Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

a) Xét \[\Delta IHB\] và \[\Delta IKC\] có:

\[\widehat {IHB} = \widehat {IKC} = 90^\circ \]\[(IH \bot AB,IK \bot AC)\].

\[IB = IC\] (\[I\] là trung điểm của \[BC\])

\[\widehat {HBI} = \widehat {ICK}\] (\[\Delta ABC\] cân)

Suy ra \[\Delta IHB = \Delta IKC\] (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có: \[IH = IK\] (\[\Delta IHB = \Delta IKC\])

Xét \[\Delta HIE\] và \[\Delta KIF\] có:

\[\widehat {EHI} = \widehat {KFI}\,\,\,(IH \bot AB,IK \bot AC)\].

\[IH = IK\] (chứng minh trên)

\[\widehat {HIE} = \widehat {KIF}\] (đối đỉnh)

Suy ra \[\Delta HIE = \Delta KIF\] (g.c.g)

Do đó, \[HE = KF\] (2 cạnh tương ứng)

Ta có \[HE = HB + BE\], \[KF = KC + CF\].

Mà \[HE = KF,\]\[BH = KC\] nên\[BE = CF\].

Ta có: \[AE = AB + BE,\]\[AF = AC + CF\].

Mà \[AB = AC,BE = CF\] nên\[AE = AF\].

Do đó, \[\Delta AEF\] cân tại \[A\]

c) Ta có: \[AB = AH + HB,\]\[AC = AK + KC\].

Mà \[AB = AC,\,\,HB = KC\] nên\[AH = AK\].

Do đó \[\Delta AHK\] cân tại \[A.\]

Khi đó \[\widehat {AHK} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}\]\[\left( 1 \right)\].

Mà \[\Delta AEF\] cân tại \[A\] suy ra \[\widehat {AEF} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}\]\[\left( 2 \right)\].

Từ (1) và (2) ta có \[\widehat {AEF} = \widehat {AHK}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[HK\,{\rm{//}}\,EF\] (theo dấu hiệu nhận biết).

Vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAH}\) nên: \(\widehat {BAD} = \widehat {DAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAH}\).

Ta có: \(\widehat {DAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {BAD}\).

Xét \(\Delta AHD\) có: \(\widehat {ADC} = 90^\circ - \widehat {DAH} = 90^\circ - \widehat {BAD}\).

Do đó: \(\widehat {ADC} = \widehat {DAC}\).

Xét \(\Delta ACD\) có \(\widehat {ADC} = \widehat {DAC}\) (chứng minh trên)

Do đó: \(\Delta ADC\,\) cân tại \[C\].

b)

Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta AHD\) có:

\(\widehat {AID} = \widehat {AHD} = 90^\circ \).

\(\widehat {IAD} = \widehat {HAD}\) (chứng minh trên)

\(AD\) cạnh chung

Do đó: \(\Delta ADI\) = \(\Delta AHD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: \(DI = DH\) (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét \(\Delta BAE\) có \(BE = BA\) (giả thiết) suy ra \(\Delta BAE\) cân tại \[B\] do đó \(\widehat {BAE} = \widehat {BEA}\) (2 góc ở đáy) (1)

Ta có: \(EJ \bot AC\); \(BA \bot AC\) (\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) suy ra \(EJ\parallel BA\) nên \(\widehat {JEA} = \widehat {EAB}\) (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {JEA} = \widehat {BEA}\) hay \(\widehat {JEA} = \widehat {HEA}\).

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta AJE\) có:

\(\widehat {AHE} = \widehat {AJE} = 90^\circ \).

\(\widehat {JEA} = \widehat {HEA}\) (chứng minh trên)

\(AE\) cạnh chung

Do đó: \(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra: \(EH = EJ\) (2 cạnh tương ứng) (**)

Ta có: \(DE = DH + HE\), kết hợp với (*), (**) ta được: \(DE = DI + EJ\).

c) Vì \(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {HAE} = \widehat {JAE}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAH} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}.\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAE} = 45^\circ \).

d)

Ta có: \(\Delta ADI\) = \(\Delta ADH\) (câu b)  nên \(AI = AH\).

\(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (câu b) nên\(AH = AJ\).

Do đó \(AI = AJ\).

