Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 9
14 câu hỏi
Mẫu thức chung khi quy đồng mẫu thức của phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{{x^2} - 1}} + x = 0\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2}\).
\({\left( {x + 1} \right)^2}\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
\(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta viết phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{{x^2} - 1}} + x = 0\) thành \(\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + x = 0\).
Khi đó mẫu thức chung khi quy đồng mẫu thức của phương trình trên là \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
Phương trình \(3\left( {x - 5} \right) - 2x\left( {5 - x} \right) = 0\) biến đổi về phương trình tích có dạng là
\(\left( {x - 5} \right)\left( {3 - 2x} \right) = 0\).
\(\left( {x - 5} \right)\left( {3 + 2x} \right) = 0\).
\(\left( {x - 5} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0\).
\(\left( {5 - x} \right)\left( {3 - 2x} \right) = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(3\left( {x - 5} \right) - 2x\left( {5 - x} \right) = 0\)
\(3\left( {x - 5} \right) + 2x\left( {x - 5} \right) = 0\)
\[\left( {x - 5} \right)\left( {3 + 2x} \right) = 0\].
Vậy ta chọn phương án C.
Phương trình nào sau đâylà phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[2{x^2} + 2 = 0\].
\[3y - 1 = 5y\left( {y - 2} \right)\].
\(2x + \frac{y}{2} - 1 = 0.\)
\[\frac{3}{x} + y = 0.\]
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Phương trình \(2x + \frac{y}{2} - 1 = 0\) viết thành \(2x + \frac{1}{2}y = 1\), đây là phương trình bậc nhất hai ẩn với \[a = 2\] và \(b = \frac{1}{2}.\)
Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng \(3\;{\rm{m}}\), nếu tăng thêm mỗi chiều \(3\;{\rm{m}}\) thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm \(90\;{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Nếu chọn \(x{\rm{\;(m)}}\) là chiều rộng hình chữ nhật \(\left( {x > 0} \right)\) và \(y{\rm{\;(m)}}\) là chiều dài hình chữ nhật \(\left( {y > 3} \right)\) thì hệ phương trình lập được là
\(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 3\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) - xy = 90\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 3\\\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - xy = 90\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - xy = 90\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) - xy = 90\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Theo bài, hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng \(3\;{\rm{m}}\) nên ta có phương trình \(y - x = 3\,\,\,\left( 1 \right)\)
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là \(xy\) (m2).
Nếu tăng chiều rộng \(3\;{\rm{m}}\) thì chiều rộng mới là \(x + 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Nếu tăng chiều dài \(3\;{\rm{m}}\) thì chiều dài mới là \(y + 3{\rm{\;(m)}}\).
Diện tích của hình chữ nhật lúc này là \(\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right)\) (m2).
Theo bài, diện tích hình chữ nhật tăng thêm \(90\;{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) nên ta có phương trình:
\(\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - xy = 90\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 3\\\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - xy = 90\end{array} \right.\).
Vậy ta chọn phương án B.
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\). Khi đó \(\tan \widehat {MNP}\) bằng
\(\frac{{MN}}{{NP}}\).
\(\frac{{MP}}{{NP}}\).
\(\frac{{MN}}{{MP}}\).
\(\frac{{MP}}{{MN}}\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), ta có: \(\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3{\rm{\;cm}},\,\,AC = 4{\rm{\;cm}},\,\,BC = 5{\rm{\;cm}}\). Khi đó \(\sin B\) bằng
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{4}{5}\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) có \(A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25;\,\,B{C^2} = {5^2} = 25\)
Do đó \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lí Pythagore đảo).
Khi đó \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}.\)
Cho bất đẳng thức \(a < b\).
a) Với mọi số thực \(c\) thì \(a + c < b + c.\)
b) Với \(c > 0\) thì \(ac > bc\).
c) Với \(c < 0\) thì \(ac < bc\).
d) Với mọi số thực \(c\) khác 0 thì \[\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đ;b) S;c) S; d) S.
⦁ Từ \(a < b\) ta có \(a + c < b + c\) với mọi số thực \(c\). Do đó ý a) là đúng;
⦁ Với \(c > 0\) thì \(ac < bc\). Do đó ý b) là sai;
⦁ Với \(c < 0\) thì \(ac > bc\). Do đó ý c) là sai;</>
⦁ Với \(x > 0\) thì \[\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\]. Do đó ý d) là sai.
