Chủ đề 1: Nhân đa, đơn thức có đáp án

x22xy−y2+2=2x3y−x2y2+2x2

xx+xy+2yx2−x2y=x2+x2y+2x2y−2x2=3x2y−x2

4x2y:xy2=4xy

8x25y:−xy2=−8x25y.y2x=−8xy5

Ta có: x−1x2−x+1−x−x22x

                =x2x−1−xx−1+1x−1−x.2x−x2.2x

                =x.x2−1.x2−x.x−1.x+x−1−2x2−2x3

                =x3−x2−x2+x+x−1−2x2+2x3

                =3x3−4x2+2x−1

Ta có: x−12x−13x−1

                =2xx−1−1x−13x−1

                =2x2−2x−x+13x−1

                =2x2−3x+13x−1

                =2x23x−1−3x3x−1+13x−1

                =6x3−2x2−9x2+3x+3x−1=6x3−11x2+6x−1

Ta có: xx−y−x+1x+yx+yx−xy2

                  =x.x−y.x−x.x+1+yx.x+1+x.y−xy2.y

                  =x2−xy−x2+x+yx2+xy+xy−xy3

                  =x2−xy−x2−x−yx2−xy+xy−xy3

                  =−xy−x−yx2−xy3

Ta có: 2x2+y22x3+y21−xy3

                   =2x22+y22x3+y213−xy3

                   =2x22x3+y2+y22x3+y213−xy3

                   =x3.2x22+y2.2x22+x3.y22+y2.y2213−xy3

                   =2x36+x2y2+xy26+y3413−xy3

                   =x3313−xy3+x2y213−xy3+xy2613−xy3+y3413−xy3

              =13x33−xy3x33+13x2y2−xy3x2y2+13xy26−xy3xy26+13y34−xy3y34

                   =x39−2x4y9+x2y6−x3y36+xy218−x2y318+y312−xy412

                   =x3−2x4y9+x2y−x3y36+xy2−x2y318+y3−xy412

Ta có: A=2x2x2−5−x2x−3x2−x2−x4

                   =2x4−10x2−x3+3x4−x2+x4

                   =−6x2−x3−11x2=−x3−11x2

         Tại x = 1 thay vào ta được: A=6.14−13−11.12=6−1−11=−6

Ta có: x3y+2xy3−2xyx2+2y2

                   =xyx2+2y2−2xyx2+2y2

                   =x2+2y2xy−2xy=x2+2y2−xy

          Tại x = 2; y = -1 thay vào ta được B=22+2−12−2.−1=12

Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

                   x2+y2=x22+2x2y+y2=x4+2x2y+y2

Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

                   −y−xy2=−y2−2−yxy+xy2=y2+2xy2+x2y2

Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

        16x4−y4=4x22−y22=4x2−y24x2+y2

          =2x−y2x+y4x2+y2

Áp dụng hằng đẳng thứ ta có:

         x+y+z2=x+y+z2=x+y2+2x+yz+z2

                         =x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2

                         =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

Áp dụng bất đẳng thức ta được:

                   −x3−8y3=−x3−2y3

               =−x−2y−x2+−xy+2y2

               =−x−2yx2−xy+4y2

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

               y−x3+x+y3+x−y3−x3+y3

           =y3−3y2x+3yx2−x3+x3+3x2y+3xy2+y3+x3−3x2y+3xy2−y3−x3+y3

           =x3+3x2y+3xy2+y3−x3−y3=3xyx+y

Ta có: xn+1x+y−yxn+1+yn+1

                   =xn+2+xn+1y−yxn+1−yn+2=xn+2−yn+2

Ta có: −3xnyn+12xny2n−3−2x2nyn+x2nynxny2n+1

           =−3xnyn.−2x2nyn+12xny2n.−2x2nyn−3−2x2nyn+x2nynxny2n+1

                   =6x3ny2n−x3ny3n+6x2nyn+x3ny3n+x3ny3n+x2nyn

                   =6x3ny2n+7x2nyn=x2nyn6xnyn+7

Ta có: x2a−b+b1−x+xbx+b−axx+1

          =ax2−bx2+b−bx+bx2+bx−ax2−ax=b−ax

Ta có: 3a24a−3b−3a23a+b−3a3

                   =12a3−9a2b−9a3−3a2b−3a3=−12a2b

Ta có: 4x−2yx+y+4x+y2+x−2y2−12xy+4y4

                   =4x−8yx+y+4x2+2xy+y2+x2−4xy+4y2−12xy+4y2

                   =4xx+y−8yx+y+4x2+8xy+4y2+x2−16xy+8y2

                   =4x2+4xy−8xy−8y2+5x2−8xy+12y2

                   =9x2−12xy+4y2=3x2−2.3x.2y+2y2=3x−2y2

Ta có: −a4nx5n−a6nxn+2a3nx2n−11ax5n−a5nx5na5nxn+11x5n

          =a10nx6n+2a7nx7n+11a5nx10n−a10nx6n−11a5nx10n=−2a7nx7n

Ta có: xn−ynxn+ynx2n−2xnyn+2y2n

                   =x2n−xnyn+xnyn−y2nx2n−2xnyn+2y2n

                   =x2n−y2nx2n−2xnyn+2y2n

                   =x2nx2n−2xnyn+2y2n−y2nx2n−2xnyn+2y2n

                   =x4n−2x3nyn+2x2ny2n−x2ny2n+2xny3n−2y4n

          =x4n−2x3nyn+x2ny2n+2xny3n−2y4n

Ta có: xn+22−xn4+x2n

                   =2xn+4−x2n−2xn4+x2n=4−x2n4+x2n

          =16−4x2n+4x2n−x4n=16−x4n

Ta có:

         VT =x2−3x+4+x−x2x+3

              =x3−3x+4x2−12+x2−x3+3x−3x2=2x2−12= VP

         ⇒ đpcm.

Ta có:

         VT =x2−3x+4+x−x2x+3

              =x3−3x+4x2−12+x2−x3+3x−3x2=2x2−12= VP

         ⇒ đpcm.

Ta có:

         VT =4−x+y4+x−y+x−yx+y

              =16−4x+4y+4x−x2+yx−4y+xy−y2+x2−yx+xy−y2

              =16+2xy−2y2=16+2yx−y= VP

         ⇒ đpcm.

Ta có:

         VT =x2+2−2xx2+2+2x

              =x4+2x2−4x3+2x2+4−4x+4x3+4x−4x2

              =x4+4= VP

         ⇒ đpcm.

Ta có: A=x−42x+5−2xx−3−3x−8

                   =2x2−8x+5x−20−2x2+6x−3x+8=−12

Vậy giá trị của biếu thức A không phụ thuộc vào biến x

Ta có: B=x2+2x+33x2−2x+1−3x2x2+2−4xx2−1

                   =3x4+6x3+9x2−2x3−4x2−6x+x2+2x+3−3x4−6x2−4x3+4x

                   =3

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào biến x

Ta có: C=3x−52x+11−2x+33x+7

                   =6x2−10x+33x−55−6x2−9x−14x−21=−76

Vậy giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào biến x

Ta có: y2−6y+10=y2−2.y.3+9+1=y−33+1

        Ta thấy y−32≥0 suy ra y−32+1>0 ∀x⇒ đpcm

Ta có: 9x2−6x+25y2+10y+4

                   =3x2−2.3x+1+5y2+2.5y+1+3

                   =3x−12+5y+12+3>0  ∀x⇒ đpcm

Ta có: x2−x+1=x2−2.12.x+14+34=x−122+34>0 ∀x⇒ đpcm

Ta có: x2−x+32=x2−2.12.x+14−14+32

                   =x−122+54>0 ∀x⇒ đpcm

Ta có: x2+y2+z2−4x−4y−4z+12

                   =x2−4x+4+y2−4y+4+z2−4z+4

                   =x−22+y−22+z−22≥0 với mọi số thực x, y, z

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=2.

