CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
35 câu hỏi
Biết rằng hàm số \({\rm{y}} = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + {\rm{b}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{c}}({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \in \mathbb{R})\) có đồ thị như Hình 1. Giá trị của \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: \({\bf{0}}.\)
Đồ thị đi qua \((0;2)\) nên \({\rm{c}} = 2.\) Do đồ thị đi qua \(( - 1; - 2)\) và \((2; - 2)\) nên \({\rm{a}} = 1\), \(b = - 3.\)
Vậy \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} = 0.\)
Biết rằng hàm số \({\rm{y}} = \frac{{{\rm{ax}} + {\rm{b}}}}{{{\rm{x}} - 1}}\) có đồ thị như Hình 2. Giá trị của \({\rm{a}} + {\rm{b}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 3.
Đồ thị đi qua \((0; - 2)\) nên \(b = 2.\) Đồ thị có tiệm cận ngang \({\rm{y}} = 1\) nên \({\rm{a}} = 1.\) Vậy \(a + b = 3.\)
Biết rằng hàm số có đồ thị như Hình 3.
Giá trị của là bao nhiêu?
Đáp số: -4. Vì đồ thị đi qua điểm \((1; - 4)\) nên ta có \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} + {\rm{d}} = - 4.\)
Cho hàm số \({\rm{y}} = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + {\rm{b}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{cx}} + {\rm{d}}\)\(({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}},{\rm{d}} \in \mathbb{R})\) có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị của \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} + {\rm{d}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 3. \({\rm{b}} = 1,{\rm{a}} = 2,{\rm{a}} + {\rm{b}} = 3.\)
Đáp số: 3. \({\rm{b}} = 1,{\rm{a}} = 2,{\rm{a}} + {\rm{b}} = 3.\)
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^3} - {\rm{x}} - 1\) tại điểm có hoành độ bằng 3 bằng bao nhiêu?
Đáp số: 26. y' \((3) = 26.\)
Đáp số: -24. \({{\rm{y}}^\prime } = \frac{{ - 1}}{{{{({\rm{x}} - 1)}^2}}},{\rm{y}}(2) = 2,{{\rm{y}}^\prime }(2) = - 1,{\rm{y}} = {{\rm{y}}^\prime }(2)({\rm{x}} - 2) + {\rm{y}}(2)\)
\( \Rightarrow {\rm{y}} = - 1({\rm{x}} - 2) + 2\) hay \({\rm{y}} = - {\rm{x}} + 4,{\rm{a}} = - 1,\;{\rm{b}} = 4,4{\rm{a}} - 5\;{\rm{b}} = - 24.\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) có \({f^\prime }(x) = {x^2} - 3x - 4.\) Tập nghiệm của bất phương trình \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) < 0\) là \(({\rm{a}};{\rm{b}})\) với \({\rm{a}},{\rm{b}} \in \mathbb{R}.\) Giá trị của biểu thức \({\rm{A}} = {\rm{b}} - {\rm{a}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 5. \({\rm{a}} = - 1,\;{\rm{b}} = 4,\;{\rm{A}} = {\rm{b}} - {\rm{a}} = 5.\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) có \({f^\prime }(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 24}}{{{{(x - 5)}^2}}}.\) Tập nghiệm của bất phương trình \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) \ge 0\) là \([{\rm{a}};{\rm{c}}) \cup ({\rm{c}};{\rm{b}}]\) với \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \in \mathbb{R}.\) Giá trị của biểu thức \({\rm{B}} = {\rm{a}} + 2\;{\rm{b}} + 3{\rm{c}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 32. \({\rm{a}} = 4,\;{\rm{b}} = 5,{\rm{c}} = 6,\;{\rm{B}} = 4 + 10 + 18 = 32.\)
Cho đồ thị hàm số \({\rm{y}} = \frac{{3{\rm{x}} + 2}}{{{\rm{x}} - 4}}\) có đường tiệm cận đứng \({\rm{x}} = {\rm{a}}\) và đường tiệm cận ngang \({\rm{y}} = {\rm{b}}\) với \({\rm{a}},{\rm{b}} \in \mathbb{R}.\) Giá trị của biểu thức \({\rm{C}} = 5{\rm{a}} + 6\;{\rm{b}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 38. \(a = 4,b = 3,5a + 6b = 38.\)
Cho đồ thị hàm số \({\rm{y}} = \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{{\rm{x}} - 3}}\) có đường tiệm cận xiên \({\rm{y}} = {\rm{ax}} + {\rm{b}}\) với \({\rm{a}},{\rm{b}} \in \mathbb{R}.\) Giá trị của biểu thức \({\rm{D}} = {\rm{a}} - {{\rm{b}}^2}\) là bao nhiêu?
