Dạng 4: Bài nâng cao phát triển tư duy có đáp án
14 câu hỏi
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm M không thuộc đường thẳng đó. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua M. Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng.
Giả sử A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó, ta có AB + BC = AC (1).
Các đoạn thẳng A’B’, B’C’ và A’C’ lần lượt đối xứng với các đoạn thẳng AB, BC, AC qua điểm M nên ta có A’B’ = AB, B’C’ = BC, A’C’ = AC.
Kết hợp đẳng thức (1) ta được A’B’ + B’C’ = A’C’. Vậy A’, B’, C’ thẳng hàng.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AI = AK. Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH.
Vì ABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là tia phân giác của góc A
Lại có: IA = AK => △IAK cân tại A, mà AH là tia phân giác của góc A (cmt) => AH là đường trung trực của IK => Điểm I đối xứng với điểm K qua AH
Cho hình bình hành ABCD. Vẽ E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D. Chứng minh rằng: E là điểm đối xứng của F qua C.
E là điểm đối xứng của A qua B (gt) nên AB = BE
Tứ giác ABCD là HBH =>AB∥CDAB=CD
Mà AB = BE (cmt)⇒BE∥CDBE=CD => Tứ giác BDCE là hình bình hành
=> BD // EC và BD = EC.
Chứng minh tương tự cũng có BD // CF và BD = CF.
Vì BD // EC và BD // CF => E, C, F thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) Mà EC = CF (= BD) nên C là trung điểm EF => E là điểm đối xứng của F qua C.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
Gọi O là giao điểm cuả AC, BD.
Tứ giác ABCD là hình bình hành(gt) => O là trung điểm của AC
Tứ giác AECF có AE = CF, AE // CF nên là hìnhbình hành (dhnb)
mà O là trung điểm AC nên O là trung điểm EF.
=> EF đi qua O. Vậy các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy tại điểm O.
Cho góc xOy khác góc bẹt và điểm M nằm trong góc đó. Hãy dựng qua M một đường thẳng cắt Ox ở A, cắt Oy ở B sao cho M là trung điểm của AB.
Cách dựng:
- Dựng điểm I đối xứng với O qua điểm M.
- Qua I dựng đường thẳng song song với Oy cắt Ox ở A.
- Dựng đường thẳng AM cắt Oy ở B.
Chứng minh:
Xét ΔMAI và ΔMBO có:
O1^=I1^ ( hai góc so le trong)
MO = MI ( Vì I và O đối xứng nhau qua M)
M1^=M2^ ( hai góc đối đỉnh)
=> ΔMAI=ΔMBO (g.c.g) => MA = MB ( 2 cạnh tương ứng)
Bài toán luôn luôn dựng được một và có một nghiệm hình.
Cho hình bình hành ABCD, điểm P trên AB. Gọi M, N là các trung điểm của AD, BC; E, F lần lượt là điểm đối xứng của P qua M, N. Chứng minh rằng:
a) E, F thuộc đường thẳng CD.
a) M là trung điểm của AD và PE suy ra tứ giác APDE là hình bình hành => DE // AP.
N là trung điểm của BC và PF suy ra tứ giác BPCF là hình bình hành => FC // PB.
Mặt khác CD // AB nên suy ra các điểm E, F nằm trên đường thẳng CD.
b) EF = 2CD
Xét △PEF có : MP=ME(gt)NP=NF(gt)=> MN là đường trung bình △PEF => EF = 2MN = 2CD.
Cho tam giác ABC, D là một điểm trên cạnh BC. Gọi E và F theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm D qua AB và AC.
a) Chứng minh AE = AF;
a) E đối xứng với D qua AB => AB là trung trực của ED => AE = AD.
F đối xứng với D qua AC => AC là trung trực của DE => AF = AD.
=> AE = AF.
Xét ΔAED cân tại A, có AB là trung trực => AB đồng thời là phân giác của EAD^
=> A1^=A2^
Xét ΔADF cân tại A, có AC là trung trực => AC đồng thời là phân giác của FAD^
=> A3^=A4^
=> EAF^=A1^+A2^+A3^+A4^=2A2^+A3^=2BAC^
b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gi để điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.
b) Để E đối xứng với F qua A thì E, A, F thẳng hàng. ⇔EAF^=1800 ⇔2BAC^=1800⇔BAC^=900
Vậy nếu ΔABCvuông ở A thì E đối xứng với F qua điểm A.
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng với A qua C, E là điểm đối xứng với B qua A, F là điểm đối xứng với C qua B. Gọi BM là trung tuyến của tam giác ABC, EK là trung tuyến của tam giác DEF.
a) Chứng minh rằng ABKM là hình bình hành.
a) BK là đường trung bình của tam giác CFD. Suy ra BK//CD, BK=12CD
Mà CD = CA, AM=12CA => BK // AM, BK = AM
Suy ra tứ giác ABKM là hình bình hành
b) Gọi G là giao điểm của BM và EK. Chứng minh rằng G là trọng tâm của hai tam giác ABC và tam giác DEF.
b) Gọi G là giao điểm của EK, BM. I, H là trung điểm của BG, EG.
- Chứng minh tứ giác HMKI là hình bình hành:
Ta có: H là trung điểm của GE (gt)
I là trung điểm của GB (gt)
=> HI là đường trung bình của ΔBEG⇒HI∥BEHI=12BE (1)
+) Tứ giác ABKM là hình bình hành ( cm câu a) ⇒MK∥ABMK=AB
Mà E đối xứng với B qua A => A là trung điểm của BE ⇒AB=12BE
⇒MK∥BEMK=12BE (2)
Từ (1) và (2) => tứ giác HMKI là hình bình hành
- Suy ra GH = GK, GI = GM, từ đó ta có GE=23EK,GB=23BM => G là trọng tâm tam giác DEF cũng là trọng tâm tam giác ABC.
Cho A và B là hai điểm thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy (AB không vuông góc với xy). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A’B và xy. Gọi M là điểm bất kỳ khác C thuộc đường thẳng xy.
Chứng minh rằng: AC + CB < AM + MB.
A’ đối xứng với A qua xy
=> xy là đường trung trực của AA’
và AC = A’C, AM = A’M
Ta có: AC + CB = A’C + CB = A’B (1)
AM + MB = A’M + MB (2)
Trong ΔMA'B có: A’B < A’M + MB (quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giác) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AC + CB < AM + MB.
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC), điểm D thuộc cạnh huyền BC. Vẽ điểm M và điểm N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng:
a) M và N đối xứng qua A.
a) AM đối xứng với AD qua AB nên AM=ADA1^=A2^ (1)
AN đối đối xứng với AD qua AC nên AN=ADA3^=A4^ (2)
Từ (1) và (2) ⇒AM=AN và MAN^=2A2^+A3^=2BAC^=2.900=1800
=> 3 điểm M, A, N thẳng hàng
=> Mà AM = AN => M và N đối xứng qua A và MN = 2 AD.
b) Xác định vị trí của điểm D để MN ngắn nhất, dài nhất.
b) Vẽ AH⊥BC, ta có AD≥AH⇒MN≥2AH
Vậy MN ngắn nhất bằng AH khi D≡H( hình a)
Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu , ta có AD≤AC⇒MN=2AD≤2AC.
Do đó MN dài nhất bằng 2AC khi D≡C( hình b)
Hình aXác định vị trí của điểm D để MN ngắn nhất, dài nhất
Hình b
