Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 8 lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp khi hai tập hợp này không giao nhau

Nếu chọn cỡ áo  thì sẽ có\(B\) \[5\] cách.

Nếu chọn cỡ áo \[40\] thì sẽ có \[4\] cách.

Theo qui tắc cộng, ta có \[5 + 4 = 9\] cách chọn mua một chiếc áo.

Theo quy tắc cộng, số cách chọn một món để ăn sáng là

\(3 + 4 + 2 = 9\).

Gọi \(X = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) là số có 7 chữ số khác nhau và X chia hết cho 5. Ta có hai khả năng sau:

\( * \)\({a_7} = 0\): Có \(A_9^6\) cách chọn và sắp xếp 6 chữ số còn lại.

\( * \)\({a_7} = 5\): Có 8 cách chọn \({a_1}\); có \(A_8^5\) cách chọn và sắp xếp 5 chữ số còn lại.

Vậy ta có thể lập được tất cả là \(A_9^6 + 8A_8^5 = 114240.\)

Số tự nhiên có hai chữ số khác nhau và chia hết cho \(3\) gồm những số: 12, 21, 15, 51, 24, 42, 30, 36, 63, 45, 54, 60. Như vậy có 12 số.

Gọi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\overline {ab} \).

Chọn \(b\) có 2 cách;

Chọn \(a\) có 5 cách;

Suy ra có 10 số.

Từ thành phố\(A\) đến thành phố \(B\) có 4 cách đi;

Từ thành phố\(B\) đến thành phố \(C\) có 2 cách đi;

Theo quy tắc nhân có \(4.2 = 8\) cách đi từ thành phố\(A\) đến thành phố \(C\) mà qua thành phố \(B\)chỉ một lần

Ta gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số có dạng: \(\overline {abcde} \,\)

\(a\) có 9 cách chọn vì \(a \ne 0\).

Các chữ số còn lại là \(b,\,c,\,d,e\), mỗi chữ số có 10 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có số các số tự nhiên gồm có \(5\) chữ số là: \({9.10^4} = 90000\) số.

Mỗi cách xếp số tự nhiên có \(5\) chữ số khác nhau từ các số \(1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}.....,{\rm{ }}9\) là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử. Vậy có \(A_9^5 = 15120.\)

Gọi số đó có dạng \(\overline {123ab} \).

Chọn \(a\) có 4 cách

Chọn \(b\) có \(3\)

Vậy có \(4.3 = 12\) số

Xét tổng \({\left( {1 + x} \right)^{10}} = C_{10}^0 + xC_{10}^1 + {x^2}C_{10}^2 + ... + {x^{10}}C_{10}^{10}\).

Thay \(x = 1\) ta được: \(C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + ... + C_{10}^{10} = {2^{10}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow C_{10}^5 + 2\left( {C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{10}^8 + C_{10}^9 + C_{10}^{10}} \right) = {2^{10}}\\ \Rightarrow C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{10}^8 + C_{10}^9 + C_{10}^{10} = \frac{{{2^{10}} - C_{10}^5}}{2} = 386\end{array}\)

Công việc được hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp:

Hành động 1. Chọn 1 chiếc mũ: có 4 cách chọn.

Hành động 2. Chọn 1 áo khoác: có 3 cách chọn.

Áp dụng quy quy tắc nhân, suy ra có \(4 \cdot 3 = 12\) cách.

Ta có: \({(x - 3)^5} = {x^5} - 15{x^4} + 90{x^3} - 270{x^2} + 405x - 243\).

a) Chọn 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút bi có \(4 \cdot 5 = 20\) (cách).

b) Chọn 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút máy có \(4 \cdot 2 = 8\) (cách).

c) Chọn 1 chiếc bút bi và 1 chiếc bút máy có \(5 \cdot 2 = 10\) (cách).

d) Áp dụng quy tắc cộng, ta có số cách chọn 2 chiếc bút khác loại với nhau từ hộp bút của Lan là: \(20 + 8 + 10 = 38\) (cách).

a) Lập số tự nhiên gồm 9 chữ số từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) có \({9^9}\) cách. Vậy có \({9^9} = 387420489\) số thoả mãn đề bài.

b) Mỗi số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau chọn từ các chữ số \(1,2,3,4\),\(5,6,7,8,9\) là một hoán vị của 9 phần tử nên có \(9! = 362880\) số thoả mãn đề bài.

c) Gọi \(\overline {abcdef} \) là số thoả mãn đề bài.