Đáp số: -8. \({\rm{y}} = {\rm{x}} + 3 + \frac{9}{{{\rm{x}} - 3}},{\rm{a}} = 1,\;{\rm{b}} = 3,{\rm{D}} = {\rm{a}} - {{\rm{b}}^2} = - 8.\)
Cho hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) thoả mãn \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) = ({\rm{x}} - 1){({\rm{x}} - 2)^2}({\rm{x}} - 3).\) Tổng các điểm cực trị của hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) là bao nhiêu?
Đáp số: 4. Lập bảng biến thiên, tổng các điểm cực trị là \(1 + 3 = 4.\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{x}} + \frac{1}{{\rm{x}}}\) trên nửa khoảng \([5; + \infty )\) bằng bao nhiêu?
Đáp số: 5,2. \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) = 1 - \frac{1}{{{{\rm{x}}^2}}} \ge 0\forall {\rm{x}} \ge 5,{\rm{f}}({\rm{x}}) \ge {\rm{f}}(5) = 5,2.\)
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x - 3\sin x + 4.\) Giá trị của \(2m + 3M\) là bao nhiêu?
Đáp số: 22.
\({\rm{t}} = \sin {\rm{x}},{\rm{t}} \in [ - 1;1],{\rm{f}}({\rm{t}}) = {{\rm{t}}^3} - 3{\rm{t}} + 4,{{\rm{f}}^\prime }({\rm{t}}) = 3\left( {{{\rm{t}}^2} - 1} \right) \le 0\forall {\rm{t}} \in [ - 1;1]\)
\({\rm{m}} = {\rm{f}}(1) = 2,{\rm{M}} = {\rm{f}}( - 1) = 6,2\;{\rm{m}} + 3{\rm{M}} = 22\)
Đáp số: 0,5.
\({\rm{t}} = {\log ^2}{\rm{x}} + 2 \ge 2,{\rm{f}}({\rm{t}}) = {\rm{t}} + \frac{1}{{\rm{t}}} - 2,{{\rm{f}}^\prime }({\rm{t}}) = 1 - \frac{1}{{{{\rm{t}}^2}}} > 0\forall {\rm{t}} \ge 2,{\rm{f}}({\rm{t}}) \ge {\rm{f}}(2) = 0,5\)
Giá trị lớn nhất của hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{x}} + \sqrt {4 - {{\rm{x}}^2}} \) bằng \({\rm{a}}\sqrt {\rm{b}} \) với \({\rm{a}},{\rm{b}} \in {\mathbb{N}^*},\;{\rm{b}}\) là một số nguyên tố. Giá trị của \({\rm{a}} + {\rm{b}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 4.
\({f^\prime }(x) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }},{f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 ,f(0) = 2,f(2) = 2,f(\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 \)
\(a = 2,b = 2\)
Giá trị lớn nhất của hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = 2\sin {\rm{x}} - \frac{4}{3}{\sin ^3}{\rm{x}}\) trên \([0;\pi ]\) bằng \(\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\sqrt {\rm{c}} \) với \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \in {\mathbb{N}^*},\;{\rm{b}} < 6,{\rm{c}}\) là một số nguyên tố. Giá trị của \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 7.
