Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 6 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

Các góc đỉnh \(O\) là: \(\widehat {xOy};\,\,\widehat {xOy'};\,\,\widehat {x'Oy};\,\,\widehat {x'Oy'}.\)

Các góc nhọn là: \(\widehat {xOy};\,\,\widehat {x'Oy'}.\)

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1. Điểm \[M\] nằm giữa \[P\] và \[Q\]

Ta có: \[PM + MQ = PQ\]

Hay \[3 + MQ = 6\]

Suy ra \[MQ = 6 - 3 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vì điểm \[M\] nằm giữa \[P,\,\,Q\] và \[PM = MQ = 3{\rm{\;cm}}\] nên điểm \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[PQ.\]

Trường hợp 2. Điểm \[M\] không nằm giữa \[P\] và \[Q\]

Vì điểm \[M\] không nằm giữa \[P\] và \[Q\] nên trong trường hợp này điểm \[M\] không phải là trung điểm của đoạn thẳng \[PQ.\]

Hướng dẫn giải

a) Điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[C\] nên ta có: \[AB + BC = AC\]

Hay \[2 + BC = 6\]

Suy ra \[BC = 6 - 2 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

b) Ta có \[I\] là trung điểm của \[BC\] nên: \[BI = IC = \frac{{BC}}{2} = \frac{4}{2} = 2{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vì điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A,\,\,I\] và \[AB = BI = 2{\rm{\;cm}}\] nên \[B\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AI.\]

Hướng dẫn giải

Từ hình vẽ ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AB = 2MB = 2 \cdot 6 = 12{\rm{\;cm}}\) và \(AM = MB = 6{\rm{\;cm}}.\)

Vì \(I\) nằm giữa \(A\) và \(M\) nên \(AI + IM = AM\)

Hay \(AI + 3 = 6\)

Suy ra \(AI = 6 - 3 = 3{\rm{\;cm}}.\)

Như vậy \(I\) nằm giữa \(A\) và \(M\) và \(AI = IM = 3{\rm{\;cm}}.\)

Do đó \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MA.\)

Hướng dẫn giải

a) Từ hình vẽ ta thấy \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MP\) nên ta có:

\(MN = NP = \frac{{MO}}{2} = \frac{8}{2} = 4{\rm{\;cm}}.\)

b) Ta có \(I\) nằm giữa \(M\) và \(N\) nên \(MI + IN = MN\)

Hay \(2 + IN = 4\)

Suy ra \(IN = 4 - 2 = 2{\rm{\;cm}}.\)

Vì \(I\) nằm giữa \(M,\,\,N\) và \(MI = IN = 2{\rm{\;cm}}\) nên \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN.\)

Hướng dẫn giải 

a) Vì điểm \[H\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[K\] nên ta có: \(AH + HK = AK\)

Hay \(4 + HK = 8\)

Suy ra \[HK = 8 - 4 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Do đó \[AH = HK\left( { = 4{\rm{\;cm}}} \right).\]

Điểm \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AK\] vì điểm \[H\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[K\] và \[AH = HK.\]

b) Vì điểm \[A\] là trung điểm của đoạn thẳng \[PH\] nên ta có: \[AH = \frac{{PH}}{2}\]

Suy ra \[PH = 2AH = 2 \cdot 4 = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Do đó \[PH = AK\left( { = 8{\rm{\;cm}}} \right).\]

c) Vì điểm \[I\] nằm giữa hai điểm \[P\] và \[H\] nên ta có: \(PI + IH = PH.\)

Hay \(3 + IH = 8\)

Suy ra \[IH = 8 - 3 = 5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vậy \[IH = 5{\rm{\;cm}}.\]

Hướng dẫn giải

Góc nhọn là \[\widehat {mOn} = 70^\circ .\]

Góc vuông là \[\widehat {pOq} = 90^\circ .\]

Góc tù là \[\widehat {xOy} = 110^\circ ;\] \[\widehat {aOb} = 150^\circ .\]

Góc bẹt là \[\widehat {eOf} = 180^\circ .\]

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Góc có số đo nhỏ nhất là: \[\widehat {zOm} = 15^\circ .\]

b) Góc có số đo lớn nhất là: \[\widehat {xOn} = 105^\circ .\]

c) Ta có: \[\widehat {zOm} = 15^\circ ,\] \[\widehat {yOz} = 25^\circ ,\] \[\widehat {mOn} = 30^\circ ,\] \[\widehat {xOz} = 40^\circ .\]

