8 câu hỏi
a) \(\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)\left( {3 + 5x} \right) = 0\)
\(\frac{1}{2}x - 1 = 0\) hoặc \(3 + 5x = 0\)
\(\frac{1}{2}x = 1\) hoặc \(5x = - 3\)
\(x = 2\) hoặc \(x = - \frac{3}{5}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 2;\) \(x = - \frac{3}{5}\).
b) Điều kiện xác định \(x \ne 0;\,\,x \ne 3.\)
\(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\)
\(\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)
\(\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3\)
\({x^2} + 3x = 3 + x - 3\)
\({x^2} + 2x = 0\)
\(x\left( {x + 2} \right) = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)
\(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 2\).a) \(\frac{{15 - 6x}}{3} < 5\)
\(\frac{{15 - 6x}}{3} \cdot 3 < 5 \cdot 3\)
\(15 - 6x < 15\)
\( - 6x < 0\)
\(x > 0\).
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x > 0.\)b) \[{\left( {x - 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) \ge - 8x + 41\]
\[{x^2} - 8x + 16 - {x^2} + 25 \ge - 8x + 41\]
\[ - 8x + 8x \ge 41 - 16 - 25\]
\[0x \ge 0\].
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \in \mathbb{R}.\]a) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất hai ẩn thì \(2a \ne 0\) hoặc \( - \left( {3b + 1} \right) \ne 0,\) tức là \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne - \frac{1}{3}.\)
b) Để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 7;6} \right)\) thì tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn phương trình đã cho.
Thay \(x = - 7;\,\,y = 6\) vào phương trình \(2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,\) ta được:
\[2a \cdot \left( { - 7} \right) - \left( {3b + 1} \right) \cdot 6 = a - 1\]
\( - 14a - 18b - 6 = a - 1\)
\( - 15a - 18b = 5\) (1)
Để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {4; - 3} \right)\) thì tọa độ điểm \(N\) thỏa mãn phương trình đã cho.
Thay \(x = 4;y = - 3\) vào phương trình \(2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,\) ta được:
\[2a \cdot 4 - \left( {3b + 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = a - 1\]
\(8a + 9b + 3 = a - 1\)
\(7a + 9b = - 4\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 15a - 18b = 5}\\{7a + 9b = - 4}\end{array}} \right.\)
Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2 ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 15a - 18b = 5}\\{14a + 18b = - 8}\end{array}} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:
\(\left( { - 15a - 18b} \right) + \left( {14a + 18b} \right) = 5 + \left( { - 8} \right)\)
\( - a = - 3\)
\(a = 3\).
Thay \(a = 3\) vào phương trình \(7a + 9b = - 4,\) ta có:
\(7 \cdot 3 + 9b = - 4\) hay \(9b = - 25\) nên \(b = - \frac{{25}}{9}.\)
Vậy \(a = 3\) và \(b = - \frac{{25}}{9}.\)
Gọi \(x\) (đồng) và \(y\) (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)
Do giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là \[70{\rm{ }}000\] đồng nên ta có phương trình:
\(x - y = 70\,\,000.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Do trong đoàn \(40\) người chỉ có \(5\) người mua vé cáp treo \(1\) lượt cho lượt xuống nên đã có \(40 - 5 = 35\) người mua vé cáp treo khứ hồi.
Khi đó, số tiền cần trả để mua \(35\) vé cáp treo khứ hồi và \(5\) vé cáp treo 1 lượt là: \(35x + 5y\) (đồng).
Theo bài, cả đoàn khách du lịch này đã chi ra \[8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\] đồng để mua vé nên ta có phương trình:
\(35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 70\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) với \(5,\) ta được hệ phương trình mới là: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 5y = 350\,\,000\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:
\(40x = 8\,\,800\,\,000,\) suy ra \(x = 220\,\,000\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 220\,\,000\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được:
\(220\,\,000 - y = 70\,\,000,\) suy ra \(y = 150\,\,000\) (thỏa mãn).
Do đó hệ phương trình trên có nghiệm là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {220\,\,000;\,\,150\,\,000} \right).\)
Vậy giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt lần lượt là \(200\,\,000\) đồng và \(150\,\,000\) đồng.
a) Số câu trả lời sai là: \(10 - x\) (câu).
Số điểm người đó có được khi trả lời đúng \(x\) (câu) là: \(5x\) (điểm).
Số điểm người đó bị trừ khi trả lời sai \(10 - x\) (câu) là: \(10 - x\) (điểm).
Như vậy, số điểm của người đó sau khi trả lời hết 10 câu hỏi là: \(10 + 5x - \left( {10 - x} \right)\) (điểm).
Theo bài, để được dự thi vòng tiếp theo thì người đó cần có tổng số điểm từ 40 điểm trở lên nên ta có bất phương trình:
\(10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40.\)
Vậy bất phương trình cần tìm là: \(10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40.\)
b) Giải bất phương trình:
\(10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40\)
\(10 + 5x - 10 + x \ge 40\)
\(6x \ge 40\)
\(x \ge \frac{{40}}{6}\,\,\left( { \approx 6,666...} \right)\).
Vì \(x\) là số nguyên nên \(x \ge 7.\)
Vậy người dự thi cần phải trả lời chính xác ít nhất 7 câu hỏi thì mới được dự thi ở vòng sau.
Một chiếc thang \(AC\) được dựng vào một bức tường thẳng đứng (hình vẽ).