Xét \(\Delta AIJ\) có \(\widehat {IAJ} = 90^\circ ;\,\,AI = AJ\)do đó \(\Delta AIJ\) vuông cân tại \(A\)suy ra \(\widehat {AIJ} = 45^\circ \) (3)

Xét \(\Delta AIK\) và \(\Delta AHK\) có:

\(AI = AH\).

\(\widehat {IAK} = \widehat {KAH}\).

\(AK\) :cạnh chung

Suy ra \(\Delta AIK\) = \(\Delta AHK\) (c.g.c)

Có \(\Delta AIK\) = \(\Delta AHK\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {AIK} = \widehat {AHK}\) (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3), (4) ta có \(\widehat {AHK} = 45^\circ \).

Do đó: \(\widehat {AHK} = \frac{1}{2}\widehat {AHD}\) do đó \(HK\) là tia phân giác của \(\widehat {AHD}\).

Xét \(\Delta AHB\) có: \(HK\) là tia phân giác của \(\widehat {AHD}\);

\(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAH}\);

\(AD\) cắt \(HK\) tại \(D\).

Suy ra \[BK\] là tia phân giác của góc \(ABC\) nên\(\widehat {ABK} = \widehat {EBK}\).

Do đó \[BK\] là tia phân giác của góc \(ABC\).

a) Chứng minh: \(\Delta ABC = \Delta BAE\).

Vì \(D\) nằm trên đường trung trực của \(AB\)nên \(DA = DB\).

Suy ra \(\Delta DAB\) cân tại \(D\).

Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {DBA}\) hay \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta BAE\) có:

\(AB\)cạnh chung; \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\) (cmt); \(AE = BC\) (giả thiết)

Vậy \(\Delta ABC = \Delta BAE\)(c.g.c)

b) Chứng minh \(AB\,\parallel \,CE\).

Ta có \(AE = BC\) (giả thiết); \(DA = DB\) (chứng minh trên)

Suy ra \(DA - AE = DB - BC\) nên\(DE = DC\).

Do đó \(\Delta DEC\) cân tại \(D\).

Suy ra \(\widehat {DEC} = \widehat {DAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ADB}}}{2}\)hay\(\widehat {DEC}\) và \(\widehat {DAB}\)ở vị trí đồng vị

Do đó \(AB\,\parallel CE\).

c) Trung trực của cạnh \(AB,\,BE,\,AC\)cùng đi qua một điểm

Gọi \(H\)là giao điểm của trung trực \(AB\)và \(AC\).

Suy ra \(HA = HB = HC\).     \(\left( 1 \right)\).

Ta có \(H\)và \(D\)nằm trên trung trực của \(AB\)nên \(HD \bot AB\).

Mà \(AB\parallel CE\)nên\(HD \bot CE\).

Mặt khác \(\Delta DEC\) cân tại \(D\)có \(HD \bot CE\).

Suy ra \(HD\)là trung trực của \(CE\) hay \(HE = HC\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)suy ra \(HB = HE\) nên \(H\)thuộc trung trực của \(BE\).

Vậy trung trực của \(AB,\,\,\,BE,\,\,\,AC\)cùng đi qua một điểm \(H\).

a) Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta BEC\) ta có

\(BD = BC\) (giả thiết)

\(\widehat {DBE} = \widehat {CBE}\) (\(BE\) là phân giác của \(\widehat {DBC}\))

\(BE\) chung

Do đó \(\Delta BED = \Delta BEC\) (c.g.c)

Suy ra\(ED = EC\) (hai cạnh tương ứng)

b) Xét \[\Delta DEK\] và \[\Delta CEK\] có

\(ED = EC\) (chứng minh trên)

\[DK = CK\] (\(K\) là trung điểm của \(CD\))

\[EK\] chung

Do đó \[\Delta DEK = \Delta CEK\,\,\](c.c.c)

Suy ra \[\widehat {DKE} = \widehat {CKE}\] (hai góc tương ứng)

Ta có \[\widehat {DKE} + \widehat {CKE} = 180^\circ \] (hai góc kề bù) nên\[\widehat {DKE} = \widehat {CKE} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].

Suy ra \[EK \bot CD\]\[\,\,\,\left( 1 \right)\]

c) Xét \[\Delta DBK\] và \[\Delta CBK\] có

\(BD = BC\) (giả thiết)

\[DK = CK\] (\(K\) là trung điểm của \(CD\))

\[BK\] chung

Do đó \[\Delta DBK = \Delta CBK\,\,\](c.c.c)

Suy ra \[\widehat {DKB} = \widehat {CKB}\] (hai góc tương ứng)

Ta có \[\widehat {DKB} + \widehat {CKB} = 180^\circ \] (kề bù) nên\[\widehat {DKB} = \widehat {CKB} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].

