32 câu Trắc nghiệm Giới hạn của dãy số có đáp án (phần 2)

Đáp án D

Ta có:$lim (n^3-2n+1)=lim n^3\left(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)$.

Vì $lim n^3=+\infty$ và $lim\left(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)= 1-0+\hspace{0.17em}0= 1$

 Nên theo quy tắc 2, $lim(n^3-2n+1)=+\infty$

Đáp án là B

Ta có $5n-n^2+1=n^2\left(\frac{5}{n}-1+\frac{1}{n^2}\right)$

Vì $lim n^2=+\infty$ và  $lim\left(\frac{5}{n}-1+\frac{1}{n^2}\right)=-1<0$ nên $lim(5n-n^2+1)=-\infty$ (theo quy tắc 2).

Đáp án A

Ta có :

$$\begin{gathered} lim u_n=lim\left(\frac{5n^2}{n^2}+\frac{3n}{n^2}-\frac{7}{n^2}\right) \\ =lim\left(5+\frac{3}{n}-\frac{7}{n^2}\right)=5+\hspace{0.17em}0 - 0 = 5 \end{gathered}$$

Đáp án C

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $n^3$ (  là lũy thừa bậc cao nhất củan trong phân thức), ta được:

 $u_n=\frac{2n^3-3n^2+n+5}{n^3-n^2+7}=\frac{2-{\displaystyle \frac{3}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}+{\displaystyle \frac{5}{n^3}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{7}{n^3}}}$.

 Vì $lim\left(2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{5}{n^3}\right)=2$ và $lim\left(1-\frac{1}{n}+\frac{7}{n^3}\right)=1\not\equiv 0$ nên $lim\frac{2n^3-3n^2+n+5}{n^3-n^2+7}=\frac{2}{1}=2$.

Đáp án là B

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho  $n^4$ ($n^4$  là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

$$\begin{gathered} lim u_n=lim\frac{n^3+2n+1}{n^4+3n^3+5n^2+6} \\ =lim\frac{{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{2}{n^3}}+{\displaystyle \frac{1}{n^4}}}{1+{\displaystyle \frac{3}{n}}+{\displaystyle \frac{5}{n^2}}+{\displaystyle \frac{6}{n^3}}}=\frac{0+\hspace{0.17em}0 +0}{1+\hspace{0.17em}0 +\hspace{0.17em}0 +\hspace{0.17em}0}=0 \end{gathered}$$.

Đáp án là C

Chia cả tử và mẫu cho $n^2$  ( $n^2$ là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được :

$u_n=\frac{3n^3+2n-1}{2n^2-n}=\frac{3n+{\displaystyle \frac{2}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}{2-{\displaystyle \frac{1}{n}}}$

Do $lim\left(3n+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}\right)=+\infty ;lim\left(2-\frac{1}{n}\right)=2>0$

Vậy $lim u_n=+\infty$

Cách 2: Ta có $lim u_n=lim\frac{n^3\left(3+{\displaystyle \frac{2}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n^3}}\right)}{n^2\left(2-{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}=lim\left(n\frac{3+{\displaystyle \frac{2}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n^3}}}{2-{\displaystyle \frac{1}{n}}}\right)$ 

Vì $lim n=+\infty$ và  $lim\frac{3+{\displaystyle \frac{2}{n^2}}+{\displaystyle \frac{1}{n^3}}}{2-{\displaystyle \frac{1}{n}}}=\frac{3}{2}>0$ nên theo quy tắc 2, $lim u_n=+\infty$

Đáp án A

Ta có $\left|\frac{\sin (n!)}{n^2+1}\right|\le \frac{1}{n^2+1}$ mà $lim\frac{1}{n^2+1}= 0$ nên $lim\frac{\sin (n!)}{n^2+1}=0$

Đáp án A 

Ta có 

I=$lim\left(\sqrt{n^2-2n+3}-n\right)=lim\frac{\left(\sqrt{n^2-2n+3}-n\right)\left(\sqrt{n^2-2n+3}+n\right)}{\sqrt{n^2-2n+3}+n}$

$$\begin{gathered} =lim\frac{\left(n^2-2n+3\right)-n^2}{\sqrt{n^2-2n+3}+n} \\ =lim\frac{-2n+3}{\sqrt{n^2-2n+3}+n} \\ =lim\frac{-2+{\displaystyle \frac{3}{n}}}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{2}{n}}+{\displaystyle \frac{3}{n^2}}}+1} \\ =\frac{-2}{\sqrt{1}+1}=-1 \end{gathered}$$

Đáp án là B

Ta có $lim\left(n-\sqrt[3]{8n^3+3n+2}\right)=lim n\left(1-\sqrt[3]{8+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}\right)$

Vì $lim n=+\infty$,$lim\left(1-\sqrt[3]{8+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}\right)=1-\sqrt[3]{8}=-1<0$ nên $lim(n-\sqrt[3]{8n^3+3n+2})=-\infty$.

