Gọi t (giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.
Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30km/h nên quãng đường BC = 30t.
Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50km/h nên quãng đường AC = 50t.
Theo định lí sin, ta có: .
Trong đó: a = BC = 30t, b = AC = 50t, B^=124o, α=BAC^.
Khi đó,
Û α ≈ 30o hoặc α ≈ 150o (loại).
Do đó AC hợp với hướngbắc một góc 34o + 30o = 64o.
Vậy tàu A chuyển động theo hướng N64oE.
b) Xét tam giác ABC, ta có:A^=30o; ABC^=124o .
⇒C^=180o−(A^+B^)=180o−(30o+124o)=26o.
Theo định lí sin, ta có:
Mà a = BC = 30t, c = AB = 53,A^=30°; C^=26° .
Khi đó,30t=53 . sin30osin26o
Û 30t ≈ 60
Û t ≈ 2 (h)
Vậy sau 2 giờ thì tàu A gặp tàu B.
Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2(Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2 và cách gôn Nhà 18,44m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.
Kí hiệu gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 và vị trí ném bóng lần lượt là các điểm A, B, C, D, O như hình vẽ.
Khi đó, tứ giác ABCD là hình vuông với đường chéo CA là tia phân giác của góc BCD. Hay OCD^=ACD^=45°.
Ta có: CD = 27,4 Þ AC = CD . 2 = 27,4 .2 ≈ 38,75.
Þ OC = AC – OA ≈ 38,75 − 18,44 = 20,31.
Xét tam giác OCD, áp dụng định lí côsin ta có:
OD2 = CD2 + CO2 – 2.CD.CO. cos .
Trong đó CD = 27,4; CO = 20,31;
Khi đó: OD2 = 27,42 + 20,312 – 2.27.20,31. cos45o
Û OD2 ≈ 376,255
Û OD ≈ 19,4 (m)
Xét ΔCOB và ΔCOD, có:
BC = CD (ABCD là hình vuông)
BCO^=DCO^=45°(CA là tia phân giác của góc BCD)
Cạnh CO chung
Do đó ΔCOB = ΔCOD (c.g.c)
Suy ra OB = OD ≈ 19,4 (m) (hai cạnh tương ứng).
Vậy khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3 khoảng 19,4 m.
