Dạng 4: Cấu tạo số

Nếu 34 là số nhỏ nhất trong ba số thì ba số tự nhiên liên tiếp đó là  34, 35, 36

Nếu 34 là số thứ hai trong ba số thì ba số tự nhiên liên tiếp đó là 33; 34; 35

Nếu 34 là số lớn nhất trong ba số thì ba số tự nhiên liên tiếp đó là 32; 33; 34

Gọi số nhỏ nhất trong hai số tự nhiên liên tiếp là a, số liền sau của nó là a+1.

Theo đề bài ta có: a + a + 1 = 2019 => 2a = 2018 => a = 1009       

Vậy hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 1009; 1010

Gọi số tự nhiên nhỏ nhất là a – 1, số tự nhiên tiếp theo lần lượt là a; a + 1

Ta có: a – 1 + a + a + 1 = 300 ó 3a = 300 => a = 100

Vậy ba số cần tìm là 99; 100; 101

Nhận xét: Tổng ba số tự nhiên liên tiếp gấp ba lần số giữa

Từ điều kiện 91≤a≤93 và a$\in$¥ ta suy ra: a$\in${91;92;93} 

Từ điều kiện 91<c<94 và c$\in$¥ ta suy ra: c$\in${92;93} 

Mặt khác, a<b<c (b là số tự nhiên) nên a = 91; b = 92; c = 93

a, Đúng

b, Sai, vì số tự nhiên nhỏ nhất có hai chữ số là 10

c, Đúng, vì 999 và 1000 là hai số tự nhiên liên tiếp

d, Đúng, vì 100 -10 = 90

Từ ba chữ số 1; 3; 9 ta viết được 6 số có ba chữ số khác nhau là: 139; 193; 319; 391; 913; 931

·          Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn ( chọn 2 hoặc 5 hoặc 7 hoặc 9)

·          Sau khi chọn chữ số hàng nghìn thì còn 3 cách chọn chữ số hàng trăm.

·          Sau khi chọn chữ số hàng nghìn và hàng trăm thì còn 2 cách chọn chữ số hàng chục.

·          Cuối cùng chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Vậy ta viết được tất cả 4.3.2.1=24 (số).

·          Vì chữ số 0 không thể đứng đầu nên chỉ có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn (chọn 2 hoặc 5 hoặc 8).

·          Sau khi chọn chữ số hàng nghìn thì có 3 cách chọn chữ số hàng trăm.

·          Sau khi chọn chữ số hàng nghìn và hàng trăm thì còn 2 cách chọn chữ số hàng chục.

·          Cuối cùng chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Vậy có tất cả 3.3.2.1 = 18 (số).

Các số phải đếm có dạng $\overline{abc}$ 

Chữ số a có 9 cách chọn (1≤a≤9; a$\in$¥)

Với mỗi cách chọn a, chữ số b có 10 cách chọn (0≤b≤9; b$\in$¥)

Với mỗi cách chọn a, b chữ số c có 5 cách chọn (0, 2, 4, 6, 8) để tạo với chữ số 2 tận cùng làm thành số chia hết cho 4.

Vậy tất cả có: 9.10.5 = 450 số.

Nhận xét: Những chữ số có  tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2.

Cách 2:

Số số tự nhiên có 3 chữ số là: $\frac{999-100}{1}+1=900$ số

Vì số tự nhiên chẵn và số tự nhiên lẻ hơn kém nhau một đơn vị. Từ 100 tới 999 có số số tự nhiên chẵn là: 900 : 2 = 450.

Vậy có 450 số tự nhiên chia hết cho 2.

Các số phải đếm có dạng $\overline{abc2}$ 

Chữ số a có 9 cách chọn (1≤a≤9; a$\in$¥)

Với mỗi cách chọn a, chữ số b có 10 cách chọn ((0≤b≤9; b$\in$¥)

Với mỗi cách chọn a, b chữ số c có 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9) để tạo với chữ số 2 tận cùng làm thành số chia hết cho 4.

Vậy tất cả có: 9.10.5 = 450 số.

Nhận xét: Những chữ số có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.

Số có dạng $\overline{5ab}$ : chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn. Các số thuộc loại này có: 9.9 = 81 số.

