Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 8 lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Lớp \[10A\]có \[20\]bạn nữ và \[25\]bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn một bạn để làm lớp trưởng?
\[500\].
\[45\].
\[C_{25}^{20}\].
\[A_{25}^{20}\].
Trường hợp 1: Chọn \[1\] bạn nam trong số \[25\] bạn nam để làm lớp trưởng có \[25\] cách.
Trường hợp 2: Chọn \[1\] bạn nữ trong số \[20\] bạn nữ để làm lớp trưởng có \[20\] cách.
Vậy theo quy tắc cộng có \[25 + 20 = 45\]cách.
Tìm số máy điện thoại có 10 chữ số với chữ số đầu tiên là 0977
\(151200\).
\(10000\).
\(100000\).
\[1000000\].
Bài toán này không yêu cầu các số đôi một khác nhau: có 4 số đứng đầu là 0977 còn lại là 6 số. Vậy có 106=1000000.
Trong một hộp đựng 7 viên bi xanh và 6 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 viên bi sao cho có đủ cả 2 màu?
\[286\]
\[231\].
\[312\].
\[213\].
Trường hợp 1: Chọn 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng, ta có: \(C_7^2.C_6^1 = 126\) cách.
Trường hợp 2: Chọn 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng, ta có: \(C_7^1.C_6^2 = 105\)cách.
Theo quy tắc cộng, ta có: \(126 + 105 = 231\) cách chọn.
Từ các số \[\left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\], có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có hai chữ số?
\[8\].
\[6\].
\[10\].
\[12\].
TH1: Số có hai chữ số có chữ số tận cùng là \[2\]: 5 số.
TH2: Số có hai chữ số có chữ số tận cùng là \[4\]: 5 số.
Theo quy tắc cộng ta có: \[5 + 5 = 10\] số.
Từ các chữ số \(1;2;3;4;5;7\), có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?
\(3.A_5^3\).
\(2.A_5^3\).
\(3.A_6^3\).
\(2.A_6^3\)
Gọi \(\overline {abcd} \) là tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau chọn từ các chữ số \(1;2;3;4;5;7\).
Chọn \(d\) có \(2\) cách chọn vì \(d \in \left\{ {2;4} \right\}\).
Chọn \(3\) chữ số từ \(5\) chữ số còn lại để xếp vào vị trí \(a,b,c\) có \(A_5^3\) cách chọn.
Vậy có thể lập được tất cả là tất cả \(2.A_5^3\)số.
Từ các chữ số \(1\), \(2\),\(3\),\(4\),\(5\), \(6\) lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số \(1\), các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau?
\(2612\).
\(2400\).
\(1376\).
\(2530\).
Bước 1: Ta xếp các số lẻ: có các số lẻ là \(1,1,1,1,3,5\) vậy có \(\frac{{5!}}{{3!}}\) cách xếp.
Bước 2: Ta xếp 3 số chẵn \(2\),\(4\),\(6\) xen kẽ \(5\) số lẻ trên có \(6\) vị trí để xếp \(3\) số vậy có \(A_6^3\) cách xếp.
Vậy có \(\frac{{5!}}{{3!}}.{\rm{A}}_6^3 = 2400\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Xác định số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {x - 3} \right)^5}\):
\[ - 15\].
\(15{x^4}\).
\( - 15{x^4}\).
\[15\]
Ta có: số hạng chứa \({x^4}\) là \(C_5^1{x^4}{\left( { - 3} \right)^1} = - 3.C_5^1{x^4} = - 15{x^4}\).
Một hộp chứa 10 viên bi xanh và 12 viên bi đỏ, bạn An muốn chọn ra một viên bi hỏi có bao nhiêu cách lấy?
10.
12.
2.
22.
Số cách để lấy 1 viên bi xanh là 10 cách.
Số cách để lấy 1 viên bi đỏ là 12 cách.
Vậy có \(10 + 12 = 22\)cách chọn.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau:
\(120\).
\(48\).
\(24\).
\(96\).
Gọi số đó có dạng \(\overline {abcde} \).
Chọn \(e\) có 2 cách
Chọn \(\overline {abcd} \) có \(4!\)
Vậy có \(2.4! = 48\) số
Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì người đó có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
72.
13.
24.
12.
Phương án 1: Nếu chọn một cái quần có 4 cách.
Phương án 2: Nếu chọn một cái áo có 6 cách.
Phương án 3: Nếu chọn một cái cà vạt có 3 các h.
Theo qui tắc cộng, ta có \[4 + 6 + 3 = 13\]cách chọn
Cho tập \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\) từ tập \(A\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(5\) chữ số và chia hết cho \(2\)?
\(2832\).
\(8222\).
\(8232\).
\(9604\).
Gọi số có \(5\) chữ số cần tìm là \(x = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} ;{\rm{ }}{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},{a_5} \in A;{\rm{ }}{a_1} \ne 0;{\rm{ }}{a_5} \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}\).