Đáp án C

Ta có $n^2-n\sqrt{4n+1}=n^2\left(1-\sqrt{\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)$

Vì $lim n^2=+\infty$ và $lim\left(1-\sqrt{\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)=1>0$ nên theo quy tắc 2:

 $lim\left(n^2-n\sqrt{4n-1}\right)=+\infty$

Đáp án là A

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của $n-\sqrt[3]{n^3+3n^2+1}$

$lim\frac{n^3-\left(n^3+3n^2+1\right)}{\left(n^2+n\sqrt[3]{n^3+3n^2+1}+\sqrt[3]{{\left(n^3+3n^2+1\right)}^2}\right)}$

$lim\frac{-3n^2-1}{n^2+n^2\sqrt[3]{1+{\displaystyle \frac{3}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^3}}}+n^2.\sqrt[3]{{\left(1+{\displaystyle \frac{3}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^3}}\right)}^2}}$

$=lim\frac{-3-{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}{1+\sqrt[3]{1+{\displaystyle \frac{3}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^3}}}+\sqrt[3]{{\left(1+{\displaystyle \frac{3}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^3}}\right)}^2}}=\frac{-3-0}{1+1+1}=-1$

Đáp án C

Ta có $5^n-2^n=5^n\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^n\right)$         

Vì $lim 5^n=+\infty$ và $lim\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^n\right)=1>0$ nên theo quy tắc 2, $lim\left(5^n-2^n\right)=+\infty$

Đáp án B

$lim\frac{4.3^n+7^{n+1}}{2.5^n+7^n}=lim\frac{4.{\left({\displaystyle \frac{3}{7}}\right)}^n+7}{2.{\left(\frac{5}{7}\right)}^n+1}=\frac{4.0+7}{2.0+1}=7$

Đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} 0,32111...=\frac{32}{100}+\frac{1}{{10}^3}+\frac{1}{{10}^4}+\frac{1}{{10}^5}+... \\ =\frac{32}{100}+\frac{{\displaystyle \frac{1}{{10}^3}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{10}}}=\frac{289}{900} \end{gathered}$$ .

Vậy $a=289,b=900$. Do đó $a-b=289-900=-611$.

Đáp án là A

Ta có ở tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_1=3$ và  q=3 .

Do đó $3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^n=3.\frac{3^n-1}{3-1}=\frac{3}{2}\left(3^n-1\right)$

Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiền của cấp số nhân $\left(v_n\right)$ với $v_1=1$ và q=2.

Do đó $1+2+2^2+\mathrm{...}+2^n=1.\frac{2^{n+1}-1}{2-1}=2^{n+1}-1$

Vậy 

$\begin{array}{l}\lim \frac{3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^n}{1+2+2^2+\mathrm{...}+2^n}\\ =\lim \frac{3}{2}.\frac{3^n-1}{2^{n+1}-1}\\ =\lim \frac{3}{2}.\frac{1-\frac{1}{3^n}}{2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-\frac{1}{3^n}}\\ =+\infty \end{array}$

Đáp án là C

Đáp án  là B

Ta có: $-1\le \cos 2n\le 1$ nên :

 $-\frac{n}{n^2+1}\le \frac{n\cos 2n}{n^2+1}\le \frac{n}{n^2+1}$

Ta có $lim-\frac{n}{n^2+1}=lim-\frac{{\displaystyle \frac{1}{n}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}=0$;$lim\frac{n}{n^2+1}=lim\frac{{\displaystyle \frac{1}{n}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}=0$;

$$\begin{gathered} \Rightarrow lim\left(\frac{n\cos 2n}{n^2+1}\right)=0 \\ \Rightarrow lim\left(5-\frac{n\cos 2n}{n^2+1}\right)=5- 0 = 5 \end{gathered}$$.

