Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 10
14 câu hỏi
Điều kiện xác định của phương trình \[\frac{2}{{x + 3}} - \frac{{5x}}{{{x^3} + 27}} = \frac{{ - x}}{{{x^2} - 3x + 9}}\] là
\[x \ne - 3\] và \[x \ne 3.\]
\[x \ne - 3.\]
\[x \ne 3.\]
\[x \in \mathbb{R}.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{x^3} + 27 = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\] và \({x^2} - 3x + 9 > 0\) với mọi \[x \in \mathbb{R}.\]
Do đó điều kiện xác định của phương trình đã cho là: \[x + 3 \ne 0\] hay \[x \ne - 3.\]
Vậy ta chọn phương án B.
Biến đổi phương trình \(2{x^2} - 5x - 7 = 0\) thành phương trình tích ta được
\(\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 7} \right) = 0\).
\(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\).
\(\left( {2x - 7} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\).
\(\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 7} \right) = 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(2{x^2} - 5x - 7 = 0\)
\(2{x^2} + 2x - 7x - 7 = 0\)
\(\left( {2{x^2} + 2x} \right) - \left( {7x + 7} \right) = 0\)
\(2x\left( {x + 1} \right) - 7\left( {x + 1} \right) = 0\)
\(\left( {2x - 7} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)
Vậy ta chọn phương án C.
Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y = - 1}\\{ - 3x + 3y = 5}\end{array}} \right..\) Cho các khẳng định sau:
(i) Nhân phương trình thứ nhất của hệ với 6, rồi cộng với phương trình thứ hai ta được phương trình: \[6y = --1.\]
(ii) Nhân phương trình thứ nhất của hệ với 6, rồi cộng với phương trình thứ hai ta được phương trình: \[0x = --1.\]
(iii) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: C
Nhân phương trình thứ nhất của hệ với 6, ta được phương trình mới \(3x - 3y = - 6,\) cộng với phương trình thứ hai ta được phương trình: \(0x = - 1\) (hoặc phương trình \(0y = - 1\)).
Phương trình trên vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Như vậy, có 2 khẳng định đúng là (ii), (iii). Ta chọn phương án C.
Cho các đường thẳng được biểu diễm trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) như sau:
Tất cả các nghiệm của phương trình \(2x - y = 1\) được biểu diễn bởi đường thẳng nào?
\({d_1}\).
\({d_2}\).
\({d_3}\).
\({d_4}\).
Đáp án đúng là: D
Ta viết phương trình \(2x - y = 1\) về dạng \(y = 2x - 1\).
⦁ Xét cặp số \(\left( {1;\,\,0} \right),\) thay \(x = 1\) vào phương trình \(y = 2x - 1\), ta được: \(y = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \ne 0.\)
Do đó, cặp số \(\left( {1;\,\,0} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình \(2x - y = 1\), hay đường thẳng \(y = 2x - 1\) không đi qua điểm \(\left( {1;\,\,0} \right)\). Do đó đường thẳng \({d_1},\,\,{d_3}\) không thỏa mãn.
⦁ Xét cặp số \(\left( {0;\,\, - 1} \right),\) thay \(x = 0\) và \(y = - 1\) vào phương trình \(y = 2x - 1\), ta được:
\(y = 2x - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = - 1\).
Do đó, cặp số \(\left( {0;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của phương trình \(2x - y = 1\), hay đường thẳng \(y = 2x - 1\) đi qua điểm \(\left( {0;\,\, - 1} \right)\).
Quan sát hình b) và hình d) ta thấy chỉ có đường thẳng \({d_4}\) thỏa mãn.
Vậy ta chọn phương án D.
Cho \[\alpha ,\,\,\beta \] là số đo các góc nhọn của một tam giác vuông. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin \alpha - \cos \alpha = 0\).
\(\cos \alpha - \cos \beta = 0\).
\(\tan \alpha - \cot \beta = 0\).
\(\tan \alpha \cdot \cot \beta = 1\).