Suy ra \[BK \bot CD\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\,\left( 1 \right)\] và \[\,\left( 2 \right)\]suy ra \(B,K,E\) thẳng hàng.

a) \(A = 1,25 + \left| {2,5 - x} \right|\)

Ta có: \(\left| {2,5 - x} \right| \ge 0\) với mọi \(x\)

Do đó, \(1,25 + \left| {2,5 - x} \right| \ge 0 + 1,25\) hay \(1,25 + \left| {2,5 - x} \right| \ge 1,25\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left| {2,5 - x} \right| = 0\) suy ra \(2,5 - x = 0\) khi \(x = 2,5\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A = 1,25\) khi \(x = 2,5\).

b) \(B = - 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| - 2011\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\\ - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| \le 0\end{array} \right.\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).

Suy ra \( - 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| \le 0\) với mọi \(x,y \in \mathbb{R}\).

Do đó, \( - 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| - 2011 \le 0 + \left( { - 2011} \right)\) hay \(B \le - 2011\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} - 2{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\ - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\\left| {3y + 7} \right| = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{{ - 7}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(B = - 2011\) khi \(x = 3\) và \(y = \frac{{ - 7}}{3}\).

c) \(C = {\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} - 1\)

Ta có \({\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\).

Do đó, \({\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} - 1 \ge 0 + \left( { - 1} \right)\) hay \(C \ge - 1\).

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} = 0\), suy ra \(2x + \frac{1}{3} = 0\) hay \(x = \frac{{ - 1}}{6}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C = - 1\) khi \(x = \frac{{ - 1}}{6}\).

d) \(D = \left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right|\)

Ta có: \(\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right| = \left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge \left| {2x - 1 + 5 - 2x} \right|\)

Suy ra \(\left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge 4\) hay \(D \ge 4\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\left( {2x - 1} \right)\left( {5 - 2x} \right) \ge 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x \le \frac{5}{2}\end{array} \right.\) hay \(\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \le 0\\5 - 2x \le 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\x \ge \frac{5}{2}\end{array} \right.\) (loại).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D = 4\) khi và chỉ khi \(\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}\).

e) \(E = \frac{3}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{2024}} + 5}}\)

Ta có: \({\left( {2x - 3} \right)^{2024}} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\({\left( {2x - 3} \right)^{2024}} + 5 \ge 5\)

\(\frac{3}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{2024}} + 5}} \le \frac{3}{5}\) hay \(A \le \frac{3}{5}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \({\left( {2x - 3} \right)^{2024}} = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{3}{5}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải

f) \(F = \frac{5}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2} - 1}}\)

Vì \({x^2} \ge 0\) với mọi x nên \({x^2} + 3 \ge 3\)với mọi x

Suy ra \({\left( {{x^2} + 3} \right)^2} \ge 9\)với mọi x

Do đó: \({\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - 1 \ge 8\)với mọi x

Suy ra: \[C = \frac{5}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2} - 1}} \le \frac{5}{8}\]với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\)

Vậy giá trị lớn nhất của C là \(\frac{5}{8}\) tại \(x = 0\).

a) \(A = \frac{5}{{2x - 3}}\)

Điều kiện \(2x - 3 \ne 0\) hay \(x \ne \frac{3}{2}\).

Để \(A\) có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {2x - 3} \right)\) hay \(\left( {2x - 3} \right)\) là ước của \(5\).

Mà các ước của \(5\) là: \( - 5; - 1;1;5.\)

Ta có bảng sau:

\(2x - 3\)	\( - 5\)	\( - 1\)	\(1\)	\(5\)
\(x\)	\( - 1\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;1;2;4} \right\}\).

b) \(B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

Điều kiện: \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne - 1\).

Ta có: \(B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{2x + 2 - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} - \frac{3}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\).

Để \(B\) có giá trị nguyên thì \(3 \vdots \left( {x + 1} \right)\) hay \(\left( {x + 1} \right)\) là ước của \(3\).

Mà ước của \(3\) là: \( - 3; - 1;1;3\).