Ta có: A=x+1x+4x+2x+3+1

              A=x2+5x+4x2+5x+6+1

Đặt t=x2+5x+4, khi đó ta có:

              A=tt+2+1=t2+2t+1=t+12

Vậy A=x2+5x+52 (đpcm)

Ta có: A=4x−2x2+3=−2x2+4x−2+5

                   =−2x2−2x+1+5=5−2x−12≤5

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 5 khi x−1=0⇔x=1.

Ta có: B=1−x2+x+3−x4+x

                   =2−2x+x−x2+12−4x+3x−x2

                   =−2x2−2x+14=−2x2+2.12.x+14−12+14

                   =272−2x+122≤272

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 272 khi x+12=0⇔x=−12.

Ta có: C=5−8x−x2=−x2−8x−16+16+5

                   =−x2+8x+16+21=−x+42+21

                   =21−x+42≤21 ∀x

Vậy giá trị lớn nhất của C là 21 khi x+4=0⇒x=−4

Ta có: D=−3xx+3−7=−3x2−9x−7

                   =−3x2+2x.32+94−94−7=−3x−322+274−7

                   =−3x+322−14

                   =−14−3x+322≤−14 ∀x

Vậy giá trị lớn nhất của D là −14 khi x+32=0⇒x=−32

Ta có: A=4x2−4x+2=4x2−4x+1+1=2x−12+1≥1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1 khi 2x−1=0⇔x=12.

Ta có: B=12+6x2+9x=3x2+3x+4

                   =3x2+232x+94+74=3x+322+214≥214

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 214 khi x+32=0⇔x=−32.

Ta có: A=xx+3x−1x−4=xx−1x+3x−4

                   =x2−xx2+3x−4x−12=x2−xx2−x−12

Đặt t=x2−x thay vào ta được:

                   A=tt−12=t2−12t+36−36=t−62−36≥−36

Giá trị nhỏ nhất của A=−36 khi và chỉ khi t−6=0⇔t=6

                   ⇔x2−x=6⇔x2+2x−3x−6=0

                   ⇔xx+2−3x+2=0

                   ⇔x−3x+2=0⇔x=3x=−2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A=−36 khi và chỉ khi x=3 hoặc x=−2

Ta có: B=4x4+4x3+5x2+4x+3

                   =4x4+4x3+x2+4x2+4x+1+2

                   =x24x2+4x+1+4x2+4x+1+2

                   =x22x+12+2x+12+2≥2

Mặt khác B=2⇔x2=02x+1=02x+1=0⇔x=0x=−12x=−12⇔x=−12

Vậy giá trị nhỏ nhất của B=2 khi và chỉ khi x=−12

Ta có: A=x2+5x+8=x2+2.x.52+254−254+8

                   =x+522+74≥74 ∀x

Vậy A có giá trị nhỏ nhất là 74 khi x+52=0⇒x=−52

B=xx−6=x2−6x

                   =x2+6x+9−9

                   =x−32−9≥−9 ∀x

Vậy B có giá trị nhỏ nhất là -9 khi x−3=0⇒x=3

Ta có: xx+2x+8x+6+20=xx+8x+2x+6+20

                   =x2+8xx2+8x+12+20

Đặt t=x2+8x+6, khi đó ta được:

                   t−6t+6−10=t2−6−10=t2−16=t−4t+4

                                            =x2+8x+6−4x2+8x+6+4

                                            =x2+8x+2x2+8x+10

Ta có: 4x4−4x3−7x2+4x+4

                   =x24x2−4x−7+4x+4x2

                   =x24x2+1x2−4x−1x−7

Đặt t=x−1x⇔x2+1x2=t2+2, khi đó ta được:

                   x24t2+2−4t−7=x24t2+8−4t−7=x24t2−4t+1

                   =x2t−12=x2x−1x−12=x2−x−12

xy2−x+x24=x2y−2+x2

x4−9x2y2=x2x2−9y2=x2x−3yx+3y

Ta có: x4+4y2=x4+4y4+4x2y2−4x2y2

          =x2+2y22−4x2y2=x2+2y2−2xyx2+2y2+2xy

x2+2xy+y2−2x−2y=x+y2−2x+y=x+yx+y−2

Ta có: x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4−x2y2

                   =x2+y22−x2y2=x2+y22−xy2

                   =x2+y2+xyx2+y2−xy

Ta có: x3+3x−4=x3−3x2+3x−1+3x2−3

                   =x−13+3x2−1=x−13+3x+1x−1

                   =x−1x−12+3x+1=x−1x2+x+4

Ta có: x3−3x2+2=x3−3x2+3x−1−3x+3

          =x−13−3x−1=x−1x−12−3=x−1x2−2x−2

Ta có: 2x3+x2−4x−12=x4−4x+4+2x3−16

                   =x−22+2x3−8=x−22+2x−2x2+2x+4

                   =x−2x−2+2x2+2x+4=x−22x2+5x+6

Ta có: x+y+z3−x3−y3−z3

                   =x+y+z3−x3−y3+z3

                   =y+zx+y+z2+x+y+zx+x2−y+zy2−yz+z2

                   =y+z3x2+3xy+3yz+3zx

                   =3y+zxx+y+zx+y

                   =3x+yy+zz+x.