Vì \[40^\circ  > 30^\circ  > 25^\circ  > 15^\circ \] nên \[\widehat {xOz} > \widehat {mOn} > \widehat {yOz} > \widehat {xOy}.\]

Vậy sắp sếp các góc trên theo thứ tự giảm dần là: \[\widehat {xOz};\,\,\,\widehat {mOn};\,\,\widehat {yOz};\,\,\widehat {xOy}.\]

d) Ta có: \[\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 15^\circ  + 25^\circ  = 40^\circ \] và \[\widehat {xOz} = 40^\circ .\]

Do đó \[\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = \widehat {xOz}\] (vì cùng bằng \[40^\circ ).\]

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(n\) là số tia chung gốc, trong đó không có hai tia nào đối nhau.

Cứ 1 tia với \(n - 1\) tia còn lại, tạo được \(n - 1\) góc.

Có \(n\) tia như vậy nên số góc là \(n\left( {n - 1} \right).\)

Mà mỗi góc được tính 2 lần lên số góc thực tế là \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\)

Tổng số góc là: \(\frac{{10 \cdot \left( {10 - 1} \right)}}{2} = 45\) góc.

b) Gọi \(n\) là số điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng.

Cứ 1 điểm với \(n - 1\) điểm còn lại, được \(n - 1\) cặp điểm và có \(n - 1\) đường thẳng đi qua các cặp điểm đó.

Có \(n\) điểm như vậy nên số đường thẳng là \(n\left( {n - 1} \right).\)

Mà mỗi đường thẳng được tính 2 lần lên số đường thẳng thực tế là \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\)

Theo bài ra ta có 36 đường thẳng nên \[\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 36.\]

Suy ra \[n\left( {n - 1} \right) = 9 \cdot 8\]

Do đó \[n = 9.\]

Vậy có 9 điểm.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}};\]

 \[\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} < \frac{1}{{2 \cdot 3}};\]

 \[\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} < \frac{1}{{3 \cdot 4}};\]

 \[........................\]

\[\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} < \frac{1}{{98 \cdot 99}}.\]

Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{98 \cdot 99}}\)

\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{99}}\)

\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{{99}}\)

\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{{98}}{{99}} < 1\)

Do đó \[S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1.\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có: \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}};\)

 \(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} > \frac{1}{{3 \cdot 4}};\)

 \(\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} > \frac{1}{{4 \cdot 5}};\)

 \(........................\)

 \(\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} > \frac{1}{{99 \cdot 100}}.\)

Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}\)

 \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + .... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\)

 \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{{100}}\)

 \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}{\rm{    }}\)

Do đó \(S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\frac{{49}}{{100}} < S < 1.\)

Hướng dẫn giải

 Ta có:

\(A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 1\,\,000}}\)

\[ = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} - \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} - \frac{1}{{1\,\,000}}\]

\[ = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{1\,\,000}} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{1\,\,000}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{1\,\,000}} - \frac{1}{1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - ... - \frac{1}{{499}} - \frac{1}{{500}}\]

\[ = \frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{503}} + ... + \frac{1}{{1\,\,000}}.\]

Ta có: \[A = \frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{503}} + ... + \frac{1}{{1\,\,000}}\] và \[A = \frac{1}{{1\,\,000}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{998}} + ... + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{501}}\]

Suy ra:

\[2A = \left( {\frac{1}{{501}} + \frac{1}{{1000}}} \right) + \left( {\frac{1}{{502}} + \frac{1}{{999}}} \right) + \left( {\frac{1}{{503}} + \frac{1}{{998}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{999}} + \frac{1}{{502}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1\,\,000}} + \frac{1}{{501}}} \right)\]

\[2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + .... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}\]

\[2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}\]

\[2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}\]

\[2A = 1\,\,501 \cdot \left( {\frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \frac{1}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}}} \right)\]

Mà \[B = \frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 502}} + \frac{1}{{1\,\,000 \cdot 501}}\]

Nên \(2A = 1\,\,501B\) nên \(\frac{A}{B} = \frac{{1\,\,501}}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \[A = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{{15}}{{16}} \cdot ... \cdot \frac{{9\,\,999}}{{10\,\,000}}\]

\[ = \frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 2}} \cdot \frac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 3}} \cdot \frac{{3 \cdot 5}}{{4 \cdot 4}} \cdot ... \cdot \frac{{98 \cdot 100}}{{99 \cdot 99}} \cdot \frac{{99 \cdot 101}}{{100 \cdot 100}}\]

\[ = \frac{{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 98 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 101}}{{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot ... \cdot 99 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 100}}\]

\[ = \frac{{1 \cdot 101}}{{2 \cdot 100}} = \frac{{101}}{{200}}.\]

