Dạng 4: Bài tập tự luyện có đáp án

• Nếu 4 góc trong tứ giác đều nhọn (mỗi góc nhỏ hơn 90°)

Khi đó, tổng 4 góc nhỏ hơn: 4 . 90° = 360° (vô lí vì tổng 4 góc trong tứ giác bằng 360°)

• Nếu tứ giác có 3 góc nhọn (nhỏ hơn 90°); 1 góc tù (góc lớn hơn 90°)

Khi đó, tổng 3 góc nhọn nhỏ hơn: 3 . 90° = 270°

Số đo góc còn lại lớn hơn: 360° – 270° = 90° (thỏa mãn)

Do đó, một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn

• Nếu 4 góc tứ giác đều tù (mỗi góc lớn hơn 90°)

Khi đó, tổng 4 góc lớn hơn: 4 . 90° = 360° (vô lí vì tổng 4 góc trong một tứ giác bằng 360°)

• Nếu tứ giác có 3 góc tù và 1 góc nhọn

Tổng 3 góc tù lớn hơn: 3 . 90° = 270°

Số đo góc còn lại của tứ giác nhỏ hơn: 360° – 270° = 90° (thỏa mãn)

Do đó, một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc tù.

• Nếu 4 góc tứ giác đều vuông (mỗi góc bằng 90°)

Khi đó, tổng 4 góc bằng: 4 . 90° = 360° (thỏa mãn)

Vậy một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn; một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc tù, một tứ giác có thể có nhiều nhất 4 góc vuông.

a) Từ giả thiết ta có: $2\widehat{\text{B}}+2\widehat{\text{C}}+2\widehat{\text{D}}=200°+180°+120°\Rightarrow \widehat{\text{B}}+\widehat{\text{C}}+\widehat{\text{D}}=250°$

Vì $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°\Rightarrow \widehat{A}=110°$

$$\begin{gathered} \widehat{\text{B}}=250°-(\widehat{\text{C}}+\widehat{\text{D}})=250°-120°=130° \\ \widehat{\text{C}}={200}^{°}-\widehat{\text{B}}=200°-130°=70° \end{gathered}$$

c) Chứng minh tương tự như câu b, ta được $\widehat{EIF}=\frac{\widehat{C}+\widehat{D}}{2}$

Xét $\Delta \text{COD}$ có $\widehat{COD}={180}^0-\left(\widehat{C_2}+\widehat{D_2}\right)={180}^0-\frac{\widehat{C}+\widehat{D}}{2}$

(vì $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}; \widehat{D_1}=\widehat{D_2}$   ).

Xét tứ giác ABCD có $\widehat{C}+\widehat{D}={360}^0-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right),$  do đó

$\widehat{COD}={180}^0-\frac{{360}^0-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)}{2}={180}^0-{180}^0+\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}.$

Vậy $\widehat{COD}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}.$ Theo đề bài $\widehat{COD}={115}^0$ nên $\widehat{A}+\widehat{B}={230}^0.$

Mặt khác, $\widehat{A}-\widehat{B}={50}^0$ nên $\widehat{B}=\left({230}^0-{50}^0\right):2={90}^0.$ Do đó $AB\perp BC.$

Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho $BI=AD.$

Ta có $\widehat{ADC}=\widehat{IBC}$  (cùng bù với $\widehat{\text{ABC}}$)

$AD=IB, DC=BC$. Từ đó ta có $\Delta \text{ADC}=\Delta \text{IBC}$ .

Suy ra: $\widehat{\text{DAC}}=\widehat{\text{BIC}}$  và $AC=IC.$

Tam giác ACI cân tại C nên $\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{BIC}}=\widehat{\text{DAC}}$ .

Vậy AC là phân giác trong $\widehat{\text{BAD}}$

Gọi O là giao điểm AD và BC.

Ta có $\widehat{C}+\stackrel{⏜}{D}={90}^0$ nên $\widehat{O}={90}^0$

Áp dụng định lí Py – ta – go,

Ta có 

$A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2.$

$B{D}^2=O{B}^2+O{D}^2$

Nên $A{C}^2+B{D}^2=\left(O{A}^2+O{B}^2\right)+\left(O{C}^2+O{D}^2\right)=A{B}^2+C{D}^2$

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có các bất đẳng thức:

$\text{MA}+\text{MC}\ge \text{AC}, \text{MB}+\text{MD}\ge \text{BD}$

Từ đó suy ra $\text{MA}+\text{MB}+\text{MC}+\text{MD}\ge \text{AC}+\text{BD}$

$\text{MA}+\text{MB}+\text{MC}+\text{MD}=\text{AC}+\text{BD}$ khi M trùng với I.

Vậy khi M là giao điểm hai đường chéo thì $MA+MB+MC+MD$ nhỏ nhất.

Xét tứ giác ABCD có: $\widehat{B}+\widehat{D}={360}^o-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)={360}^o-2\widehat{C}.$

Vì $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}; \widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ nên $\widehat{B_1}+\widehat{D_1}={180}^o-\widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{D_1}+\widehat{C}={180}^o.$ (1)

Xét $△$BCM có $\widehat{B_1}+\widehat{M_1}+\widehat{C}={180}^o.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{D_1}=\widehat{M_1}.$ Do đó BM // CN