Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 7
16 câu hỏi
Bạn An sau khi thực hiện các bước phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) nhận được kết quả là \(x = 0\) và \(x = - \frac{3}{2}.\) Khi đó, kết luận bạn An cần viết là
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 0\).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{3}{2}\).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 0;\) \(x = - \frac{3}{2}\).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của phương trình là: \(x \ne 0\) và \(x \ne - 1\).
Khi nhận được kết quả là \(x = 0\) và \(x = - \frac{3}{2}\), ta thấy chỉ có giá trị \(x = - \frac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{3}{2}\).
Phương trình \(\left( {x + 4} \right)\left( {8 - x} \right) = 0\) có nghiệm là
\(x = 4;\,\,x = 8\).
\(x = - 4;\,\,x = - 8\).
\(x = 4;\,\,x = - 8\).
\(x = - 4;\,\,x = 8\).
Đáp án đúng là: D
Giải phương trình:
\(\left( {x + 4} \right)\left( {8 - x} \right) = 0\)
\(x + 4 = 0\) hoặc \(8 - x = 0\)
\(x = - 4\) hoặc \(x = 8\).
Như vậy, phương trình trên có nghiệm là \(x = - 4;\,\,x = 8\).
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
0.
1.
2.
Vô số.
Đáp án đúng là: D
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có số nghiệm nhiều nhất khi hệ có vô số nghiệm.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x + 4y = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) và các khẳng định nào sau:
(i) Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, rồi cộng từng vế với phương trình (2), ta nhận được phương trình \(0x = 3.\)
(ii) Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, rồi cộng từng vế với phương trình (2), ta nhận được phương trình có vô số nghiệm.
(iii) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: B
Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, ta được phương trình mới là: \(2x - 4y = 8\).
Cộng từng vế phương trình trên với phương trình (2), ta nhận được phương trình:
\(0x = 7\). Phương trình này vô nghiệm.
Do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Như vậy chỉ có khẳng định (iii) là đúng. Ta chọn phương án B.
Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - 10\)” được viết là
\(x > - 10\).
\[x \ge - 10\].
\(x < - 10\).
</>
\(x \le - 10\).
Đáp án đúng là: D
Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - 10\)” được viết là \(x \le - 10\).
Cho \(m\) bất kỳ, chọn khẳng định đúng:
\(m - 3 > m - 4\).
\(m - 3 < m - 5\).
</>
\(m - 3 \ge m - 2\).
\(m - 3 \le m - 6\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \( - 3 > - 4\), cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số \[m\] bất kỳ, ta được:
\(m - 3 > m - 4\).
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
\(x + 2y > 0\).
\(\frac{1}{x} - 3 > 0\).
\({x^2} + 1 > 0\).
\(\frac{x}{2} + 1 > 0\).
Đáp án đúng là: D
Bất phương trình \(x + 2y > 0\) có hai ẩn nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \(\frac{1}{x} - 3 > 0\) có chứa ẩn \(x\) dưới mẫu nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \({x^2} + 1 > 0\) có chứa \({x^2}\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \(\frac{x}{2} + 1 > 0\) hay \(\frac{1}{2}x + 1 > 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b > 0\) với \(a = \frac{1}{2} \ne 0\) và \(b = 1.\)
Vậy ta chọn phương án D.
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình \(x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\) là
\(x = - 3\).
\(x = - 2\).
\(x = - 1\).
\(x = 0\).
Đáp án đúng là: B
Giải bất phương trình:
\(x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\)
\(5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}\)
\(5x \ge - 12\)
\(x \ge \frac{{ - 12}}{5}\).
Do đó nghiệm của bất phương trình là \(x \ge \frac{{ - 12}}{5}\,\,\,\left( { = - 2,4} \right)\).
Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là \(x = - 2\).
Cho tam giác \[MNP\] vuông tại \(M.\) Khi đó \(\cot N\) bằng
\(\frac{{MN}}{{NP}}.\)
\(\frac{{MP}}{{NP}}.\)
\(\frac{{MN}}{{MP}}.\)
\(\frac{{MP}}{{MN}}.\)
Đáp án đúng là: C
Xét \[\Delta MNP\] vuông tại \(M\) có \(\cot N = \frac{{MN}}{{MP}}.\)
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Biết \(\tan \alpha = \frac{3}{5}\). Giá trị của \(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right)\) bằng
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{5}{3}\).
\(\frac{5}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha = \frac{3}{5}.\)
Trong tam giác vuông \[ABC\] nếu có \(\widehat {B\,} = 60^\circ \) thì tỉ số giữa cạnh góc vuông \(AC\) và cạnh huyền \(BC\) bằng bao nhiêu?
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
1.
