Ta có :  

 ${10}^{10}=2^{10}.5^{10}=2.2^9.5^{10}$,  $48.{50}^5=\left(3.2^4\right).\left(2^5.5^{10}\right)=3.2^9.5^{10}$          

Ta có:  $4^{30}={\left(2^2\right)}^{30}={\left(2.2\right)}^{30}=2^{30}{.2}^{30}={\left(2^3\right)}^{10}.{\left(2^2\right)}^{15}=8^{10}{.4}^{15}$,

           ${24}^{10}.3={\left(8.3\right)}^{10}.3=8^{10}{.3}^{10}.3=8^{10}{.3}^{11}$

Vì  $3^{11}<4^{15}\Rightarrow 8^{10}{.3}^{11}<8^{10}{.4}^{15}$$\Rightarrow 4^{30}>{3.24}^{10}$

 $\Rightarrow 2^{30}+3^{30}+4^{30}>{3.24}^{10}$.

Ta có :

Vì  ${1990}^9<{1991}^9$ nên  ${1990}^{10}+{1990}^9<{1991}^{10}.$

Vì $5^{45}>5^{40}\Rightarrow 2^{60}{.5}^{45}>2^{60}{.5}^{40}$  $\Rightarrow {2003}^{15}>{199}^{20}$.

Ta có:  ${78}^{12}-{78}^{11}={78}^{11}.\left(78-1\right)={78}^{11}.77$

                    ${78}^{11}-{78}^{10}={78}^{10}.\left(78-1\right)={78}^{10}.77$

Vì ${78}^{11}>{78}^{10}\Rightarrow {78}^{11}.77>{78}^{10}.77\Rightarrow {78}^{12}-{78}^{11}>{78}^{11}-{78}^{10}$.

Ta có:  $A={72}^{44}(72-1)={72}^{44}.71$ và  $B={72}^{43}(72-1)={72}^{43}.71$

                    ${72}^{44}>{72}^{43}\Rightarrow {72}^{44}.71>{72}^{43}.71$ $\Rightarrow A>B.$

Ta có:  $3^{39}<3^{40}={\left(3^4\right)}^{10}={81}^{10}$

           ${11}^{20}={\left({11}^2\right)}^{10}={121}^{10}<{11}^{21}$

Vì  ${81}^{10}<{121}^{10}\Rightarrow 3^{39}<{11}^{21}$.

Ta có:  $2^{63}={\left(2^7\right)}^9={128}^9{\mathrm{,5}}^{27}={\left(5^3\right)}^9={125}^9\Rightarrow 2^{63}>5^{27}$                         (1)

Lại có:  $2^{63}={\left(2^9\right)}^7={512}^7{\mathrm{,5}}^{28}={\left(5^4\right)}^7={625}^7\Rightarrow 2^{63}<5^{28}$                                    (2)

Từ (1) và (2)  $\Rightarrow 5^{27}<2^{63}<5^{28}$

Ta có:  $2^{1995}=2^{1990}{.2}^5;5^{863}=5^{860}{.5}^3$

Nhận xét:  $2^5=32<5^3=125$ nên cần so sánh  $2^{1990}$ và  $5^{860}$

Có:  $2^{10}={\mathrm{1024,5}}^5=3025\Rightarrow 2^{10}.3<5^5\Rightarrow 2^{1720}{.3}^{172}<5^{860}$

Có:  $2^{1990}=2^{1720}{.2}^{270}$, cần so sánh  $2^{1720}{.2}^{270}$ với số  $2^{1720}{.3}^{172}$ như sau:

$\begin{array}{l}{3}^7=2187;2^{11}=2048\Rightarrow 3^7>2^{11}\\ 3^{172}={\left(3^7\right)}^{24}{.3}^4>\left(2^{11}\right)2^4>\left(2^{11}\right)2^6=2^{270}\end{array}$

Do đó: $2^{1720}{.2}^{270}<2^{1720}{.3}^{172}<5^{860}\Rightarrow 2^{1990}<5^{860}$

Mà  $2^5<5^3\Rightarrow 2^{1995}<5^{863}$

Ta có:  $2^{10}=1024;7^3=343$

$\Rightarrow 2^{2380}<3^{238}{.7}^{714}$                                                   (1)