Ta có: x4+2018x2+2017x+2018

                   =x4−x+2018x2+2018x+2018

                   =xx3−1+2018x2+2018x+2018

                   =xx−1x2+x+1+2018x2+x+1

                   =x2+x+1x2−x+2018

Ta có: x4+4=x4+4x2+4−4x2

                   =x4+4x2+4−2x2

                   =x2+2+2xx2+2−2x

Ta có: x3−5x2+8x−4

                   =x3−4x2+4x−x2+4x−4

                   =xx2−4x+4−x2−4x+4

                   =x−1x−22

Ta có: x+2x+3x+4x+5−24

                   =x2+7x+11−1x2+7x+11+1−24

                   =x2+7x+112−1−24

                   =x2+7x+112−52

                   =x2+7x+6x2+7x+16

                   =x+1x+6x2+7x+16

Ta có: xx−3x+4x−2

                   =xx−x−3x+3x+2x−2

                   =xx−1−3xx−1+2x−1

                   =x−1xx+1−3x+2=x−1x−2x+2

Ta có: ab2−c2−ba2−c2+ca2−b2

                   =ab2−c2−a2b+c2b+a2c−b2c

                   =ab2−c2−a2b+a2c+c2b−b2c

                   =ab2−c2−a2b−c−bcb−c

                   =b−cab+ac−a2−bc

                  =b−cba−c−aa−c

                   =b−ca−cb−a

Ta có: aba+b+bcb+c+aca+c+2abc

                   =aba+b+b2c+bc2+a2c+ac2+2abc

                   =aba+b+ac2+bc2+a2c+b2c+2abc

                   =aba+b+c2a+b+ca2+b2+2ab

                   =a+bab+c2+ca+cb=a+ba+cb+c

Ta có: a3b2−c2+b3c2−a2+c3a2−b2

                   =a3b2−c2+b3c2−b3a2+c3a2−c3b2

                   =a3b2−c2+b3c2−c3b2−b3a2+c3a2

                   =a3b2−c2+b2c2b−c−a2b3−c3

                   =b−ca3b+c+b2c2−a2b2+bc+c2

                   =b−ca3b+a3c+b2c2−a2b2−a2bc−a2c2

                   =b−ca3b−a2b2+a3c−a2bc+b2c2−a2c2

                   =b−ca2ba−b+a2ca−b−c2a2−b2

                   =b−ca−ba2b+a2c−c2a+b

                   =b−ca−ba2b+a2c−c2a−c2b

                   =b−ca−ba2b−c2b+a2c−c2a

                   =b−ca−bba2−c2+aca−c

                   =a−bb−ca−cab+bc+ac

Ta có: a+ba2−b2+b+cb2−c2+c+ac2−a2

                   =a+ba2−b2−b+ca2−b2+c2−a2+c+ac2−a2

                   =a+ba2−b2−b+ca2−b2−b+cc2−a2+c+ac2−a2

                   =a2−b2a+b−b−c+c2−a2c+a−b−c

                   =a2−b2a−c+c2−a2a−b

                   =a−ba−ca+b−a−c

                   =a−ba−cb−c

Ta có: 2x+3+x3+x=0

         ⇔x+32+x=0

          ⇔x+3=0x+2=0⇔x=−3x=−2

Ta có: 2x−32−4x−6x+2+x2+4x+4=0

            ⇔2x−32−22x−3x+2+x+22=0

            ⇔3x−2−x+22=0⇔3x−2−x−22=0

            ⇔2x−42=0⇔2x−4=0⇔x=2

Ta có: 5x−22x+1+10x+31−x=13

             ⇔5x2x+1−22x+1+10x1−x+31−x=13

              ⇔10x2+5x−4x−2+10x−10x2+3−3x=13

               ⇔8x=12⇔x=32

Ta có: 2x2−x+12+x−x−1x−3=1

           ⇔2x2−x2+x−2+x−xx−3+x−3=1

            ⇔2x2−2x−2x2−2−x−x2+3x+x−3=1

             ⇔x−5=1⇔x=6

Ta có: 2xx−2=2−x⇔2xx−2−2−x=0

          ⇔2xx−2+x−2=0⇔x−22x+1=0

           ⇔x−2=02x+1=0⇔x=2x=−12

Vậy x=−12 và x=2

Ta có: 3x−22−9x2+4=0

            ⇔3x−22−9x2−4=0

             ⇔3x−22−3x−23x+2=0

                   ⇔3x−23x−2−3x−2=0

                   ⇔−43x−2=0⇔3x−2=0⇔x=23

Vậy x=23

Ta có: 2x+32−x−4x+4−3x2+3=0

                   ⇔2x+32−x−4x+4−3x2+3=0

                   ⇔4x2+12x+9−x2−16−3x2−9=0

                   ⇔4x2+12x+9−x2+16−3x2−9=0

                   ⇔12x+16=0⇔x=−1612=−43

Vậy x=−43

Ta có: x3−3x2+3x−1=0

                   ⇔x3−1−3xx−1=0

                   ⇔x−1x2+x+1−3xx−1=0

                   ⇔x−1x2+x+1−3x=0

                   ⇔x−1x2+x+1−3x=0

                   ⇔x−1x2−2x+1=0

                   ⇔x−1x−12=0

                   ⇔x−13=0⇔x=1

Vậy x=1.

Ta có: x3+6x2+12x+8=0

                   ⇔x3+23+6xx+2=0

                   ⇔x3+23+6xx+2=0

                   ⇔x+2x2−2x+4+6xx+2=0

                   ⇔x+2x2−2x+4+6x=0

                   ⇔x+2x2+4x+4=0

                   ⇔x+2x+22=0

                   ⇔x+23=0

                   ⇔x=−2

Ta có: A=x3+y3+3xyx2+y2+6x2y2x+y

                   =x+yx2−xy+y2+3xyx2+y2+2xy−2xy+6x2y2x+y

                   =x+yx+y2−3xy+3xyx+y2−2xy+6x2y2x+y

Theo bài ra ta có: x+y=1, thay vào A ta được:

                   A=1−3xy+3xy1−2xy+6x2y2

                   =1−3xy+3xy−6x2y2+6x2y2=1

Vậy A=1

Theo bài ra có:

+) x+y=2⇔x+y2=4⇔x2+y2+2xy=4

                     ⇔x2+y2+2xy=4      (*)

 +) Mặt khác theo bài ra: x2+y2=8, thay vào phương trình (*) ta được:

(*) ⇔8+2xy=4⇔xy=4−82=−2

+) Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:

                   A=x3+y3=x+yx2−xy+y2

Thay các giá trị phía trên vào A ta được:

                   A=x+yx2−xy+y2=2.8−−2=20

Vậy A=20.

