Dạng 5: Bài tập tự luyện có đáp án

Ta có AB = CD (ABCD là hình bình hành)

          AB = BM (gt)

=> CD= BM

Ta có AB // CD (ABCD là hình bình hành)

=>  BM// CD

Xét tứ giác BDCM có

          CD=BM (cmt)

          CD//BM (cmt)

=> Tứ giác BDCM là hình bình hành

=> BD//CM; BD=CM (1)

Chứng minh tương tự ta có BD//NC; BD= NC  (2)

Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơclit suy ra N, C, M thẳng hàng và CM = CN

Do đó N đối xứng với M qua C.

Xét tứ giác ABCD có

          AM = MC (BM là trung tuyến của tam giác ABC)

          BM = MD (D đối xứng với B qua M)

=> Tứ giác ABCD là hình bình hành

=> AD//BC; AD = BC (1)

Xét tứ giác ACBE có

          AN = NB (CN là trung tuyến của tam giác ABC)

          NE = NC (E đối xứng với C qua N)

=> Tứ giác ACBE là hình bình hành

=> AE//BC; AE = BC (2)

Từ (1) và (2) Theo tiên đề Ơclit suy ra A, D, E thẳng hàng và AD = AE

Do đó D đối xứng với E qua A

Ta có E đối xứng với D qua AB

=> AB là đường trung trực của ED

=> $△$AE= AD (1)

=> ADE cân tại A

=> AB là đường phân giác

=> $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (2)

Ta có F đối xứng với D qua AC

=> AC là đường trung trực của FD

=> AF= AD (3)

=> $△$ADF cân tại A

=> AC là đường phân giác

=> $\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$ (4)

Từ (1) và (3) => AE= AF (5)

Ta có $\widehat{EAF}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_4}\left(6\right)$ 

Từ (2)(4) và (6) suy ra

$\begin{array}{l}\widehat{EAF}=\widehat{A_2}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_3}\\ =2(\widehat{A_2}+\widehat{A_3})\\ =2\widehat{BAC}\\ ={2.90}^0\\ ={180}^0\end{array}$

=> E, A, E thẳng hàng (7)

Từ (5) và (7) suy ra  E đối xứng với F qua A

Ta có ABCD là hình bình hành

=> AD//BC

=> $\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (2 góc so le trong)

O là giao điểm của 2 đường chéo

=> OA = OC

Xét $△$AOE và $△$COF có

$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$(cmt)

OA = OC (cmt)

OA = OC (2 góc đối đỉnh)

=> $△$AOE = $△$COF (g.c.g)

=> OE = OF

Do đó E đối xứng với F qua O

Xét tứ giác AEDF có

          AF//DE    (DE//AB)

          AE//DF     (DF//AC)

=> Tứ giác AEDF là hình bình hành

Có I là trung điểm của đường chéo AD

=> I là trung điểm của đường chéo EF

Do đó E đối xứng với F qua điểm I.

Ta có $BD\perp AC$ (gt)

$CG\perp AC$ (gt)

=> BD//CG => BH//CG

Ta có  $CE\perp AB$ (gt)

$BG\perp AB$ (gt)

=> CE//BG => CH//BG

Xét tứ giác BHCG có

BH // CG (cmt)

CH // BG (cmt)

=> Tứ giác BHCG là hình bình hành

Có I là trung điểm của đường chéo BC

=> I là trung điểm GH

=> G đối xứng với H qua điểm I

a) Ta có B đối xứng với A qua Ox

=> Ox là đường trung trực của AB

=> OA = OB (1)

Ta có C đối xứng với A qua Oy

=> Oy là đường trung trực của AC

=> OA = OC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra OB = OC

b) Xét $△$AOB có

OA = OB (cmt)

=> $△$AOB cân tại O

Ta lại có Ox là trung trực của AB

=> Ox là tia phân giác của $\widehat{AOB}$ 

=> $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (3)

Xét $△$ AOC Có

OA = OC (cmt)

=> $△$AOB cân tại O

Ta lại có Oy là trung trực của AC

=> Oy là tia phân giác của $\widehat{AOC}$ 

=> $\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$ (4)

Ta có $\widehat{BOC}=\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}\left(5\right)$ 

Từ (3)(4) và (5) suy ra

$\begin{array}{l}\widehat{BOC}=\widehat{O_2}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_3}\\ =2(\widehat{O_2}+\widehat{O_3})\\ =2.\widehat{xOy}\end{array}$

Ta có OB = OC (cmt)

Để B đối xứng với C qua điểm O

$\Rightarrow \widehat{BOC}={180}^0$

$\begin{array}{l}2.\widehat{xOy}={180}^0\\ \widehat{xOy}={180}^0:2\\ \widehat{xOy}={90}^0\end{array}$

Vậy $\widehat{xOy}={90}^0$ thì B đối xứng với C qua O

Xét tứ giác BHCK có

MB = MC (gt)

HM =  MK ( H đối xứng mới K qua M)

=> Tứ giác BHCK là hình bình hành

=> BH // CK; CH // BK (1)

Ta có H là trực tâm của ABC

=> $BH\perp AC;CK\perp AB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CK\perp AC;BK\perp AB$ 

=> $\widehat{ABK}={90}^0;\widehat{ACK}={90}^0$ 

Xét tứ giác AIBE có

IM = ME (I đối xứng với E qua M )

MA = MB (gt)

=> Tứ giác AIBE là hình bình hành

=> IB = AE; AE // IB (1)

Xét tứ giác ECKD có

EN = NK ( E đối xứng với K qua N)

CN = ND (gt)

=> Tứ giắc ECKD là hình bình hành

=> CK = ED; CK // ED (2)

Ta có

IB // AE (cmt) => IB // AD

BC // AD (gt)

Theo tiên đề Oclit => I, B, C thẳng hàng

CK // ED (cmt) => CK // AD

      CB // AD (gt)

      Theo tiên đề Oclit => K, C, B thẳng hàng

=> I, K, C, B thẳng hàng

=> IK = IB+ CB+ CK    (3)

Từ (1) (2) và (3)

=> IK = EA + CB + EB

=> IK = AD + CB

Vậy độ dài IK không phụ thuộc vào vị trí của điểm E.