Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Vì ba tia \(Ox,\,\,Oz,\,\,Ot\) cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là tia \(Ox\) và \(\widehat {xOz} < \widehat {xOt}\)

Nên tia \(Oz\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Ot\).

Lại có \(\widehat {xOz} = 80^\circ = \frac{{160^\circ }}{2} = \frac{{\widehat {xOt}}}{2}\) nên \(Oz\) là tia phân giác của \(\widehat {xOt}\).

Hướng dẫn giải

b) Theo giả thiết \(a\parallel b\); \(AB \bot b\) tại \(B\) nên \(AB \bot a\) tại \(A\) hay \(\widehat {BAE} = 90^\circ \).

Vì \(a\parallel b\) nên \[\widehat {AED} = {\widehat D_1} = 65^\circ \] (hai góc so le trong).

Vì \(\widehat {BDE}\) và \[{\widehat D_1}\] là hai góc kề bù nên \(\widehat {BDE} + {\widehat D_1} = 180^\circ \).

Suy ra \[\widehat {BDE} + {\widehat D_1} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \].

Vậy \(\widehat {BAE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BDE} = 115^\circ \).

a) Để \(\frac{5}{{n - 2}}\) là số nguyên thì \(5\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\) nên \(n - 2 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\, \pm 5} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy \[n \in \left\{ {1\,;\,3\,;\, - 3\,;\,7} \right\}.\]

b) Để \(\frac{{ - 6}}{{n + 1}}\) là số nguyên thì \( - 6\,\, \vdots \,\,\left( {n + 1} \right)\) nên \(n + 1 \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\, \pm 2\,;\, \pm 3\,;\, \pm 6} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy \(n \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\, \pm 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 4\,;\,\, - 7\,;\,\,5} \right\}.\)

c) Để \(\frac{{ - 3}}{{n - 4}}\) là số nguyên thì \( - 3\,\, \vdots \,\,\left( {n - 4} \right)\) nên \(n - 4 \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\, \pm 3} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy \(n \in \left\{ {1\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,7} \right\}.\)

d) Ta có \[\frac{{6n - 4}}{{2n + 1}} = \frac{{3\left( {2n + 1} \right) - 7}}{{2n + 1}} = 3 + \frac{{ - 7}}{{2n + 1}}\].

Vì 3 là số nguyên nên để \(\frac{{6n - 4}}{{2n + 1}}\) là số nguyên thì \(\frac{{ - 7}}{{2n + 1}}\) là số nguyên.

Suy ra \(7\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)\) nên \(2n + 1 \in \)Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\,\, \pm 7} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy \(n \in \left\{ { - 4\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,3} \right\}.\)

e) Để \(\frac{{3n + 2}}{{4n - 5}}\) là số nguyên thì \[\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {4n - 5} \right)\].

Suy ra \[4\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {4n - 5} \right)\] hay \[\left( {12n + 8} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {4n - 5} \right)\].

Mà \[12n + 8 = 3\left( {4n - 5} \right) + 23\] nên \[3\left( {4n - 5} \right) + 23 \vdots \left( {4n - 5} \right)\]

Khi đó \[23\,\, \vdots \,\,\left( {4n - 5} \right)\] nên \[\left( {4n - 5} \right) \in \left\{ { \pm 1\,;\,\, \pm 23} \right\}\].
Ta có bảng giá trị sau:

Vậy \(n \in \left\{ 1 \right\}\).

g) Ta có \(\frac{{4n - 1}}{{3 - 2n}} = \frac{{2\left( {2n - 3} \right) + 5}}{{ - \left( {2n - 3} \right)}} = - 2 - \frac{5}{{2n - 3}}\).

Để \(\frac{{4n - 1}}{{3 - 2n}}\) là số nguyên thì \[5\,\, \vdots \,\,\left( {2n - 3} \right)\] nên \[2n - 3 \in \left\{ { \pm 1\,;\, \pm 5} \right\}\].