Đặt \(t = \sin {\rm{x}},{\rm{t}} \in [0;1].\) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \({\rm{g}}({\rm{t}}) = 2{\rm{t}} - \frac{4}{3}{{\rm{t}}^3}\quad \) trên \([0;1].\quad {{\rm{g}}^\prime }({\rm{t}}) = 2 - 4{{\rm{t}}^2},\;{{\rm{g}}^\prime }({\rm{t}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{t}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad (\) vì \({\rm{t}} \ge 0).\)\({\rm{g}}(0) = 0;{\rm{g}}(1) = \frac{2}{3};{\rm{g}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\) Giá trị lớn nhất của \({\rm{f}}({\rm{x}})\) là \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Suy ra \({\rm{a}} = 2,\;{\rm{b}} = 3,{\rm{c}} = 2\) và \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} = 7.\)
Biết rằng đồ thị hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{x}} + \frac{1}{{\rm{x}}}\) có một tâm đối xứng là \({\rm{I}}({\rm{a}};{\rm{b}}).\) Giá trị của \({\rm{a}} + {\rm{b}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 0.
Đồ thị của hàm lẻ nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng nên \({\rm{a}} = {\rm{b}} = 0.\) Suy ra \(a + b = 0.\)
Biết rằng đồ thị hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {{\rm{x}}^4} - {{\rm{x}}^2}\) có một trục đối xứng là đường thẳng \({\rm{x}} = {\rm{a}}.\) Giá trị của a là bao nhiêu?
Đáp số: 0.
Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy (đường \({\rm{x}} = 0\) ) là trục đối xứng nên \({\rm{a}} = 0.\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình bên. Biết rằng hàm số đồng biến trên \(( - \sqrt 2 ;{\rm{a}})\) và nghịch biến trên \(({\rm{a}};\sqrt 2 ).\)Giá trị của a là bao nhiêu?
Đáp số: 1.
Một sợi dây kim loại được treo giữa hai bức tường. Độ cao so với mặt đất của chiếc dây này được cho bởi hàm số:
\(h(x) = {e^{ - 2x}} + {e^x},0 \le x \le 2\)
trong đó là khoảng cách dọc theo mặt đất từ bức tường bên trái. Hỏi sợi dây sẽ gần với mặt đất một khoảng ngắn nhất là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Đáp số: 1,89.
\({{\rm{h}}^\prime }({\rm{x}}) = - 2{{\rm{e}}^{ - 2{\rm{x}}}} + {{\rm{e}}^{\rm{x}}} = 0 \Leftrightarrow 2{{\rm{e}}^{ - 2{\rm{x}}}} = {{\rm{e}}^{\rm{x}}} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{3{\rm{x}}}} = 2 \Leftrightarrow 3{\rm{x}} = \ln 2 \Leftrightarrow {\rm{x}} = \frac{1}{3}\ln 2.\)
Lập bảng biến thiên ta suy ra hàm số \({\rm{h}}({\rm{x}})\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \({\rm{x}} = \frac{1}{3}\ln 2.\)
Vậy sợi dây sẽ gần với mặt đất một khoảng ngắn nhất là:
\({\rm{h}}\left( {\frac{1}{3}\ln 2} \right) = {{\rm{e}}^{\frac{{ - 2}}{3}\ln 2}} + {{\rm{e}}^{\frac{1}{3}\ln 2}} = {2^{\frac{{ - 2}}{3}}} + {2^{\frac{1}{3}}} \approx 1,89(\;{\rm{m}})\)
Một nhà sản xuất áo sơ mi bán \(x\) chiếc mỗi ngày với hàm số biểu thị doanh thu: \({\rm{R}}({\rm{x}}) = 200\ln \left( {1 + \frac{{\rm{x}}}{{100}}} \right) + 1000\) (đô la). Chi phí sản xuất được xác định bởi hàm: \({\rm{C}}({\rm{x}}) = {({\rm{x}} - 100)^2} + 200\) (đô la). Lợi nhuận tối đa mỗi ngày của nhà sản xuất là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Đáp số: 939.
Xét \(f(x) = 200\ln \left( {1 + \frac{{\rm{x}}}{{100}}} \right) + 1000 - {(x - 100)^2} - 200\) với \(x\) là số dương.
