Dạng 2. Sử dụng định nghĩa, tính chất của hình vuông để chứng minh các quan hệ bằng nhau, song song, vuông góc, thẳng hàng có đáp án

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

      AB=BCA^=B^=900BM=CN

⇒ΔABM=ΔBCN (c.g.c), nên AM = BN.

Gọi I là giao diểm của AM và BN.

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác vuông ABM và BCN kết quả của hai tam giác bằng nhau, ta được:

      A1^+M1^=900B1^=A1^⇒B1^+M1^=900                                               (1)

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác BIM ta có B1^+M1^+I1^=1800     (2)

Từ (1) và (2) suy ra I^=1800−900=900 hay AM⊥BN.

Ta cần chứng minh bài toán đúng với các điểm M, N, P, Q nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA (các trường hợp còn lại chứng minh tương tự).

Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M, N đến hai cạnh CD, DA và E, I, O thứ tự là giao điểm của MH với NK, MP với NQ.

Áp dụng định nghĩa vào hình vuông ABCD và tính chất góc đồng vị của KN // DC, ta được A^=B^=C^=E^=K^=N^=900.

Các tứ giác MBHC, KNCD và MBNE là các tứ giác có ba góc vuông nên chúng là các hình chữ nhật.

a)   MP=NQ⇒MP⊥NQ.

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hai hình chữ nhật MBCH, KNCD và hình vuông ABCD ta được:

      MH=BC,NK=CDBC=CD,MP=NQ⇒MH=MKMP=NQ⇒ΔMHP=ΔNKQ (trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông).

Áp dụng tính chất về góc vào hai tam giác bằng nhau ở trên và tính chất của hai góc đối đỉnh ta có

M1^=N1^I1^=I2^⇒O^=E^=900 (vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc thứ ba cũng bằng nhau).

Vậy MP vuông góc với NQ tại O.

b)  MP⊥NQ⇒MP=NQ.

Xét hai tam giác MEI và NEI có I1^=I2^ vì đối đỉnh, O^=E^=900 suy ra M1^=N1^ (1) vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau.

Lại có H^=K^=900,MH=NK (2) theo câu a).

Từ (1) và (2) suy ra ΔMHB=ΔNKQ (c-g-c) nên MP = NQ.

a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được A^=D^=900AB=AD,BM=DK

⇒ΔABM=ΔADK (c-g-c).

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau ở trên và giả thiết, ta có:

A1^+A2^+A3^=900A1^=A4^,A2^=450⇒KAN^=A3^+A4^=A1^+A3^=900−450=450.

b)  Đặt BM = DK = x thì KN=x+DN,MC=a−x,CN=a−DN.

Từ kết quả của hai tam giác bằng nhau ở câu a) và giả thiết, ta được:

      AM=AK,AN=ANMAN^=KAN^=450⇒ΔAMN=ΔAKN (c-g-c) suy ra MN = KN.

Vậy chu vi tam giác MCN bằng MC+CN+NM=a−x+a−DN+x+DN=2a.

a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

 A^=B^=D^A1^+A2^=A2^+A3^=A^=900AB=AD⇒B^=D^=900AB=ADA3^=A1^⇒ΔABM=ΔADN (c-g-c).

Do đó AM = AN.

b) 

Cách 1 (hình 105a): Nối IA, IC thì IA và IC lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông AMN, CMN.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên và định nghĩa hình vuông ta được IA=IC=12MNBA=BC.

Điều này chứng tỏ hai điểm B và I cách đều hai điểm A và C nên BI là đường trung trực của đoạn AC. Mặt khác theo tính chất về đường chéo của hình vuông thì BD là trung trực của AC mà đoạn AC thì chỉ có một đường trung trực nên BI trùng với BD hay B, I, D thẳng hàng.

Cách 2 (hình 105b):

Qua M kẻ MP // BD  (1) (điểm P∈DC) suy ra DI // MP (2).

Lại có NI = MI (3) theo giả thiết. Từ (2) và (3) suy ra ND = DP (4)
theo định lí đường trung bình.

Từ (3) và (4) ta có DI là đường trung bình của tam giác NMP.

Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác NMP ta được DI // MP (5).
Từ (1) và (5) suy ra B, I, D thẳng hàng, vì từ điểm I ở ngoài đường thẳng MP chỉ kẻ được một đường thẳng song song với MP.

Cách 3: Qua M kẻ MH // ND (1) (điểm H∈BD) thì D1^=H1^ (2) do đồng vị.

Mà BD là đường chéo của hình vuông ABCD nên BD là đường phân giác của hai góc vuông B và D do đó D1^=H1^=450 (3).

Từ (2) và (3) ta có BM = MH (4) vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau.

Kết hợp (1) với (4) ta được tứ giác NHMD có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành NHMD, ta được đường chéo DH đi qua trung điểm I của đường chéo NM nên BD đi qua I.

Điều đó chứng tỏ B, I, D thẳng hàng.