Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 6 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{1}{3} = \frac{5}{{15}}\) và \(\frac{2}{5} = \frac{6}{{15}}.\)

Do \(\frac{5}{{15}} < \frac{6}{{15}}\) nên \(\frac{1}{3} < \frac{2}{5}.\) Vì vậy, vòi thứ hai chảy nhanh hơn vòi thứ nhất.

Trong một giờ, cả hai vòi chảy được số phần bể là: \(\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{{15}} + \frac{6}{{15}} = \frac{{11}}{{15}}\) (bể).

Hướng dẫn giải:

Coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.

Người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ. Suy ra trong 1 giờ làm được \[\frac{1}{4}\] công việc.

Người thứ hai làm xong công việc trong 7 giờ. Suy ra trong 1 giờ làm được \(\frac{1}{7}\) công việc.

Vậy trong 1 giờ, cả hai cùng làm thì được số phần công việc là: \[\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{{11}}{{28}}\] công việc.

Hướng dẫn giải:

Số tấn thóc còn lại trong kho là: \(\frac{{15}}{2} - \frac{{11}}{4} - \frac{{27}}{8} = \frac{{60}}{8} - \frac{{22}}{8} - \frac{{27}}{8} = \frac{{11}}{8}\) (tấn thóc).

a) \(A \notin p.\)b) \(D \notin m;\) \(D \notin n;\) \(D \notin p.\)c) Đường thẳng \(n\) không chứa điểm \(C.\)d) \(B \in n;\) \(B \in p.\)

Hướng dẫn giải:

a) Các cặp đường thẳng song song: \(AB\) và \(DE.\)

b) Các cặp đường thẳng cắt nhau là

⦁\(AE\) và \(BD.\) Giao điểm là điểm \(C.\)

⦁\(AC\) và \(AB.\) Giao điểm là điểm \(A.\)

⦁\(AB\) và \(BC.\) Giao điểm là điểm \(B.\)

⦁\(CD\) và \(DE.\) Giao điểm là điểm \(D.\)

⦁\(CE\) và \(DE.\) Giao điểm là điểm \(E.\)

c) Có 8 đoạn thẳng ở hình vẽ, đó là: \(AB;\,\,DE;\,\,AC;\,\,CE;\,\,AE;\,\,BC;\,\,CD;\,\,BD.\)

a) Bộ 4 điểm thẳng hàng có trong hình: \(A;\,\,B;\,\,C;\,\,D\) và \(A;\,\,E;\,\,F;\,\,M.\)

b) Ba điểm \(B,\,\,C,\,\,D\) có thẳng hàng.

c) Các điểm cùng phía đối với điểm \(M\) là \[A;\,\,E;\,\,F.\]

d) Các điểm khác phía đối với điểm \(E\) là \(A\) và \(F;\)\(A\) và \(M.\)

Hướng dẫn giải:

Có tất cả 3 đoạn thẳng, đó là: \(AB,\,\,AC,\,\,BC.\)

a) Hình vẽ:

b) Hình vẽ:

c) Hình vẽ:

d) Hình vẽ:

Vì \(M\) là một điểm thuộc đoạn \[EF,\] nên ba điểm \(E,\,\,M,\,\,F\) thẳng hàng và điểm \(M\)nằm giữa hai điểm \[E,\,\,F.\]

Do đó \(FE = FM + ME\)

Suy ra \(ME = FE - FM = 10 - 5 = 5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy \(ME = MF = 5{\rm{\;cm}}.\)

a) Vì \[I\] là trung điểm của \[AB,\] nên \(AI = BI = \frac{{AB}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(AI = 5{\rm{\;cm}}.\)

b) Vì \[B\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AE\] nên \[AB = BE = \frac{{AE}}{2}.\]

Do đó \[AE = 2AB = 2 \cdot 10 = 20{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\]

Do \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) nên \(BC = 2CI = 2 \cdot 7 = 14\) cm.

