Bài tập cuối chương III có đáp án

a) Diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{1}{2}ac.\sin B=\frac{1}{2}ac.\sin {135}^o=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$.

Chọn D.

b) Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

A.  $R=\frac{a}{\sin A}$sai vì $R=\frac{a}{2\sin A}$

B.$R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$

Mà $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{b}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b$.

Do đó B đúng.

C.  $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c$(loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c).

D.  $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$(loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a).

Chọn B.

c)

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

Vì theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² − 2bc . cosA

Không đủ dữ kiện để suy ra: $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

Do đó A sai.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

Nên $\frac{b}{\sin A}\ne \frac{a}{\sin B}$.

Do đó B sai.

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}$.

Vì theo câu a, $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó C sai.

D. b² = c² + a² – 2ca . cos135^o. đúng.

Theo định lý côsin ta có:

b² = c² + a² − 2ca . cosB (*)

Mà  $\widehat{B}=135°$Þ cosB = cos 135^o.

Thay vào (*) ta được: b² = c² + a² − 2ca . cos 135^o.

Do đó D đúng.

Chọn D.

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

2MA² = AB²+ AC²–${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$  –  ^{${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$}+ 2MA.MB.cos + 2MA.MB.cos

Û 2MA² = AB²+ AC²–${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$  + 2MA.MB.(cos $\widehat{AMB}$ + cos $\widehat{AMC}$)

Û 2MA² = AB²+ AC²– $\frac{B{C}^2}{2}$

Theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

Þb² + c² – a² =2bc.cosA.

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 Þ 2bccosA > 0

Do đó: b² + c² – a² =2bc.cosA> 0.

Vậy b² + c² > a² (đpcm).

b) Nếu góc A tù thì cosA < 0 Þ 2bccosA < 0

Do đó: b² + c² – a² =2bc.cosA < 0.

Vậy b² + c² < a² (đpcm).

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 Þ2bccosA = 0

Do đó: b² + c² – a² =2bc.cosA = 0.

Vậy b² + c² = a² (đpcm).

a) Gọi t (giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.

Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30km/h nên quãng đường BC = 30t.

Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50km/h nên quãng đường AC = 50t.

Theo định lí sin, ta có: .

Trong đó: a = BC = 30t, b = AC = 50t, $\widehat{B}={124}^o$, $\alpha =\widehat{BAC}$.

Khi đó,

Û α ≈ 30^o hoặc α ≈ 150^o (loại).

Do đó AC hợp với hướngbắc một góc 34^o + 30^o = 64^o.
Vậy tàu A chuyển động theo hướng N64^oE.
b) Xét tam giác ABC, ta có:$\widehat{A}={30}^o;\widehat{ABC}={124}^o$ .

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^o-({30}^o+{124}^o)={26}^o$.

Theo định lí sin, ta có:

Mà a = BC = 30t, c = AB = 53,$\widehat{A}=30°;\widehat{C}=26°$ .

Khi đó,$30t=\frac{53.\sin {30}^o}{\sin {26}^o}$

Û 30t ≈ 60

Û t ≈ 2 (h)

Vậy sau 2 giờ thì tàu A gặp tàu B.

Kí hiệu gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 và vị trí ném bóng lần lượt là các điểm A, B, C, D, O như hình vẽ.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình vuông với đường chéo CA là tia phân giác của góc BCD. Hay $\widehat{OCD}=\widehat{ACD}=45°$.