Ta có bảng sau:

\(x + 1\)	\( - 3\)	\( - 1\)	\(1\)	\(3\)
\(x\)	\( - 4\)	\( - 2\)	\(0\)	\(2\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 4; - 2;0;2} \right\}\).

c) \(C = \frac{5}{{{x^2} - 3}}\)

Điều kiện \({x^2} - 3 \ne 0\) suy ra \(x \ne \sqrt 3 \) và \(x \ne - \sqrt 3 \).

Để \(C\) có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {{x^2} - 3} \right)\) hay \(\left( {{x^2} - 3} \right)\) là ước của \(5\).

Mà ước của \(5\) là: \( - 5; - 1;1;5.\)

Ta có bảng sau:

\({x^2} - 3\)	\( - 5\)	\( - 1\)	\(1\)	\(5\)
\({x^2}\)	\( - 2\) (loại)	\(2\)	\(4\)	\(8\)
\(x\)		\(\sqrt 2 ; - \sqrt 2 \) (loại)	\(2; - 2\)	\(2\sqrt 2 ; - 2\sqrt 2 \) (loại)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 2;2} \right\}\).

d) \(D = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\)

Điều kiện: \(x \ge 0\).

Ta có: \(D = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}.\)

Để \(D\) có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {\sqrt x + 2} \right)\) hay \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\) là ước của \(5\).

Mà ước của \(5\) là: \( - 5; - 1;1;5.\)

Nhận thấy \(\sqrt x + 2 \ge 2\) với mọi \(x \ge 0\).

Suy ra \(\sqrt x + 2 = 5\) do đó \(\sqrt x = 3\) và \(x = 9\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 9\) thì \(D\) có giá trị nguyên.

a) \[\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 4}}{{96}} = - 4\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) + \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{2}{{98}} + \frac{3}{{97}} + \frac{4}{{96}}} \right) = - 4\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \left( {1 + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {1 + \frac{2}{{98}}} \right) - \left( {1 + \frac{3}{{97}}} \right) - \left( {1 + \frac{4}{{96}}} \right)\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \frac{{100}}{{99}} - \frac{{100}}{{98}} - \frac{{100}}{{97}} - \frac{{100}}{{96}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) =  - 100.\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right)\]

\[x = - 100\].

Vậy \[x = - 100\].

b) \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + ... + \frac{{\left( {x + 1} \right) - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{1}{1} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}\]

\[\frac{{2009x - 2008\left( {x + 1} \right)}}{{2009\left( {x + 1} \right)}} = 0\]

\[2009x - 2008x - 2008 = 0\]

\[x - 2008 = 0\]

\[x = 2008\].

Vậy \[x = 2008\].

c) \[\frac{{x - 214}}{{86}} + \frac{{x - 132}}{{84}} + \frac{{x - 54}}{{82}} = 6\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 6 + \frac{{214}}{{86}} + \frac{{132}}{{84}} + \frac{{54}}{{82}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \left( {1 + \frac{{214}}{{86}}} \right) + \left( {2 + \frac{{132}}{{84}}} \right) + \left( {3 + \frac{{54}}{{82}}} \right)\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \frac{{300}}{{86}} + \frac{{300}}{{84}} + \frac{{300}}{{82}}\]

\[x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 300\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right)\]

\[x = 300\]

Vậy \[x = 300\].

d) \[\left| {x + \frac{1}{{1.2.3}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{2.3.4}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{3.4.5}}} \right| + .... + \left| {x + \frac{1}{{18.19.20}}} \right| = 19x\]

Do \[\left| {x + \frac{1}{{1.2.3}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{2.3.4}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{3.4.5}}} \right| + .... + \left| {x + \frac{1}{{18.19.20}}} \right| \ge 0\] với mọi \[x\].

Do đó, \[19x \ge 0\], suy ra \[x \ge 0\].

Với mọi \[x \ge 0\], ta có:

\[x + \frac{1}{{1.2.3}} + x + \frac{1}{{2.3.4}} + x + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + x + \frac{1}{{18.19.20}} = 19x\]

\[x + \frac{1}{{1.2.3}} + x + \frac{1}{{2.3.4}} + x + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + x + \frac{1}{{18.19.20}} = 19x\]

\[18x + \left( {\frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + \frac{1}{{18.19.20}}} \right) = 19x\]

\[x = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + \frac{1}{{18.19.20}}\]

\[x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}}.... + \frac{1}{{18.19}} - \frac{1}{{19.20}}} \right)\]

\[x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{19.20}}} \right)\]

\[x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{380}}} \right)\]

\[x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{380}}} \right)\]

\[x = \frac{{189}}{{760}}\] (thỏa mãn)