– Ban đầu khoảng cách từ chân thang đến tường là \(BC = 1,3{\rm{\;m}}\) và góc tạo bởi thang và phương nằm ngang là \(\widehat {ACB} = 66^\circ \).
– Sau đó, đầu \(A\) của thang bị trượt xuống \(40{\rm{\;cm}}\) đến vị trí \(D.\) Khi đó, góc \(DEB\) tạo bởi thang và phương nằm ngang bằng bao nhiêu (Kết quả số đo góc làm tròn đến phút)?
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
\(BC = AC \cdot \cos C\), suy ra \(AC = \frac{{BC}}{{\cos C}} = \frac{{1,3}}{{\cos 66^\circ }} \approx 3,20\) (m).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(AB = BC \cdot \tan C = 1,3 \cdot \tan 66^\circ \approx 2,92\) (m).
Khi đầu \(A\) của thang bị trượt xuống \(40{\rm{\;cm}} = 0,4{\rm{\;m}}\) đến vị trí \(D\) thì \(DB = AB - AD \approx 2,92 - 0,4 = 2,52\) (m) và chiều dài thang là \(DE = AC \approx 3,20\) (m).
Xét \(\Delta BDE\) vuông tại \(B,\) ta có:
\(\sin \widehat {DEB} = \frac{{BD}}{{DE}} \approx \frac{{2,52}}{{3,2}} = 0,7875\), suy ra \(\widehat {DEB} \approx 51^\circ 57'.\)
a) Xét \(\Delta AKC\) vuông tại \(K,\) ta có:
\(\sin C = \frac{{AK}}{{AC}},\,\,\cos C = \frac{{KC}}{{AC}},\)
\(\tan C = \frac{{AK}}{{KC}},\,\,\cot C = \frac{{KC}}{{AK}}.\)
![Cho tam giác nhọn \[ABC\] có đường cao \[AK\]. a) Viết các tỉ số lượng giác của góc \(C.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/blobid4-1764080845.png)
b) Xét \(\Delta AKB\) vuông tại \(K,\) ta có: \(BK = AK \cdot \cot B.\)
Xét \(\Delta AKC\) vuông tại \(K,\) ta có: \(KC = AK \cdot \cot C.\)
Suy ra \(BC = BK + KC = AK \cdot \cot B + AK \cdot \cot C\)Do đó \(BC = AK \cdot \left( {\cot B + \cot C} \right)\) nên \(AK = \frac{{BC}}{{\cot B + \cot C}}.\)
c) Kẻ \[DI\, \bot \,BD\] tại \[D\] \[(I\]thuộc đường thẳng \[BC)\].
Ta có \(\widehat {ADN} + \widehat {CDN} = 90^\circ ,\,\,\widehat {CDI} + \widehat {CDN} = 90^\circ .\) Suy ra \[\widehat {ADN} = \widehat {CDI}\].
Xét \[\Delta ADN\] và \[\Delta CDI\] có: \(\widehat {DAN} = \widehat {DCI} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ADN} = \widehat {CDI}\)
Suy ra \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AN}}{{CI}} = \frac{{DN}}{{DI}}\] nên \[\frac{{A{D^2}}}{{C{D^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}.\]
Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D,\) ta có: \[\cot \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{DC}}.\]
Vì \(CKAD\) là hình chữ nhật nên \(AD\,{\rm{//}}\,KC\) nên \[\widehat {ACB} = \widehat {DAC}\] (so le trong).
Suy ra \[{\cot ^2}\widehat {ACB} = {\cot ^2}\widehat {DAC} = {\left( {\frac{{AD}}{{DC}}} \right)^2} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}\].
Ta có: \[\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{\frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}}\].
Xét \(\Delta BDI\) vuông tại \(D,\) theo định lí Pythagore, ta có: \(B{I^2} = D{I^2} + D{B^2}\).
Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(C,\) ta có \(\sin \widehat {DBC} = \frac{{CD}}{{BD}}.\)
Xét \(\Delta BDI\) vuông tại \(D,\) ta có \[\cos \widehat {DIB} = \frac{{DI}}{{BI}}.\]
Lại có \[\widehat {DBC} + \widehat {DIB} = 90^\circ \] nên \(\sin \widehat {DBC} = \cos \widehat {DIB}\) hay \(\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{DI}}{{BI}}.\)
Như vậy, \(CD \cdot BI = DI \cdot BD.\) Hay \(C{D^2} \cdot B{I^2} = D{I^2} \cdot B{D^2}.\)
Suy ra \[\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{C{D^2} \cdot B{I^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}}.\]
Vì \(CKAD\) là hình chữ nhật nên \(AK = DC.\) Do đó \[\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}}.\]
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 8 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)
Số mét rào cần rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn là: \(2x + y\) (mét).
Diện tích mảnh vườn là: \(xy\) (m2).
⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \[ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\] với \(a,\,\,b\) là các số không âm.
Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)
Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:
\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.
⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) ta được:
\[xy = 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} \le 2 \cdot {\left( {\frac{{x + \frac{y}{2}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{2x + y}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{100}}{2}} \right)^2} = 1\,\,250{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{y}{2}\) và \(2x + y = 100\) hay \(2 \cdot \frac{y}{2} + y = 100\) tức là \(y = 50\), \(x = 25.\)
Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là \(1\,\,250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\)
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
