Ta có AB = CD (ABCD là hình bình hành)

          AB = BM (gt)

=> CD= BM

Ta có AB // CD (ABCD là hình bình hành)

=>  BM// CD

Xét tứ giác BDCM có

          CD=BM (cmt)

          CD//BM (cmt)

=> Tứ giác BDCM là hình bình hành

=> BD//CM; BD=CM (1)

Chứng minh tương tự ta có BD//NC; BD= NC  (2)

Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơclit suy ra N, C, M thẳng hàng và CM = CN

Do đó N đối xứng với M qua C.

Xét tứ giác ABCD có

          AM = MC (BM là trung tuyến của tam giác ABC)

          BM = MD (D đối xứng với B qua M)

=> Tứ giác ABCD là hình bình hành

=> AD//BC; AD = BC (1)

Xét tứ giác ACBE có

          AN = NB (CN là trung tuyến của tam giác ABC)

          NE = NC (E đối xứng với C qua N)

=> Tứ giác ACBE là hình bình hành

=> AE//BC; AE = BC (2)

Từ (1) và (2) Theo tiên đề Ơclit suy ra A, D, E thẳng hàng và AD = AE

Do đó D đối xứng với E qua A

Ta có E đối xứng với D qua AB

=> AB là đường trung trực của ED

=> $△$AE= AD (1)

=> ADE cân tại A

=> AB là đường phân giác

=> $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (2)

Ta có F đối xứng với D qua AC

=> AC là đường trung trực của FD

=> AF= AD (3)

=> $△$ADF cân tại A

=> AC là đường phân giác

=> $\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$ (4)

Từ (1) và (3) => AE= AF (5)

Ta có $\widehat{EAF}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_4}\left(6\right)$ 

Từ (2)(4) và (6) suy ra

$\begin{array}{l}\widehat{EAF}=\widehat{A_2}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_3}\\ =2(\widehat{A_2}+\widehat{A_3})\\ =2\widehat{BAC}\\ ={2.90}^0\\ ={180}^0\end{array}$

=> E, A, E thẳng hàng (7)

Từ (5) và (7) suy ra  E đối xứng với F qua A

Ta có ABCD là hình bình hành

=> AD//BC

=> $\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (2 góc so le trong)

O là giao điểm của 2 đường chéo

=> OA = OC

Xét $△$AOE và $△$COF có

$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$(cmt)

OA = OC (cmt)

OA = OC (2 góc đối đỉnh)

=> $△$AOE = $△$COF (g.c.g)

=> OE = OF

Do đó E đối xứng với F qua O

Xét tứ giác AEDF có

          AF//DE    (DE//AB)

          AE//DF     (DF//AC)

=> Tứ giác AEDF là hình bình hành

Có I là trung điểm của đường chéo AD

=> I là trung điểm của đường chéo EF

Do đó E đối xứng với F qua điểm I.

Ta có $BD\perp AC$ (gt)

$CG\perp AC$ (gt)

=> BD//CG => BH//CG

Ta có  $CE\perp AB$ (gt)

$BG\perp AB$ (gt)

=> CE//BG => CH//BG

Xét tứ giác BHCG có

BH // CG (cmt)

CH // BG (cmt)

=> Tứ giác BHCG là hình bình hành

Có I là trung điểm của đường chéo BC

=> I là trung điểm GH

=> G đối xứng với H qua điểm I