Số có dạng $\overline{a5b}$: chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn. Các số thuộc loại này có: 8.9 = 72 số

Số có dạng  $\overline{ab}5$ : chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn. Các số thuộc loại này có 8.9 = 72 số.

Vậy số số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là: 81 + 72 + 72 = 225 số

Nhận xét: Bài toán yêu cầu có duy nhất (đúng một) số 5, chữ số hàng trăng không thể là số 0.

Số có dạng $\overline{3abc}$ : chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 8 cách chọn, chữ số c có 7 cách chọn. Các số thuộc loại này có: 9.8.7 = 507 số.

Số có dạng $\overline{a3bc}$: chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 8 cách chọn, chữ số c có 7 cách chọn. Các số thuộc loại này có : 8.8.7 = 448 số

Số đếm có dạng $\overline{ab3c}$ : chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 8 cách chọn, chữ số c có 7 cách chọn. Các số thuộc loại này có 8.8.7 = 448 số.

Số đếm có dạng $\overline{abc}3$ : chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 8 cách chọn, chữ số c có 7 cách chọn. Các số thuộc loại này có 8.8.7 = 448 số.

Vậy số số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau trong đó có đúng một chữ số 3 là: 507 + 448 + 448 +448 = 1851 số

Nhận xét: Bài toán yêu cầu có duy nhất (đúng một) số 3, các chữ số chỉ lặp lại có đúng 1 lần vì vậy khi giải toán cần đọc kỹ yêu cầu đề toán.

a) Nhỏ nhất có thể được: 12354

b) Lớn nhất có thể được: 15234

Nhận xét: Học sinh có thể bị nhầm giữa 12345 và 51234 do không rõ ý nghĩa từ “xen giữa”

Gọi số có hai chữ số cần tìm là $\overline{ab}$ (0<a≤9; 0≤b≤9).

 Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới là $\overline{a0b}$.

Theo bài ra, ta có: $\overline{a0b}$ = 7$\overline{ab}$ ó100.a + b = 7.(10.a+b) ó 100a + b = 70a + 7b ó 30a = 6b ó 5a = b.

Vì a, b  là các chữ số và a≠0 nên suy ra a = 1; b = 5.

Vậy số cần tìm là 15.

Gọi số có ba chữ số cần tìm là $x=\overline{abc}$ (0<a≤9; 0≤b≤9)

Khi viết thêm số 1 trước số x ta được số mới là $\overline{1abc}$.

Theo bài ra, ta có: $\overline{1abc}=9\overline{abc}$

$1000+\overline{abc}=9\overline{abc}$ hay 1000 + x = 9x

1000 = 8x

Suy ra: x = 1000 : 8 = 125 

Vậy số cần tìm là 125.

Gọi số cần tìm là $\overline{xab}$, trong đó: a, b là các chữ số; x$\in$N.

Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị ta được số mới là $\overline{xa0b}$

Theo đề bài, ta có:

$\overline{xa0b}$ = 9.$\overline{xab}$

<=> 1000x + 100a + b = 9(100x + 10a + b)

<=> 1000x + 100a + b = 900x + 90a + 9b

<=> 100x + 10a = 8b

<=> 50x + 5a = 4b

Vì b≤9 nên 4b≤4.9 = 36, do đó: 50x + 5a ≤ 36 => x = 0

Khi đó số cần tìm là $\overline{ab}$, với 5.a = 4.b

Vì a≠0 và a, b là các chữ số nên ta có a = 4. Từ đó suy ra b = 5.

Vậy số cần tìm là 45

Gọi số cần tìm là $\overline{abc1}$ (0<a,b,c≤9; a≠0)

Theo đề ra ta có:  $\overline{abc1}$ = $\overline{1abc}$ + 2889

=> 10$\overline{abc}$ + 1 = 1000 + $\overline{abc}$ + 2889

=> 9$\overline{abc}$ = 3888 => $\overline{abc}$ = 432

Vậy số cần tìm là 4321

Gọi số cần tìm là: $\overline{abcde}$ (a$\ne$0)

