20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8. Đại số tổ hợp (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Từ các chữ số \(1;2;3;4;5;6\) có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100?
\(36\).
\(62\).
\(54\).
\(42\).
TH1: Số lập được có 1 chữ số.
Có 6 số lập được trong trường hợp này.
TH2: Số lập được có hai chữ số.
Giả sử số cần lập là \(\overline {ab} \).
Có 6 cách chọn \(a\), có 6 cách chọn \(b\).
Vậy trong trường hợp này có \(6 \cdot 6 = 36\) số.
Vậy có tất cả \(6 + 36 = 42\) số tự nhiên lập được từ các chữ số trên bé hơn 100. Chọn D.
Một lớp được chia thành 4 tổ \(1;2;3;4\) để tham gia hoạt động thực hành trải nghiệm. Sau khi các tổ thực hiện xong hoạt động, giáo viên sắp xếp thứ tự trình bày của 4 tổ. Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự các tổ trình bày?
\(12\).
\(24\).
\(42\).
\({4^4}\).
Có \(4! = 24\) cách sắp xếp thứ tự các tổ trình bày. Chọn B.
Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.
\(20\).
\(11\).
\(30\).
\(10\).
Có \(5 + 6 = 11\) cách chọn một học sinh của tổ đó đi trực nhật. Chọn B.
Một tổ gồm 5 bạn học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn sao cho trong đó luôn có bạn nam và nữ?
\(120\).
\(126\).
\(6\).
\(60\).
TH1: Chọn được 1 nam và 3 nữ có \(C_5^1 \cdot C_4^3 = 20\) cách.
TH2: Chọn được 2 nam và 2 nữ có \(C_5^2 \cdot C_4^2 = 60\) cách.
TH3: Chọn được 3 nam và 1 nữ có \(C_5^3 \cdot C_4^1 = 40\) cách.
Vậy có \(20 + 60 + 40 = 120\) cách chọn 4 bạn sao cho trong đó luôn có bạn nam và nữ. Chọn A.
Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 1024 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?
\(1024!\).
\(C_{1024}^2\).
\(A_{1024}^2\).
\(C_{1024}^1 + C_{1023}^1\).
Có \(A_{1024}^2\) vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này. Chọn C.
Tổ của Minh và Hằng có 7 học sinh. Số cách xếp 7 học sinh ấy theo hàng dọc mà Minh đứng đầu hàng, Hằng đứng cuối hàng là
\(110\).
\(125\).
\(120\).
\(100\).
Xếp Minh đứng đầu hàng, Hằng đứng cuối hàng, 5 vị trí còn lại ta có \(5! = 120\) cách xếp. Chọn C.
Một cửa hàng có bán 26 bình hoa khác nhau gồm 12 bình màu xanh và 14 bình màu đỏ. Bạn An muốn mua 4 bình hoa sao cho có ít nhất 2 bình màu xanh. Số cách chọn bình của An là
\(9581\).
\(6006\).
\(3080\).
\(9086\).
TH1: An mua 4 bình hoa trong đó có 2 bình màu xanh có \(C_{12}^2 \cdot C_{14}^2 = 6006\) cách.
TH2: An mua 4 bình hoa trong đó có 3 bình màu xanh có \(C_{12}^3 \cdot C_{14}^1 = 3080\) cách.
TH3: An mua 4 bình hoa màu xanh có \(C_{12}^4 = 495\) cách.
Vậy có \(6006 + 3080 + 495 = 9581\) cách. Chọn A.
Hệ số lớn nhất trong khai triển \({\left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}x} \right)^4}\) là
\(\frac{{27}}{{128}}\).
\(\frac{9}{{32}}\).
\(\frac{{27}}{{32}}\).
\(\frac{{27}}{{64}}\).
\({\left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}x} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^4} + 4 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} \cdot \left( {\frac{3}{4}x} \right) + 6 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{3}{4}x} \right)^2} + 4 \cdot \left( {\frac{1}{4}} \right) \cdot {\left( {\frac{3}{4}x} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{4}x} \right)^4}\)
\( = \frac{1}{{256}} + \frac{3}{{64}}x + \frac{{27}}{{128}}{x^2} + \frac{{27}}{{64}}{x^3} + \frac{{81}}{{256}}{x^4}\).