\({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) = \frac{{200}}{{{\rm{x}} + 100}} - 2({\rm{x}} - 100) = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 10\sqrt {101} \approx 100,5.\)
Lập bảng biến thiên từ đó suy ra lợi nhuận tối đa mỗi ngày nhà sản xuất thu được là \({\rm{f}}(100) \approx 938,63.\)
Một nhà sản xuất ấm điện thực hiện một nghiên cứu kiểm soát chi phí và phát hiện ra rằng để sản xuất \(x\) ấm đun nước mỗi ngày, chi phí cho mỗi ấm \({\rm{C}}({\rm{x}})\) được xác định bởi công thức: \({\rm{C}}({\rm{x}}) = 4\ln {\rm{x}} + {\left( {\frac{{30 - {\rm{x}}}}{{10}}} \right)^2}\) (trăm đô la) với công suất sản xuất tối thiểu 10 ấm/ngày. Cần sản xuất bao nhiêu ấm đun nước để giữ giá thành mỗi ấm ở mức tối thiểu?
Đáp số: 20.
Xét \(C(x) = 4\ln x + {\left( {\frac{{30 - x}}{{10}}} \right)^2}\) với \(x \ge 10.\)
Ta có \({{\rm{C}}^\prime }({\rm{x}}) = \frac{4}{{\rm{x}}} - \frac{{30 - {\rm{x}}}}{{50}} = \frac{{{{\rm{x}}^2} - 30{\rm{x}} + 200}}{{50{\rm{x}}}} = \frac{{({\rm{x}} - 10)({\rm{x}} - 20)}}{{50{\rm{x}}}}.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy \({\rm{C}}({\rm{x}})\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \({\rm{x}} = 20.\)
Vậy nhà máy sản xuất 20 ấm mỗi ngày thì giá thành mỗi ấm là nhỏ nhất.
Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là \(8{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\) và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là bao nhiêu decimét?
Đáp số: 2.
Gọi độ dài cạnh đáy là x, chiều cao là \({\rm{h}}({\rm{x}} > 0,\;{\rm{h}} > 0).\)
Ta có \({\rm{V}} = 8 \Leftrightarrow {{\rm{x}}^2}\;{\rm{h}} = 8 \Leftrightarrow {\rm{h}} = \frac{8}{{{{\rm{x}}^2}}}.\)
Diện tích toàn phần của khối hộp là: \({{\rm{S}}_{{\rm{tp}}}} = 2{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{xh}} = 2{{\rm{x}}^2} + \frac{{32}}{{\rm{x}}} = {\rm{f}}({\rm{x}}).\)
\({f^\prime }(x) = 4x - \frac{{32}}{{{x^2}}},{f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động \({\rm{S}} = \frac{1}{2}{\rm{g}}{{\rm{t}}^2}\), trong đó t tính bằng giây \(({\rm{s}})\) và \({\rm{g}} = 9,8\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}.\) Vận tốc của vật tại thời điểm \({\rm{t}} = 5\;{\rm{s}}\) là bai nhiêu \({\rm{m}}/{\rm{s}}\) ?
Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình \({\rm{S}} = {{\rm{t}}^3} - 3{{\rm{t}}^2} + 4{\rm{t}}\), trong đó t tính bằng giây \(({\rm{s}})\) và S tính bằng mét \(({\rm{m}}).\) Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị \(4\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) là bao nhiêu giây?
Đáp số: 2.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \({\rm{S}} = - {{\rm{t}}^3} + 9{{\rm{t}}^2} + {\rm{t}} + 10\), trong đó t tính bằng giây \(({\rm{s}})\) và S tính bằng mét \(({\rm{m}}).\) Thời điểm t mà tại đó vận tốc \(({\rm{m}}/{\rm{s}})\) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu giây?
Đáp số: 3.
\({S^\prime }(t) = - 3{t^2} + 18t + 1.{\rm{ M\`a }}{S^\prime }(t) = v(t){\rm{. Suy ra }}v(t) = - 3{t^2} + 18t + 1\)
Lập bảng biến tiên, vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại \(t = 3(\;{\rm{s}}).\)
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S = 6{{\rm{t}}^2} - {{\rm{t}}^3}\) (trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây ( s ) từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động). Thời điểm t mà tại đó vận tốc \(({\rm{m}}/{\rm{s}})\) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu giây?