Tìm nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1}\\{\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(\left( {2;\,\,1} \right).\)
Nếu ta coi \(\frac{1}{{2x - y}}\) và \(\frac{1}{{x + y}}\) lần lượt là các ẩn \(X,\,\,Y\) thì hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3X - 6Y = - 1}\\{X - Y = 0}\end{array}} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay ta lượt lần ấn các phím:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {2;\,\,1} \right).\)
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình \[3\left( {2,2 - 0,3x} \right) < 2,6 - \left( {4 - 0,1x} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(x = 9\).
Giải bất phương trình:
\[3\left( {2,2 - 0,3x} \right) < 2,6 - \left( {4 - 0,1x} \right)\]
\(6,6 - 0,9x < 2,6 - 4 + 0,1x\)
\( - x < - 8\)
\(x > 8\)
Như vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > 8\).
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho là \(x = 9\).
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 8,\,\,AC = 15,\,\,BC = 17.\) Kẻ đường cao \(AH.\) Tính tỉ số lượng giác \(\cos \widehat {HAC}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(\cos \widehat {HAC} = \frac{8}{{17}}.\)
Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H,\) có \(\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) nên hai góc \[\widehat {HAC},\,\,\widehat {C\,}\] phụ nhau, do đó \(\cos \widehat {HAC} = \sin C.\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {15^2} = 289;\,\,B{C^2} = {17^2} = 289\)
Theo định lí Pythagore đảo, ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\).
Khi đó: \(\cos \widehat {HAC} = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{17}}\).
(2,0 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) \[\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 0\].
b) \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)
2. Giải các bất phương trình sau:
a) \[ - 4x + 3 \le 3x - 1.\]
b) \[\frac{{4x + 1}}{3} - \frac{{x - 5}}{4} \ge \frac{1}{2} - \frac{{3 - x}}{5}.\]
Hướng dẫn giải
1. a) \[\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 0\] \(2x + 9 = 0\) hoặc \[\frac{2}{3}x - 5 = 0\] \(2x = - 9\) hoặc \(\frac{2}{3}x = 5\) \(x = - \frac{9}{2}\) hoặc \(x = \frac{{15}}{2}\). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - \frac{9}{2};\,\,x = \frac{{15}}{2}\). | 1. b) Điều kiện xác định \(x \ne - 1,\,\,x \ne 0\). \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) \(\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) \(\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2\) \(2{x^2} + x + 2x + 2 = 2\) \(2{x^2} + 3x = 0\) \(x\left( {2x + 3} \right) = 0\) \(x = 0\) hoặc \(2x + 3 = 0\) \(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - \frac{3}{2}\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{3}{2}.\) |
2. a) \[ - 4x + 3 \le 3x - 1\] \[ - 4x - 3x \le - 1 - 3\] \[ - 7x \le - 4\] \[x \ge \frac{4}{7}.\] Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \ge \frac{4}{7}.\] | 2. b) \[\frac{{4x + 1}}{3} - \frac{{x - 5}}{4} \ge \frac{1}{2} - \frac{{3 - x}}{5}\] \[\frac{{20\left( {4x + 1} \right)}}{{60}} - \frac{{15\left( {x - 5} \right)}}{{60}} \ge \frac{{30 \cdot 1}}{{60}} - \frac{{12\left( {3 - x} \right)}}{{60}}\] \[20\left( {4x + 1} \right) - 15\left( {x - 5} \right) \ge 30 \cdot 1 - 12\left( {3 - x} \right)\] \[80x + 20 - 15x + 75 \ge 30 - 36 + 12x\] \[65x + 95 \ge - 6 + 12x\] \[53x \ge - 101\] \[x \ge - \frac{{101}}{{53}}\]. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \ge - \frac{{101}}{{53}}\]. |
(1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập Yoga trong 40 phút, sau đó nhảy Jumping jacks trong 10 phút và tiêu hao được tổng cộng 510 calo. Lần tiếp theo anh Hoài tập Yoga trong 30 phút và thực hiện nhảy Jumping jacks trong 20 phút, tổng lượng calo tiêu hao được là 470 calo. Hỏi có bao nhiêu calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga và trong mỗi phút tập Jumping jacks?