Hệ số lớn nhất trong khai triển là \(\frac{{27}}{{64}}\). Chọn D.
Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5}\).
\( - 810\).
\(826\).
\(810\).
\(421\).
\({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {3{x^3}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {3{x^3}} \right)^4} \cdot \left( { - \frac{2}{{{x^2}}}} \right) + 10 \cdot {\left( {3{x^3}} \right)^3} \cdot {\left( { - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {3{x^3}} \right)^2} \cdot {\left( { - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5 \cdot \left( {3{x^3}} \right) \cdot {\left( { - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^4} + {\left( { - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5}\)
\[ = 243{x^{15}} - 810{x^{10}} + 1080{x^5} - 720 + \frac{{240}}{{{x^5}}} - \frac{{32}}{{{x^{10}}}}\].
Hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\) là \( - 810\). Chọn A.
Biết rằng \({\left( {2x + 1} \right)^{100}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{100}}{x^{100}}\). Tính \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_{100}}.\)
\(100\).
\({3^{100}}\).
\({2^{100}}\).
\({4^{200}}\).
Thay \(x = 1\) vào biểu thức ta được \({\left( {2 \cdot 1 + 1} \right)^{100}} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_{100}}\)\( \Rightarrow S = {3^{100}}\). Chọn B.
Khai triển Newton biểu thức \(P\left( x \right) = {\left( {2 - 3x} \right)^4} = {a_4}{x^4} + {a_3}{x^3} + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0}\).
\({a_0} = 16\).
\({a_4} = {3^4}\).
Giá trị \(S = {a_4} + {a_3} + {a_2} + {a_1} + {a_0}\) là một số nguyên dương.
Hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển \(x{\left( {2 - 3x} \right)^4}\) bằng \( - 24\).
Ta có \({\left( {2 - 3x} \right)^4} = {2^4} + 4 \cdot {2^3} \cdot \left( { - 3x} \right) + 6 \cdot {2^2} \cdot {\left( { - 3x} \right)^2} + 4 \cdot 2 \cdot {\left( { - 3x} \right)^3} + {\left( { - 3x} \right)^4}\)
\( = 16 - 96x + 216{x^2} - 216{x^3} + 81{x^4}\).
a) \({a_0} = 16\).
b) \({a_4} = {\left( { - 3} \right)^4} = {3^4}\).
c) \(S = {a_4} + {a_3} + {a_2} + {a_1} + {a_0} = 16 - 96 + 216 - 216 + 81 = 1\).
d) Số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển \(x{\left( {2 - 3x} \right)^4}\) là \( - 96{x^2}\).
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển \(x{\left( {2 - 3x} \right)^4}\) bằng \( - 96\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Hộp 1 đựng 1 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Hộp 2 đựng 3 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ.
Số cách chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp 1 là 6.
Số cách chọn ngẫu nhiên hai viên bi khác màu từ hộp 1 là 6.
Số cách chọn ngẫu nhiên hai viên bi cùng màu từ hộp 2 là 15.
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp 1 chuyển sang hộp 2, sau đó chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp 2. Có 45 cách chọn được 2 viên bi cùng màu từ hộp 2.
a) Số cách chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp 1 là 6 cách.
b) Số cách chọn ngẫu nhiên hai viên bi khác màu từ hộp 1 là \(1 \cdot 5 = 5\) cách.
c) TH1: Chọn 2 viên bi cùng màu xanh có \(C_3^2 = 3\) cách.
TH2: Chọn 2 viên bi cùng màu đỏ có \(C_5^2 = 10\) cách.
Vậy có \(3 + 10 = 13\) cách.
d) TH1: Lấy 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ từ hộp 1 chuyển sang hộp 2. Khi đó hộp 2 có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ.
Số cách chọn 2 viên bi cùng màu từ hộp 2 là \(C_4^2 + C_6^2 = 21\) cách.
TH2: Lấy 2 viên bi đỏ từ hộp 1 chuyển sang hộp 2. Khi đó hộp 2 có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ.