Hướng dẫn giải

a) \[A = \frac{{\frac{1}{{1 \cdot 300}} + \frac{1}{{2 \cdot 301}} + \frac{1}{{3 \cdot 302}} + ... + \frac{1}{{101 \cdot 400}}}}{{\frac{1}{{1 \cdot 102}} + \frac{1}{{2 \cdot 103}} + \frac{1}{{3 \cdot 104}} + ... + \frac{1}{{299 \cdot 400}}}}.\]

\[ = \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {\frac{{299}}{{1 \cdot 300}} + \frac{{299}}{{2 \cdot 301}} + \frac{{299}}{{3 \cdot 302}} + ... + \frac{{299}}{{101 \cdot 400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {\frac{{101}}{{1 \cdot 102}} + \frac{{101}}{{2 \cdot 103}} + \frac{{101}}{{3 \cdot 104}} + ... + \frac{{101}}{{299 \cdot 400}}} \right)}}\]

\[ = \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{300}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{301}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{302}}... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{102}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{103}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{104}}... + \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{400}}} \right)}}\]

\[ = \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - \frac{1}{{301}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{102}} - \frac{1}{{103}}... - \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{300}}.... - \frac{1}{{400}}} \right)}}\]

\[ = \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}\]\[ = \frac{{\frac{1}{{299}}}}{{\frac{1}{{101}}}}\]\[ = \frac{{101}}{{299}}.\]

Vậy \[A = \frac{{101}}{{299}}.\]

b) \[B = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + \frac{2}{{198}} + \frac{3}{{197}} + ... + \frac{{198}}{2} + \frac{{199}}{1}}}\]

\[ = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + 1 + \frac{2}{{198}} + 1 + \frac{3}{{197}} + 1 + ... + \frac{{198}}{2} + 1 + 1}}\]

\[ = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{{200}}{{199}} + \frac{{200}}{{198}} + \frac{{200}}{{197}} + ... + \frac{{200}}{2} + \frac{{200}}{{200}}}}\]

\[ = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{200 \cdot \left( {\frac{1}{{199}} + \frac{1}{{198}} + \frac{1}{{197}} + ... + \frac{1}{2} + \frac{1}{{200}}} \right)}}\]\[ = \frac{1}{{200}}.\]

Vậy \[B = \frac{1}{{200}}.\]

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: \(n - 1 \ne 0\), tức \(n \ne 1.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \[\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}\] thì \[2\,\, \vdots \,\,\left( {n - 1} \right).\]

Suy ra \[n - 1 \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2} \right\}.\]

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ {2;\,\,0;\,\,3;\,\, - 1} \right\}\) thì \(\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}.\)

b) Điều kiện: \(n - 2 \ne 0,\) tức là \(n \ne 2.\)

Ta có: \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}} = \frac{{n - 2 - 1}}{{n - 2}} = 1 - \frac{1}{{n - 2}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z}\), để \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}\) thì \[\frac{1}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}\], do đó \[1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\]

Suy ra \[n - 2 \in \]Ư\[\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.\]

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}\) thì \(\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}.\)

c) Với \(n \ne \frac{4}{3},\) đặt \[A = \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}}.\]

Khi đó \[3A = 3 \cdot \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}} = \frac{{9 - 6n}}{{3n - 4}} = \frac{{8 - 6n + 1}}{{3n - 4}} = \frac{{ - 2 \cdot \left( {3n - 4} \right) + 1}}{{3n - 4}} = - 2 - \frac{1}{{3n - 4}}.\]

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(3A\) có giá trị nguyên thì \(1\,\, \vdots \,\,\left( {3n - 4} \right)\)

Hay \(3n - 4 \in \)Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ {1; - 1} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Thử lại, với \(n = 1\) ta có \[A = \frac{{3 - 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 1 - 4}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1 \in \mathbb{Z}.\]

Vậy \(n = 1.\)

Hướng dẫn giải

a) Gọi ƯCLN\[\left( {n + 2;2n + 5} \right) = d.\]

Khi đó \[n + 2\,\, \vdots \,d\] và \[2n + 5\,\, \vdots \,\,d\]

Từ \[n + 2\,\, \vdots \,d\] suy ra \[2n + 4\,\, \vdots \,\,d\]

Do đó \[\left[ {\left( {2n + 5} \right) - \left( {2n + 4} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\]

