Dạng 5: Phiếu bài tập số 2 có đáp án

Vì OA = OC, OB = OD nên AB = CD (1); OA = OC; OB = OD nên $△$OAC và  $△$OBD cân tại O $\Rightarrow \widehat{OBA}=\frac{{180}^0-\widehat{AOC}}{2};\widehat{ODC}=\frac{{180}^0-\widehat{DOC}}{2}$ mà $\widehat{AOC}=\widehat{DOC}$ (hai góc đối đỉnh) $\Rightarrow \widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ mà hai góc này so le trong nên AC // BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ACBD là hình thang cân.

a) ABCD là hình thang cân nên AD = BC; $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ 

Dễ chứng minh: $△ADC=△BCD(c.g.c)=>\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ 

a) Ta có : ABCD là hình thang cân nên $\widehat{D}=\widehat{C}={60}^0\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{CDB}=\frac{{60}^0}{2}={30}^0$

$\Rightarrow \widehat{DBC}={90}^0$; Tam giác CBD vuông tại B có $\widehat{CDB}={30}^0$ => BC = $\frac{1}{2}$ DC hay 2AD = DC ;

AB // CD nên $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}={30}^0=>\widehat{ABD}=\widehat{ADB}={30}^0$ => $△$ADB cân tại A nên AD = AB

Từ đó suy ra chu vi hình thang bằng 5AD => 5.AD = 20cm => AD = 4cm.      

 Vậy AD = AB = BC = 4cm, CD = 8cm

b)  Vì $△$BCD vuông tại B. Áp dụng định lý Py – ta – go vào $△$BDC:

BD² = DC² – BC² hay DB² = 8²  - 4² = 48 => BD = $4\sqrt{3}$ cm

Diện tích tam giác BDC là: $\frac{1}{2}\mathrm{.4.4}\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ cm²

Vì MN // QP nên: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{M_1}=\widehat{P_1}\\ \widehat{N_1}=\widehat{Q_2}\\ \widehat{M_1}=\widehat{N_1}\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{Q_1}=\widehat{P_1}$ => Các OMN và OPQ cân tại O

=> OM = ON, OP = OQ => MP = NQ mà MNPQ là hình thang => MNPQ là hình thang cân.

Do EF // QP (gt), mà QP // MN nên EF // QP // MN => Tứ giác MNEF và FEQP là hình thang.

Do MNPQ là hình thang cân nên: $\widehat{MQP}=\widehat{NPQ}$ và $\widehat{QMN}=\widehat{PNM}$ => MNEF và FEQP là hình thang cân.

a) Đặt AD = AB = DC = x; Kẻ $AH\perp BC,DK\perp BC;(H;K\in BC)$ => AH // DK

 => Hình thang ADKH có hai cạnh bên song song nên AD = HK = x; AH = DK.

Có $\Delta AHB=\Delta DKC$(ch - gn) => BH = KC.

Xét $△ABH$ có : $\widehat{B}={60}^0\Rightarrow BH=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow x=2BH$

=> Chu vi hình thang là 5x = 20 => x = 4 => AD = DC = AB = 4cm; BC = 8cm

b) Từ câu a ta có BH = 2cm; Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có: đường cao AH = $2\sqrt{3}$

Ta chứng minh được $\Delta ADC=\Delta BCD(c-g-c)$ => AC = BD và ${\widehat{C}}_1={\widehat{D}}_1\Rightarrow △$OCD cân tạị O

$\Rightarrow {\widehat{C}}_1=\frac{{180}^0-{\widehat{O}}_2}{2}$  (1)

Từ đây ta chứng minh được $\Delta ABD=\Delta BAC(c-c-c)\Rightarrow {\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1$$\Rightarrow △$OBA cân tạị O

$\Rightarrow {\widehat{A}}_1=\frac{{180}^0-{\widehat{O}}_1}{2}$  (2)

Từ (1), (2) và ${\widehat{O}}_1={\widehat{O}}_2$ suy ra ${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB //CD

Suy ra ABCD là hình thang mà $\widehat{C}=\widehat{D}$ => ABCD là hình thang cân.

Có $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}={60}^0$. Do OI // AB; OM // BC; OK // AB (gt)

=> các tứ giác OIAM, OMBK, OKCI là hình thang.

Ta có: $\widehat{OKB}=\widehat{ACB}={60}^0$ (đồng vị, OK // AC) mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}={60}^0=>\widehat{OKB}=\widehat{MBK}$ 

=> Hình thang OMBK là hình thang cân.

CM tương tự ta có OKCI, OIAM là các hình thang cân, do đó: OC = IK, OA = IM, OB = MK

 => C_IMK  = IK + IM + MK = OA+OB+OC.

a) $△$MBE = $△$NCF (ch-gn) => ME = NF

Từ đó cm được $△$MIE = $△$NIF (cgv-gnk) => IE = IF.

b) Do $△$ ABC là tam giác cân nên AB = AC, mà MB = DC ( = CN) nên AM = AD

=> $△$AMD cân tại A => $\widehat{AMD}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}$

Xét $△$ABC có:  $\widehat{ABC}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}$ => $\widehat{AMD}=\widehat{ABC}$ => MD // BC => MDCB là hình thang.

Do $\widehat{MBC}=\widehat{DCB}$ ($△$ABC cân tại A) => BMDC là hình thang cân. (đpcm)

a) Có $△$ABC đều $\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{ABC}$. Mà FM//AD $\Rightarrow \widehat{ADM}=\widehat{ABC}$ (đồng vị) $\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{ADM}$

Xét tứ giác AFMD có

$\left\{\begin{array}{l}AD//FM\left(gt\right)\\ \widehat{ADM}=\widehat{BAC}\left(cmt\right)\end{array}\right.$ => AFMD là hình thang cân.

Chứng minh tương tự ta được BDME, CEMF là các hình thang cân.

b) $\widehat{DME}=\widehat{FME}=\widehat{DMF}$= 60⁰

c) $△$DEF là tam giác đều => DE = DF = FE=> AM = BM = CM

=> M phải cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC

Vậy M là giao của ba đường trung trực của $△$ABC.

Do $△$ABC đều nên M đồng thời là trọng tâm và AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên $AM=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}a\Rightarrow DE=DF=FE=\frac{2}{3}a$ 

Vậy chu vi tam giác DEF bằng DE + DF + EF = 2a.

b) Có AB = AD$\Rightarrow \Delta ABD$ cân tại A

$\Rightarrow {\widehat{D}}_1=\widehat{ABD}\Rightarrow {\widehat{D}}_2=\widehat{ABD}$ mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB//DC $\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{BCD}={180}^0$ 

Mà $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}={180}^0\left(gt\right)\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{ABC}$. Vậy ABCD là hình thang cân.