Ta có: 4x5y2+6x3y4−8x4y3:4x2y2

                   =4x5y2:4x2y2+6x3y4:4x2y2−8x4y3:4x2y2

                   =x3+32xy2−2x2y

Ta có: −6x7+3x4−9x3:−13x2

                   =−6x7:−13x2+3x4:−13x2−9x3:−13x2

                   =15x5−9x2+27x

Ta có: 8x3−127y3:4x2+19y2+23xy

                   2x−13y4x2+2x13y+19y2:4x2+23xy+19y2=2x−13y

Thực hiện phép chia ta được:

Thực hiện phép chia ta được:

Thực hiện phép chia ta được:Vậy x3−6x2+2x+15:x−5=x2−x−3

Thực hiện phép chia ta được:Vậy: 2x4+2x3−7x2−x+3:2x2−1=x2+x−3

Thực hiện phép chia ta được:Vậy: m2x3+3mx2+21−mx−2mx−2:mx+1=mx2+2x−2

Thực hiện phép chia ta được:Vậy: m2x5−2m3−2x4+m2−4mx3+2x2:x2−2mx+1=m2x3+2x2

Ta có:

⇒9x2+a:3x+2=3x−2 dư a + 4.

Vậy để là phép chia hết thì a+4=0⇔a=−4.

Ta có:

⇒3x2+ax−20:x+3=3x+a−9 dư −3a+7.

Vậy để là phép chia có số dư bằng 2 thì −3a+7=−2⇔a=3.

Cách 1: Phương pháp thực hiện phép chia

             Ta có:

⇒x4−3x3+ax+b:x2−3x+4=x2−4 dư ax−12x+b+16.

Để là phép chia hết thì a−12=0b+16=0⇔a=12b=−16

Vậy với a=12 và b=−16 thì phép chia là phép chia hết

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định

Giả sử đa thức x4−3x3+ax+b chia hết cho x2−3x+4, khi đó ta được thương là nhị thức bậc hai có dạng: Ax2+Bx+C. Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức x4−3x3+ax+b, ta được:

Ax2+Bx+Cx2−3x+4=x4−3x3+ax+b

            ⇔Ax4+Bx3+Cx2−3Ax3−3Bx2−3Cx+4Ax2+4Bx+4C=x4−3x3+ax+b

            ⇔Ax4+B−3Ax3+C−3B+4Ax2+4B−3Cx+4C=x4−3x3+ax+b

               ⇔A=1B−3A=−3C−3B+4A=04B−3C=a4C=b⇔A=1B=0C=−412=a−16=b⇔a=12b=−16

         Vậy với a = 12 và b = -16 thì phép chia là phép chia hết.

Cách 1: Phương pháp thực hiện phép chia

Ta có:

⇒2x3−3x2+x+a:x+2=2x2−7x+15 dư a−30.

Vậy để là phép chia hết thì a−30=0⇔a=30.

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định

         Giả sử đa thức 2x3−3x2+x+a chia hết cho x+2, khi đó ta được thương là nhị thức bậc hai có dạng: Ax2+Bx+C. Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức 2x3−3x2+x+a, ta được:

Ax2+Bx+Cx+2=2x3−3x2+x+a

               ⇔Ax3+Bx2+Cx+2Ax2+2Bx+2C=2x3−3x2+x+a

               ⇔Ax3+B+2Ax2+C+2Bx+2C=2x3−3x2+x+a

               ⇔A=2B+2A=−3C+2B=12C=a⇔A=2B=−7C=152C=a⇔a=30

         Vậy với a = 30 thì đa thức 2x3−3x2+x+a chia hết cho x+2.

Cách 3: Phương pháp trị số riêng.