Đáp án đúng là: A
Tam giác \[ABC\] là tam giác vuông có cạnh huyền là cạnh \(BC\) nên tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], do đó \(\frac{{AC}}{{BC}} = \sin B = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Vậy tỉ số giữa cạnh góc vuông \(AC\) và cạnh huyền \(BC\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) |
|
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\) và \(AB = 13\,\;{\rm{cm}}\), \(BH = 5\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Tỉ số lượng giác \(\sin C\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) bằng
\(\sin C = 2,6\).
\(\sin C \approx 0,385\).
\(\sin C \approx 0,4\).
\(\sin C \approx 0,38\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) hay hai góc \(B\) và \(C\) phụ nhau, do đó \(\sin C = \cos B\).
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có:
\(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{5}{{13}} \approx 0,38\).
Vậy \(\sin C = \cos B \approx 0,38\).
(2,0 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) \[2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0\].
b) \(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 9}}\).
2. Giải các bất phương trình sau:
a) \(5 - 7x > 4\left( {x - 3} \right) - 7.\)
b) \(\frac{{x - 1}}{2} - \frac{{7x + 3}}{{15}} \le \frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3 - 2x}}{5}.\)
Hướng dẫn giải
1. a) \[2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0\] \(2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0\) \[\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0\] \[\left( {3x - 1} \right) \cdot 2\left( {x + 1} \right) = 0\] \(3x - 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - 1\). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{1}{3};\) \(x = - 1\). | 1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3\). \(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 9}}\) \(\frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{3x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) \(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right) = 3x + 3\) \(2x + 6 - 3x + 9 = 3x + 3\) \( - x + 15 = 3x + 3\) \( - 4x = - 12\) \(x = 3\) (không thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. |
2. a) \(5 - 7x > 4\left( {x - 3} \right) - 7\) \(5 - 7x > 4x - 12 - 7\) \( - 7x - 4x > - 12 - 7 - 5\) \( - 11x > - 24\) \(x < \frac{{24}}{{11}}.\) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{{24}}{{11}}.\) | 2. b) \(\frac{{x - 1}}{2} - \frac{{7x + 3}}{{15}} \le \frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3 - 2x}}{5}\) \(\frac{{15\left( {x - 1} \right)}}{{30}} - \frac{{2\left( {7x + 3} \right)}}{{30}} \le \frac{{10\left( {2x + 1} \right)}}{{30}} + \frac{{6\left( {3 - 2x} \right)}}{{30}}\) \[15\left( {x - 1} \right) - 2\left( {7x + 3} \right) \le 10\left( {2x + 1} \right) + 6\left( {3 - 2x} \right)\] \[15x - 15 - 14x - 6 \le 20x + 10 + 18 - 12x\] \[x - 21 \le 8x + 28\] \[ - 7x \le 49\] \[x \ge - 7.\] Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \ge - 7.\] |
(2,5 điểm)
1. Xác định \(a\) và \(b\) sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + 2by = - 18\\bx - 3ay = - 3\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 3;\,\,2} \right)\) làm nghiệm.
2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\) km hết \(4\) giờ \(30\) phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\) km. Tính vận tốc dòng nước.
Hướng dẫn giải
1. Để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + 2by = - 18\\bx - 3ay = - 3\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 3;\,\,2} \right)\) làm nghiệm thì \(x = - 3\) và \(y = 2\) thỏa mãn hệ phương trình. Khi đó, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot \left( { - 3} \right) + 2b \cdot 2 = - 18\\b \cdot \left( { - 3} \right) - 3a \cdot 2 = - 3\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 4b = - 18\\ - 6a - 3b = - 3\end{array} \right.\).
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{4}{3},\) ta được hệ phương trình mới \(\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 4b = - 18\\ - 8a - 4b = - 4\end{array} \right.\).
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:
\( - 11a = - 22\) suy ra \(a = 2\).
Thay \(a = 2\) vào phương trình \( - 3a + 4b = - 18\), ta được:
\( - 3 \cdot 2 + 4b = - 18\), suy ra \(4b = - 12\) nên \(b = - 3\).
Vậy \(a = 2\) và \(b = - 3\).
2. Gọi \(x,\,\,y\) (km/h) lần lượt là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước \(\left( {x > y > 0} \right).\)
Vận tốc của thuyền khi đi xuôi dòng là: \(x + y\) (km/h).
Vận tốc của thuyền khi đi ngược dòng là: \(x - y\) (km/h).
⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(40\) km là: \(\frac{{40}}{{x + y}}\) (giờ).
Thời gian thuyền đi ngược dòng \(40\) km là: \[\frac{{40}}{{x - y}}\] (giờ).
Theo bài, chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\) km hết \(4\) giờ \(30\) phút \(( = 4,5\) giờ) nên ta có phương trình: \(\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\). (1)
⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(5\) km là: \(\frac{5}{{x + y}}\) (giờ).