Công việc thành lập số \(x\) được chia thành các bước:
- Chọn chữ số \({a_1}\) có \(6\) lựa chọn vì khác \(0\).
- Chọn các chữ số \({a_2},\,{\rm{ }}{a_3},\,{\rm{ }}{a_4}\), mỗi chữ số có \(7\) lựa chọn.
- Chọn chữ số \({a_5}\) có \(4\) lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho \(2\).
Số số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \({6.7^3}.4 = 8232\).
Trong khai triển biểu thức \({\left( {x + 1} \right)^{10}}\) thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là
\(1023\).
\(512\).
\(1024\).
\(2048\).
Xét khai triển \({\left( {x + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} .{x^k}\).
Gọi \(S\) là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có \(S = {\left( {1 + 1} \right)^{10}} = {2^{10}} = 1024\).
Khai triển \({(3x + 2)^5}\). Khi đó:
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển là 1080
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển là 810
Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển là \(720\)
Hệ số của \({x^3}\) lớn hơn hệ số của \({x^4}\).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \({(3x + 2)^5} = 243{x^5} + 810{x^4} + 1080{x^3} + 720{x^2} + 240x + 32\).
Hệ số của \({x^3}\) và \({x^4}\) trong khai triển của \({(3x + 2)^5}\) lần lượt là 1080 và 810. Do đó, hệ
số của \({x^3}\) lớn hơn hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của \({(3x + 2)^5}\).
Khai triển \({(x - 3)^4}\). Khi đó
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển là 1
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển là \[ - 12\]
Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển là \(54\)
Tổng các hệ số của các hạng tử có bậc chẵn trong khai triển bằng 134.
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \({(x - 3)^4} = {x^4} - 12{x^3} + 54{x^2} - 108x + 81\).
Hệ số của các hạng tử có bậc chẵn là \(1;54\) và 81. Vậy tổng các hệ số đó là 136.
Cho số tự nhiên \(\overline {abcde} \) với \(a,b,c,d,e\) là các số lấy từ tập \(\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\} \), khi đó:
Có \(100000\) số
Có \(27216\) số mà các chữ số \(a,b,c,d,e\) đôi một khác nhau
Có \(13440\) số mà các chữ số \(a,b,c,d,e\) đôi một khác nhau và số tự nhiên đó là số lẻ
Có \[13776\] số mà các chữ số \(a,b,c,d,e\) đôi một khác nhau và số tự nhiên đó chẵn
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \) với \(a,b,c,d,e\) là các số lấy từ tập \(\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\} \).
Vì các số được chọn là tùy ý nên số cách chọn mỗi chữ số \(a,b,c,d,e\) đều là 10 (cách).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \({9.10^4} = 90000\) (số).
b) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \).
Chọn \(a:a \ne 0 \Rightarrow \) Có 9 cách chọn \(a\).
Chọn \(b:b \ne a \Rightarrow \) Có 9 cách chọn \(b\).
Theo quy luật trên thì số cách chọn \(c,d,e\) lần lượt là \(8,7,6\). Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: 9.9.8.7.6 \( = 27216\) (số).
c) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \).
Chọn \(e \in \{ 1;3;5;7;9\} \Rightarrow \) Có 5 cách chọn \(e\).
Chọn \(a\) với \(a \ne 0,a \ne e \Rightarrow \) Có 8 cách chọn \(a\).
Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \(5.8.8.7.6 = 13440\) (số)
d) Cách giải 1:
Trường hợp 1: \(e = 0\).
Chọn \(a\) khác 0 (tức là \(a\) cũng khác \(e\) ): có 9 cách chọn.
Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn. Khi đó, ta có được: 1.9.8.7.6 \( = 3024\) (số).
Trường hợp 2: \(e \in \{ 2;4;6;8\} \). Chọn \(e\): có 4 cách chọn.
Chọn \(a\) với \(a \ne 0,a \ne e\), ta có 8 cách chọn.
Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn. Khi đó ta có được: \(4.8.8.7.6 = 10752\) (số).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \(3024 + 10752 = 13776\) (số).
Cách giải 2:
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt là 27216 (số).
Số các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số phân biệt là 13440 (số).
Theo quy tắc loại trừ, ta có số các số tự nhiên chã̃n gồm 5 chữ số phân biệt: \(27216 - 13440 = 13776\) (số).
Một túi có 20 viên bi khác nhau trong đó có 7 bi đỏ, 8 bi xanh và 5 bi vàng, khi đó:
Số cách chọn ba bi khác màu là \(280\) (cách).
Số cách chọn hai viên khác màu bi đỏ và bi xanh là\(56\) (cách).
Số cách chọn hai viên khác màu bi đỏ và bi vàng \(40\) (cách).
Số cách chọn hai bi khác màu là:\(96\) (cách).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Việc chọn ba viên bi khác màu phải tiến hành ba giai đoạn liên tiếp:
Giai đoạn 1: Chọn một viên bi đỏ: có 7 cách.
