Đáp án đúng là: C

Khoảng cách \(3x + 2y + z + 14 = 0.\)từ \(A\)đến \(\left( P \right)\)là \(d(A,\,(P)) = \frac{{\left| {3{x_A} + 4{y_A} + 2{z_A} + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3 - 8 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {29} }}\)

\( \Rightarrow d(A,\,(P)) = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\), vectơ pháp tuyến mặt phẳng \(\left( Q \right):\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(4x - 3y - 2z + C = 0\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;0} \right)\) nên: \( - 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(4x - 3y - 2z + 3 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\) có dạng:

\(2x + y - 2z = 0\).

Đáp án đúng là: A

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\), \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {3;3;3} \right) = 3\left( {1;1;1} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3 nên \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\).

Vậy \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;1} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có phương trình:

\(x + y + z - 3 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Vì \(\left( P \right)\) chứa trục \(Ox\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Vì \(\left( P \right)\) đi qua O và \(A\left( {2;3; - 5} \right)\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;3; - 5} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0;5;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \(5y + 3z = 0\).

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( P \right)\) nên có dạng \(\left( Q \right):2x + 2y - z + d = 0,\,\,\left( {d \ne - 1} \right)\).

Mặt khác ta có \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + d} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {d + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = - 10\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Do đó \(\left( Q \right):2x + 2y - z + 8 = 0\) hoặc \(\left( Q \right):2x + 2y - z - 10 = 0\).

Đáp án đúng là: A

\[\left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\].

\[\left( P \right){\rm{//}}\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( P \right):6x + 3y + 2z + m = 0\,\,\left( {m \ne - 12} \right)\].

\(\left( P \right)\) cách đều \(D\) và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {6.2 + 3.4 + 2.6 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6.2 + 3.0 + 2.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} \Leftrightarrow \left| {36 + m} \right| = \left| {12 + m} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}36 + m = 12 + m\\36 + m = - 12 - m\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow m = - 24\] (nhận).

Vậy phương trình của \(\left( P \right)\) là \(6x + 3y + 2z - 24 = 0\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(M \in Oy\) nên \(M\left( {0;a;0} \right)\).

Ta có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| { - a - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 1 = a + 5\\a + 1 = - a - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = - 3\).

Vậy \(M\left( {0; - 3;0} \right)\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) \(\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow v = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \) .

b) \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right) + 2.0 + 3.1 = 5 \ne 0\).

c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\)và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)\)là: \( - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2y + 3z - 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 3z + 4 = 0\).

d) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;0;1} \right)\) là: \( - 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - z + 1 = 0\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (3;1;2)\)

b) Gọi \((Q)\) là mặt phẳng đi qua \(A(1;0;0)\) và vuông góc với \(AB\) suy ra mặt phẳng \((Q)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = (3;1;2)\) làm véc tơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng \((Q)\) cần tìm có dạng: \(3(x - 1) + y + 2z = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 3 = 0\)

c) \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nên \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).

d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng \(AB\) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc \(AB\) nên có phương trình là \(3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + y - \frac{1}{2} + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 10 = 0\).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) \(A\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\)\( \Rightarrow A\left( {1;0;0} \right)\).

b) \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oy\)\( \Rightarrow B\left( {0;2;0} \right)\).

c) d) \(C\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oz\)\( \Rightarrow C\left( {0;0;3} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right)\).

b) \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 2;0; - 2} \right) = - 2\left( {1;0;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z = 0\).

c) \[d(A,(P)) = \frac{{|1 + 4 + 1 + 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}\].

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\).

b) Ta có \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow M \in \left( Q \right)\).

c) \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 1\).

d) Vì \(\left( \alpha \right)//\left( Q \right)\) nên \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z + D = 0\).

Vì \(d\left( {\left( \alpha \right),\left( Q \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2 \Leftrightarrow D = 0\).

Vậy \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z = 0\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) \(OM = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {14} \).

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng \(x + y + z = 0\) ta được \(2 + 1 - 3 = 0\).

Vậy điểm \(M\left( {2;1; - 3} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(x + y + z = 0\).

c) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 1 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 > 1\).

d) Ta có \(\overrightarrow {OM} = \left( {2;1; - 3} \right),\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 3; - 1} \right)\).

Ta có mặt phẳng \(\left( \alpha \right): - 3\left( {y - 1} \right) - \left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + z = 0 \Leftrightarrow 6y + 2z = 0\).

Suy \(a = 0;c = 2;d = 0\). Do đó \(a - 2c + d = - 4 < - 1\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\).

b) \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {3;3;3} \right)\).

Suy ra \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]} \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 3 \).

c) \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3 nên \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\).

d) \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(x + y + z - 3\).

Suy ra \(a = 1;b = 1;c = 1\). Do đó \(a + 2b + 3c = 6\) không chia hết cho 9.

Trả lời: −3

Ta có \(M \in Oy\, \Rightarrow \,M\left( {0;\,y;\,0} \right)\).

Theo giả thiết: \[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| { - y - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\, \Leftrightarrow \,y = - 3\].

Vậy \(M\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\). Suy ra \(a = 0;b = - 3;c = 0\). Do đó \(a + b + c = - 3\).

Trả lời: 4

Vì \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( P \right)} \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt đoạn \(AB\) tại \(I\) nên

$\overrightarrow{BI}=-2\overrightarrow{AI}\iff \left\{\begin{array}{l}a-5=-2\left(a-1\right)\\ b+4=-2\left(b-2\right)\\ c+1=-2\left(c-3\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{3}\\ b=0\\ c=\frac{5}{3}\end{array}\right.\Rightarrow a+b+c=4$

Trả lời: 4

\[I(1; - 2;4)\] có VTPT \[(P)\]

\[I(1; - 2;4)\] có VTPT \[\overrightarrow n {\rm{ = [}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ] = (6;9;1)\]

\[(P)\].

Trả lời: 2

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2; - 5} \right)\).

Mặt phẳng qua \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2; - 5} \right)\) là một vectơ pháp tuyến nên có phương trình \( - \left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 5\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - x - 2y - 5z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow x + 2y + 5z - 5 = 0\).

Suy ra \(a = 2;b = 5;c = - 5\). Do đó \(a + b + c = 2\).

Trả lời: 2

Gọi \(C\left( {0;y;0} \right) \in Oy\) với \(y > 0\).

Ta có \(OA = 1,OB = 2,OC = y\) và \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc.

Suy ra \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{3}y\).

Theo đề ta có \(\frac{1}{3}y = 2 \Leftrightarrow y = 6 \Rightarrow C\left( {0;6;0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{6} + \frac{z}{2} = 1\).

Điểm \(S\left( { - 1;6;m} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{1} + \frac{6}{6} + \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2\).

Trả lời: 2

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2;4; - m} \right)\).

Để \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = k\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {k \in \mathbb{N}*} \right) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{m}{1} \Rightarrow m = 2\).

Trả lời: 0,58

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1\).

Theo bất đẳng thức Bunhia-Copsky ta có:

\(\left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \right) \ge 9\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge \frac{9}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = 3\).

Khi đó \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Dấu bằng xảy ra khi \(m = n = p = 1\).

Vậy khoảng cách lớn nhất từ \(O\) đến \(\left( {MNP} \right)\) bằng \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} \approx 0,58\).