Do \(C\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(AB = AC + CB = 5 + 14 = 19\) cm.

a) Vì điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\) nên ta có:

\(MA + AN = MN\)

Suy ra \(AN = MN - MA = 6 - 4 = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

b) Vì điểm \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \(MA\) nên điểm \(I\) nằm giũa hai điểm \(M\) và \(A\) và \(IA = \frac{1}{2}MA = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vì điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\) nên \(M,\,\,N\) nằm khác phía đối với điểm \(A.\)

Vì điểm \(I\) nằm giũa hai điểm \(M\) và \(A\) nên \(M,\,\,I\) nằm cùng phía đối với điểm \(A.\)

Từ đó ta có điểm \(I\) và \(N\) nằm khác phía đối với điểm \(A.\)

Do đó điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(I,\,\,N.\)

Lại có \(IA = AN = 2{\rm{\;cm}}.\)

Suy ra điểm \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \[IN.\]

a) Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \[MN\] nên ta có:

\(MI = IN = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

b) Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \[MN\] nên điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(M,\,\,N\) hay hai điểm \(M,\,\,N\) nằm khác phía đối với điểm \(I.\)

Lại có hai điểm \[A\] và \[N\] nằm cùng phía đối với điểm \[I\] nên \(M,\,\,A\) nằm khác phía đối với điểm \(I\) hay điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(M,\,\,A.\)

Do đó \(MI + IA = MA\)

Suy ra \(MA = 2 + 3 = 5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Từ \(50\) đến \(99\) có \(\frac{{99 - 50}}{1} + 1 = 50\) số.

Mà \(\frac{1}{{50}} > \frac{1}{{100}};\)

\(\frac{1}{{51}} > \frac{1}{{100}};\)

\(\frac{1}{{52}} > \frac{1}{{100}};\)

        ….

\(\frac{1}{{99}} > \frac{1}{{100}}.\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{99}} > 50 \cdot \frac{1}{{100}} = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(S > \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{1}{{10}} > \frac{1}{{20}};\)

\(\frac{1}{{11}} > \frac{1}{{20}};\)

\(\frac{1}{{12}} > \frac{1}{{20}};\)

….

\(\frac{1}{{20}} = \frac{1}{{20}}.\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{20}} > \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} + ... + \frac{1}{{20}} = 10 \cdot \frac{1}{{20}} = \frac{1}{2};\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{{21}} + \frac{1}{{22}} + \frac{1}{{23}} + ... + \frac{1}{{30}} > \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{30}} + ... + \frac{1}{{30}} = 10 \cdot \frac{1}{{30}} = \frac{1}{3};\)

\(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{40}} > \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ... + \frac{1}{{40}} = 10 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{4}.\)

Suy ra \(\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{39}} + \frac{1}{{40}} > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{{6 + 4 + 3}}{{12}} = \frac{{13}}{{12}} > 1.\)

Do đó \(A = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}} > 1.\)

Vậy \(A = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}} > 1.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{1}{{31}} > \frac{1}{{40}};\)

\(\frac{1}{{32}} > \frac{1}{{40}};\)

\(\frac{1}{{33}} > \frac{1}{{40}};\)

…

\(\frac{1}{{40}} = \frac{1}{{40}}.\)

Cộng vế theo vế ta được:

\[\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{40}} > \underbrace {\frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ..... + \frac{1}{{40}}}_{10\,\,so\,\,hang} = 10 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{4}.\]

Tương tự ta được:

\[\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{43}} + ..... + \frac{1}{{50}} > \underbrace {\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + ..... + \frac{1}{{50}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{5};\]

\[\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \underbrace {\frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + ..... + \frac{1}{{60}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{6}.\]

Suy ra \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}.\)

Mà \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}} > \frac{2}{5}\) nên \(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.\)

Do đó \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{3}{5}.\)

Vậy \(A > \frac{3}{5}.\)

Hướng dẫn giải:

\(B = \frac{4}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{4}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{4}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{4}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}\)

\( = \frac{{5 - 1}}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{{7 - 3}}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{{9 - 5}}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{{25 - 21}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}\)

\[ = \frac{5}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} - \frac{1}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{7}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} - \frac{3}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{9}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} - \frac{5}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{{25}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}} - \frac{{21}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}\]

\( = \frac{1}{{1 \cdot 3}} - \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} - \frac{1}{{5 \cdot 7}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} - \frac{1}{{7 \cdot 9}} + ... + \frac{1}{{21 \cdot 22}} - \frac{1}{{22 \cdot 23}}\)

\[ = \frac{1}{{1 \cdot 3}} - \frac{1}{{22 \cdot 23}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{{506}} = \frac{{506}}{{1\,\,518}} - \frac{3}{{1\,\,518}} = \frac{{503}}{{1\,\,518}}.\]

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(A = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{100}}}}\)

Suy ra \(2A = 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{100}}}}} \right)\)

 \( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{98}}}} - \frac{1}{{{2^{99}}}}.\)

Do đó \[2A + A = \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{98}}}} - \frac{1}{{{2^{99}}}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{100}}}}} \right)\]

Suy ra \[3A = 1 - \frac{1}{{{2^{100}}}}\]

Nên \[A = \frac{1}{3} - \frac{1}{{3 \cdot {2^{100}}}}\]

Vì \[\frac{1}{{3 \cdot {2^{100}}}} > 0\] nên \(\frac{1}{3} - \frac{1}{{3 \cdot {2^{100}}}} < \frac{1}{3}.\)

Vậy \(A < \frac{1}{3}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \[\frac{{2025}}{1} = 2025 = \underbrace {1 + 1 + 1... + 1}_{2025\,\,so\,\,hang}\]

Khi đó:

\(B = \frac{{2025}}{1} + \frac{{2024}}{2} + \frac{{2013}}{3} +  \ldots  + \frac{1}{{2025}}\)

\( = 1 + \left( {\frac{{2024}}{2} + 1} \right) + \left( {\frac{{2013}}{3} + 1} \right) +  \ldots  + \left( {\frac{1}{{2025}} + 1} \right)\)

\( = 1 + \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}}\)

\( = \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}} + \frac{{2026}}{{2026}}\)

\(B = 2026 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}} \right) = 2026A\)

Ta có \(\frac{B}{A} = \frac{{2026A}}{A} = 2026.\)

Vậy \(\frac{B}{A} = 2026.\)

Hướng dẫn giải:

a) Với \(n \ne - 1\) ta có:\[\frac{{n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{n + 1}} = 1 - \frac{2}{{n + 1}}\]

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \[\frac{{n - 1}}{{n + 1}}\] có giá trị nguyên thì \(2 \vdots \left( {n + 1} \right)\)

Hay \(n + 1 \in \)Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ { - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1} \right\}.\)

b) $\frac{2n-1}{3-n}.$

b) Với \(n \ne 3,\) ta có: \(\frac{{2n - 1}}{{3 - n}} = \frac{{2n - 6 + 5}}{{3 - n}} = \frac{{ - 2\left( {3 - n} \right) + 5}}{{3 - n}} = - 2 + \frac{5}{{3 - n}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \(\frac{{2n - 1}}{{3 - n}}\) có giá trị nguyên thì \(5 \vdots 3 - n\)

Hay \(3 - n \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ { - 2;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)

c) Với \(n \ne \frac{4}{3},\) đặt \[A = \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}}.\]

Khi đó \[3A = 3 \cdot \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}} = \frac{{9 - 6n}}{{3n - 4}} = \frac{{8 - 6n + 1}}{{3n - 4}} = \frac{{ - 2 \cdot \left( {3n - 4} \right) + 1}}{{3n - 4}} = - 2 - \frac{1}{{3n - 4}}.\]

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(3A\) có giá trị nguyên thì \(1 \vdots \left( {3n - 4} \right)\)