Số cách chọn 2 viên bi cùng màu từ hộp 2 là \(C_3^2 + C_7^2 = 24\) cách.
Vậy có tất cả \(21 + 24 = 45\) cách chọn.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Xét khai triển nhị thức Newton \({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\).
Khai triển đã cho có \(n + 1\) số hạng.
Khai triển luôn có số hạng tự do bằng 1.
Hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển trên bằng \(C_n^3\).
Nếu \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn thỏa mãn \(C_n^0 + 4C_n^1 + {4^2}C_n^2 + ... + {4^n}C_n^n = 15625\) thì \(n = 6\).
a) Khai triển đã cho có \(n + 1\) số hạng.
b) Khai triển luôn có số hạng tự do bằng 1.
c) Hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển trên bằng \(C_n^3\).
d) Thay \(x = 4\) vào khai triển ta được \({\left( {1 + 4} \right)^n} = C_n^0 + 4C_n^1 + {4^2}C_n^2 + ... + {4^n}C_n^n\)\( \Leftrightarrow {5^n} = 15625\)\( \Leftrightarrow n = 6\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Một nhóm có 14 người trong đó có hai bạn tên Minh và Ngọc. Người ta cần chọn một tổ công tác gồm 6 người. Khi đó:
Chọn nhóm 6 bạn bất kì ta có 3003 cách.
Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả Minh và Ngọc có 1848 cách.
Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn Minh và Ngọc có 924 cách.
Có 9504 cách chọn sao cho trong tổ phải có 1 tổ trưởng và 5 tổ viên hơn nữa Minh hoặc Ngọc phải có mặt nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ.
a) Chọn nhóm 6 bạn bất kì ta có \(C_{14}^6 = 3003\) cách.
b) Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả Minh và Ngọc có \(C_{12}^4 = 495\) cách.
c) Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn Minh và Ngọc có \(C_{12}^6 = 924\) cách.
d) Số cách chọn 6 bạn có mặt Minh, Ngọc nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ là:
\(C_{14}^6 - C_{12}^4 - C_{12}^6 = 1584\) cách.
Chọn 1 tổ trường từ nhóm 6 bạn này thì có 6 cách.
Vậy có \(1584 \cdot 6 = 9504\) cách chọn.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Từ \(X = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\)lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau dạng \(\overline {abcde} \) và thỏa mãn nhỏ hơn \(25000\).
Nếu \(a = 1\) thì lập được 240 số.
Nếu \(a = 2\) và \(b \in \left\{ {0;4} \right\}\)thì lập được 45 số cần lập.
Nếu \(a = 2\) và \(b \in \left\{ {1;5} \right\}\) thì lập được 70 số cần lập.
Có tất cả 360 số cần lập.
a) Nếu \(a = 1\). Số cần lập là số chẵn nên \(e \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}\).
Khi đó \(e\) có 4 cách chọn, \(b\) có 5 cách chọn, \(c\) có 4 cách chọn, \(d\) có 3 cách chọn.
Khi đó có \(4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 240\) số.
b) Nếu \(a = 2\) và \(b \in \left\{ {0;4} \right\}\) thì \(a\) có 1 cách chọn; \(b\) có 2 cách chọn; \(e\) có 2 cách chọn; \(c\) có 4 cách chọn; \(d\) có 3 cách chọn.
Do đó có \(1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 = 48\) số.
c) Nếu \(a = 2\) và \(b \in \left\{ {1;5} \right\}\) thì \(a\) có 1 cách chọn; \(b\) có 2 cách chọn; \(e\) có 3 cách chọn; \(c\) có 4 cách chọn; \(d\) có 3 cách chọn.
Do đó có \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 = 72\) số.
d) TH1: \(a = 1\).
Theo câu a) lập được 240 số.
TH2: \(a = 2\); \(b \in \left\{ {0;4} \right\}\).
Theo câu b) lập được 48 số.
TH3: \(a = 2;b \in \left\{ {1;3} \right\}\) thì \(a\) có 1 cách chọn; \(b\) có 2 cách chọn; \(e\) có 3 cách chọn; \(c\) có 4 cách chọn; \(d\) có 3 cách chọn.
