Dạng 2: Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản có đáp án
84 câu hỏi
Cho dãy số (un) với 
và 
. Chọn giá trị đúng của 
trong các số sau:
14
12
0
1
Chọn C.
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có 
Nên ta có : 
Suy ra : 
, mà 
Kết quả đúng của 
là:
4
5
-4
14
Chọn B.
Ta có 
; 
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
-23
1
Chọn C.
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
49
0
Chọn C.
Kết quả đúng của 
là
Chọn A.
Giới hạn dãy số 
với 
là:
-∞
+∞
34
0
Chọn A.
.
Vì 
.
Chọn kết quả đúng của 
:
5
25
-∞
+∞
Chọn D.
.
Vì 
.
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
23
1
Chọn C.
Ta có: 
.
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
0
Chọn D.
Ta có: 
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
16
1
Chọn C.
Ta có: 
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
1
Chọn C.
Ta có: 
.
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn C.
Chia cả tử và mẫu cho 
ta có được 
.
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn C.
Ta có: 
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn C.
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn C.
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn A.
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
1
Chọn C.
Cho dãy số 
với 
. Chọn kết quả đúng của 
là:
-∞
0
1
+∞
Chọn B.
Ta có: 
bằng:
+∞
10
0
-∞
Chọn C.
Ta có: 
Nhưng 
và 
Nên 
Tính giới hạn: 
1
0
-1
Chọn B.
Ta có: 
.
Tính giới hạn: 
0
1
Chọn B.
Ta có: 
Chọn kết quả đúng của 
.
4
3
2
12
Chọn C.
Giá trị của 
(Trong đó k, p là các số nguyên dương; 
).
+∞
-∞
Đáp án khác
1
Chọn C.
Ta xét ba trường hợp sau
k > p . Chia cả tử và mẫu cho 
ta có 
.
k = p. Chia cả tử và mẫu cho 
ta có: 
.
k < p. Chia cả tử và mẫu cho 
: 
.
Kết quả đúng của 
là:
Chọn B.
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn C.
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
1
Chọn C.
Ta có:
Giá trị đúng của 
là:
-∞
+∞
2
-2
Chọn B.
Vì 
.
Giá trị của 
bằng:
-∞
2
1
Chọn A.
bằng:
+∞
1
0
-∞
Chọn A.
Ta có: 
Nhưng 
, 
và 
Nên 
.
bằng:
0
+∞
Chọn B.
Ta có: 
Vì 
Giá trị của. 
bằng:
+∞
12
0
1
Chọn B.
Cho các số thực a,b thỏa 
. Tìm giới hạn 
.
+∞
-∞
1
Chọn C.
Ta có 
là một cấp số nhân công bội a
Tương tự 
Suy ra lim
( Vì 
).
Tính giới hạn của dãy số 
với 
.
+∞
-∞
Đáp án khác
1
Chọn C.
Ta chia làm các trường hợp sau
TH 1: n = k, chia cả tử và mẫu cho nk , ta được 
TH 2: k > p, chia cả tử và mẫu cho nk , ta được 
TH 3: k < p, chia cả tử và mẫu cho np , ta được 
bằng:
+∞
0
-2
-∞
Chọn C.
Vì 
Giá trị của. 
bằng:
-∞
-∞
3
1
Chọn C.
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
12
1
Chọn C.
Ta có: 
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
12
1
Chọn C.
Giá trị đúng của 
là:
+∞
-∞
0
1
Chọn B.
Vì 
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
3
1
Chọn C.
Ta có
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
0
3
Chọn D.
Ta có:
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
13
1
Chọn C.
Ta có: 
Giá trị của 
bằng:
-112
-∞
0
1
Chọn A.
Ta có: 
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn C.
Ta có: 
Mà: 
Vậy N = 0
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
-512
1
Chọn C.
Ta có: 
Mà: 
; 
Do đó: 
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn D.
Giá trị đúng của ![Giá trị đúng của lim [ căn bậc hai n (căn bậc hai n + 1 - căn bậc hai n - 1)] là: A. -1 B. 0 C. 1 D. dương vô cùng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid25-1669818935.png)
là:
-1
0
1
+∞
Chọn C.
![Giá trị đúng của lim [ căn bậc hai n (căn bậc hai n + 1 - căn bậc hai n - 1)] là: A. -1 B. 0 C. 1 D. dương vô cùng (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid24-1669818791.png)
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
-23
1
Chọn C.
Giá trị của 
bằng:
+∞
-∞
2
1
Chọn A.
Ta có 
Do 
.
bằng:
0
1
+∞
-∞
Chọn D.