Hướng dẫn giải
Gọi \(x,\,\,y\) (calo) lần lượt là số calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga và Jumping jacks \(\left( {x > y > 0} \right).\)
Theo bài, anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập Yoga trong 40 phút, sau đó nhảy Jumping jacks trong 10 phút và tiêu hao được tổng cộng 510 calo nên ta có phương trình:
\[40x + 10y = 510\] hay \[4x + y = 51{\rm{ }}\left( 1 \right)\]
Lần tiếp theo anh Hoài tập 30 phút Yoga và nhảy Jumping jacks trong 20 phút thì tổng lượng calo tiêu hao được là 470 calo nên ta có phương trình
\[30x + 20y = 470\] hay \[3x + 2y = 47{\rm{ }}\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 2, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}8x + 2y = 102\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(5x = 55\), suy ra \(x = 11\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 11\) vào phương trình \[4x + y = 51\], ta được:
\[4 \cdot 11 + y = 51\] suy ra \(y = 7\) (thỏa mãn).
Vậy số calo tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga là 11 calo và số calo tiêu hao trong mỗi phút nhảy Jumping jacks là 7 calo.
(1,0 điểm) Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến chân tòa nhà. Anh ta nhìn thấy một người điều khiển chiếc xe máy đi về phía tòa nhà với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[30^\circ \]. Sau \[6\] phút, người quan sát vẫn nhìn thấy người điều khiển chiếc xe máy với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[60^\circ \]. Hỏi sau bao nhiêu phút nữa thì xe máy sẽ chạy đến chân tòa nhà? Cho biết vận tốc xe máy không đổi.
Hướng dẫn giải
Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ sau:
Do mặt đất là phương ngang nên \[\widehat {BCA} = \widehat {CBx} = 30^\circ \] và \[\widehat {BDA} = \widehat {ABx} - \widehat {DBx} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \].
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:
\[AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ = AB\sqrt 3 \].
Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\], ta có:
\[AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = AB \cdot \cot 60^\circ = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}\].
Suy ra \[CD = AC - AD = AB\sqrt 3 - \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = AB\left( {\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = AB \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2AB\sqrt 3 }}{3} = 2AD\].
Như vậy, quãng đường \(CD\) gấp đôi quãng đường \(DA.\) Mà thời gian di chuyển tỉ lệ thuận với quãng đường đi được khi vận tốc không đổi nên thời gian xe máy di chuyển từ \(C\) đến \(D\) gấp đôi thời gian xe máy di chuyển từ \(D\) về \(A\).
Vậy thời gian để xe máy chạy từ \[D\] đến tòa nhà là \[\frac{6}{2} = 3\] (phút).
(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\). Kéo dài \(CA\) một đoạn sao cho \(AE = AB.\) Kẻ \(EK \bot BC\,\,\)\((K\) nằm trên đường thẳng \(BC).\)
1. Cho \(EC = 16{\rm{\;cm}}\) và \(\widehat {C\,} = 30^\circ \). Tính độ dài cạnh \(EK\) và \(AB\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
2. Giả sử \(EK\) cắt \(AB\) tại \(Q\). Chứng minh rằng \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\]
Hướng dẫn giải
1. Xét \(\Delta KEC\) vuông tại \(K\), ta có:
\(EK = EC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(A\) có \(AE = AB\) nên \(\Delta ABE\) vuông cân tại \(A.\) Do đó \(\widehat {AEB} = 45^\circ .\)
Xét \(\Delta EBC\) có \(\widehat {EBK}\) là góc ngoài nên \(\widehat {EBK} = \widehat {AEB} + \widehat {C\,} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .\)
Xét \(\Delta KEB\) vuông tại \(K\) , ta có \(\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}\).
Suy ra \(EB = \frac{{EK}}{{\sin \widehat {EBK}}} = \frac{8}{{\sin 75^\circ }} \approx 8,3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(A\) ta có \(AB = EB \cdot \sin \widehat {AEB} \approx 8,3 \cdot \sin 45^\circ \approx 5,9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
2. Xét \(\Delta AEQ\) vuông tại \(A\) ta có: \(AQ = QE \cdot \sin \widehat {CEQ}.\) Xét \(\Delta ACQ\) vuông tại \(A\) ta có: \(AQ = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}\). Suy ra \(QE \cdot \sin \widehat {CEQ} = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}\) Do đó \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\] (1) Chứng minh tương tự ta có: \(CK = CQ \cdot \sin \widehat {EQC} = EC \cdot \sin \widehat {CEQ}\) Suy ra \[\frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\] (2) Từ (1) và (2) ta có \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\] |
|