Đáp án: 2.
Ta có: \({\rm{v}}({\rm{t}}) = {{\rm{s}}^\prime }({\rm{t}}) = 12{\rm{t}} - 3{{\rm{t}}^2}.\) Phương trình vận tốc là phương trình bậc hai có hệ số \({\rm{a}} = - 3 < 0\) nên nó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị \({\rm{t}} = \frac{{ - {\rm{b}}}}{{2{\rm{a}}}}\) hay tại \({\rm{t}} = 2.\)
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = \frac{{ - {t^3}}}{2} + 9{{\rm{t}}^2}\), với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 12 giây, kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động, tại thời điểm \(t\) bằng bao nhiêu giây thì vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất?
Đáp số: 6.
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \({\rm{S}} = {{\rm{t}}^3} + 3{{\rm{t}}^2} - 9{\rm{t}} + 27\), trong đó t tính bằng giây \(({\rm{s}})\) và S tính bằng mét \(({\rm{m}}).\) Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là bao nhiêu \({\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}\) ?
Đáp số: 12.
\(v(t) = {S^\prime }(t) = 3{t^2} + 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 3{\rm{ (lo?i) hoa?c }}t = 1\)
\(a(t) = {v^\prime }(t) = 6t + 6 \Rightarrow a(1) = 6 + 6 = 12\left( {\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\)
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = \frac{{ - 1}}{3}{t^3} + 9{t^2}\), với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đẩu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu \({\rm{m}}/{\rm{s}}\) ?
Đáp số: 81.
Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là \(V = 250\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\), các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng \({\rm{V}} = 250\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao nhiêu centimét?
Đáp số: 5.
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của một lon sũa bò hình trụ.
\({\rm{Stp}} = 2\pi {\rm{rh}} + 2\pi {{\rm{r}}^2} = 2\pi {\rm{r}} \cdot \frac{{\rm{V}}}{{\pi {{\rm{r}}^2}}} + 2\pi {{\rm{r}}^2} = \frac{{500\pi }}{{\rm{r}}} + 2\pi {{\rm{r}}^2}\),
\(S{\rm{tp}} = f(r),{f^\prime }(r) = \frac{{ - 500\pi }}{{{r^2}}} + 4\pi r = \frac{{4\pi \left( {{r^3} - 125} \right)}}{{{r^2}}},{\min _{(0; + \infty )}}f(r) = f(5).\)
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng \({\rm{AB}} = 4\;{\rm{km}}.\) Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng \({\rm{BC}} = 7\;{\rm{km}}.\) Người canh hải đăng chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc \(6\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) rồi đi xe đạp từ M đến C
với vận tốc \(10\;{\rm{km}}/{\rm{h}}.\) Người đó nên chèo thuyền trong bao nhiêu ki-lô-mét nếu anh ta muốn đến nơi trong thời gian ngắn nhất?
Đáp số: 5.
Đặt \({\rm{BM}} = {\rm{x}}(0 \le {\rm{x}} \le 7).\) Từ đó ta tính được \({\rm{AM}} = \sqrt {16 + {{\rm{x}}^2}} ;{\rm{MC}} = 7 - {\rm{x}}.\)
Thời gian người đó đi từ A đến C là \(\frac{{\sqrt {16 + {{\rm{x}}^2}} }}{6} + \frac{{7 - {\rm{x}}}}{{10}}.\)
Đặt \(f(x) = \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{6} + \frac{{7 - x}}{{10}}.\)
Ta có \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) = \frac{{\rm{x}}}{{6\sqrt {16 + {{\rm{x}}^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = 3\sqrt {16 + {{\rm{x}}^2}} \Leftrightarrow {\rm{x}} = 3.\)
Lập bảng biến thiên ta suy ra (x) đạt giá trị nhỏ nhất khi \({\rm{x}} = 3\) và khi \({\rm{f}}({\rm{x}})\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({\rm{AM}} = \sqrt {16 + {3^2}} = 5.\)