Hay \(3n - 4 \in \)Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Thử lại, với \(n = 1\) ta có \[A = \frac{{3 - 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 1 - 4}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1 \in \mathbb{Z}.\]

Vậy \(n = 1.\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là phân số thì \(n + 1 \ne 0,\) hay \(n \ne - 1.\)

Vậy với \(n \in \mathbb{Z}\) và \(n \ne - 1\) thì \(A\) là phân số.

b) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là số nguyên thì \(n + 1 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ {0;\,\,\, - 2;\,\,\,1;\,\,\, - 3;\,\,\,3;\,\,\, - 5} \right\}.\)

c) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}\)

Với mọi số tự nhiên \(n\) ta có\(4n \ge 0;\)\(n + 1 > 0\) nên \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} \ge 0\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(n = 0\) (thỏa mãn).

Vậy với \(n = 0\) thì \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(0\).

Hướng dẫn giải:

a) Với \(n \in \mathbb{N},\) gọi \[d = \]ƯCLN\[\left( {n + 1,\,2n + 3} \right)\]

Suy ra \[n + 1 \vdots d\] nên \(2\left( {n + 1} \right) \vdots d\) hay \[2n + 2 \vdots d\]

\[2n + 3 \vdots d\]

Do đó \[\left[ {\left( {2n + 3} \right) - \left( {2n + 2} \right)} \right] \vdots d\] hay \[1 \vdots d\]

Suy ra \[d = 1\]

Khi đó ƯCLN\[\left( {n + 1,\,2n + 3} \right) = 1\].

Vậy \[\frac{{n + 1}}{{2n + 3}}\] là phân số sau tối giản với \(n \in \mathbb{N}.\)

b) Với \(n \in \mathbb{N},\) gọi \(d = \)ƯCLN\(\left( {3n - 2,4n - 3} \right)\)

Suy ra \(3n - 2 \vdots d\) nên \(4 \cdot \left( {3n - 2} \right) \vdots d\) hay \(12n - 8 \vdots d\)

\(4n - 3 \vdots d\) nên \(3 \cdot \left( {4n - 3} \right) \vdots d\) hay \(12n - 9 \vdots d\)

Do đó: \(\left[ {\left( {12n - 8} \right) - \left( {12n - 9} \right)} \right] \vdots d\)

\(12n - 8 - 12n + 9 \vdots d\)

\(1 \vdots d\)

Suy ra \(d = 1\)

Khi đó ƯCLN\(\left( {3n - 2,4n - 3} \right) = 1.\)

Vậy phân số \(\frac{{3n - 2}}{{4n - 3}}\) là phân số tối giản với \(n \in \mathbb{N}.\)

Hướng dẫn giải:

a) Với \(n \ne 1,\) ta có \(\frac{{n + 13}}{{n - 1}} = \frac{{n - 1 + 14}}{{n - 1}} = 1 + \frac{{14}}{{n - 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \[\frac{{n + 13}}{{n - 1}}\] tối giản thì \[\frac{{14}}{{n - 1}}\] phải là tối giản, tức là \[14\] và \(n - 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ngoài các ước là \[1\] và \[14,\] thì \[14\] còn có các ước \[2;\,\,7.\]

Do đó để \(\left( {14,n - 1} \right) = 1\) thì \(n - 1\) không chia hết cho \[2\] và \(n - 1\) không chia hết cho \[7.\]

Tức là \(n - 1 \ne 2k\) (với \(k \in \mathbb{Z})\) và \(n - 1 \ne 7q\) (với \(q \in \mathbb{Z})\)

Vậy với \(n \ne 2k + 1\) và \(n \ne 7q + 1\)\[\left( {k,\,q \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \(\frac{{n + 13}}{{n - 1}}\) là phân số tối giản.

b) Giả sử \(d\) là ước chung nguyên tố của \[\left( {18n + 3} \right)\] và \[\left( {21n + 7} \right).\]

