Dạng 4. Tổng hợp có đáp án
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt ABtại E, qua D kẻ đường thẳng song song với ABcắt AC tại F. Chứng minh EF là phân giác của AED^.
Chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi
=> EF là phân giác của AED^
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
a) EFGH là hình gì? Vì sao?
a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho △BAC và △ADC ta có:
EF // HG; EF = HG = 12AC và HE // HG; HE = FG = 12BD.
Mà ABCD là hình chữ nhật nên AB = BD => EFGH là hình thoi.
b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng qui.
b) Gọi O = AC ∩BD => O là trung điểm của AC và BD. Chứng minh EBGD và BFDH là hình bình hành suy ra AC, BD,EG, FH đồng quy tại trung điểm mỗi đường (điểm O).
Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.
a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?
a) Vận dụng đinh lý 1 về đường trung bình của tam giác suy ra APMQ là hình thoi do có 4 cạnh bằng nhau.
b) Chứng minh PQ // BC.
b) Vì PQ ⊥ AM mà AM ⊥ BC (tính chất tam giác cân) nên PQ // BC.
Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F.
a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB.
a) Do AM = DN => MADN là hình bình hành
⇒ D^=AMN^=EMB^=MBC^
Ta có △MPE = △BPE nên EP = FP. Vậy MEBF là hình thoi và 2 điểm E, F đối xứng nhau qua AB.
b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi
b) Tứ giác MEBF có MB ∩ EF = P; Lại có P trung điểm BM, P là trung điểm EF, MB ⊥ EF.
=> MEBF là hình thoi.
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.
c) Để BNCE là hình thang cân thì CNE^=BEN^
Mà CNE^=D^=MBC^=EBM^ nên △MEB có 3 góc bằng nhau, suy ra điều kiện để BNCE là hình thang cân thì ABC^=600
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ABD^ và ACE^ cắt nhau tại O, và lần lượt cắt AC, AB tại N, M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H: Chứng minh rằng:
a) BN⊥ CM;
a) Sử dụng tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180o.
⇒ ABC^=AEC^⇒ NBD^=MCA^
Trong △DBN có: NBD^+BND^=900
Gọi O = CM ∩ BN => CM ⊥ BN = O (1)
b) Tứ giác MNFIK là hình thoi.
b) Xét △CNK có: CO ^ KN => CO ⊥ BN, CO là phân giác ACE^ nên △CNK cân ở C => O là trung điểm KN (2).
Tương tự chứng minh được là trung điểm MH (3).
Từ (1),(2) và (3) suy ra MNHK là hình thoi.