Ta có: 
Nhưng 
và 
Nên 
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
2
1
Chọn C.
Giá trị của. 
bằng:
+∞
0
0
1
Chọn C.
Ta có: 
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
23
1
Chọn C.
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn B.
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
0
1
Chọn A.
Giá trị của. 
bằng:
+∞
-∞
Đáp án khác
1
Chọn C.
Xét các trường hợp
TH1: 
TH 2: 
TH 3: 
.
Tính giới hạn của dãy số 
:
+∞
-∞
0
1
Chọn D.
Ta có: 
Suy ra 
Tính giới hạn của dãy số 
:
+∞
-∞
19
1
Chọn C.
Ta có: 
Suy ra 
Tính giới hạn của dãy số 
trong đó 
+∞
-∞
13
1
Chọn C.
Ta có: 
Suy ra 
Tính giới hạn của dãy số 
+∞
-∞
23
1
Chọn C.
Ta có 
Suy ra 
Tính giới hạn của dãy số 
+∞
-∞
3
1
Chọn C.
Ta có:
Tính giới hạn của dãy số 
với 
+∞
-∞
Chọn C.
Ta có: 
. Suy ra 
Tính giới hạn của dãy số 
+∞
-∞
3
1
Chọn D.
Ta có:
Tính giới hạn của dãy số 
+∞
-∞
3
-34
Chọn D.
Chia cả tử và mẫu cho n2 ta có được:
Tính giới hạn của dãy số 
+∞
-∞
3
14
Chọn D.
Ta có: 
Tính giới hạn của dãy số 
+∞
-∞
-16
1
Chọn C.
Ta có: 
Mà:
Vậy 
Cho dãy số 
xác định bởi 
Đặt 
. Tính 
+∞
-∞
2
1
Chọn C.
Từ công thức truy hồi ta có: 
Nên dãy 
là dãy số tăng.
Giả sử dãy 
là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại 
Với x là nghiệm của phương trình : 
vô lí
Do đó dãy 
không bị chặn, hay 
Mặt khác: 
Suy ra: 
Dẫn tới: 
Cho dãy 
được xác định như sau: 
Tìm 
với 
.
+∞
-∞
Chọn C.
Ta có: 
nên 
Suy ra 
Mà: 
Mặt khác: 
Vậy 
.
Cho dãy số 
được xác định bởi: 
. Tìm 
.
+∞
-∞
3
1
Chọn C.
Ta thấy 
Ta có: 
(1)
Suy ra: 
(2)
Từ (1) và (2), suy ra: 
Do đó: 
(3)
Lại có: 
Nên: 
Hay 
Vậy 
.
Cho dãy x > 0 xác định như sau: 
. Tìm 
.
+∞
-∞
2010
1
Chọn C.
Ta có
Ta có 
Mặt khác ta chứng minh được: 
.
Nên 
Tìm 
biết 
+∞
-∞
12
1
Chọn C.
Ta có: 
nên 
Tìm 
biết 
+∞
-∞
2
Chọn D.
Ta có: 
và 
Nên 
Tìm 
biết 
+∞
-∞
2
1
Chọn D.
Ta có: 
Suy ra 
Tìm 
biết 
trong đó 
.
+∞
-∞
13
1
Chọn C.
Ta có: 
Suy ra 
.
Tìm 
biết 
+∞
-∞
3
1
Chọn D.
Ta có: 
Suy ra 
Mà 
nên suy ra 
.
Tìm 
biết 
+∞
-∞
2
1
Chọn C.
Ta có: 
,nên 
Cho dãy số 
được xác định như sau 
.
Đặt 
. Tìm 
.
+∞
-∞
12
1
Chọn C.
Ta có:
Suy ra: 
Suy ra: 
Do đó, suy ra: 
Mặt khác, từ 
ta suy ra: 
.
Nên 
. Vậy 
.
Cho 
. Kí hiệu 
là số cặp số 
sao cho 
. Tìm 
+∞
-∞
Chọn C.
Xét phương trình 
(1).
Gọi 
là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử 
là một nghiệm nguyên dương khác 
của (1).
Ta có 
suy ra 
do đó tồn tại k nguyên dương sao cho 
. Do v là số nguyên dương nên 
. (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương cộng với 1. Do đó 
.
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: 
Từ đó suy ra : 
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay 
.
Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi 
. Tìm kết quả đúng của 
.
0
1
-1
12
Chọn B.
Ta có 
Dự đoán 
với 
Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó 
Tìm giá trị đúng của 
2 + 1
2
22
12
Chọn C.
Ta có: 
.