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy \(n \in \left\{ { \pm 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right\}\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({\left( {2x - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \({\left( {2x - 3} \right)^2} + 15 \ge 15\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2x - 3} \right)^2} = 0\) nên \(2x - 3 = 0\) hay \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 15 khi \(x = \frac{3}{2}\).

b) Ta có \({\left( {5x + 7} \right)^8} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \({\left( {5x + 7} \right)^8} - 2020 \ge - 2020\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {5x + 7} \right)^8} = 0\) nên \(5x + 7 = 0\) hay \(x = \frac{{ - 7}}{5}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là \( - 2020\) khi \(x = \frac{{ - 7}}{5}\).

c) Ta có \(\left| {1 - 2019x} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(2016 + \left| {1 - 2019x} \right| \ge 2016\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {1 - 2019x} \right| = 0\) nên \(1 - 2019x = 0\) hay \(x = \frac{1}{{2019}}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 2016 khi \(x = \frac{1}{{2019}}\).

d) Ta có \(\left| {4x + 1} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \( - 9 + \left| {4x + 1} \right| \ge - 9\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {4x + 1} \right| = 0\) nên \(4x + 1 = 0\) hay \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là \( - 9\) khi \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).

e) Ta có \(\left| {x - 1} \right| + \left| {x - 2} \right| = \left| {x - 1} \right| + \left| {2 - x} \right| \ge \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {2 - x} \right)} \right| = 1\).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right) \ge 0\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right.\] hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\2 - x \le 0\end{array} \right.\).

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 2\end{array} \right.\] hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 2\end{array} \right.\). Do đó \(1 \le x \le 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 khi \(1 \le x \le 2\).

g) Ta có \(\left| {x - 2021} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Nên \(3 + \left| {x - 2021} \right| \ge 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(\frac{{ - 15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \ge - 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Do đó \(2021 - \frac{{15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \ge 2016\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {x - 2021} \right| = 0\) nên \(x - 2021 = 0\) hay \(x = 2021\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 2016 khi \(x = 2021\).

a) Ta có: \({\left( {4x - 7} \right)^2} \ge 0,\forall x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( - {\left( {4x - 7} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(8 - {\left( {4x - 7} \right)^2} \le 8\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {4x - 7} \right)^2} = 0\) nên \(4x - 7 = 0\) hay \(x = \frac{7}{4}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 8 khi \(x = \frac{7}{4}\).

b) Ta có \(\left| {6x - 1} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( - \left| {6x - 1} \right| \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(7 - \left| {6x - 1} \right| \le 7\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {6x - 1} \right| = 0\) nên \(6x - 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{6}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 7 khi \(x = \frac{1}{6}\).

c) Ta có \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\({x^2} + 5 \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\left| {{x^2} + 5} \right| \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( - \left| {{x^2} + 5} \right| \le - 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(6 - \left| {{x^2} + 5} \right| \le 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) hay \(x = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 1 khi \(x = 0\).

d) Ta có \({\left( {5x - 6} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(2 + {\left( {5x - 6} \right)^2} \ge 2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\frac{3}{{2 + {{\left( {5x - 6} \right)}^2}}} \le \frac{3}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(14 + \frac{3}{{2 + {{\left( {5x - 6} \right)}^2}}} \le \frac{{31}}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {5x - 6} \right)^2} = 0\) nên \(5x - 6 = 0\) hay \(x = \frac{6}{5}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \(\frac{{31}}{2}\) khi \(x = \frac{6}{5}\).

e) Ta có: \(\left| {7x + 4} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(5 + \left| {7x + 4} \right| \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\frac{{15}}{{5 + \left| {7x + 4} \right|}} \le 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( - 6 + \frac{{15}}{{5 + \left| {7x + 4} \right|}} \le - 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {7x + 4} \right| = 0\) nên \(7x + 4 = 0\) hay \(x = \frac{{ - 4}}{7}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \( - 3\) khi \(x = \frac{{ - 4}}{7}\).

g) Ta có \(\frac{{4{x^2} + 9}}{{{x^2} + 1}} = 4 + \frac{5}{{{x^2} + 1}}\)

Lại có \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\({x^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\frac{5}{{{x^2} + 1}} \le 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(4 + \frac{5}{{{x^2} + 1}} \le 9\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) nên \(x = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 9 khi \(x = 0\).