Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 1. Nguyên hàm

Đáp án đúng là: B

\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).

Đáp án đúng là: C

\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2F\left( x \right) + C\).

Đáp án đúng là: D

\(\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx} \).

Đáp án đúng là: B

\(G\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {dx} \)\( = F\left( x \right) - x + C\).

Đáp án đúng là: B

\(\int {\left( {2x + 6} \right)dx = {x^2} + 6x + C} \)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\int {{x^{2022}}{\rm{d}}} x = \frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + C,{\rm{ }}C\)là hằng số.

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số \(y = {x^{2022}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \,{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6\].

\[ \Rightarrow \,\,F\left( x \right)\, = \,\int {\left( {{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6} \right)} dx\, = \,\,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C\].

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\cos x + 6x} \right){\rm{d}}x = \sin x + 3{x^2} + C} } \).

Đáp án đúng là: D

\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\int {\sin x} dx = - \frac{1}{2}\cos x + C\).

Đáp án đúng là: B

\[F\left( x \right) = \int {\left( {{2^x} + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]

\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]

\(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{{\ln 2}}{2^0} + \frac{1}{2}{0^2} + 0 + C \Rightarrow C = 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\)

\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\]

\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^{ - 1}} + \frac{1}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có\(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + {x^2} + C\).

Theo bài ra ta có: \(F\left( 0 \right) = 1 + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\int {f'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right){\rm{d}}x} + C\)\( \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^3}}}{3} + C\).

Do \(f\left( 0 \right) = 2\) nên suy ra \(C = 2\).

Vậy \({f^2}\left( 2 \right) = 2\left( {\frac{{32}}{5} + \frac{8}{3} + 2} \right)\)\( = \frac{{332}}{{15}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(v\left( t \right) = - 40t + 20\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 40t + 20} \right)} dt = - 20{t^2} + 20t + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)\( \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t\)

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 40t + 20 = 0 \Rightarrow t = 0,5\).

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được: \(s\left( {0,5} \right) = - 20.{\left( {0,5} \right)^2} + 20.\left( {0,5} \right) = 5{\rm{m}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 5\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = {t^3} + 5t + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)\( \Rightarrow C = 0\).

\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t\)

Sau 4 giây, quãng đường máy bay bay được là:\(s\left( 4 \right) = {4^3} + 5.4 = 84{\rm{m}}\).

Sau 10 giây, quãng đường máy bay bay được là:\(s\left( {10} \right) = {10^3} + 5.10 = 1050{\rm{m}}\).

Quãng đường máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:\[s\left( {10} \right) - s\left( 4 \right) = 966{\rm{m}}\].

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) b) Ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

c) Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {4{x^3} - 6x} \right)dx} = {x^4} - 3{x^2} + C\).

Mà \(F\left( 0 \right) = 2\) nên \(C = 2\).

Do đó \(F\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 2\).

d) Có \(F\left( 1 \right) = {1^4} - {3.1^2} + 2 = 0\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 3}}{{x - 1}} = 2 + \frac{3}{{x - 1}}\).

b) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2 + \frac{3}{{x - 1}}} \right)} dx = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C\).

c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C\).

Vì \(F\left( 2 \right) = 1\) nên \(F\left( 2 \right) = 2.2 + 3\ln \left| {2 - 1} \right| + C = 1\)\( \Leftrightarrow C = - 3\).

Vậy \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3\).

d) Có \(F\left( x \right) = 2x + 2\) nên \(2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3 = 2x + 2\)\( \Leftrightarrow \ln \left| {x - 1} \right| = \frac{5}{3}\)\( \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = {e^{\frac{5}{3}}}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = {e^{\frac{5}{3}}}\\x - 1 = - {e^{\frac{5}{3}}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + {e^{\frac{5}{3}}}\\x = 1 - {e^{\frac{5}{3}}}\end{array} \right.\).

Tổng hai nghiệm của phương trình là 2.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \({\left( { - 2\sin x + C} \right)^\prime } = - 2\cos x \ne 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\) nên hàm số \(F\left( x \right) = - 2\sin x + C\) không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho.

b) Có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {4{{\cos }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 + \cos x} \right)} dx = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Suy ra \(a = 2;b = 2\). Do đó \(a + b = 4\).

c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(C = 1\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).

d) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(2\left( {\frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = - \pi - 2\).

Vậy \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi - 2\).

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} dx = \int {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Một nguyên hàm \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 2025\).

b) Có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Ta có \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 1\).

Vậy \(F\left( e \right) = \frac{{{e^2}}}{2} + 2\).

c) Theo định nghĩa nguyên hàm \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

d) Ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Đồ thị của hàm số \(F\left( x \right)\) đi qua \(M\left( {e;\frac{{{e^2}}}{2}} \right)\) nên ta có phương trình \(\frac{{{e^2}}}{2} = \frac{{{e^2}}}{2} + \ln e + C \Leftrightarrow C = - 1\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x - 1\). Suy ra \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} + \ln 1 - 1 = - \frac{1}{2}\).

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) \(\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).

b) \(\int {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C\).

c) \[\int {{e^x}\left( {{e^x}--{\rm{ }}1} \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} - {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + C\].

d) \(\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \int {{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {3{e^3}} \right)}} + C = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C\).

Trả lời: 0,5

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {2\sin 2xdx} = - \cos 2x + C\).

Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 \Leftrightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = - \cos 2x + 1\).

Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\).

Trả lời: 2

Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^{ - x}} - \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}} = \left[ { - a{x^2} + \left( {2a - b} \right)x + \left( {b - c} \right)} \right]{e^{ - x}}\).

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}-a=1\\ 2a-b=-3\\ b-c=2\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\\ c=-1\end{array}\right.$

Vậy \(S = - 1 + 2.1 - \left( { - 1} \right) = 2\).

Trả lời: 7,27

Ta có \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)dt} = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{1}{3}{t^3} + C\).

Theo giả thiết, \(h\left( 0 \right) = 5 \Leftrightarrow C = 5\)\( \Rightarrow h\left( t \right) = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{1}{3}{t^3} + 5\) (cm).

Vậy \(h\left( 2 \right) = - \frac{1}{{40}}{.2^4} + \frac{1}{3}{.2^3} + 5 = \frac{{109}}{{15}}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 7,27\).

Trả lời: 5

Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = 3} \Rightarrow F\left( 2 \right) = 5\).

Trả lời: 6,3

\[I = - 3\int\limits_2^0 {{t^2}f(t){\rm{d}}t} = 3\int\limits_0^2 {{x^2}f(x){\rm{d}}} x = 3\left[ {\int\limits_0^1 {{x^2}\left( {x + 1} \right){\rm{d}}} x + \int\limits_1^2 {x{\rm{d}}} x} \right] = \frac{{25}}{4} \approx 6,3\].