Do đó có \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 = 72\) số.
Vậy có tất cả \(240 + 48 + 72 = 360\) số.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn gồm A, B, C, D, E ngồi thành một hàng ngang sao cho A và E luôn ngồi cạnh nhau?
Coi A và E là một nhóm.
Khi đó có \(4!\) cách xếp 3 bạn và nhóm 2 bạn A, E ngồi thành hàng ngang.
Trong nhóm 2 bạn A và E có \(2!\) cách xếp.
Vậy có tất cả \(4! \cdot 2! = 48\) cách xếp thỏa mãn yêu cầu.
Trả lời: 48.
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?
Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abcde} \).
TH1: \(e = 0\). Có 1 cách chọn \(e\).
Khi đó \(a,b,c,d\) có \(A_9^4\) cách chọn.
Vậy trong trường hợp này lập được \(A_9^4 = 3024\) số.
TH2: \(e \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}\). Có \(4\) cách chọn \(e\).
Có 8 cách chọn \(a\).
Chọn các số \(b,c,d\) trong các số còn lại nhất định phải có chữ số 0 nên có \(3 \cdot A_7^2\) cách chọn.
Vậy trong trường hợp này lập được \(4 \cdot 8 \cdot 3 \cdot A_7^2 = 4032\) số.
Do đó có tất cả \(3024 + 4032 = 7056\) số.
Trả lời: 7056.
Anh A có 2 chiếc quần gồm: 1 quần màu xanh và 1 quần màu đen, 3 chiếc áo gồm: 1 áo màu nâu, 1 áo màu xanh và 1 áo màu vàng; 2 đôi giày gồm: 1 đôi màu đen và 1 đôi màu đỏ. Khi đó anh A có bao nhiêu cách chọn một bộ trang phục gồm quần, áo và giày trong đó phải có quần đen.
Số cách chọn quần đen là 1 cách.
Số cách chọn áo là 3 cách.
Số cách chọn giày là 2 cách.
Vậy có tất cả \(1 \cdot 3 \cdot 2 = 6\) cách chọn một bộ trang phục gồm quần, áo và giày trong đó phải có quần đen.
Trả lời: 6.
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {2x - y} \right)^5}\).Tổng các hệ số của khai triển là bao nhiêu?
\({\left( {2x - y} \right)^5} = {\left( {2x} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {2x} \right)^4} \cdot \left( { - y} \right) + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^3} \cdot {\left( { - y} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot {\left( { - y} \right)^3} + 5 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {\left( { - y} \right)^4} + {\left( { - y} \right)^5}\)
\( = 32{x^5} - 80{x^4}y + 80{x^3}{y^2} - 40{x^2}{y^3} + 10x{y^4} - {y^5}\).
Tổng các hệ số của khai triển là \(32 - 80 + 80 - 40 + 10 - 1 = 1\).
Trả lời: 1.
Có 8 viên bi xanh, 7 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Gọi \(n\) là số cách chọn 5 viên bi sao cho có đủ 3 màu. Tính \(\frac{n}{{10}}\).
TH1: Chọn 3 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng có \(C_8^3 \cdot C_7^1 \cdot C_6^1 = 2352\) cách.
TH2: Chọn 1 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng có \(C_8^1 \cdot C_7^3 \cdot C_6^1 = 1680\) cách.
TH3: Chọn 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng có \(C_8^1 \cdot C_7^1 \cdot C_6^3 = 1120\) cách.
TH4: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng có \(C_8^2 \cdot C_7^2 \cdot C_6^1 = 3528\) cách.
TH5: Chọn 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng có \(C_8^2 \cdot C_7^1 \cdot C_6^2 = 2940\) cách.
TH6: Chọn 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng có \(C_8^1 \cdot C_7^2 \cdot C_6^2 = 2520\) cách.
Vậy có tất cả \(2352 + 1680 + 1120 + 3528 + 2940 + 2520 = 14140\).
Suy ra \(\frac{n}{{10}} = 1414\).
Trả lời: 1414.