Hay \[1\,\, \vdots \,\,d\]

Suy ra \[d = 1.\]

Vậy phân số \[\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}\] tối giản.

b) Gọi ƯCLN\[\left( {2n + 3;\,\,4n + 8} \right) = d.\]

Khi đó \[2n + 3\,\, \vdots \,\,d\] và \[4n + 8\,\, \vdots \,\,d.\]

Từ \[2n + 3\,\, \vdots \,\,d\] suy ra \[4n + 6\,\, \vdots \,\,d\]

Do đó \[\left[ {\left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\]

Hay \[2\,\, \vdots \,\,d\] suy ra \[d \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\]

Với \[d = 2\] thì \[2n + 3\,\, \vdots \,\,2\] (vô lí)

Do đó \[d = 1.\]

Vậy phân số \[\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}\] tối giản.

c) Gọi ƯCLN\[\left( {3n + 2;\,\,5n + 2} \right) = d\]

Khi đó \[3n + 2\,\, \vdots \,\,d\] và \[5n + 3\,\, \vdots \,\,d\]

Suy ra \[15n + 10\,\, \vdots \,\,d\] và \[15n + 9\,\, \vdots \,\,d\]

Do đó \[\left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right]\, \vdots d\]

Hay \[1\,\, \vdots \,\,d\] suy ra \[d = 1.\]

Vậy phân số \[\,\frac{{3n + 2}}{{5n + 2}}\] tối giản.

Hướng dẫn giải

a) Để \(A\) là một phân số thì \(n + 1 \ne 0\), tức là \(n \ne - 1\).

b)Ta có: \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) - 4}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)    

Với \(n \in \mathbb{Z}\), để \[A \in \mathbb{Z}\] thì \[\frac{4}{{n + 1}} \in \mathbb{Z}.\]

Do đó \[4 \vdots n + 1\]

Suy ra \[n + 1 \in \]Ư\[\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\]

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,1;\,\, - 3;\,\,3;\,\, - 5} \right\}\) thì \(A \in \mathbb{Z}.\)

c) Cách 1. Ta có: \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)

Dễ thấy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\frac{4}{{n + 1}}\) đạt giá trị dương lớn nhất.

\(\frac{4}{{n + 1}}\) đạt giá trị dương lớn nhất khi \(n + 1\) đạt giá trị dương nhỏ nhất.

\(n + 1\) đạt giá trị dương nhỏ nhất khi \(n = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(A = \frac{{4 \cdot 0}}{{0 + 1}} = 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(n = 0\).

Cách 2. Ta có: \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)

Do \(n\) là số tự nhiên nên \(n \ge 0\).

Suy ra \(n + 1 \ge 1,\) nên \(\frac{1}{{n + 1}} \le 1,\) do đó \(\frac{{ - 4}}{{n + 1}} \le - 4,\) vì vậy \(4 - \frac{4}{{n + 1}} \le 4 - 4\)

Khi đó \(A \le 0.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(n = 0\).

Hướng dẫn giải

Với \[n \in \mathbb{Z}\] ta có \[B = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}} = \frac{{2\left( {4n + 3} \right) + 187}}{{4n + 3}} = 2 + \frac{{187}}{{4n + 3}}.\]

a) Với \[n \in \mathbb{Z},\] để \[B\] có giá trị là số nguyên tố thì:

\[\frac{{187}}{{4n + 3}} \in \mathbb{N}\,\] và \[\,4n + 3 \in \]Ư\[\left( {187} \right) = \left\{ {1;\,\,11;\,\,17;\,\,187} \right\}\]

Trường hợp 1. \[4n + 3 = 1,\] suy ra \[n =  - \frac{1}{2}\] (không thoả mãn).

Trường hợp 2. \[4n + 3 = 11,\] suy ra \[n = 2\] (thoả mãn).

Trường hợp 3. \[4n + 3 = 17,\] suy ra \[n = \frac{7}{2}\] (không thoả mãn).

Trường hợp 4. \[4n + 3 = 187,\] suy ra \[n = \frac{{181}}{4}\] (không thoả mãn).