Đáp án đúng là: C
Do \[\alpha ,\,\,\beta \] là số đo các góc nhọn của một tam giác vuông nên \(\alpha + \beta = 90^\circ \).
Khi đó \(\sin \alpha = \cos \beta ,\,\,\cos \alpha = \sin \beta ,\,\,\tan \alpha = \cot \beta ,\,\,\cot \alpha = \tan \beta \) và \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\).
Do đó \(\tan \alpha - \cot \beta = \tan \alpha - \tan \alpha = 0.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 15\) và \(AB = 5\). Khi đó \(\tan B\) bằng
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(2\sqrt 2 \).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
Suy ra \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {15^2} - {5^2} = 200\)
Do đó \(AC = \sqrt {200} = \sqrt {100 \cdot 2} = \sqrt {{{10}^2} \cdot {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} = 10\sqrt 2 \).
Khi đó \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{5} = 2\sqrt 2 .\)
Cho bất đẳng thức \( - 5a > 3\).
a) Số \(a\) có giá trị là một số âm.
b) Biểu thức \(3 - 5a\) có giá trị là một số dương.
c) Biểu thức \(a + \frac{3}{5}\) có giá trị là một số dương.
d) Biểu thức \( - 10a - 10\) có giá trị là một số âm.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đ;b) Đ;c) S; d) S.
⦁ Từ \( - 5a > 3\), ta có \(a < - \frac{3}{5} < 0\) nên số \(a\) có giá trị là một số âm. Do đó ý a) là đúng.
⦁ Từ \( - 5a > 3\), ta có \(3 - 5a > 6 > 0\) nên biểu thức \(3 - 5a\) có giá trị là một số dương. Do đó ý b) là đúng.
⦁ Từ \(a < - \frac{3}{5}\), ta có \(a + \frac{3}{5} < 0\) nên biểu thức \(a + \frac{3}{5}\) có giá trị là một số âm. Do đó ý c) là sai.
⦁ Từ \( - 5a > 3\), ta có \( - 10a > 6\) suy ra \( - 10a - 10 > - 4\), khi đó giá trị của biểu thức \( - 10a - 10\) chưa xác định được là dương hay âm. Do đó ý d) là sai.
Biết đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 1;3} \right)\). Tính lập phương của tổng \(a\) và \(b.\)
Hướng dẫn giải
Đáp số: \( - \frac{1}{{27}}.\)
Do đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) nên \(x = 2\) và \(y = - 2\) thỏa mãn hàm số \(y = ax + b,\) tức là \( - 2 = a \cdot 2 + b\) hay \(2a + b = - 2\).
Do đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( { - 1;3} \right)\) nên \(x = - 1\) và \(y = 3\) thỏa mãn hàm số \(y = ax + b,\) tức là \(3 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b\) hay \( - a + b = 3\).
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\ - a + b = 3\end{array} \right.\].
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:
\(3a = - 5\), suy ra \(a = - \frac{5}{3}\).
Thay \(a = - \frac{5}{3}\) vào phương trình \( - a + b = 3\), ta được:
\( - \left( { - \frac{5}{3}} \right) + b = 3\), suy ra \(b = \frac{4}{3}\).
Như vậy \(a = \frac{{ - 5}}{3}\); \(b = \frac{4}{3}\) là giá trị cần tìm.
Ta có \({\left( {a + b} \right)^3} = {\left( { - \frac{5}{3} + \frac{4}{3}} \right)^3} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} = - \frac{1}{{27}}.\)
Vậy lập phương của tổng \(a\) và \(b\) bằng \( - \frac{1}{{27}}.\)
Chú ý: Bài toán này không cần trình bày chi tiết lời giải nên ta có thể sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\ - a + b = 3\end{array} \right.\].
Tìm nghiệm của bất phương trình \[2,3x - 2\left( {0,7 + 2x} \right) < 3,6 - 1,7x.\]
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(x \in \mathbb{R}.\)
Giải bất phương trình:
\[2,3x - 2\left( {0,7 + 2x} \right) < 3,6 - 1,7x\]
\[2,3x - 1,4 - 4x < 3,6 - 1,7x\]
\[ - 1,4 - 1,7x < 3,6 - 1,7x\]
\(0x < 5\).