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {18n + 3} \right) \vdots d\\\left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}7 \cdot \left( {18n + 3} \right) \vdots d\\6 \cdot \left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {126n + 21} \right) \vdots d\\\left( {126n + 42} \right) \vdots d\end{array} \right.\)

Do đó \(\left( {126n + 42 - 126n - 21} \right) \vdots d\) hay \(21 \vdots d\) nên \(d \in \left\{ {3;7} \right\}.\)

⦁ Với \(d = 3\) ta có \(\left( {21n + 7} \right) \vdots 3\) nên \(7 \vdots 3\) (điều này là vô lí).

⦁ Với \[d = 7\] ta có \[\left( {18n + 3} \right) \vdots 7\] nên \[\left( {18n + 3n - 3n + 3} \right) \vdots 7\] hay \[\left( {21n - 3n + 3} \right) \vdots 7\]

Tức là \[\left( {3 - 3n} \right) \vdots 7\] hay \[3\left( {n - 1} \right) \vdots 7\] nên \(\left( {n - 1} \right) \vdots 7\)

Khi đó \[n - 1 = 7k\]\[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)\] hay \[n = 7k + 1\]\[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)\]

Vậy phân số \(\frac{{18n + 3}}{{21n + 7}}\) là tối giản khi \(d \ne 7\) hay \[n \ne 7k + 1\]\[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right).\]

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{y}{3}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{{2y}}{6}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{{5 - 2y}}{6}\)

Suy ra \(x \cdot \left( {5 - 2y} \right) = 6 \cdot 1 = 6\)

Vì \(x,y\) là số tự nhiên nên \(x \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

 Từ bảng trên ta tìm được cặp \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {2;1} \right),\left( {6;2} \right)} \right\}.\)

b) Ta có: \(\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = \frac{1}{5}\)

 \[\frac{{20x}}{{60}} - \frac{{15y}}{{60}} = \frac{{12}}{{60}}\]

Suy ra \[20x - 15y = 12\]

\[20x - 12 = 15y\]

\[4\left( {5x - 3} \right) = 15y\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Với \(x,\,\,y \in \mathbb{N}\) ta suy ra \[15y\, \vdots \,4\]

Mà ƯCLN\(\left( {15,4} \right) = 1\) nên \[y\,\, \vdots \,\,4\]

Do đó \[y = 4k\,\,\left( {k \in \mathbb{N},\,\,k \ne 0} \right)\]

Thay \[y = 4k\] vào (1) ta được: \[4\left( {5x - 3} \right) = 60k\]

Suy ra \[5x - 3 = 15k\] nên \[5x = 15k + 3\]

Mà \[5x\, \vdots \,5\] nên \[\left( {15k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,5\] (điều này là vô lí)

Vậy không tồn tại các số tự nhiên \(x,\,y\) thỏa mãn \(\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = \frac{1}{5}.\)

Hướng dẫn giải

Chỉ với hai lần cưa, người nông dân cần cưa thanh vàng thành ba phần: \(\frac{1}{7}\), \(\frac{2}{7}\) và \(\frac{4}{7}\).

Và khi đó, người nông dân sẽ trả lương mỗi ngày cho thợ như sau:

Thứ hai: Trả \(\frac{1}{7}\) thanh vàng.

Thứ ba: Trả \(\frac{2}{7}\) thanh vàng và lấy lại \(\frac{1}{7}\) thanh vàng.

Thứ tư: Đưa lại \(\frac{1}{7}\) thanh vàng cho người thợ.

Thứ năm: Đưa lại \(\frac{4}{7}\) thanh vàng và lấy lại \(\frac{1}{7}\) và \(\frac{2}{7}\) thanh vàng.

Thứ sáu: Đưa \(\frac{1}{7}\) thanh vàng.

Thứ bảy: Đưa \(\frac{2}{7}\) thanh vàng và lấy lại \(\frac{1}{7}\) thanh vàng từ thợ.