Chọn \(a\) có 5 cách (\(a\) khác 0).

Chọn \(b,c,d,e,f\) có \(5! = 120\) cách.

Vậy có \(5.5! = 600\) số thoả mãn đề bài.

d) Gọi \(\overline {abcd} \) là số thoả mãn đề bài.

Chọn \(a\) có 5 cách ( \(a\) khác 0 ).

Chọn \(b,c,d\) có \(A_5^3 = 60\) cách.

Vậy có \(5.60 = 300\) số thoả mãn đề bài.

a) Số cách chọn ra một quyển sách từ số sách đã cho: \(5 + 6 + 8 = 19\) (cách).

b) Giai đoạn 1: Chọn một quyển sách Tiếng Anh: có 5 (cách).

Giai đoạn 2: Chọn một quyển sách Toán: có 6 (cách).

Giai đoạn 3: Chọn một quyển sách Tiếng Việt: có 8 (cách).

Số cách chọn ba quyển sách khác môn là: \(5 \times 6 \times 8 = 240\) (cách).

c) Trường hợp 1: Chọn được hai quyển gồm Tiếng Anh và Toán.

Số cách chọn là \(5 \times 6 = 30\) (cách).

Trường hợp 2: Chọn được hai quyển gồm Tiếng Anh và Tiếng Việt.

Số cách chọn là \(5 \times 8 = 40\) (cách).

Trường hợp 3: Chọn được hai quyển gồm Toán và Tiếng Việt.

Số cách chọn là \(6 \times 8 = 48\) (cách).

Số cách chọn hai quyển sách khác môn là: \(30 + 40 + 48 = 118\) (cách).

Xét số có hình thức \(\overline {{\bf{0bcdef}}} \).

Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(1,2,5\) là: 4!

Vậy số các số được lập theo hình thức này là \(2.4! = 48\).

Xét số có hình thức \(\overline {abcdef} \) trong đó \(a\) được phép bằng 0.

Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(0,1,2,5\) là: 5!.

Số các số được lập theo hình thức này là \(2.5! = 240\).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(240 - 48 = 192\).

\(A = \frac{{7! \cdot 4!}}{{10!}}\left( {\frac{{8!}}{{3!5!}} - \frac{{6!}}{{2!4!}}} \right) = \frac{{7!1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}}{{7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}}\left( {\frac{{5! \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}}{{1 \cdot 2 \cdot 3.5!}} - \frac{{4! \cdot 5 \cdot 6}}{{1.2.4!}}} \right) = \frac{1}{{30}}(56 - 15) = \frac{{41}}{{30}}\).

Xét bảy ô tương ứng với bảy chữ số của số tự nhiên cần lập.

Chọn hai từ bảy vị trí để đặt chữ số 2: có \(C_7^2\) (cách).

Chọn ba từ năm vị trí còn lại để đặt chữ số 3: có \(C_5^3\) (cách).

Chọn hai chữ số từ \(\{ 1;4;5\} \) rồi xếp vào hai vị trí cuối: \(A_3^2\) (cách).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là \(C_7^2C_5^3A_3^2 = 1260\).

Giả sử đa giác có \(n\) cạnh \((n \ge 3)\). Suy ra: số đường chéo là \(C_n^2 - n\),

Ta có: \(C_n^2 - n = 2n \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} = 3n \Leftrightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7\).

\(\begin{array}{l}f(x) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\\ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}} \cdot {\left( {3{x^2}} \right)^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}} \cdot {3^i}{x^{k + i}}{\rm{ ,}}0 \le i \le k \le 10.\end{array}\)

Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).

Vậy hệ số chứa \({x^4}:{2^4}C_{10}^4 \cdot C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3 \cdot C_3^1 + {3^2}C_{10}^2 \cdot C_2^2 = 8085\).

Kí hiệu số cần lập là abcd. Việc chọn các chữ số a, b, c, d qua 4 bước sau:

Chọn a khác 0 có 5 cách.

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 6 cách chọn chữ số b từ sáu chữ số đã cho.

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 6 cách chọn chữ số c từ sáu chữ số đã cho.

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 6 cách chọn chữ số d từ sáu chữ số đã cho.

Từ đó, áp dụng quy tắc nhân, có: 5.6.6.6=1080 số tự nhiên có bốn chữ số được lập từ các chữ số đã cho.