Theo bài ra ta có: $\overline{abcde2}$ = 3.$\overline{2abcde}$

=> $\overline{abcde}$.10 + 2 = 3.200000 + 3$\overline{abcde}$

=> 7$\overline{abcde}$ = 599998

=> $\overline{abcde}$ = 85714

Thử lại: 857142 = 3. 285714. Vậy số cần tìm là 857142

Gọi số trừ là x (x$\in$N*)

Theo đề ra ta có : $\overline{x3}$  – x = 57

=>10x + 3 – x = 57

=>9x = 54 => x = 6

Vậy hai số cần tìm là 63 và 6

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ (0<a, c≤9; 0≤b≤9)

Theo đề ra ta có: $\overline{cba}$ = 792 + $\overline{abc}$

=>100c + 10b + a = 792 + 100a + 10b + c

=> c – a = 8 => c = 9; a = 1

(Do a không thể là số 0, thử với a = 1 thỏa mãn, a = 2 thì c = 10 không thỏa mãn nên chỉ có một giá trị duy nhất của a

từ đó tìm được một giá trị duy nhất của c.)

Vậy số cần tìm là $\overline{1b9}$ với b$\in${0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}

Có 10 đáp số: 109; 119; 129; …; 199

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (0≤a, b≤9; a≠0)

Theo đề ra ta có: $\overline{1ab1}$ = 23$\overline{ab}$

=> 1000 + 10$\overline{ab}$ + 1 = 23$\overline{ab}$

=> 13$\overline{ab}$ = 1001 => $\overline{ab}$ = 77

Vậy số cần tìm là 77

Gọi số cần tìm là x = $\overline{abcde}$ (0≤a,b,c,d,e≤9; a≠0)

Theo đề ra ta có: 7$\overline{abcde}$  = 5$\overline{abcde7}$

=> 700000 + $\overline{abcde}$ = 5(10$\overline{abcde}$ + 7)

Hay 700000 + x = 5(10x+7)

=>49x = 699965 => x = 14285

Vậy số cần tìm là 14285

Vì rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị nên số tự nhiên cần tìm có 4 chữ số.

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{abc3}$ (a$\ne$0)  

Theo bài ra ta có $\overline{abc3}$ $-$ 1992 = $\overline{abc}$

10$\overline{abc}$ + 3 $-$ 1992 = $\overline{abc}$

9$\overline{abc}$ = 1989 => $\overline{abc}$ = 221

Vậy số cần tìm là 221

Gọi ba chữ số cần tìm là: a,b,c (a>b>c>0; a,b,c$\in$N)

Theo bài ra ta có: $\overline{abc}+\overline{acb}=1444$ 

100a + 10b +c + 100a +10c + b = 1444

200a + 11(b + c) = 1400 + 11.4

=>a = 7; b = 3; c = 1

Vậy 3 số cần tìm là 1;3;7

Gọi số cần tìm là $\overline{ab7}$ (0≤a,b≤9; a≠0, a,b$\in$N)

Theo đề ra ta có: $\overline{7ab}$ = $\overline{ab7}$.2 + 21

=> 700 + $\overline{ab}$ = 2(10$\overline{ab}$ + 7) + 21

=> 700 + $\overline{ab}$ = 20$\overline{ab}$ + 14 + 21

=> 19$\overline{ab}$ = 665 => $\overline{ab}$ = 35

Vậy số cần tìm là 357

Gọi 2 số đó là a, b (a>b; a,b$\in$N*)

Theo bài ra ta có: a – b = 4 => b = a – 4 (1)

Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60: 3a – b = 60 (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

3a – (a – 4) = 60

=>2a = 56

=>a = 28 => b = a – 4 = 24

Vậy số cần tìm là 28; 24

Do đặt sai vị trí các tích riêng nên bạn học sinh đó chỉ nhân số bị nhân với 4 + 6+ 3. Vậy số bị nhân bằng : 30524 : 13 = 2348

+ XXVIII: 28

+ LXXI: 72

+ LXX: 60

+ CXVI: 141

+ DCLX: 660

+ MDCL: 1650

+ IX: 9

+ XL: 40

+ XLIV: 44

+ 12: XII

+ 24: XXIV

+ 59: LIX

+ 162: CLXII

+ 464: CDLXIV

+ 1208: DCCVII

+ 2029: MMXIX