Xét: $3^{238}=3^3{.3}^{235}=3^3.{\left(3^5\right)}^{47}<3^3.{\left(2^8\right)}^{47}<2^5{.2}^{376}=2^{381}$ (vì 3⁵<2⁸)

$\Rightarrow 3^{238}<2^{381}$                                                                                    (2)

Từ (1) và (2) ta có:  $2^{{}^{2380}}<2^{381}{.7}^{714}$

Ta có:  $3^{200}={\left(3^2\right)}^{100}=9^{100};2^{300}={\left(2^3\right)}^{100}=8^{100}$ mà  $8^{100}<9^{100}$

Ta có:  ${71}^{50}<{72}^{50}={\left(8.9\right)}^{50}=2^{150}{.3}^{100}$                                             (1)

             ${37}^{75}>{36}^{75}={\left(4.9\right)}^{75}=2^{150}{.3}^{150}$                                         (2)

Mà  $2^{150}{.3}^{150}>2^{150}{.3}^{100}$                                                                    (3)

Từ (1), (2), và (3) suy ra:  ${37}^{75}>{71}^{50}$

Ta có:  ${50}^{20}={\left[{\left(50\right)}^2\right]}^{10}={2500}^{10}<{2550}^{10}\Rightarrow 5^{20}<{2550}^{10}$

 $2^{100}={\left(2^2\right)}^{50}=4^{50}<5^{50}$                                         (1)

$3^{75}={\left(3^3\right)}^{25}={27}^{25}=3^{75}>5^{50}$                               (2)

 $5^{50}={\left(5^2\right)}^{25}={25}^{25}$                                                   (3)

Từ (1), (2), và (3) suy ra: $2^{100}<5^{50}<3^{75}$

Ta có:  $A={1234}^{56789}>{1000}^{50000}={\left({10}^3\right)}^{50000}={10}^{150000}$

             $B={56789}^{1234}<{100000}^{2000}={(10{}^5)}^{2000}={10}^{10000}$

Số có 9 chữ số là  $\overline{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_9}$ trong đó các chữ số  $a_i\ne 0(i=\overline{1;9})$ và có thể giống nhau. Từ tập hợp số  $\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$ mỗi chữ số a_i có 9 cách chọn. Do đó ta có số các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán là  $m=9^9$ số.

Từ đó:  $m=9^9={9.9}^8<{10.9}^8$

Ta có:  $A=1+2012+{2012}^2+{2012}^3+{2012}^4+\mathrm{...}+{2012}^{71}+{2012}^{72}$

$2012.A=2011+{2012}^2+{2012}^3+{2012}^4+{2012}^5+\mathrm{...}+{2012}^{72}+{2012}^{73}$

Vậy A < B.

Vậy B = C.

Ta có:  $\frac{7}{8^3}+\frac{3}{8^4}=\frac{3}{8^3}+\frac{4}{8^3}+\frac{3}{8^4}=\left(\frac{3}{8^3}+\frac{3}{8^4}\right)+\frac{4}{8^3}$

Vì  $\frac{4}{8^4}<\frac{4}{8^3}\Rightarrow \left(\frac{3}{8^3}+\frac{3}{8^4}\right)+\frac{4}{8^4}<\left(\frac{3}{8^3}+\frac{3}{8^4}\right)+\frac{4}{8^3}$

$\Rightarrow M<N$

  $M=\frac{{19}^{30}+5}{{19}^{31}+5}$ nên  $19M=\frac{19.({19}^{30}+5)}{{19}^{31}+5}=\frac{{19}^{31}+95}{{19}^{31}+5}=1+\frac{90}{{19}^{31}+5}$

 $N=\frac{{19}^{31}+5}{{19}^{32}+5}$ nên  $19N=\frac{19({19}^{31}+5)}{{19}^{32}+5}=\frac{{19}^{32}+95}{{19}^{32}+5}=1+\frac{90}{{19}^{32}+5}$ 

