Dấu hiệu chia hết cho 11

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Các số đó là: 22; 44; 66; 88

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Các số đó là: 33; 66; 99.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Các số vừa chia hết cho 11 và vừa chia hết cho 6 là: 66

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Lập các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau từ ba chữ số tự nhiên đó.

Bước 2. Tìm các số tự nhiên chia hết cho 11.

Bước 3. Đếm.

Các số tự nhiên được lập là: 123; 132; 231; 213; 312; 321.

Số tự nhiên chia hết cho 11 là: 132; 231;

Vậy có 2 số tự nhiên chia hết cho 11.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta có:

$$\begin{gathered} \overline{20a20a20a}=\overline{20a}.1000000+\overline{20a}.1000+\overline{20a} \\ =\overline{20a}.1001001⋮11 \end{gathered}$$             

Áp dụng tính chất chia hết của một tích.

Vì $1001001\cancel{⋮}11$nên $\overline{20a}⋮11$.

Vì $\overline{20a}=\left(200+a\right)⋮11\Rightarrow \left[198+\left(a+2\right)\right]⋮11$

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}198+\left(a+2\right)⋮11\\ 198⋮11\end{array}\right\}\Rightarrow \left(a+2\right)⋮11 \\ \Rightarrow a=9 \end{gathered}$$

Vậy a= 9.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Phân tích cấu tạo số.

Bước 2. Áp dụng tính chất chia hết của một tích.

Ta có: $\overline{abcabc}=1000.\overline{abc}+\overline{abc}=1001.\overline{abc}$

Mà $1001⋮11$nên $\overline{abcabc}$ có chia hết cho 11.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Xét tổng:

$$\begin{gathered} \left(2+x\right)-2=x⋮11 \\ \Rightarrow x=0 \end{gathered}$$

Vậy số đó là 220.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng:

 $\left.\begin{array}{l}121⋮11\\ 231⋮11\\ 341⋮11\end{array}\right\}\Rightarrow \left(121+231+341\right)⋮11$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất chia hết của một tích:

$\left.\begin{array}{l}21\cancel{⋮}11\\ 22⋮11\\ 23\cancel{⋮}11\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{21.22.23}⋮11$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Phân tích sao cho tổng đó thành tích các thừa số trong đó có một thừa số chia hết cho 11.

Bước 2. Áp dụng tính chất chia hết của một tích.

Ta có:

 $$\begin{gathered} \text{A}=2^2+2^3+2^6=2\left(2+2^2+2^4\right)=2.22 \\ \Rightarrow \text{A}⋮11 \end{gathered}$$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta có: 

$$\begin{gathered} \left(2^9+4^2\right).\left(2^5{.2}^3\right) \\ =\left(2^9+2^4\right).\left(2^5{.2}^3\right) \\ =2^4\left(2^5+1\right).\left(2^5{.2}^3\right) \\ =2^4\mathrm{.33.}\left(2^5{.2}^3\right) \\ \Rightarrow \left(2^9+4^3\right).\left(2^5{.2}^3\right)⋮11 \end{gathered}$$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Xét $7^6+7^5-7^4=7^4.\left(7^2+5-1\right)=7^4.55$

Áp dụng tính chất chia hết của một tích:

$$\begin{gathered} 55⋮11\Rightarrow 7^4.55⋮11 \\ \Rightarrow 7^6+7^5-7^4⋮11 \end{gathered}$$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta có:

$$\begin{gathered} 36⋮36\Rightarrow {36}^{63}⋮36 \\ \Rightarrow {36}^{63}-3⋮33 \\ \Rightarrow {36}^{63}-3⋮11 \end{gathered}$$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Ta có:

$$\begin{gathered} \overline{abc}=100a+10b+c \\ =99a-a+11b-b+c \\ =11\left(9a+b\right)-a-b+c \end{gathered}$$

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng ta có:

$\left.\begin{array}{l}\overline{abc}⋮11\\ 11\left(9a+b\right)⋮11\end{array}\right\}\iff \left(-a-b+c\right)⋮11$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Xét

$6a+5b=11a-5a+5b=11a-5\left(a-b\right)$

Áp dụng tính chất chia hết của tích và tổng ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}11⋮11\\ a-b⋮11\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}11a⋮11\\ 5\left(a-b\right)⋮11\end{array}\right. \\ \Rightarrow 11a-5\left(a-b\right)⋮11 \\ \Rightarrow \left(6a+5b\right)⋮ 11 \end{gathered}$$

Vậy 6a+5b chia hết cho 11.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng:

$\left.\begin{array}{l}x+22⋮11\\ 22⋮11\end{array}\right\}\Rightarrow x⋮11$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Áp dụng tính chất chia hết của một tổng.

Bước 2. Thay từng giá trị của  để thỏa mãn điều kiện.

Để $\overline{6a}+55⋮11$ thì $\overline{6a}⋮11$.

Mà $a\in \left\{0;1;2;\mathrm{...};9\right\}$ suy ra a= 6. 

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 7.

Để $\overline{63x}⋮11$ thì 

$$\begin{gathered} \left[\left(6+x\right)-3\right]⋮11\Rightarrow \left(3+x\right)⋮11 \\ \Rightarrow \left(3+x\right)⋮11 \end{gathered}$$

Mà $x\in \left\{0;1;2;3;\mathrm{...};9\right\}$ suy ra x= 8.

Vậy số đó là 638.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Để $\overline{61x}⋮11$ thì $\left[\left(6+x\right)-1\right]⋮11\Rightarrow \left(5+x\right)$ chia 11 dư 2.

$\Rightarrow \left(5+x\right)$ chia 11 dư 2.

Mà $x\in \left\{0;1;2;3;\mathrm{...};9\right\}$ suy ra x= 8.

Vậy số đó là 618.

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{ab}$.

Theo đề bài ta có: $\left(\overline{ab}+22\right)⋮11$

$\Rightarrow \overline{ab}\in \left\{11;22;33;44;55;66;77;88;99\right\}$

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Xét $\left(200+a\right)=\left(198+2+a\right)⋮11$

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng ta có:

$\left.\begin{array}{l}198⋮11\\ \left(198+2+a\right)⋮11\end{array}\right\}\Rightarrow \left(2+a\right)⋮11$

Mà $1\le a\le 9\Rightarrow a=9$