         Gọi thương của phép chia là Qx khi đó ta có:

                2x3−3x2+x+a=x+2.Qx với mọi x.   (1)

         +) Với x = - 2, thay vào (1) ta được:

                  2.−23−3−22−2+a=0⇔−16−12−2+a=0⇔a=30

         Vậy với a = 30 thì đa thức 2x3−3x2+x+a chia hết cho x+2.

Thực hiện phép chia ta được:

Vậy đa thức 2x3−x2−x+1:x−2=2x2+3x+5 dư 11.

Theo câu a ta có: 2x3−x2−x+1x−2=2x2+3x+5+11x−2

          Để 2x3−x2−x+1:x−2 là phép chia hết thì 11 phải chia hết cho x−2, tức là x−2 phải là ước của 11.

⇔x−2=1x−2=−1x−2=11x−2=−11⇔x=3x=1x=13x=−9

          Vậy để đa thức 2x3−x2−x+1 chia hết cho x−2 thì x=−9;1;3;13

Gọi số năm để tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con là n với n∈N

Theo bài ra ta có: 32−n=58−n

⇔32−n=40−5n⇔5n−n=40−32⇔4n=8⇔n=2

Vậy cách đây 2 năm tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con.

Gọi ba số tự nhiên lẻ liên tiếp nhau là 2n+1, 2n+3, 2n+5 với n∈N

Theo bài ra ta có: 2n+12n+3+18=2n+12n+5

⇔2n2n+3+12n+3+18=2n2n+1+52n+1

⇔4n2+6n+2n+3+18=4n2+2n+10n+5⇔4n=16⇔n=4.

Vậy ba số tự nhiên lẻ liên tiếp cần tìm là: 9, 11 và 13.

Do bể có hình chữ nhật nên diện tích của bể bơi:

          S=x+3y+7=xy+7+3y+7=xy+7x+3y+21.

Với x=4m và y=8m diện tích bể bơi là:

                   S=xy+7x+3y+21=4.8+7.4+3.8+21

                       =32+28+24+21=105m²

        Vậy diện tích bể bơi là 105 m².

Số hành khách lúc xuất phát là  hành khách x>0.

+) Bến thứ nhất có 3 hành khách lên xe, số hành khách trên xe là: x+3.

+) Bến thứ 2 số hành khách trên xe đã tăng lên gấp đôi, số hành khách trên xe là 2x+3.

+) Bến thứ 3 có 1 hành khách lên xe và 5 hành khách xuống xe, số hành khách trên xe là: 2x+3+1−5.

+) Bến thứ 4 không có hành khách lên hay xuống xe, số hành khách trên xe là 2x+3+1−5.

+) Bến thứ 5 có 2 hành khách lên xe, số hành khách trên xe là: 2x+3+1−5+2

        Tại bến thứ 5 tài xế đếm được trên xe có 20 hành khách, nên ta có:

        2x+3+1−5+2=20⇔2x+3=22

        ⇔x+3=11⇔x=8.

Vậy số hành khách lúc xuất phát là 8 hành khách.

+) Trục số ở trên biểu diễn các tầng của thang máy với tầng G là gốc 0,

Tầng 1, 2, 3, … 12, 12A, 14, 15, … 19 tương ứng là các số nguyên từ 1 đến 19, Tầng hầm tương ứng với -1.

+) Chiều thàng máy đi lên là +, chiều đi xuống là -.

+) Theo bài ra cuối cùng thang máy dừng ở tầng:

                   10++6+−17++1=0

Vậy cuối cùng thang máy dừng ở tầng G.

Gọi hai số tự nhiên lẻ liên tiếp nhau là 2n+1, 2n+3 với n∈N.

Theo bài ra ta có: 2n+33−2n+12=48

⇔2n+3−2n+12n+3+2n+1=48

⇔24n+4=48⇔4n+4=24⇔n=5

Vậy ba số tự nhiên lẻ liên tiếp cần tìm là: 11 và 13.