Thời gian thuyền đi ngược dòng \(4\) km là: \[\frac{4}{{x - y}}\] (giờ).
Theo bài, thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\) km nên ta có phương trình: \(\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\). (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{5}{{x + y}} - \frac{4}{{x - y}} = 0\end{array} \right.\)
Cách 1. Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 8, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{{40}}{{x + y}} - \frac{{32}}{{x - y}} = 0\end{array} \right.\) Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được: \(\frac{{72}}{{x - y}} = 4,5,\) suy ra \(\frac{1}{{x - y}} = 0,0625\) nên \(x - y = 16.\) (3) Thay \(\frac{1}{{x - y}} = 0,0625\) vào phương trình \(\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}},\) ta được: \(\frac{5}{{x + y}} = 4 \cdot 0,0625\) suy ra \(\frac{5}{{x + y}} = 0,25\) nên \(x + y = 20\). (4) Từ phương trình (3) và phương trình (4), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 20}\\{x - y = 16.}\end{array}} \right.\) Cách 2. Đặt \(a = \frac{1}{{x + y}}\) và \(b = \frac{1}{{x - y}}\) \(\left( {a > 0;\,\,b > 0} \right)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\5a = 4b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\5a - 4b = 0\end{array} \right.\) Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 10, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\50a - 40b = 0\end{array} \right.\) Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(90a = 4,5\), suy ra \(a = \frac{1}{{20}}\) (thỏa mãn). Thay \(a = \frac{1}{{20}}\) vào phương trình \(5a = 4b\), ta được: \[5 \cdot \frac{1}{{20}} = 4b,\] suy ra \(b = \frac{1}{{16}}\) (thỏa mãn). Với \(b = \frac{1}{{16}}\) ta có: \(\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{16}}\) suy ra \(x - y = 16\). (3’) Với \(a = \frac{1}{{20}}\) ta có \(\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{20}}\) suy ra \(x + y = 20\). (4’) Từ phương trình (3’) và phương trình (4’), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 20}\\{x - y = 16.}\end{array}} \right.\) |
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:
\(2x = 36,\) suy ra \(x = 18\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 18\) vào phương trình \(x + y = 20\), ta được:
\(18 + y = 20\), suy ra \(y = 2\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h.
(2,0 điểm)
1. Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH = 5\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {B\,} = 70^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 35^\circ .\) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2. Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là \(20^\circ \) và cần đặt cao hơn mặt đất là \(2,5\,\,{\rm{m}}.\) Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường \(2\,\,{\rm{m}}.\) Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). |
|
Hướng dẫn giải
1. Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) ta có: ⦁ \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\), suy ra \(AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5,32{\rm{\;(cm);}}\) ⦁ \[BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1,82{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\] Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) ta có: ⦁ \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\), suy ra \(AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8,72{\rm{\;(cm);}}\) ⦁ \(CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7,14{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\) Khi đó \(BC = BH + HC \approx 1,82 + 7,14 = 8,96{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\) Vậy \(AB \approx 5,32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8,72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8,96\,\,{\rm{cm}}\,.\) |
|
2. Hình ảnh thiết bị chiếu sáng trong bài toán được mô tả như hình vẽ bên, trong đó \(A\) là vị trí đặt thiết bị chiếu sáng, \(CD\) là độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất và \(\widehat {CAD} = 20^\circ \) là góc chiếu sáng. Khi đó ta có \(AB = 2,5{\rm{\;m}}\) và \(BC = 2{\rm{\;m}}.\)
⦁ Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có:
\(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2,5}} = 0,8\) nên \(\widehat {BAC} \approx 38,7^\circ .\)
Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} \approx 38,7^\circ + 20^\circ = 58,7^\circ .\)
⦁ Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\), ta có
\(BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \approx 2,5 \cdot \tan 58,7^\circ \approx 4,1{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Do đó \(CD = BD - BC \approx 4,1 - 2 = 2,1{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng \(2,1\) mét.
(0,5 điểm) Cho hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0.\] Chứng minh bất đẳng thức sau:
\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)
Hướng dẫn giải
Với hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0\], ta có:
\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} - 2 = {a^2} + {b^2} + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2\)
\( = {a^2} + {b^2} + 2ab - 2ab + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2\)
\( = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2\)
\( = {\left( {a + b} \right)^2} - 2\left( {ab + 1} \right) + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)
\[ = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^4} - 2{{\left( {a + b} \right)}^2}\left( {ab + 1} \right) + {{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{{{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\].
Với \[a + b \ne 0\] ta có \({\left( {a + b} \right)^2} > 0\) và \[{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]^2} \ge 0\]
Do đó \[\frac{{{{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 0\] nên \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} - 2 \ge 0\) hay \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)
Vậy bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2\) đã được chứng minh.