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x \in \mathbb{R}.\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 2a\) và \(\widehat {B\,} = \alpha \). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(S = 4{a^2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha .\)
Kẻ đường cao \(AM\) của tam giác \(ABC.\)
⦁ Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\), ta có: \(BM = AB \cdot \cos B = 2a \cdot \cos \alpha \) và \(AM = AB \cdot \sin B = 2a \cdot \sin \alpha .\) ⦁ Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường đường cao nên đồng thời là trung tuyến của tam giác hay \(M\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra \(BC = 2BM = 2 \cdot 2a \cdot \cos \alpha = 4a \cdot \cos \alpha \). Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}AM \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \left( {2a \cdot \sin \alpha } \right) \cdot \left( {4a \cdot \cos \alpha } \right) = 4{a^2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha \). |
|
(2,0 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) \(\left( { - 2x + 5} \right)\left( {\frac{3}{4}x - 6} \right) = 0\).
b) \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}}\).
2. Giải các bất phương trình sau:
a) \(9x + 7 > - 12x - 1\).
b) \[\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{x - 4}}{4} \le \frac{{3x + 1}}{6} - \frac{{x - 4}}{{12}}.\]
Hướng dẫn giải
1. a) \(\left( { - 2x + 5} \right)\left( {\frac{3}{4}x - 6} \right) = 0\) \( - 2x + 5 = 0\) hoặc \(\frac{3}{4}x - 6 = 0\) \( - 2x = - 5\) hoặc \(\frac{3}{4}x = 6\) \(x = \frac{5}{2}\) hoặc \(x = 8\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{5}{2};\) \(x = 8\). | 1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2.\) \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}}\) \[\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{4 - 6x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\] \[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) = 4 - 6x\] \[{x^2} - 3x + 2 - {x^2} + 2x = 4 - 6x\] \[ - 5x + 2 = 4 - 6x\] \[6x - 5x = 4 - 2\] \[x = 2\] (không thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. |
2. a) \(9x + 7 > - 12x - 1\) \(9x + 12x \ge - 1 - 7\) \(21x \ge - 8\) \(x \ge \frac{{ - 8}}{{21}}\) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x \ge \frac{{ - 8}}{{21}}.\) | 2. b) \[\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{x - 4}}{4} \le \frac{{3x + 1}}{6} - \frac{{x - 4}}{{12}}\] \[\frac{{4\left( {2x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x - 4} \right)}}{{12}} \le \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{x - 4}}{{12}}\] \[4\left( {2x + 1} \right) - 3\left( {x - 4} \right) \le 2\left( {3x + 1} \right) - \left( {x - 4} \right)\] \[8x + 4 - 3x + 12 \le 6x + 2 - x + 4\] \[5x + 16 \le 5x + 6\] \[5x - 5x \le 6 - 16\] \[0x \le - 10\]. Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. |
(1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Người ta cho thêm \[1\] kg nước vào dung dịch \[A\] (của axit \(X)\) thì được dung dịch \[B\] có nồng độ axit là \[20\% \]. Sau đó lại cho thêm \[1\] kg axit \(X\) vào dung dịch \[B\] thì được dung dịch \[C\] có nồng độ axit là \[33\frac{1}{3}\% \]. Tính nồng độ axit của dung dịch \[A\].
Hướng dẫn giải
Gọi \(x{\rm{\;(kg)}}\) là khối lượng axit \(X\) có trong dung dịch \(A\) và \(y{\rm{\;(kg)}}\) là khối lượng dung dịch chất \(A\) \(\left( {y > x > 0} \right)\).
Khi thêm \[1\] kg nước vào dung dịch \[A\] thì được dung dịch \[B\] có khối lượng là: \(y + 1{\rm{\;(kg)}}\).