Vậy \[x = \frac{{189}}{{760}}\].

e) \(\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| + \left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| + \left| {z - 2004} \right| = 0\)

Vì \[\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| \ge 0\]; \[\left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| \ge 0\]; \[\left| {z - 2004} \right| \ge 0\]

Khi đó để \(\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| + \left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| + \left| {z - 2004} \right| = 0\) thì\[\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| = 0\\\left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| = 0\\\left| {z - 2004} \right| = 0\end{array} \right.\]

Suy ra\[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{19}}{5} = 0\\x + \frac{{1890}}{{1975}} = 0\\z - 2004 = 0\end{array} \right.\], do đó \[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{19}}{5}\\y = - \frac{{1890}}{{1975}} = - \frac{{378}}{{395}}\\z = 2004\end{array} \right.\].

Vậy \[\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{{19}}{5}; - \frac{{378}}{{395}};2004} \right)\]

f) \(\left| {x + \frac{9}{2}} \right| + \left| {y + \frac{4}{3}} \right| + \left| {z + \frac{7}{2}} \right| \le 0\)

Ta có \(\left| {x + \frac{9}{2}} \right| \ge 0\); \(\left| {y + \frac{4}{3}} \right| \ge 0\); \(\left| {z + \frac{7}{2}} \right| \ge 0\)

Mà \(\left| {x + \frac{9}{2}} \right| + \left| {y + \frac{4}{3}} \right| + \left| {z + \frac{7}{2}} \right| \le 0\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \frac{9}{2}} \right| = 0\\\left| {y + \frac{4}{3}} \right| = 0\\\left| {z + \frac{7}{2}} \right| = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{9}{2} = 0\\y + \frac{4}{3} = 0\\z + \frac{7}{2} = 0\end{array} \right.\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{2}\\y = \frac{{ - 4}}{3}\\z = \frac{{ - 7}}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{9}{2};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 7}}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải

g) \(\left| {x - 1,5} \right| + \left| {2,5 - x} \right| = 1\)

\(\left| {x - 1,5} \right| + \left| {2,5 - x} \right| = 1\)

Vì \(\left| {x - 1,5} \right| + \left| {2,5 - x} \right| \ge \left| {x - 1,5 + 2,5 - x} \right| = 1\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1,5 \ge 0\\2,5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1,5\\x \le 2,5\end{array} \right.\)

Vậy \(1,5 \le x \le 2,5\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

...

\[{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\].

Do đó \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \ge 0\]

Mà đề bài cho \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0\]

Suy ra \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = 0\]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

\[{\left( {{a_k}m - {b_k}n} \right)^{2024}} = 0\]; \[k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\] nên \[{a_k}m - {b_k}n = 0\,;\,\,k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\].

Suy ra \[{a_k} = \frac{n}{m}{b_k}\] do đó \[{a_k} = n \cdot {t_k}\,;\,\,{b_k} = m \cdot {t_k}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

\[\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{{n.{t_1} + n.{t_2} + n.{t_3} + ... + n.{t_{2025}}}}{{m.{t_1} + m.{t_2} + m.{t_3} + ... + m.{t_{2025}}}}\]

\[ = \frac{{n.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}}{{m.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}} = \frac{n}{m}\].

Hướng dẫn giải

Thể tích xăng ở bình thứ nhất là: \[1:\left( {1 + 11} \right) \cdot 11 = \frac{{11}}{{12}}\] (lít).

Thể tích xăng ở bình thứ hai là: \[2:\left( {1 + 99} \right) \cdot 99 = \frac{{99}}{{50}}\] (lít).

Tổng thể tích xăng là: \[\frac{{11}}{{12}} + \frac{{99}}{{50}} = \frac{{869}}{{300}}\] (lít)

Tổng thể tích nhớt là: \[3 - \frac{{869}}{{300}} = \frac{{31}}{{300}}\] (lít).

Tỉ lệ nhớ với xăng là: \[\frac{{31}}{{300}}:\frac{{869}}{{300}} = \frac{{31}}{{869}} = 0,035673.... \approx 0,04\].

Vậy tỉ lệ nhớt và xăng phù hợp để chạy máy cưa.