Chủ nhật: Trả nội \(\frac{1}{7}\) thanh vàng còn lại.

Hướng dẫn giải

Độ dài tuyến đường 1 là: \(DA + AB + BE + EG = 6 + 5 + 5 + 5 = 21\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Độ dài tuyến đường 2 là: \(DA + AB + BC + CG = 6 + 5 + 6 + 2 = 19\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\)

Độ dài tuyến đường 3 là: \(DC + CG = 10 + 2 = 12\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Do đó, tuyến đường 3 là tuyến đi tới kho báu nhanh nhất là tuyến đường 3 với độ dài 12 km.

Hướng dẫn giải

Lấy 6 cái bánh, mỗi cái chia làm đôi được 12 phần bằng nhau, mỗi người được một phần là \(\frac{1}{2}\) cái bánh.

Lấy 3 cái bánh, mỗi cái chia đều làm 4 phần được 12 phần bằng nhau, mỗi người được một phần là \(\frac{1}{4}\) cái bánh.

Lấy 2 cái bánh cuối cùng, mỗi cái chia đều thành 6 phần được 12 phần bằng nhau, mỗi người được một phần là \(\frac{1}{6}\) cái bánh.

Như vậy, mỗi người được ba phần bánh, tổng cộng là: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{{11}}{{12}}\) (cái bánh).

Hướng dẫn giải

Người thứ nhất mua \(\frac{1}{2}\) số trứng mà hai người kia mua.

Do đó, người thứ nhất mua \(\frac{1}{3}\) số trứng của ba người.

Người thứ hai mua \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}\) (số trứng).

Người thứ ba mua ứng với \(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{7}{{15}}\) (số trứng).

Số quả trứng ban đầu trong rổ là: \(14:\frac{7}{{15}} = 30\) (quả).

Hướng dẫn giải

Mỗi bán sẽ nhận được: \(3:4 = \frac{3}{4}\) (cái bánh).

Ta có: \(\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\).

Như vậy mỗi bạn sẽ nhận được \(\frac{1}{2}\) cái bánh và \(\frac{1}{4}\) cái bánh.

Ta có cách chia như sau:

- Lần 1 cắt cả 3 bánh, mỗi bánh chia thành 2 phần bằng nhau, chia mỗi người được \(\frac{1}{2}\) cái bánh.

(Người thứ nhất được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ nhất, người thứ hai được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ hai. Người thứ ba được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ ba, người thứ tư được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ nhất)

Còn \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ hai và \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ ba.

- Lần 2 cắt số bánh còn lại, mỗi phần thành 2 phần bằng nhau, chia mỗi người được \(\frac{1}{4}\) cái bánh.

Theo cách chia trên thì bánh thứ nhất được chia làm 2 phần, bánh thứ hai và thứ ba được chia làm 3 phần thỏa mãn điều kiện đề bài.

Hướng dẫn giải

Học sinh vẽ đúng sơ đồ mắc vòng như sau:

Hướng dẫn giải

a) Chọn một đường thẳng, đường thẳng này cắt \(n - 1\) đường thẳng còn lại, tạo ra \(n - 1\) giao điểm.

Làm như vậy với \(n\) đường thẳng ta được \(n\left( {n - 1} \right)\) giao điểm.

Tuy nhiên mỗi giao điểm đã được tính hai lần, nên số giao điểm thực tế là \(n\left( {n - 1} \right):2\) giao điểm.

Khi \(n = 10\) ta có số giao điểm là \(10\left( {10 - 1} \right) = 90\) (giao điểm).

b) Giả sử số giao điểm bằng 2024, áp dụng kết quả câu 1, ta có:

\(n\left( {n - 1} \right):2 = 2024\) nên \({n^2} - n = 4048\).

Ta có \(63 \cdot 64 = 4032 < 4048 = n\left( {n - 1} \right) < 4160 = 64 \cdot 65\) nên tìm được \(n\) thỏa mãn đề bài.