Theo bài, nồng độ của dung dịch \(B\) là \[20\% \] nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{y + 1}} \cdot 100\% = 20\% \) hay \(5x = y + 1\) suy ra \(5x - y = 1\) (1)
Khi thêm \[1\] kg axit vào dung dịch \[B\] thì được dung dịch \[C\] có khối lượng là: \(y + 1 + 1 = y + 2{\rm{\;(kg)}}\) và khối lượng axit \(X\) có trong dung dịch lúc này là \(x + 1{\rm{\;(kg)}}\)
Theo bài, nồng độ của dung dịch \(C\) là \[33\frac{1}{3}\% \] nên ta có phương trình:
\(\frac{{x + 1}}{{y + 2}} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\% \) hay \(3\left( {x + 1} \right) = y + 2\) suy ra \(3x - y = - 1\). (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 1\\3x - y = - 1\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(2x = 2,\) suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 1\) vào phương trình \(5x = y + 1\) ta được:
\(5 \cdot 1 = y + 1\), suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn).
Vậy nồng độ axit của dung dịch \(A\) là: \(\frac{x}{y} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% .\)
(1,0 điểm) Một cây tre cao 9 m bị gió bão làm gãy ngang thân, tạo thành một góc \(32^\circ \). Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Hướng dẫn giải
Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ bên. Khoảng cách từ gốc cây đến điểm bị gãy là \[AB.\] Khoảng cách từ điểm thân tre bị gãy đến ngọn cây là \[BC.\] Khoảng cách từ ngọn cây chạm đất đến gốc là \[AC.\] Đặt độ dài \(BC = x{\rm{\;(m)}}\,\,\left( {0 < x < 9} \right)\). Suy ra: \(AB = 9 - x.\) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(AB = BC \cdot \cos B\) Suy ra \(9 - x = x \cdot \cos 32^\circ \) \(9 - x \approx 0,85x\) \(1,85x \approx 9\) \[x \approx 4,9{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\] Vậy điểm gãy cách gốc khoảng 4,9 m. |
|
(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\) thỏa mãn \(\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}.\)
1. Biết \(AH = BD = 2{\rm{\;cm}}\), tính số đo góc \(B\) và độ dài cạnh \(AB,\) độ dài đường cao \(BE\) (làm tròn đến phút đối với số đo góc và làm tròn đến hàng phần mười đối với cm).
2. Chứng minh rằng \(\tan B \cdot \tan C = 3\).
Hướng dẫn giải
1. Do \(\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}\) nên \(AH = 2HD\) Suy ra \(AD = AH + HD = 2HD + HD = 3HD.\) Ta có \(HD = \frac{1}{2}HA = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1{\rm{\;(cm)}}\) và \(AD = 3HD = 3 \cdot 1 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\) Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) ta có: ⦁ \(\tan B = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{3}{2},\) từ đó ta tìm được \(\widehat {B\,} \approx 56^\circ 19'\). ⦁ \(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = {3^2} + {2^2} = \sqrt {13} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\) Xét \(\Delta HBD\) vuông tại \(D\) ta có: \(\tan \widehat {HBD} = \frac{{HD}}{{BD}} = \frac{1}{2},\) từ đó ta tìm được \(\widehat {B\,} \approx 26^\circ 34'\). |
|
Suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {B\,} - \widehat {HBD} \approx 56^\circ 19' - 26^\circ 34' = 29^\circ 45'\).
Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(E\) ta có:
\(BE = AB \cdot \cos \widehat {ABE} \approx \sqrt {13} \cdot \cos 29^\circ 45' \approx 3,1{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
2. Xét \(\Delta HBD\) và \(\Delta CAD\) có:
\(\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (do hai góc này cùng cộng với \(\widehat {C\,}\) bằng \(90^\circ )\)
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{HD}}{{CD}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) hay \(BD \cdot CD = HD \cdot AD\).
Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) ta có: \(\tan C = \frac{{AD}}{{CD}}.\)
Khi đó \[\tan B \cdot \tan C = \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{BD \cdot CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{HD \cdot AD}} = \frac{{AD}}{{HD}} = \frac{{3HD}}{{HD}} = 3.\]