Tính giới hạn: ![Tính giới hạn: lim [ 1/1.2 + 1/2.3 + ... + 1/n(n+ 1)] A. 0 B. 1 C. 3/2 D. không giới hạn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid3-1669825453.png)
0
1
32
Không có giới hạn.
Chọn B.
Đặt :
![Tính giới hạn: lim [ 1/1.2 + 1/2.3 + ... + 1/n(n+ 1)] A. 0 B. 1 C. 3/2 D. không giới hạn (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid2-1669825377.png)
Tính giới hạn: ![Tính giới hạn: lim [1/1.3 + 1/3.5 + ... + 1/n(2n+1)] A. 1 B. 0 C. 2/3 D. 2 . Chọn B Đặt A = 1/1.3 + 1/3.5 + ... + 1/n(2n+1) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid6-1669825586.png)
1
0
23
2
Chọn B.
Đặt
![Tính giới hạn: lim [1/1.3 + 1/3.5 + ... + 1/n(2n+1)] A. 1 B. 0 C. 2/3 D. 2 . Chọn B Đặt A = 1/1.3 + 1/3.5 + ... + 1/n(2n+1) (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid4-1669825481.png)
Nên ![Tính giới hạn: lim [1/1.3 + 1/3.5 + ... + 1/n(2n+1)] A. 1 B. 0 C. 2/3 D. 2 . Chọn B Đặt A = 1/1.3 + 1/3.5 + ... + 1/n(2n+1) (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid5-1669825495.png)
Tính giới hạn: ![Tính giới hạn: lim [1/1.3 + 1/2.4 + .... + 1/n(n+2)] A. 3/4 B. 1 C. 0 D. 2/3 Chọn A lim [1/1.3 + 1/2.4 + .... + 1/n(n+2)] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid9-1669825717.png)
34
1
0
23
Chọn A.
Ta có :![Tính giới hạn: lim [1/1.3 + 1/2.4 + .... + 1/n(n+2)] A. 3/4 B. 1 C. 0 D. 2/3 Chọn A lim [1/1.3 + 1/2.4 + .... + 1/n(n+2)] (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid7-1669825625.png)
![Tính giới hạn: lim [1/1.3 + 1/2.4 + .... + 1/n(n+2)] A. 3/4 B. 1 C. 0 D. 2/3 Chọn A lim [1/1.3 + 1/2.4 + .... + 1/n(n+2)] (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid8-1669825628.png)
Tính giới hạn: ![Tính giới hạn: lim [1/1.4 + 1/2.5 + ... + 1/n(n+3)] A. 11/18 B.2 C. 1 D. 3/2 Chọn A Cách 1: lim [1/1.4 + 1/2.5 + ... + 1/n(n+3)] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid12-1669825838.png)
.
1118
2
1
32
Chọn A.
Cách 1:
![Tính giới hạn: lim [1/1.4 + 1/2.5 + ... + 1/n(n+3)] A. 11/18 B.2 C. 1 D. 3/2 Chọn A Cách 1: lim [1/1.4 + 1/2.5 + ... + 1/n(n+3)] (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid10-1669825744.png)
Cách 2: Bấm máy tính như sau: ![Tính giới hạn: lim [1/1.4 + 1/2.5 + ... + 1/n(n+3)] A. 11/18 B.2 C. 1 D. 3/2 Chọn A Cách 1: lim [1/1.4 + 1/2.5 + ... + 1/n(n+3)] (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid11-1669825753.png)
và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Tính giới hạn: ![Tính giới hạn: lim [(1-1/2^2)( 1-1/3^2) ... (1 - 1/n^2)] A. 1 B. 1/2 C. 1/4 D. 3/2 Chọn B. Cách 1: lim [(1-1/2^2)( 1-1/3^2) ... (1 - 1/n^2)] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid15-1669825983.png)
.
1
12
14
32
Chọn B.
Cách 1:
![Tính giới hạn: lim [(1-1/2^2)( 1-1/3^2) ... (1 - 1/n^2)] A. 1 B. 1/2 C. 1/4 D. 3/2 Chọn B. Cách 1: lim [(1-1/2^2)( 1-1/3^2) ... (1 - 1/n^2)] (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid14-1669825893.png)
Cách 2: Bấm máy tính như sau: ![Tính giới hạn: lim [(1-1/2^2)( 1-1/3^2) ... (1 - 1/n^2)] A. 1 B. 1/2 C. 1/4 D. 3/2 Chọn B. Cách 1: lim [(1-1/2^2)( 1-1/3^2) ... (1 - 1/n^2)] (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/11/blobid13-1669825857.png)
và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