Giai đoạn 2: Chọn một viên bi xanh: có 8 cách.
Giai đoạn 3: Chọn một viên bi vàng: có 5 cách.
Số cách chọn ba bi khác màu là \(7 \times 8 \times 5 = 280\) (cách).
b) Trường hợp 1: Hai viên khác màu là bi đỏ và bi xanh.
Giai đoạn 1: Chọn một viên bi đỏ: có 7 cách.
Giai đoạn 2: Chọn một viên bi xanh: có 8 cách.
Số cách chọn trường hợp này là \(7 \times 8 = 56\) (cách).
Trường hợp 2: Hai viên khác màu là bi đỏ và bi vàng.
Tương tự trường hợp 1, ta có: \(7 \times 5 = 35\) (cách).
Trường hợp 3: Hai viên khác màu là bi xanh và bi vàng.
Tương tự trường hợp 1, ta có: \(8 \times 5 = 40\) (cách).
Vậy số cách chọn hai bi khác màu là: \(56 + 35 + 40 = 131\) (cách).
Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Tính số cách sắp xếp để cho học sinh nam và học sinh nữ xen kẽ nhau.
Ta xếp 5 nam sinh trước tiên, số cách xếp là 5!.
Giữa các nam sinh và hai đầu, cuối hàng sẽ có 6 vị trí (đánh số từ 1 đến 6) để có thể sắp xếp 5 nữ sinh vào sao cho nam, nữ xen kẻ.
Trường hợp 1: 5 nữ sinh xếp vào vị trí từ số 1 đến số 5, số cách xếp là \(5!\).
Trường hợp \(2:5\) nữ sinh xếp vào vị trí từ số 2 đến số 6, số cách xếp là 5!.
Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn đề bài là \(5!(5! + 5!) = 28800\).
Một đa giác đều có 44 đường chéo, hỏi số cạnh của đa giác đó bằng bao nhiêu?
Hai đỉnh của đa giác \(n\) đỉnh \((n \in \mathbb{N},n \ge 3)\) tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh và đường chéo của đa giác đó).
Vậy số đường chéo đa giác là: \(C_n^2 - n = 44 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - 2)!.2!}} - n = 44\) \( \Leftrightarrow n(n - 1) - 2n = 88 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 11}\\{n = - 8}\end{array} \Leftrightarrow n = 11(} \right.\) vì \(n \in \mathbb{N})\).
Từ tập \(X = \{ 2;3;4;5;6\} \) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau?
Số các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập \(X\) là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử \( \Rightarrow \) số các số cần lập là \(A_5^3 = 60\) (số).
Từ các chữ số \(2,3,4\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần?
Cách 1: dùng tổ hợp
Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có \(C_9^2\) cách.
Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có \(C_7^3\) cách.
Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có \(C_4^4\) cách.
Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là \(C_9^2C_7^3C_4^4 = 1260\) số.
Cách 2: dùng hoán vị lặp
Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\frac{{9!}}{{2!3!4!}} = 1260\) số.
Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}},(x \ne 0)\)
Ta có: \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{12 - k}} \cdot {\left( {\frac{2}{x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {( - 2)^k}{x^{12 - 2k}}\).
Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 - 2k = 0 \Leftrightarrow k = 6\).
\( \Rightarrow \) Số hạng không chứa \(x\) là: \(C_{12}^6 \cdot {2^6} = 59136\).
Có bao nhiêu số tự nhiên chã̃n gồm 4 chữ số khác nhau đôi một?
Kí hiệu số cần lập là abcd. Vì d là số chẵn nên ta chia hai trường hợp:
Trường hợp 1: d\( = 0\).
Chọn a khác 0 có 9 cách. Ứng với mỗi cách chọn đó, chọn b khác d và a có 8 cách. Ứng với mỗi cách đó, chọn c khác a, b và d có \(7\)cách. Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này có: \(9.8.7 = 504\) số thoả mãn yêu cầu.
Trường hợp 2: \({\rm{d}} \in \{ 2,4,6,8\} \).
Chọn \({\rm{d}}\) có 4 cách. Ứng với mỗi cách chọn đó, chọn a khác 0 và \({\rm{d}}\) có 8 cách. Ứng với mỗi cách chọn đó, chọn \({\rm{b}}\) khác \({\rm{d}}\) và \({\rm{a}}\) có 8 cách. Ứng với mỗi cách đó, chọn \({\rm{c}}\) khác \({\rm{a,b}}\) và \({\rm{d}}\) có 7 cách. Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này có: \(4.8.8.7 = 1792\) số thoả mãn yêu cầu.
Trong hai trường hợp trên, mỗi số lập được theo trường hợp này đều khác với các số lập được của trường hợp kia. Theo quy tắc cộng, có: \(504 + 1792 = 2296\) số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số đã cho.