Vậy \[n = 2.\]

b) Để \[B\] tối giản thì \[\frac{{187}}{{4n + 3}}\] phải là tối giản, tức là \[187\] và \(4n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ngoài hai ước là \[1\] và \[187,\] thì \[14\] còn hai ước \[11,\,\,17.\]

Vậy để ƯCLN\(\left( {187,4n + 3} \right) = 1\) thì \(4n + 3\) không chia hết cho \[11\] và \(17.\)

Vậy với \(n \ne 11k - 3;\) \(n \ne 17q - 3\) \[\left( {k,\,\,q \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \[B\] là phân số tối giản.

b) ⦁ Để  \[B\] nhỏ nhất thì \[\frac{{187}}{{4n + 3}}\] nhỏ nhất thì \(4n + 3\) có giá trị âm lớn nhất \[n \in \mathbb{Z}\]

Ta có \(4n + 3 =  - 1,\) suy ra \(n =  - 1.\) Khi đó \(B = 2 - 187 =  - 185.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[B\] là \( - 185\) khi \(n =  - 1\).

⦁ Để \[B\] lớn nhất thì \[\frac{{187}}{{4n + 3}}\] lớn nhất thì \(4n + 3\) là nhỏ nhất và \(4n + 3 > 0;\,\) \[n \in \mathbb{Z}\]

Suy ra \(n = 0,\) khi đó \(B = 2 + \frac{{187}}{3} = \frac{{193}}{3}.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \[B\] là \(\frac{{193}}{3}\) khi \(n = 0\).

Hướng dẫn giải

a) \[xy = x - y\]

\[xy - x + y = 0\]

\[x\left( {y - 1} \right) + y - 1 = - 1\]

\[\left( {y - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = - 1\]

Vì \[\left( {x\,;\,y} \right)\] là số nguyên nên \[\left( {y - 1} \right)\] và \[\left( {x + 1} \right)\] là số nguyên và là ước của \[ - 1\]

Ta lập bảng sau:

Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,0} \right);\left( { - 2;\,\,2} \right)} \right\}.\]

b) \(x\left( {y + 2} \right) + y = 1\)

\(x\left( {y + 2} \right) + y + 2 = 3\)

\(\left( {y + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 3\)

Vì \[\left( {x\,;\,y} \right)\] là số nguyên nên \(\left( {y + 2} \right)\) và \[\left( {x + 1} \right)\] là số nguyên và là ước của \[3.\]

Ta lập bảng sau:        

Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,1} \right);\left( {2;\,\, - 1} \right);\left( { - 2;\,\, - 5} \right);\left( { - 4;\,\, - 3} \right)} \right\}.\]

c) \(xy - 7y + 5x = 0\)

\(xy - 7y + 5x - 35 = - 35\)

\(y\left( {x - 7} \right) + 5\left( {x - 7} \right) = - 35\)

\(\left( {x - 7} \right)\left( {y + 5} \right) = - 35\)

Vì \[\left( {x\,;\,y} \right)\] là số nguyên nên \(\left( {y + 5} \right)\) và \[\left( {x - 7} \right)\] là số nguyên và là ước của \[ - 35.\]

Mà \(y \ge 3\) nên \(y + 5 \ge 8.\)

Ta có Ư\(\left( { - 35} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5;\,\,7;\,\, - 7;\,\,35;\,\, - 35} \right\}.\)

Do đó suy ra: \(y + 5 = 35,\) khi đó \(x - 7 = - 1\)

Suy ra: \(y = 30\) và \(x = 6\)

Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {6;\,\,30} \right).\]

Hướng dẫn giải

Giá bán sau khi tăng 40% bằng \(100\%  + 40\%  = 140\% \) giá nhập.

Giá bán sau khi giảm 20% bằng \(140\%  - 140\%  \cdot 20\%  = 112\% \) giá nhập.

Số tiền lãi Lan thu được là: \(112\%  - 100\%  = 12\% .\)

Giá tiền ban đầu Lan nhập hàng là: \(24\,\,000:12\%  = 200\,\,000\) (đồng).

Hướng dẫn giải

Nếu ngày bán thứ hai không tính bán thêm được 40 quả thì số quả cam còn lại lúc này là: \(40 + 95 = 135\) (quả).

Vì 135 quả cam này chiếm \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) số cam còn lại sau ngày bán thứ nhất nên số cam còn lại sau ngày bán thứ nhất là: \(135:\frac{3}{5} = 225\) (quả).

Nếu ngày bán thứ nhất không tính bán thêm được 15 quả thì số quả cam còn lại lúc này là: \(225 + 15 = 240\) (quả).

Vì 240 quả này chiếm \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) tổng số quả cam của bác Xuân nên số quả cam bác Xuân đã mang đi bán là: \(240:\frac{2}{3} = 360\) (quả).

Vậy trong 3 ngày bác Xuân đã bán hết tất cả 360 quả cam.