Đáp án là C

Ta có: $C=lim\frac{n^8{\left(2+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)}^4{n}^9{\left(1+{\displaystyle \frac{2}{n}}\right)}^9}{n^{17}\left(1+{\displaystyle \frac{1}{n^{17}}}\right)}=lim\frac{{\left(2+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)}^4.{\left(1+{\displaystyle \frac{2}{n}}\right)}^9}{1+{\displaystyle \frac{1}{n^{17}}}}=\frac{2^4.1}{1+0}=16$

Đáp án là B

Ta có: $lim u_n=lim\left(n-1\right)\sqrt{\frac{2n+2}{n^4+n^2-1}}$

$=lim\sqrt{\frac{{\left(n-1\right)}^2\left(2n+2\right)}{n^4+n^2-1}}$
$=lim\sqrt{\frac{2n^3-2n^2-2n+2}{n^4+n^2-1}}$

$$\begin{gathered} =lim\sqrt{\frac{{\displaystyle \frac{2}{n}}-{\displaystyle \frac{2}{n^2}}-{\displaystyle \frac{2}{n^3}}+{\displaystyle \frac{2}{n^4}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n^4}}}}=0 \\ Vi lim (\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}-\frac{2}{n^3}+\frac{2}{n^4}) = 0- 0- 0+\hspace{0.17em}0 = 0 \\ lim (1+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^4}) = 1 +\hspace{0.17em}0- 0 = 1 \end{gathered}$$

Đáp án là B

$lim\frac{1+3+5+...+(2n+1)}{3n^2+4}$

Ta có: 1+3 + 5+ .... +  (2n +1) là tổng của n +1 số hạng 1 cấp số cộng có $u_1$ = 1 và công sai d =2.

Nên 1+  3 +  5+   .. + (2n+1) $=\frac{(n+1)}{2}.\left[2.1+(n+1-1).2\right]={\left(n+1\right)}^2$

 $lim\frac{1+3+5+...+(2n+1)}{3n^2+4}=lim\frac{{\left(n+1\right)}^2}{3n^2+4}$

$=lim\frac{n^2+2n+1}{3n^2+4}=lim\frac{1+{\displaystyle \frac{2}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}{3+{\displaystyle \frac{4}{n^2}}}=\frac{1}{3}$

Đáp án là C

Ta có:

Đáp án là A

$lim\left[\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+...+\frac{1}{n\left(n+2\right)}\right]$

Ta có :

 $$\begin{gathered} lim\left[\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+...+\frac{1}{n\left(n+2\right)}\right] \\ =lim\frac{1}{2}.\left[\frac{2}{1.3}+\frac{2}{2.4}+...+\frac{2}{n\left(n+2\right)}\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} lim\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right) \\ =lim\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\right)= \frac{1}{2}(1\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}\frac{1}{2}-0)=\frac{3}{4} \end{gathered}$$

Chọn D

Chọn A

Chọn D

$\lim \left(\sqrt{n+7}-\sqrt{n}\right)=\lim \frac{n+7-n}{\sqrt{n+7}+\sqrt{n}}=\lim \frac{7}{\sqrt{n+7}+\sqrt{n}}$ = 0  

Chọn C

Chọn C

Để giới hạn bằng 1 số thực thì bậc của từ  và  mẫu bằng nhau

Xét phương án C; 

Chọn B

$\begin{array}{l}\lim 2n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-3}\right)=\lim 2n\frac{n^2+1-n^2+3}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-3}}\\ =\lim \frac{8n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-3}}=\lim \frac{8n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+n\sqrt{1-\frac{3}{n^2}}}=\lim \frac{8}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{3}{n^2}}} =4\end{array}$

Chọn  D

$\lim \frac{2n+\sin 2n}{2n+5}=\lim \frac{2n}{2n+5}+\lim \frac{\sin 2n}{2n+5}$

Ta có $\lim \frac{2n}{2n+5}= lim\frac{2}{2 +\hspace{0.17em} {\displaystyle \frac{5}{n}}} = \frac{2}{2+\hspace{0.17em}0}=1$ và

$0\le \left|\frac{\sin 2n}{2n+5}\right|\le \frac{1}{2n+5}$ mà $\lim \frac{1}{2n+5}=0$

Suy ra $\lim \frac{\sin 2n}{2n+5}=0$.

Vậy $\lim \frac{2n+\sin 2n}{2n+5}=1+\hspace{0.17em}0 = 1$

Chọn A

$$\begin{gathered} \lim \frac{\sqrt{4n^2+1}-\sqrt{n+2}}{2n-3} \\ =\lim \frac{n\sqrt{4+\frac{1}{n}}-n\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}{n\left(2-\frac{3}{n}\right)} \\ = \lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}{\left(2-\frac{3}{n}\right)}= \frac{\sqrt{4+0}- \sqrt{0+0}}{2- 0}=1 \end{gathered}$$

Chọn B

Ta thấy cấp số nhân với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-\frac{1}{2}\\ q=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$S=-\frac{1}{2}.\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}$

Chọn A

Ta thấy cấp số nhân với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{3}\\ q=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$

$S=\frac{1}{3}.\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$