Hướng dẫn giải

Theo đề, phần công việc làm thêm trong 4 giờ là: \[1 - \frac{1}{{18}} - \frac{5}{9} = \frac{7}{{18}}\] (công việc)

Phần công việc mà người thứ ba làm là \[\frac{1}{{18}}\] công việc.

Gọi năng suất của người thứ nhất là \[x\], năng suất của người thứ hai làm được là \[y\].

Vì trong 7 giờ người thứ nhất và 4 giờ người thứ hai làm được \[\frac{5}{9}\] công việc nên ta có:

\[7x + 4y = \frac{5}{9}\] nên \[4y = \frac{5}{9} - 7x\] (1)

Trong 4 giờ nữa, cả hai cùng làm được \[\frac{7}{{18}}\] công việc nên ta có: \[4x + 4y = \frac{7}{{18}}\] (2)

Thay (1) vào (2), ta được: \[4x + \frac{5}{9} - 7x = \frac{7}{{18}}\] hay \[\frac{5}{9} - 3x = \frac{7}{{18}}\] do đó \[3x = \frac{5}{9} - \frac{7}{{18}}\].

Suy ra \[x = \frac{1}{{18}}\].

Do đó, \[y = \left( {\frac{7}{{18}} - 4 \cdot \frac{1}{{18}}} \right):4 = \frac{1}{{24}}\].

Từ đây, phần công việc của người thứ nhất làm được là: \[7 \cdot \frac{1}{{18}} + 4 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{{11}}{{18}}\] (công việc)

Phần công việc của người thứ hai làm được là: \[4 \cdot \frac{1}{{24}} + 4 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{3}\] (công việc) .

Số tiền mỗi người được tỉ lệ với số phần công việc họ làm.

Do đó, số tiền mà người thứ nhất nhận được là: \[\frac{{11}}{{18}} \cdot 3\,\,600\,\,000 = 2{\rm{ }}200{\rm{ }}000\] (đồng).

Số tiền người thứ ba nhận được là: \[3{\rm{ }}600{\rm{ }}000 \cdot \frac{1}{3} = 1{\rm{ }}200{\rm{ }}000\] (triệu đồng)

Số tiền người thứ ba được nhận là: \[3{\rm{ }}600{\rm{ }}000 - 2{\rm{ }}200{\rm{ }}000 - 1{\rm{ }}200{\rm{ }}000 = 200{\rm{ }}000\] (đồng).

Hướng dẫn giải

Số phần quà còn lại là: \[40 - 3x\] (phần quà)

Số đội còn lại chưa nhận quà là: \[13 - x\] \[\left( {x < 13} \right)\] (đội).

Lúc này, số phần quà mỗi đội còn lại nhận được là: \[\left( {40 - 3x} \right):\left( {13 - x} \right) = \frac{{40 - 3x}}{{13 - x}}\] (phần quà)

Để mỗi đội nhận được nhiều quà nhất thì \[\frac{{40 - 3x}}{{13 - x}}\] đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \[\frac{{40 - 3x}}{{13 - x}} = \frac{{1 + 39 - 3x}}{{13 - x}} = \frac{1}{{13 - x}} + \frac{{3\left( {13 - x} \right)}}{{13 - x}} = \frac{1}{{13 - x}} + 3\]

Do đó, để thỏa mãn yêu cầu bài thì \[1 \vdots \left( {13 - x} \right)\] hay \[13 - x\] là Ư(1).

Suy ra \[13 - x = 1\] hoặc \[13 - x = - 1\].

Do đó, \[x = 12\] (thỏa mãn) hoặc \[x = 14\] (loại vì \[x < 13\]).

Vậy mỗi đội còn lại nhận được nhiều nhất số phần quà là: \[\frac{{40 - 3 \cdot 12}}{{13 - 12}} = 4\] (phần quà).

Hướng dẫn giải

Giả sử cả tuần đó 6 ngày người công nhân đó đều tăng ca đúng 1 giờ.

Suy ra tuần đó người công nhân được thưởng số ngày lương là: \(6 \cdot \frac{1}{3} = 2\) (ngày lương).

Vậy so với thực tế số ngày lương được thưởng đã giảm đi số ngày là: \(4 - 2 = 2\) (ngày).

Do mỗi ngày tăng ca 2 giờ mà thay bằng tăng ca 1 giờ thì số ngày lương được giảm đi:

\(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) (ngày lương)

Do đó, thực tế số ngày trong tuần người đó tăng ca 2 giờ là: \(2:\frac{2}{3} = 3\) (ngày).