Vì  $\frac{90}{{19}^{31}+5}>\frac{90}{{19}^{32}+5}$

 $1+\frac{90}{19{}^{31}+5}>1+\frac{90}{{19}^{32}+5}$ hay 19M > 19N $\Rightarrow M>N$

Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:

  $\Rightarrow \frac{1}{n^2}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

Áp dụng vào bài toán ta được:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{101}^2}<\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\\ \frac{1}{{102}^2}<\frac{1}{101}-\frac{1}{102}\\ \mathrm{.............................}\\ \frac{1}{{105}^2}<\frac{1}{104}-\frac{1}{103}\\ \Rightarrow \frac{1}{{101}^2}+\frac{1}{{102}^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{105}^2}<\frac{1}{100}-\frac{1}{105}\end{array}$

$=\frac{105-100}{100.105}=\frac{5}{2^2{.5}^2\mathrm{.5.3.7}}=\frac{1}{2^2{.5}^2\mathrm{.3.7}}$

Vậy  $\frac{1}{{101}^2}+\frac{1}{{102}^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{105}^2}<\frac{1}{2^2{.5}^2\mathrm{.3.7}}$

A là tích của 99 số âm. Do đó:

Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau:

Vậy A <  $-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow$n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5.

Ta có:  $4^{15}{.9}^{15}<2^n{.3}^n<{18}^{16}{.2}^{16}\Rightarrow {\left(4.9\right)}^{15}<{\left(2.3\right)}^n<{\left(18.2\right)}^{16}$

             $\begin{array}{l}\Rightarrow {36}^{15}<6^n<{36}^{16}\\ 6^n<\\ \Rightarrow 6^{30}<6^n<6^{32}\\ \Rightarrow 30<n<32\\ \Rightarrow n=31\end{array}$

Có  $A=3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^{100}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 3A=3^2+3^3+3^4+\mathrm{...}+3^{101}\\ \Rightarrow 3A-A=2A=3^{101}-3\\ \Rightarrow 2A+3=3^{101}\end{array}$

Mà theo đề bài ta có 2A + 3 = 3ⁿ

$\Rightarrow 3^{101}=3^n\Rightarrow n=101$

Ta có:  $2^m-2^n=256=2^8\Rightarrow 2^n(2^{m-n}-1)=2^8$                                 (1)

Dễ thấy  $m\ne n$, ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m – n = 1 thì từ (1) ta có:

2ⁿ.(2 – 1) = 2⁸ => 2ⁿ = 2⁸ => n = 8 và m = 9

Trường hợp 2: Nếu m – n  $\ge 2$

 $\Rightarrow 2^{m-n}-1$ là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau.

Vậy $n=8$và  $m=9$ là đáp số duy nhất.

Ta có: 64 < 2ⁿ < 256  $\Rightarrow 2^6<2^n<2^8\Rightarrow 6<n<8$ mà n nguyên dương nên  $n=7$.

Ta có: 243 > 3ⁿ  $\ge 9\Rightarrow 3^5>3^n\ge 3^2\Rightarrow 5>n\ge 2$ mà  nguyên dương nên  $n\in \left\{2;3;4\right\}$.

Ta có: n²⁰⁰ = (n²)¹⁰⁰; 6³⁰⁰ = (6³)¹⁰⁰ = 216¹⁰⁰

          n²⁰⁰ < 6³⁰⁰  $\Rightarrow {\left(n^2\right)}^{100}<{216}^{100}\Rightarrow n^2<216$ (*)

Suy ra: số nguyên lớn nhất thỏa mãn (*) là n = 14.

    $2^5<2^n<2^9$

Suy ra  $5<n<9$ 

 Vậy  $n\in \left\{6;7\right\}$ 

Với   $n\in \mathbb{N}$, ta xét:  $3^{18}<n^{12}\iff {\left(3^3\right)}^6<{\left(n^2\right)}^6\iff 3^3<n^2\iff 27<n^2$

Nhận thấy:  $5^2<27<6^2$ nên  $6^2\le n^2\Rightarrow 6\le n$

Nhận thấy:  $7^3<400<8^3$ nên  $n^3\le 7^3\Rightarrow n\le 7$

Do đó:  $6\le n\le 7\Rightarrow n\in \left\{6;7\right\}$