+) Ta có nửa chu vi là: 40:2=20 (m)

Mặt khác: nửa chu vi = (dài + rộng) ⇔ dài + rộng = 20 (m)

+) Gọi x là chiều rộng của chiếc ao hình chữ nhật x>0

Chiều dài của ao là 20−x (m).

+) Diện tích của hình chữ nhật là: S=x.20−x

⇔S=20x−x2⇔S=−x2+2.10.x+100−100

⇔S=100−x−102≤100

Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi x−10=0⇔x=10.

Với x=10⇒ chiều dài = chiều rộng = 10

Vậy diện tích lớn nhất của chiếc ao bằng 100m² với chiều rộng bằng chiều dài bằng 10m (ao có hình vuông)

+) Gọi x là độ dài của cạnh song song với hàng rào đã có sẵn x>0

         Và y là độ dài của cạnh vuông góc với hàng rào đã có sẵn y>0

         Theo bài ra ta có: x+2y=80

+) Diện tích của mảnh đất S=x.y

⇔S=80−2yy⇔S=80y−2y2

⇔S=−2y2+2.2.20y−800+800⇔S=800−2y−202≤800.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y−20=0⇔y=20.

Với y=20⇒x=40

Vậy diện tích lớn nhất của khu đất bằng 800m² với chiều dài bằng 40m, chiều rộng bằng 20m.

Tìm cách giải. Khi tìm hệ số a, b sao cho đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x), chúng ta có hai hướng suy nghĩ:

Đặt phép chia f(x) cho g(x) đến khi được phần dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức g(x). Để phép chia hết ta đồng nhất phần dư đó với đa thức 0.

Còn nếu đa thức g(x) phân tích được thành nhân tử với các nhân tử bậc nhất, ta viết f(x) thành tích các nhân tử đó nhân với đa thức thương. Rồi dùng đồng nhất thức sao cho vế phải bằng 0.

Trình bày lời giải

Cách 1. Thực hiện phép chia ta được:

Để phép chia hết thì  

Cách 2. Ta có: 

Đặt thương là q(x) ta có: 

Chọn x = 3 ta có:  

 (1)

Chọn x = -1 ta có:  

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  

Thay vào (2) .

Tìm cách giải. Từ đề bài theo định lí Bézout ta có . Như vậy đa thức P(x) bậc ba mà biết giá trị tại bốn điểm 1; 2; 3; - 1 nên ta có thể sử dụng phương pháp nội suy Newton.

Trình bày lời giải

Theo định lý Bézout ta có: .

Do đó ta đặt  

Cho x = 1 ta được , suy ra d = 6

Cho x = 2 ta được , suy ra c = 0

Cho x = 3 ta được , suy ra b = 0

Do đó .

Cho x = -1 ta được , do đó  suy ra a = 1.

Vậy 

Rút gọn ta được: .

Tìm cách giải. Đa thức g(x) bậc n có n nghiệm phân biệt. Nếu mọi nghiệm của đa thức g(x) cũng là nghiệm của đa thức f(x) thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x). Nhận thấy trong bài g(x) có hai nghiệm là x = 2; x = 3, nên chúng ta chỉ cần kiểm tra xem x= 2; x = 3 có là nghiệm của f(x) không?

Trình bày lời giải

Ta có:  nên  

 nên 

Nên f(x) chia hết cho 

Giải

Đặt phép chia ta có:

Muốn cho giá trị của A chia hết cho giá trị của B thì ta phải có

Vậy với  thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B.

Tìm cách giải. Với  thì tìm x, ta được x không phải là số nguyên, nên thay vào biểu thức P để tính sẽ gặp nhiều khó khăn và có thể dẫn đển sai lầm. Do vậy chúng ta sử dụng P chia cho  được Q(x) và phần dư R(x) khi đó, ta viết:  . Sau đó thay  vào biểu thức, ta tính được P(x) đơn giản hơn.

Trình bày lời giải

Ta có:

Từ đó ta có  mà